课题学习 镶嵌

的四个内角的和，它们的和为360º，且相等的边
互相重合。
友情归纳二
（1）所有的三角形和 四边 形 都可以进行单一的平面镶嵌。
（2）镶嵌平面图案需要的条 件：能否用几个形状、大小 完全相同的图形不留空隙、不
重叠地镶嵌一个平面，其关键
是看它的各个内角在组合过程 中能否构成一个 360度。 （拼接在同一个点的各个角 的和恰好等于360度。）
（2）“360°÷ 正n边形的内角度数 ＝ 正整数”时，正多边形可以进行单一平面镶
嵌。
13 2
友情提醒：
一个正多边形的顶点落在另一个多边形的 边上的这种情况，我们不做讨论。
Shuxue
做一做
（1）用形状、大小完全相同的任意三角 形能否镶嵌图案？
在镶嵌过程中， 观察每个拼接点处 有几个角？它们与 这种三角形的三个 内角有什么关系？
2、商店出售下列形状的地砖：①正方形②长方形③正五 边形④正六边形，若只能选购其中一种地砖镶嵌地面，可 供选择的地砖有（ ）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4、用三块正多边形的木板铺地，拼在一起相交于一点的 多边形完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块 木板的边数应是（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
A．3，2或2，3
B．2，3或4，1
C．4，1或2，2
D．1，4或2，3
7、一个多边形截去一个角后，形成的多边形内角和为2520°，则
原多边形是（ ）
A．十五边形
B．十五边形或十六边形
C．十六边形
D．十五边形或十六边形或十七边形
8、一幅美丽的图案，在某个顶点出由四个边长相等的正多边形镶
嵌组成，其中的三个分别是：正三角形，正四边形，正六边形，那
么另外一个为（ ）
A．正3角形 B．正4边形 C．wenku.baidu.com5边形 D．正6边形
Shuxue
1.本节学习的数学知识 2.通过本节学习你的收获 3.你学习中还存在的问题
Shuxue
小结
再
希望同学们: 关注身边的数学 关注数学中的美
台州市书生中学朱仁江制作
见
2 31
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
1
3 3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
23
1
3
1
2
任
意
3
三
1
2
角
形
的
镶
嵌
∴2(∠1+∠2+∠3)=360° 任意全等的三角形能镶嵌 ,在每个拼接点处有六个
角，而这六个角和恰好是这个三角形的内角和的两倍， 也就是它们的和为360º，且相等的边互相重合。
Shuxue
做一做
思一思
单独用同一种平面图形如果不能镶嵌,用两 种或者两种以上平面图形能不能镶嵌呢?
∵ 60°×3+90°×2=360°
试一试 ∴ 当60°●X+90°●Y=360°时，
X=3，Y=2 (1)用边长相等的正三角形和正方形能不能镶嵌图案呢？
Shuxue
Shuxue
试一试
(3)用边长相等的正三角形和正六边形能不能镶嵌图案呢？
Shuxue
试一试
(6)用边长相等的正方形和正八边形能不能镶嵌图案呢？
∵ 90°×1 + 135°×2=360°,
∴ 当90°●X+135°●Y=360°时，X=1，Y=2
正三角形、正方形、正六边形的镶嵌
正五边形与“星”的镶嵌
正 五 边 形 、 菱 形 的 镶 嵌
·
希 特 丢勒 1世纪5
艺 术 家 阿 尔 布
(1)正三角形
(2)正四边形
想一想 （3）正五边形可以镶嵌图案吗？
啊!拼不了啦,为
什么呢?你能说
13
2
说道理吗?
∠1+∠2+∠3=?
想一想 （4）正六边形可以镶嵌图案吗？
Shuxue
友情归纳一
（1）只用一种正多边形 可以进行平面镶嵌，
且只有正三角形、正四边形和正六边形能
够进行一种正多边形的平面镶嵌。
雷
正六边形、梯形的镶嵌
友情归纳三
用几种不同边数的正多边形适当组合 可以 进行平 面镶嵌，满足条件是在同一顶点处的 内角和是360°。
友情提醒一：虽然108°×2+ 144°×1=360°, 但是正五边形和正十边形不可以镶嵌.
友 情 提 醒 二 ：
练一练
1、在下列四组多边形地板砖中，①正三角形和正方形； ②正三角形和正六边形；③正六边形和正方形；④正八边 形与正方形，将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的 是（ ）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
中间空缺 处应补上什
么图形？
中间空缺 处应补上哪
种图形？
Shuxue
学一学 平面镶嵌
用形状相同或不同的平面封闭图形， 把一块地面、墙面既无缝隙，又不重叠地 全部覆盖，在数学中叫做平面镶嵌.
注意：各种图形拼接后要既无缝隙， 又不重叠.
利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案
想一想
仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多边形能单 独镶嵌成一个平面图案？
练一练
5、用正三角形与正方形铺满地面，设在一个顶点周围有m个正三
角形，n个正方形，则m、n的值为（ ）
A．m＝1，n＝5
B．m＝5，n＝3
C．m＝2，n＝3
D．m＝3，n＝2
6、建筑设计师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备用边长相
同的正三角形与正六边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，
正三角形、正六边形的个数分别为（ ）
Doodle赏析： 作为一个版画家，埃舍尔的作品 大多为黑白素描，因此Logo也是黑白 的，没有使用任何彩色。两个o互相 伸出一只手去画对方，则是完全参照 了埃舍尔代表作之一的《Drawing hands》。
好漂亮的地板!这是 怎么铺设的?一点空隙 也没有.
中间空缺 处应补上什
么图形？
∵ 60°×4 + 120°×1=360°, 60°×2+120°×2=360°
∴ 当60°●X+120°●Y=360°时， (1) X=4，Y=1 (2) X=2，Y=2
Shuxue
试一试
(5)用边长相等的正方形和正六边形能不能镶嵌图案呢？
∵当90°●X+120°●Y=360°时，X，Y不能取正整数 ∴用边长相等的正方形和正六边形不能镶嵌图案
（2）用形状、大小完全相同的任意四边 形可以镶嵌图案吗？
在镶嵌过程 中，观察每个拼 接点处的四个角 与这种四边形的 四个内角有什么 关系？
2 34
1 43
1
2
2 34 1
1 43 2
因为
∠1+∠2+∠3+∠4=360°
任
4
3
1
2
4
3
1
2
意 四
边
形
的
镶
任意全等的四边形可以镶嵌，在每个拼接点 嵌
处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形
7.4 课题学习 镶嵌
Shuxue
图案欣赏
想一想
观察以下图案，这些图形在拼接时有 什么特点?
Shuxue
埃舍尔的作品
Shuxue
毛瑞特斯·柯奈利斯·埃舍尔
(Maurits Cornelis Escher
1898.6.17-1972.3.27)
荷兰画家。他的画除了充满艺术 的本质之外，更暗藏着不少数学内容， 有无限、对称、不可能物件、密铺平 面和多面体等，十分耐人寻味。不少 科学家还将其作品作为严肃的论文主 题进行剖析和研究。他的作品也被称 为“不可能存在的存在”。