菱形的性质与判定
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
菱形的性质与判定
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
A
B
C
D
E
F
你敢挑战吗？
交流反思
1.菱形概念
2.菱形特征
3.菱形与平行四边形的关系
①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分； ④菱形的对角线分别平分两组对角； ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
4.菱形的面积
方法总结:
01
02
03
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平行四边形
菱形
四边形
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对角线互相垂直
一组邻边相等 菱形 有四条边相等
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； （ ） (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形． （ ）
E
O
D
C
B
A
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,AE∥DB，AE交DE于E。 求证：四边形AODE是菱形。
D
C
B
A
M
N
2、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD. 求证：四边形ABCD是菱形。
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
菱形的性质与判定
B
D C
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°，点E、F同时由A、 C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止）， 点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三 角形，t的值为（ ）．
A. 1
B.
1 3
C.
1 2
D.
4 3
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°， ∠ EDF=60°，求EF的最小值。
➢将军饮马问题
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点， P为对角线BD上一动点，连接PA和PE，求PA+PE的最小值。
A
D
B
C
E
➢等面积法
如图，已知菱形ABCD中的对角线AC、BD的长分别为
6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
）．
A. 5 3cm
B. 2 5 cm
C.
48 5
cm
D.
24 5
cm
把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形， 将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正 方形，则图1中菱形的面积为________．
三、判定
思路一：平四→①边：邻边相等 ②线：对角线垂直
思路二：四边形→平四→菱形
思路三：四边形→菱形 ➢边：四条边都相等
➢线：对角线互相垂直平分
A B
D C
补充：中点四边形
对角线相等→菱形
对角线满足什么条件？→矩形、正方形
A
菱形的判定方式
菱形的判定方式1. 菱形的定义及性质菱形是一种特殊的四边形，它有以下几个性质： - 所有边长相等：菱形的四条边长度相等，这是菱形与其他四边形的明显区别。
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，且互相垂直。
- 对角线平分角度：菱形的两条对角线将菱形分成四个等角的三角形。
2. 判定一个四边形是否为菱形的方法2.1 基于边长的判定方式一个四边形的边长相等是判定其为菱形的充分条件，但不是必要条件。
因此，我们可以通过以下步骤判定一个四边形是否为菱形： 1. 测量四条边的长度。
2. 如果四条边的长度相等，则该四边形为菱形。
3. 如果四条边的长度不相等，那么它不是菱形。
2.2 基于对角线的判定方式另一种判定一个四边形是否为菱形的方法是基于对角线的长度。
以下是判定方法的步骤： 1. 测量两条对角线的长度。
2. 如果两条对角线的长度相等，则该四边形为菱形。
3. 如果两条对角线的长度不相等，那么它不是菱形。
3. 菱形的判定应用菱形的判定方法在几何学中具有重要的应用，例如在图形识别、图像处理和计算机视觉中。
以下是一些具体的应用场景：3.1 菱形图形识别在图像处理中，我们经常需要识别不同的几何形状。
菱形作为一种常见的几何形状之一，其判定方法可以用于菱形图形的识别。
通过测量图像中四边形的边长或对角线长度，我们可以判断该图形是否为菱形，从而实现菱形图形的自动识别。
3.2 菱形模式匹配菱形模式匹配是指在图像中寻找与给定菱形模式相匹配的图像区域。
通过菱形的判定方法，我们可以将图像中的四边形筛选出来，并进一步判断其是否为菱形。
这样，我们就可以在图像中找到与给定菱形模式相匹配的区域。
3.3 菱形区域标定在计算机视觉中，我们经常需要标定图像中的特定区域。
菱形的判定方法可以应用于菱形区域的标定。
通过测量图像中四边形的边长或对角线长度，并判断其为菱形，我们可以准确地标定出菱形区域的位置和大小。
4. 总结菱形作为一种特殊的四边形，在几何学和图像处理中具有重要的应用。
菱形的性质与判定第一课时(菱形的性质)
B
D
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积
C
菱形的面积等于两条对角线乘积 1 2 BD AE 的一半 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D A
O
C
解得:
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2
三、课堂小结
定理:菱形的四条边都相等. 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角.
结论： 菱形是轴对称图形，有2条对称轴， 它们互相垂直。
首先它具有平行四边形的一切特征.
特殊的特征：
1、菱形的四条边相等.
思考：菱形的对角线有什么特征呢？
2、菱形的对角线互相垂直。
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形.
求证:AB=BC=CD=DA. 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性 质可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD. B A D C
O B
C
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD 长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, A E
∴∠AED=900,
AE
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2 AD 2 DE 2 132 52 12cm .
定理:菱形的两条对角线互相垂直。 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: AC⊥BD. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. A D
九年级数学菱形的性质与判定
第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。
也就是他的两条对角线互相垂直。
五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。
六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。
解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。
解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。
3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。
解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。
1.1.3菱形的性质与判定(教案)
（2）菱形的性质：对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角，这是菱形与其他四边形区分的关键特征。
举例：通过实际操作和观察，使学生理解并掌握菱形对角线的特性。
（3）菱形的判定方法：掌握四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角等判定方法。
举例：通过例题和练习，让学生熟悉并掌握各种判定要学习的是《菱形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过形状像钻石的图案？”（例如，窗户上的装饰图案）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
1.1.3菱形的性质与判定（教案）
一、教学内容
《菱形的性质与判定》选自八年级数学教材第1章第3节。本节内容主要包括以下两部分：
1.菱形的性质：讨论菱形的定义，即四边相等的四边形为菱形；掌握菱形的对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角的性质。
2.菱形的判定：学习使用四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角等方法判定一个四边形是否为菱形；同时，掌握菱形与矩形、平行四边形、正方形之间的关系。
其次，在新课讲授环节，我尝试以理论介绍、案例分析、重点难点解析的方式组织教学内容。从学生的反馈来看，这种教学方式有助于他们理解菱形的性质和判定方法。但同时，我也注意到部分学生对菱形对角线性质的推导和判定方法的应用仍存在困难。这可能是因为我在这部分讲解的深度和广度还不够，需要进一步加强。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，提高他们的动手能力和团队协作能力。但我也发现，在实验操作过程中，部分学生动手能力较弱，对实验步骤不够熟悉。为了提高实践活动的效果，我需要在课前对学生进行更多的引导和培训。
第一讲菱形的性质与判定
第一讲菱形的性质与判定（一）菱形的定义与性质1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:（1）菱形的四条边都相等;（2）菱形的对角线互相垂直平分.并且平分一组对角。
（3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。
（4）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高②菱形的面积等于对角线乘积的一半；对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.典例分析：知识点1：利用菱形的性质求角的度数例1：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．知识点2：利用菱形的性质求线段长例2：（1）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD 的周长与面积．（2）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于E，AP=5，AE=4，则点P到边AD 的距离等于_________．例2（2）图例2（3）图（3）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．知识点3：利用菱形的对称性求最短距离例3：（1）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4例3（1）图例3（2）图（2）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F 分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．知识点4：利用菱形的性质求面积例4：如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：（1）对角线AC，BD的长；（2）菱形ABCD的面积．知识点5：利用菱形的性质证明例5：（1）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．①求证：AE=AF；②若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．（2）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．（二）菱形的判定判定方法：1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、对角线：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形②对角线互相平分的平行四边形是菱形3、边：四条边都相等的四边形是菱形注：(1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理图文展示：典例分析：知识点6：利用定义判定菱形例6：已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC 交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．知识点7：利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定菱形例7：如图:,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.知识点8：利用“四边相等的四边形是菱形”判定菱形例8：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点；求证：四边形EGFH是菱形．（三）菱形的性质与判定的综合应用例9：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．例10：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．例11：如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．例12：已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．夯实基础：1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为，则AC：BD=（）A．1：2B．1：3C．1：D．1：第3题第4题4.菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．5.在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，若△AEF是等边三角形，且EF=AB，则∠BAD的度数是（）A．100°B．105° C．110° D．120°6.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A．12B．24C．48D．967.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的周长为．第7题第8题第9题8.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．24 cm2B．20 cm2C．16 cm2D．12 cm29.如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连结PC，则∠DCF的度数为度．10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm，AC=24cm．（1）求：菱形ABCD的面积；（2）如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长．11.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE，若∠E=50°，求∠BAO的大小．12.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．13.如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．14.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．15.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．16.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．。
菱形的判定与性质
菱形的判定与性质知识准备：一.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
二菱形的性质：1、边的性质： ；2、角的性质： ；3、对角线的性质：；三.菱形的判定：1、 ；2、 ；3、 ；4、 。
四..菱形的面积1.菱形的面积=底×高2菱形的面积=两条对角线乘积的一半ODCBA类别性质判定对称性平行四边形①两组对边分别平行②两组对边分别相等③两组对角分别相等邻角互补④两条对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（平行四边形的定义）②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
中心对称一．选择题1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A ．M （5，0），N （8，4） B ．M （4，0），N （8，4） C ．M （5，0），N （7，4） D ．M （4，0），N （7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ） A ．3：1 B ．4：1 C ．5：1 D ．6：1 4．如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）A ．15B ．C ．7.5D ．二．填空题5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是 _________ cm 2．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH= _________ ．7．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．矩形中心对称轴对称菱形中心对称轴对称8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=13，AC=10，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的周长为 _________ ．9.顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。
菱形的性质与判定
如图，A’B’∥AB，B’C’∥BC， C’A’∥CA，图中有几个平行四边形？将 它们表示出来，并说明理由。
解：图中共有3个平行四边形： □ABCB’、□C’BCA、□ABA’C。B ∵A’B’∥AB，B’C’∥BC
C’
A
B’
C A’
∴四边形ABCB’是平行四边形。（2组对边分 别平行的四边形是平行四边形） 同样可以得到：四边形C’BCA、四边形 ABA’C也是平行四边形。
菱形的判定
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.四条边相等的四边形是菱形. 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
明辨是非
1.对角线互相垂直的四边形是菱形 ⒉对角线互相垂直的平行四边形是菱 形．
⒊对角线相等的平行四边形是菱形．
⒋对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
检测练习
学校买了四棵树，准备栽在 花园里，已经栽了三棵（如图）， 现在学校希望这四棵树能组成一 个平行四边形，你觉得第四棵树 应该栽理. 2.能熟练运用定理解题.
自学指导
认真看课本P16-18及P23-24 的内容,理解并熟记菱形的性质 和判定. 6分钟后比谁能做对习题.
菱形的性质
菱形既是轴对称图形又是中心对 称图形.
菱形的四条边相等
菱形的对角线互相垂直,并且每一 条对角线平分一组对角.
如图，在四边形ABCD中， AB∥DC，∠A＝∠C，四边 形ABCD是平行四边形吗？为 什么？
A
D
B
C
课本P113习题3.4
第1、3题
菱形的性质与判定
菱形的性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:1.对边平行，且四边都相等;2.对角相等;3.对角线互相平分且互相垂直4.菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形5 菱形的面积: S 菱形=底×高=2对角线乘积 习题 1.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱形的四个内角的度数＿＿2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ）A 、对角线互相平分B 、对边相等且平行C 、对角线平分一组对角D 、对角相等3.在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，则∠B= ,△ABC 是 三角形，∠ABD 的度数为________ 。
4.已知：菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=12，BD=16，则菱形ABCD 的面积为 ，边长为 ，周长为 。
5 如图，菱形ABC 中,AB=BD=2cm,OD CB A求①∠ABC的度数②菱形ABCD的周长6如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形。
7如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB＝5，OA ＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度。
菱形的判定菱形的判定方法一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形习题判断下列说法是否正确：1.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形（）D2.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形（）3.对角线相等且互相平分的四边形是菱形（）4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形（）5、已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有__________2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（）．Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分Ｂ、AB=BC=CD=DAＣ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BDＤ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD3、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6厘米，BD=8厘米，AD=5厘米，则□ ABCD的周长=—————— , □ABCD的面积=————————4：如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB，AE=5.（1）判断四边形AEDF的形状？（2）四边形AEDF的周长为多少？5：已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F求证:四边形AFCE是菱形。
菱形的性质及判定
初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．板块一、菱形的性质☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为,若墙上钉子间的距离，则 度．16cm 16cm AB BC ==1∠=⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分．☆ 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．☆如图，已知菱形的对角线于点，则的长为图21CBA ABCD 60A ∠=︒E F AB AD 2EF =ABCD E ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF P HFE DCBAABCD AC BD O H AD ABCD 24OH 图1HO DC BAABCD 8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，E DE E F DBCA☆ 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（ ） A ． B ． C ． D ．如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）A ．B ．C ．D ．☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等于 ．如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．20cm 2:1ABCD 6AC =8BD =51068图2DCBAABCD 110A ∠=︒E F AB BC EP CD ⊥P FPC ∠=35︒45︒50︒55︒图3E DP CF BA 60︒α15︒30︒30︒45︒45︒60︒30︒60︒ABCD E F BC CD AE BC ⊥AF CD ⊥EAF ∠10cm 8cm 210cm 220cm 240cm 280cm☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是如图，菱形花坛的周长为，，•沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积．已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．☆如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形图1DCBA ABCD AC BD ，ABCD 20m 60ABC ∠=︒ACBD 图2ABCD E F BC CD AE AF EF AB ===C ∠FEDCBAABCD DCAB ABC ∆BD ABC ∠BD ABE BCF BEDF已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．☆如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分☆已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．FEDCBAABCD AC AD BC E F AFCE ODEFC ABABCD //AD BC AD CD >D C AD C DE BC E C E 'CDC E 'C'DCB A EE ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF AB CDEF P PF EDC B A ABCD AE BC ABE ∆BC E C GFC ∆60B ∠=︒AB BC ABFG GF E DCBAABC ∆AB AC =M BC MD AB ⊥D ME AC ⊥E DF AC ⊥F EG AB ⊥G DF EG 、P DMEP如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．☆如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长； ⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？三、与菱形相关的几何综合题已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结. ⑴求证四边形为菱形⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？PMF E DG CBABC ∆90ACB ∠=︒AD BAC ∠BC D CH AB AD F DE AB ⊥E CDEF HF DECBAM ABCD MAB ∆AD AB DC M 'M 'MD MC MM ，，'MDM C AB AD ，M 'MDM C M'M DC BAABC △AB AC =AD BAC ∠BC D AD P A P EF AB ∥AC BC E F PM AC ∥AB M ME AEPM P AEPM EFBM菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ． 如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为则另一条对角线的长为________．已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由．如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知． ⑴ 顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成MPFABDE 52cm 10cm ABCD 4AB a E =，BC 2120BE a BAD P =∠=︒，，BD PE PC +PDCBA60︒3ABCD E F BC CD 60B EAF ∠=∠=︒18BAE ∠=︒CEF ∠FEDCBAABC ∆AB AC =D BC AD AD E BE CE AE AD ABEC EDCB AACD ∆ABE ∆BCF ∆BC AB AC =A D F E 课后练习图形的类型和相应 的条件．⑵ 当为 度时，四边形为正方形．如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．BAC ∠ADFE FEDCBABE CF ABC ∆B ∠C ∠AM BE ⊥M AN CF ⊥N MN BC ∥NMEFCBA。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。
菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。
菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。
还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。
菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。
比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。
菱形的性质与判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形有别于平行四边形 性质有哪些？
B
A D C
A
B 边
菱形的两组对边分别平行. 菱形的四条边相等.
C
D
菱 形 的 性 质
角
菱形的两组对角分别相等,邻角互补. 菱形的两条对角线互相垂直平分. 菱形的每一条对角线都平分一组对角.
对角线
对称性
菱形是轴对称图形.
已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合， 再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F， 分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；
已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合， 再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F， 分别连结AF和CE． 2 （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm ，求 △ABF的周长；
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面 A 积为： D
1 S a b 2
O C
B
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角 形的问题来解决.
菱形的判定？
A
DBBiblioteka C有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱 形 的 判 定
边
四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：四边形EGFC为菱形．
C F E A D G
B
如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的 中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为 何值时，四边形PBQD是菱形．
菱形的所有判定定理
菱形的所有判定定理菱形是一种几何形状，它有一些特殊的性质和定理。
在本文中，我们将讨论菱形的所有判定定理，并详细解释它们的意义和应用。
一、菱形的定义定理：菱形是一个四边形，它的所有边长相等。
在一个菱形中，对角线相互垂直且平分对方。
二、菱形的角定理：1. 菱形的内角和定理：菱形的内角和为360度。
2. 菱形的对角线交角定理：菱形的对角线交角为90度。
三、菱形的边定理：1. 菱形的边长定理：菱形的四条边长相等。
2. 菱形的边中点连线定理：菱形的边中点连线相互垂直且平分对角线。
四、菱形的对角线定理：1. 菱形的对角线长度定理：菱形的两条对角线长度相等。
2. 菱形的对角线垂直定理：菱形的对角线相互垂直。
五、菱形的面积定理：菱形的面积等于对角线长度的乘积再除以2。
六、菱形的高定理：菱形的高等于任意一边与对角线的乘积再除以对角线的长度。
七、菱形的中线定理：菱形的对角线中线相等且平行于边。
八、菱形的内切圆定理：菱形的内切圆与菱形的四条边相切。
九、菱形的外接圆定理：菱形的外接圆与菱形的四个顶点相切。
十、菱形的外接圆半径定理：菱形的外接圆半径等于对角线的一半。
以上是菱形的所有判定定理。
这些定理不仅可以帮助我们理解菱形的性质，还可以在解决各种几何问题时提供指导。
通过运用这些定理，我们可以计算菱形的边长、对角线长度、面积和高等参数，进一步推导出其他相关的几何性质。
菱形的判定定理是几何学中的重要内容，它们不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在实际生活和工程中发挥着重要的作用。
比如，在建筑设计中，我们经常会遇到需要绘制或计算菱形的情况，而这些判定定理可以帮助我们准确地完成这些任务。
总结起来，菱形的判定定理是菱形几何学中的重要内容，它们描述了菱形的各种性质和特点。
通过运用这些定理，我们可以计算菱形的各种参数，解决各种几何问题。
同时，这些定理也在实际生活和工程中发挥着重要作用。
通过学习和理解这些定理，我们可以更好地理解和应用菱形几何学。
第七讲、菱形的性质和判定
第七讲：菱形的性质和判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
几何语言表示为: 口ABCD且AB=AD(任一组邻边相等)口ABCD是菱形2.菱形的性质：（1）四边都相等；（2）两组对角相等；（3）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。
例1：在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF．例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．3.菱形的判定方法（1）用定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。
例3：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于 G，交AD 于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形。
例4：已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．例6：如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．例7（真题2014-2015期中）：如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120∘,点E. F同时由A. C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值例8（真题2014-2015期中）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
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丹东市第二十四中学 1.1 菱形的性质与判定 第一课时
主备：曹玉辉 辅备：杨会、吴玉娟 审核： 2014年8月7日 一、学习准备：
1、 叫做平行四边形
2、平行四边形的对边 ，对角 ，邻角 ，对角线
3、一组对边 的四边形是平行四边形，两组对边分别 的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是 。
两条对角线 的四边形是平行四边形。
学习目标：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1和性质2 3.会用这些性质进行有关的论证和计算 三、自学提示： 1、自主学习：
叫做菱形。
菱形是 的平行四边形。
2、合作探究：
例1：已知四边形ABCD 是菱形，且AD=BC ，求证四边相等。
性质1： 例2：已知四边形ABCD 是菱形，求证AC ⊥BD 。
性质2： 例3：已知四边形ABCD 是菱形，求证AC 、BD 各平分一组对角。
性质3：
例4：在菱形ABCD 中，已知AC=6，BD=8，边上的高是4.8，求菱形ABCD 的面积。
性质4：
注意，性质5：菱形具有 的一切性质。
思考：菱形具有而平行四边形不一定具有的性质有哪些？
菱形是 图形，对称轴有 条，即两条 所在的直线。
四、学习小结：这节课你有哪些收获和体会？
O
D C B
A
五、夯实基础：
1、（1）菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 ，面积为 。
（2）在菱形ABCD 中，已知∠ABC=60°,AC=4，则AB= 。
（3）菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________． （4）已知菱形的面积等于80cm 2
，高等于8cm ，则菱形的周长为 . （5）已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ：∠ABC ＝1：2，则BD= cm.
（6）在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则∠EAF 等于（ ）A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
（7）菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（ ） A ．相等 B ．互相垂直且不平分 C ．互相平分且不垂直
D ．垂直且平分
（8）已知菱形的周长为20cm ，一条对角线长为5cm ，求菱形各个角的度数．
六、能力提升：
1、已知菱形ABCD 的边长为2 cm,∠BAD ＝120°对角线AC 、BD 相交于点O ，试求出菱形对角线的长和面积．
2、如图，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．
布置作业：。