北师大版八年级下因式分解、分式与分式方程知识点(上传版)

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北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程串讲课件

A
【例1】下列各式中哪些是整式？哪些是分式？
b (1) , (2)2a b 2a
x 1 1 x y (3) (4) xy 4 x 2 4
2
二．分式有意义，无意义或等于零的条件
1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 分式有意义分式无意义分式的值为零分母不等于零分母等于零
【练2】(1)当x取何值时，分式
(2)当x取何值时，分式 x 3 的值是负数？解(1) 由题意,得
x 1 的值为正数？ x2
x5
x 1 0 x 1 0 ① 或 ② x 2 0 x 2 0 解不等式组①，得x>1，解等式组②，得x<-2 x 1 所以当x>1或x<-2时，分式的值为正数. x 2 x 3 0 x 3 0 (2) 由题意,得 ① 或 ② x 5 0 x 5 0
x 2 的值为零。 2x 1 4、已知，当x=5时，分式 2 x k 的值等于零， 3x 2 则k =-10 。
⑵ 当x =2 时，分式
三．分式的基本性质
1. 2. 复习分数的基本性质及约分，通分。分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 a am am 即： b bm bm
分子为零分母不等于零
分式的值大于零分子分母同正或同负分式的值小于零分子分母异号（两类）分式的值等于1 子=母且母≠0 分式的值等于-1 子+母=0且母≠0 分母是含有字母的整式，只有其中的字母取满足上述各条件时，对应的结论才成立。
【例2】
（1）当 a=1，2时，分别求分式的值；（2）当x取什么值时,下列分式有意义?

北师版八年级下册数学第5章分式与分式方程异分母分式的加减法

(n≥3且n为
整1数)＋，其1结＋果为1__＋____＋_____1____． 1 3 2 4 3 5 n(n＋2)
3n2＋5n 4(n＋1)(n＋2)
知1－练
感悟新知
知识点 2 分式加减的应用及分式混合运算
知2－练
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是平路，骑车速度是2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、 2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么 (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
知1－讲
特别解读：通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
感悟新知
例1 计算：
(1) (32) (3a) 15 ; a 5a
1 1; x3 x3
知1－练
2a 1
a2
4
a
. 2
解：(1) 3 a 15 15 a 15 15 a 15 a 1 ;
(2)分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
课堂小结
异分母分式的加减法
某学生化简分式出1现了＋错误1 ，解答过程如下：
原式
x＋1 x2－1
＝（x＋1）1（x－1）＋（x＋1）2（x－1）(第一步)
＝（x＋1）1＋（2 x－1）(第二步)
＝
3 x2－1
.(第三步)
课堂小结
异分母分式的加减法
C．D.
－x x＋2
x x－ 2
知1－练
感悟新知
3. 计算的结a2＋果2是ab(＋b2 －) b
A
a2－b2 a－b

北师大最新版八年级下册数学知识点

北师大版八年级下册数学考试大纲第一章三角形的证明一、全等三角形的判定及性质※1 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等※2 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）.②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．※3. 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）．※4. 等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 °；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.判定定理：(1) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形.三. 直角三角形※1. 勾股定理及其逆定理http://w ww.xk b1. com如果三角形的三边长a、b、c 满足关系 a 2 b 2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41※2. 含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. ※3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．②直角三角形的全等判定方法，HL 还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有 5 种判定方法．四. 线段的垂直平分线※1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.※2. 三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.五. 角平分线※1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.※2. 三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这个点叫内心六．多边形的内角和与外角和：任意n 边形的内角和为(n2) 1800（n ≥3）；任意n 边形的外角和为360 0第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质, 并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上( 或减去) 同一个整式, 不等号的方向不变。

新北师大版八年级数学下册知识点总结

新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）对应边相等，对应角相等二、等腰三角形的性质和判定：有两边相等，底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线互相重合等边三角形的各角相等，每个角都等于60°判定方法：等角对等边三、直角三角形的性质和判定：两锐角互余直角边平方和等于斜边平方锐角等于30°的直角三角形，直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半判定方法：三边平方和相等四、线段的垂直平分线和角平分线：垂直平分线上的点到两个端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等（外心）角平分线上的点到两边距离相等三角形三条角平分线相交于一点，这个点到三条边的距离相等（内心）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章主要介绍一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、性质和解法。

一、一元一次不等式的概念和性质：形如ax+b0）的不等式称为一元一次不等式解不等式的基本方法是移项、化简、分段讨论不等式的解集可以用区间表示二、一元一次不等式的解法：通过移项将不等式化为ax）b的形式根据a的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况三、一元一次不等式组的概念和性质：形如ax+by）和dx+ey>f（或<）的不等式组称为一元一次不等式组解不等式组的基本方法是联立、消元、分段讨论不等式组的解集可以用平面区域表示四、一元一次不等式组的解法：通过联立将不等式组化为标准形式根据系数的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况总之，本章内容涵盖了三角形的证明和一元一次不等式及其组的解法，是初中数学中重要的基础知识。

定义：不等式是用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子。

基本性质：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

北师大版八年级下册数学第五章分式与分式方程(知识点)

第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。

如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。

分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。

3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。

字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。

通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。

北师大版八年级数学下册课件：第五章《分式与分式方程》复习

——5.4 分式方程
学习目标（1分钟）
1.能正确解分式方程，会验根。
2.理解分式方程增根的含义，能运用增根解决分式方程中的相关问题。
3.能运用分式方程解应用题。
自学指点1（2分钟）
1.解方程：x 1
3
x 1 ( x 1)( x 2)
思路分析：解分式方程须第一通过去分母将其转化为整式方程来解，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后要检验。
A. 48 48 9 x4 x4
B. 48 48 9 4 x 4 x
C. 48 4 9 x
D. 96 96 9 x4 x4
2.某工厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按
时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应
自学检测3（5分钟）
1.A、B两地相距48km,一艘轮船从A地顺流行至B地，又立即从
B地逆流返回A地，共用去9h，已知水流速度为4km / h，若设该
轮船在静水中的速度为xkm / h，则可列方程为 A
x2 1
下列说法中，
不正确的是
D
A.方程两边分式的最简公分母是( x 1)(x 1)
B.两边都乘以( x 1)(x 1)得2( x 1) 3( x 1) 6
C .解这个方程，得 : x 1
D.原方程的解为x 1
经检验，x=1是原方程的增根，故原分式方程无解
x1 A.1 B. 1 C. 1 D.0
2.若方程 (x

北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程说课教学课件复习

3
2
= ，分式无意义
0
三个条件
1.分式无意义的条件：
分母等于零
2.分式有意义的条件：
分母不等于零
3.分式的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零
+2
−
例3．已知分式
，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.
求a＋b的值．
解： ∵ 当x＝1时，分式无意义，
∴ 1－a＝0，a＝1.
(2)解方程,求出所含字母的值.
(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母
为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去.
(4)写出答案.
巩固练习
变式训练
下列判断错误的是 (
D )
2
A.当a≠0时,分式 a有意义
3a - 6
B.当a=2时,分式 2a + 1的值为0
a-2
C.当a>2时,分式
的值为正

0;
2a 1 2 ( 1) 1
当a=-1时
，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义. 1
a .
由分母2a-1=0，得
2
所以，当
1
a 1
a
2 时，分式 2a 1 有意义.
巩固练习
变式训练
已知分式
x 1
有意义，则x应满足的
( x 1)( x 2)
（2）当x = －0.4时，
课堂检测
基础巩固题
3.下列分式中,无论x取何值,分式总有意义的是 (
1
A. 2
5x
1
B. 2
x +1
1
C. 3

8年级下册数学北师大版第5单元复习课件

最简分式的定义分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：2a b 3 ，求
a 2b 14
a2 a2
b2 b2
的值.
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可
得 a 4 b ，代入约分即可求值.
5
解：∵
2a b 3 ，
a 2b 14
∴a 4b
5
.
∴
( 4 b)2 5
针对训练
1.若分式 1 无意义，则x 的值 -3 .
x3 2.若分式 a 2 的值为零，则a的值为 2 .
a2
考点二分式的性质及有关计算
x 例2 若把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
1 6
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第
4
一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
解得 x=4.
600 x
600 5x
30.
4
经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意.

(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合

一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。

北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程教学说课复习课件

②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
探究新知
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎
样的方程？
1400 1400

9
x
2.8 x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎
样的方程？
1400
1400
2.8
y
y9
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号
1. 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式
方程的基本思路和解法.
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比
乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车
的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90
60
=
30 + 30 −
方程各分母的最简公分母是：(30+x)(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
x=6是原分式
90(30-x)=60(30+x)，
成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计
划多30公顷；提前4个月完成原任务.
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.

北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程研讨说课复习课件巩固

90 60 30+x 30 x
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x). 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
检验：将x=6代入原分式方程中，左边=
5 2
=右边，
因此x=6是原分式方程的解.
探究新知
结论解分式方程的基本思路将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即
北师大版八年级数学下册
5.4 分式方程第2课时课件Fra bibliotek导入新知
1.还记得什么是方程的解吗？使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.二元一次方程组呢？加减消元法、代入消元法
转化
二元一次方程组
一元一次方程
连接中考
（2020·海南）分式方程
x
3
2
1
的解是
(
C
)
A. x=-1 C. x=5
B. x=1 D. x=2
课堂检测
基础巩固题
1.关于x的方程
2ax 3 ax
3 4
的解为x=1,则a=(
D
)
A. 1
B. 3
C. -1
D. -3
2.关于x的分式方程
7x x 1
+5=
2m 1 x 1
有增根,则m的值为
x+5=10
结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.

北师大版八年级下因式分解、分式与分式方程知识点(上传版),推荐文档

因式分解一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形：整式的乘积m(a b c) 因式?分解ma mb mc式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式．二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．三、公式法平方差公式：a2 b2 (a b)( a b)①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a2 2ab b2 (a b) 2a2 2ab b2 (a b)2①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3 a b3 (a b)(a2ab b2)3 a b3(a b)(a2ab b2)(a b)3 3 a3a2b3ab2;b3(a b)3a33a 2b3ab2b3(a b c)2a2 b2c22ab 2ac 2bc四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式ax bx c ,若可以分解，则一定可以写成(a i x G)(a2X C2)的形式, 它的系数可以写成aiC1，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a2 C22a, b, c,使得：qa2a, c1c2c, a1c2a2c1b, x (a b)x ab (x a)(x b).若b2 4ac不是一个平方数，那么二次三项式ax2 bx c就不能在有理数范围内分解 .五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式.一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子△叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：①分式的分母中必然含有字母；②分式的分母的值不为0；③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.二、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意三、分式的值为零四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是 m 0;②强调同时”分子分母都要乘以或者除以同一个非零”的数字或者整式;③分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 五、分式的乘除分式的乘法:分式的除法:六、分式的乘方整数指数幕运算性质:①a m a上述性质用公式可表示为： a ,- b bm b 电卫(m 0).b m义.如：分式1 ,当x 0时，分式有意义；当xx 0时，分式无意义.分式的值为零时，必须满足分式的分子为零,且分式的分母不能为零，注意是同时”分式的乘方:(b )n a a a L - b4b 砂 n 个 64 7个雄n HLf n 为正整数). 14 23 b 个n 为整数）； ②(a m )n n 为整数）；③（ab ）n a n b n （n 为整数）；④a m n m n /a a (a 0， m 、 n 为整数）.负整指数幕：一般地，当n 是正整数时，a n 丄（a a0)，即 a n ( a 0）是a n 的倒数. 七、分式的加减运算法则同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减，空异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式再加减, ad bc ad bcbd bd bd最简公分母：确定最简公分母的一般步骤:①取各分母系数的最小公倍数；②所出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的. 在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商．八、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在九、分式方程及其求解分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程求解步骤：①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；②解整式方程，得到x 具体的值；③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立．十、分式方程应用题分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．。

北师大版初二数学下册知识点归纳

【导语】学会整合知识点。

把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡⽚，会让你的⼤脑、思维条理清醒，⽅便记忆、温习、掌握。

同时，要学会把新知识和已学知识联系起来，不断糅合、完善你的知识体系。

这样能够促进理解，加深记忆。

下⾯是为您整理的《北师⼤版初⼆数学下册知识点归纳》，仅供⼤家参考。

北师⼤版初⼆数学下册知识点归纳篇⼀第⼀章分式 1分式及其基本性质分式的分⼦和分母同时乘以(或除以)⼀个不等于零的整式，分式的只不变 2分式的运算 (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，⽤分⼦的积作为积的分⼦，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分⼦、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分⼦相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3整数指数幂的加减乘除法 4分式⽅程及其解法第⼆章反⽐例函数 1反⽐例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两⽀的增减性相同; 2反⽐例函数在实际问题中的应⽤第三章勾股定理 1勾股定理：直⾓三⾓形的两个直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅ 2勾股定理的逆定理：如果⼀个三⾓形中，有两个边的平⽅和等于第三条边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

第四章四边形 1平⾏四边形性质：对边相等;对⾓相等;对⾓线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形; 两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形; 对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形; ⼀组对边平⾏⽽且相等的四边形是平⾏四边形。

推论：三⾓形的中位线平⾏第三边，并且等于第三边的⼀半。

2特殊的平⾏四边形：矩形、菱形、正⽅形 (1)矩形性质：矩形的四个⾓都是直⾓; 矩形的对⾓线相等; 矩形具有平⾏四边形的所有性质判定：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形;对⾓线相等的平⾏四边形是矩形; 推论：直⾓三⾓形斜边的中线等于斜边的⼀半。

北师大版数学八下知识点总结

北师大版数学八下知识点总结一、三角形的证明。

1. 等腰三角形。

- 性质：等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

- 判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

2. 等边三角形。

- 性质：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都等于60°。

- 判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3. 直角三角形。

- 性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理，即a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边）；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

- 判定：如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）；有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

4. 线段的垂直平分线。

- 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

- 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5. 角平分线。

- 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

- 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

二、不等式（组）1. 不等式的基本性质。

- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如果a > b，那么a± c>b± c。

- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a > b，c>0，那么ac > bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。

- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a > b，c < 0，那么ac < bc（或(a)/(c)<(b)/(c)）。

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程1 第2课时分式的基本性质

运用分式的基本性质应注意什么?
(1) “ 都 ”：分子和分母是同时乘或除以某个整式，而不是只有分子或分母单独进行.
(2) “ 同一个 ”：分子和分母都乘或除以同一个整式，该整式是同一个.
(3) “ 不为 0 ”：时刻注意分母不等于零.
2 分式的约分
想一想：中分数约分关键的是什么？
24 ＝ 2
ac
2
x yy xy2 ;
解： (1) 2bc 2b .
ac a
3
x2
x2 xy 2xy
y2
;
4
m2 m2
m. 1
(2)(x y)y xy2
x y. xy
(3) x2 xy x2 2xy y2
x(x y) (x y)2
x. xy
(4) m2 m m2 1
m(m 1) (1 m)(1 m)
m. m1
新知一览
认识分式分式的乘除法
分式分式的加减法
分式方程
分式的有关概念分式的基本性质同分母分式的加减异分母分式的加减分式的混合运算分式方程的概念及列分式方程分式方程的解法分式方程的应用
第五章分式
5.1 认识分式
第2课时分式的基本性质
思考1：下列分数哪两个之间是相等的？并说出理由.
上述性质可以用等式表示为：
b a
b m ，b a ma
b a
m m (m ≠ 0).
其中 a，b，m 是整式.
单项式或多项式
典例精析
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) b by (y 0) ; 2x 2xy
(2) bx b . ax a
解：(1) 因为 y ≠ 0 ，所以 b b y 在例by1 ((2y)中，0)为； 2x 2x y 什么2xyx≠0 ?

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程课件

X=-3
(4) X2 -1 X2 +2x+1 X=1
6.当x为何值时,分式 2x (x-2) 5x (x+2)
(1) 有意义
(2) 值为 0
X≠0且x≠-2
X=2
7.要使分式 -2 的值为正数,则x的取值范围是 X>1 1-x
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
依题意得：
180
240
=
x
x5
请完成下面的过程
甲：15 乙：20
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
(1)
4 3
x y
y 2x
3
ab3 5a2b2 (பைடு நூலகம்) 2c2 4cd
4
2
2
x
1
解：原方程可化为 1 4x 2 1
NNoox 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x 2)(x 2) ，并整理得；
IImmaaggee x2 3x2 0 解得 x1 1, x2 2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根
∴原方程的根是x=1
例2
已知
x3 (x 2)2
1.约分：把分子、分母的最大公因式(数)约去。 2.通分:
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。

北师大版初二数学下册分式与分式方程知识点梳理

第五章分式与分式方程复习总结第一课时知识点梳理肇州三中黄国庆教学目标1•将本章知识点形成知识脉络。

2. 培养学生如何建立完整的知识体系的能力。

教学重点1. 分式的概念及其基本性质。

2. 分式的运算法则。

3. 分式方程的概念、解法。

教学难点分式的运算及分式方程的解法.教学过程一、知识点梳理：1. 分式的定义：如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。

B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母2）分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。

3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示A^C I A-C其中A B、C为整式（C 0）B BC B B C注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C M0,以及隐含的B M0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母4. 分式的运算:1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘a c ac a c ad ad■b d bd b d be be3）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b a b a c ad be ad be c c c ，b d bd bd bd5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。

北师大版八年级数学下册同步精品第五章分式与分式方程(单元小结)

a(a 2)
【解析】原式 a 1 a2 4
a2 4a 4 a2 1
1 a(a 2)
a 1 (a 2)(a 2) (a 2)2 (a 1)(a 1)
a 1 (a 2)(a 1)
考点专练
【例5】.计算： 2 n 1 =
.
n 1 n 1
4.最简公分母的确定方法：定字母因式：分母中所有字母因式都取；定次数：同一字母因式的最高次。
5.约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
知识专题
四、分式的乘除：
1.分式乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
用符号语言表达： a c ac b d bd
新课标北师大版八年级下册
第五章分式与分式方程
单元小结
本章知识架构
实列式际
分式
类比分数性质
分式的基本性质
类比分数计算
分式运算
问题
列方程
分式方程
去分母
整式方程
实际问题的解
分式方程的解检验整式方程的解
知识专题
一、分式的概念： 1.定义：一般地,用A、B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式. 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母对任意一个分式，分母都不能为零
①分子分母都是整式 2.分式的概念要点
②分母中含有字母 ③分母不能为零
知识专题
3.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0
4.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0 A
5.分式 B > 0 的条件: A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 分式 A < 0 的条件: A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0 B

北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程教学说课复习课件

议一议
在化简
5 xy 20 x2 y
时，小颖和小明出现了分歧.
5xy 5x 20x2 y 20x2 .
5 xy
5 xy
1.
20x2 y 4x 5xy 4x
你对他们两人的做法有何看法？与同伴交流. 一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
知识要点
最简分式分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
例2. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分
母的各项系数都化为整数.
5x 2y
0.5x 1 y
⑴4
3x
3 1
y
;
⑵
3.
0.25x 0.2 y
43
5x 2y 解：(1)根据分式的基本性质，将 4 3 的分子与分母同乘
12，得
15x 8 y 9x－4 y
.
3x 1y 43
0.5 x
(2)根据分式的基本性质，将
练习1 化简（1） 14mn 2k 4mn
x y
（2）x y3
解： 7nk 2mn 2 2mn
1x y 解： x y2 x y
7nk 2
1
x y2
约分注意事项
(1)依据：分式的基本性质
(2)关键：确定分式分子与分母的最大公因式
(3)结果：最简分式或整式
a 思考下列两组式子的值与有什么关系？
y的
x y
x
和y
都扩大两倍,则分式
的值( B )
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
4.若把分式
xy x y
中的x 和
y
都扩大3倍,那么分式
的值( A ).
A．扩大3倍 B．扩大9倍