复数章节教案
7.2复数的四则运算教案
7.2复数的四则运算教案《复数的四则运算》教案：教学目标：1. 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义。
2. 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念。
教学重点：1. 复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
2. 加、减运算的几何意义。
教学难点：1. 加、减运算的几何意义。
教学过程：1. 复习准备：与学生一起复习复数的定义及其表示方法。
2. 新课导入：通过问题导入，如“两个复数的和如何计算？”、“复数的加减法与实数的加减法有什么相同和不同？”等，引出复数的四则运算。
3. 新课讲解：（1）复数的加法运算：将两个复数相加，得到一个新的复数。
加法可以看作是向量的和，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解加法运算的几何意义。
（2）复数的减法运算：将两个复数相减，得到一个新的复数。
减法可以看作是向量的差，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解减法运算的几何意义。
（3）复数的乘法运算：将两个复数相乘，得到一个新的复数。
乘法可以看作是向量的叉积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解乘法运算的几何意义。
（4）复数的除法运算：将两个复数相除，得到一个新的复数。
除法可以看作是向量的点积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解除法运算的几何意义。
4. 课堂练习：让学生进行一些简单的复数四则运算练习，并让他们解释运算结果的几何意义。
5. 小结：与学生一起回顾复数的四则运算及其几何意义，强调各部分内容的重要性及注意事项。
6. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意结合图形的解释，让学生更好地理解复数的四则运算及其几何意义。
同时，要关注学生的理解情况，及时调整教学策略，确保学生掌握相关内容。
初中名词复数英文教案
初中名词复数英文教案一、教学目标：1. 让学生掌握名词复数的变化规则。
2. 让学生能够正确运用名词复数表达名词的复数形式。
3. 提高学生对英语名词复数的认知和运用能力。
二、教学内容：1. 名词复数的变化规则：a. 一般情况下，在名词的末尾加上“-s”或“-es”来构成复数形式。
b. 以“-o”结尾的名词，在其后加上“-es”来构成复数形式，如：potato → potatoes。
c. 以“-s”或“-sh”结尾的名词，在其后加上“-es”来构成复数形式，如：bus → buses，fish → fishes。
d. 以“-th”结尾的名词，在其后加上“-s”来构成复数形式，如：math → maths。
e. 有些名词的复数形式不规则，需要特殊记忆，如：child → children，man → men，woman → women。
2. 名词复数的运用：a. 使用名词复数来表示多个相同的事物或人，如：two apples，three students。
b. 使用名词复数来表示职业、学科、国家等，如：teachers，mathematics，England。
c. 使用名词复数来表示计量单位，如：two kilograms，five meters。
三、教学步骤：1. 引入：通过展示一组单数名词图片，让学生猜测它们的复数形式，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解名词复数的变化规则，并通过例词进行演示。
3. 练习：让学生分组练习，每组选择一组单数名词，尝试将其变为复数形式，然后互相检查、纠正。
4. 应用：让学生运用所学知识，将句子中的单数名词改为复数形式，如：“She has a book.” → “She has two books.”5. 拓展：讲解一些不规则名词复数的例子，让学生特殊记忆。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调名词复数的重要性。
四、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，了解他们对名词复数的掌握情况。
初中名词复数复数教案
初中名词复数复数教案一、教学目标：1. 让学生掌握英语名词复数形式的构成规则；2. 培养学生正确运用名词复数形式进行表达的能力；3. 提高学生对英语语法的认识和运用水平。
二、教学内容：1. 英语名词复数形式的构成规则；2. 常见的不规则变化名词复数形式；3. 名词复数形式的运用。
三、教学重点与难点：1. 英语名词复数形式的构成规则；2. 常见的不规则变化名词复数形式；3. 名词复数形式在实际语境中的运用。
四、教学方法：1. 采用任务型教学法，让学生在实践中掌握名词复数形式的构成规则；2. 运用归纳法，引导学生总结不规则变化的名词复数形式；3. 利用情景教学法，培养学生正确运用名词复数形式进行表达的能力。
五、教学步骤：1. 导入：引导学生复习单数名词，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解英语名词复数形式的构成规则，如：一般在名词后加-s或-es。
3. 示例：展示一些单数名词，引导学生将其变为复数形式，如：cat -> cats，bus -> buses。
4. 练习：让学生分组练习，互相纠正错误，巩固所学知识。
5. 总结：引导学生总结不规则变化的名词复数形式，如：child -> children，mouse -> mice。
6. 应用：创设情景，让学生在实际语境中运用名词复数形式进行表达，如：描述家庭成员、学校里的教室、班级等。
7. 拓展：引导学生思考名词复数形式在实际生活中的应用，如：购物、点餐等场景。
8. 作业：布置课后作业，要求学生运用所学知识，编写一段关于动物的短文，尽量使用名词复数形式。
六、教学反思：本节课通过任务型教学法、归纳法和情景教学法，让学生在实践中掌握名词复数形式的构成规则，总结不规则变化的名词复数形式，并能在实际语境中运用。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时纠正错误，提高学生的语法水平。
同时，要注重拓展学生的思维，将所学知识与实际生活相结合，提高学生的语言运用能力。
复数的四则运算教案
复数的四则运算教案篇一：《复数代数形式的四则运算》参考教案1 / 42 / 43 / 44 / 4篇二：复数代数形式的四则运算-教案教学设计流程教学过程一、导入新课：复数的概念及其几何意义；二、推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设Z1?a?bi,Z2?c?di是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i 2、复数的加法运算律: 交换律：Z1?Z2?Z2?Z1结合律:：Z1?Z2?Z3?Z1?(Z2?Z3) 3、复数加法的几何意义：设复数Z1?a?bi,Z2?c?di，在复平面上所对应的向量为OZ1、1、2，即1、2的坐标形式为1=(a,b)，2=(c,dOZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于=1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以1和OZ2 的和就是与复数(a?c)?(b?d)i对应的向量4、复数的减法运算法则：Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i，而向量Z2Z1=1-OZ2=(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以1和2 的差就是与复数(a?c)?(b?d)i 对应的向量. 三、例题讲解：例1、计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)例2、已知复数Z1?2?i,Z2?1?2i在复平面内对应的点分别为A,B，求AB对应的复数Z，Z在平面内所对应的点在第几象限？例3、复数Z1?1?2i,Z2??2?i,Z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析一：利用?，求点D的对应复数。
解法一：设复数Z1,Z2,Z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi(x,y?R)，是：=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i ??=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i ∵?，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，x11∴? ?y?2??3?x?2解得?y??1?故点D对应的复数为2－i。
教案数学高中复数
教案数学高中复数1. 理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 掌握复数的运算规则，包括加减乘除。
3. 能够利用复数进行解方程、画出复数在复平面上的表示。
教学重点：1. 复数的定义及表示法。
2. 复数的四则运算规则。
3. 复数在复平面上的表示。
教学难点：1. 复数的四则运算。
2. 复数在复平面上的表示。
教学准备：1. 复数的概念板书。
2. 复数的四则运算练习题目。
3. 复数对应的复平面图纸。
教学步骤：一、复数的定义和表示法（10分钟）1. 介绍复数的概念，解释实部和虚部的含义。
2. 讲解复数的表示方法，包括代数形式和三角形式。
二、复数的四则运算规则（20分钟）1. 讲解复数的加减法规则，提供实例进行讲解和练习。
2. 讲解复数的乘法规则，提供实例进行讲解和练习。
3. 讲解复数的除法规则，提供实例进行讲解和练习。
三、复数在复平面上的表示（15分钟）1. 讲解复数在复平面上的表示方法，包括实部、虚部和模的含义。
2. 讲解如何根据复数画出对应的复平面图形。
四、综合练习（15分钟）1. 给学生出一些综合运算的题目，让学生巩固复数的运算规则。
2. 让学生在复平面上画出所给复数的位置。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括复数的练习题和复数在复平面上的表示。
2. 提醒学生复习本节课的知识点。
教学反思：本节课主要是对高中数学中的复数进行讲解和练习，通过实例和练习让学生掌握复数的表示方法和运算规则。
同时，也让学生了解复数在复平面上的表示，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学过程中，要多与学生互动，引导学生积极思考和解决问题。
《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修
《复数的运算——复数的加法与减法》教案章节：一、复数加法与减法的基本概念二、复数加法与减法的法则三、复数加法与减法的运算步骤四、复数加法与减法的例题解析五、复数加法与减法的练习题一、复数加法与减法的基本概念1. 引入实数和虚数的概念，说明实数可以看作是虚部为0的复数。
2. 介绍共轭复数的概念，即一个复数的虚部取相反数。
3. 讲解复数加法与减法的定义，以及它们与实数加法与减法的联系。
二、复数加法与减法的法则1. 复数加法的法则：两个复数相加，保持实部实数加，虚部虚数加。
2. 复数减法的法则：一个复数减去另一个复数，等于加上这个复数的相反数。
3. 讲解复数加法和减法法则在实际运算中的应用。
三、复数加法与减法的运算步骤1. 确定两个复数的实部和虚部分别相加或相减。
2. 保持实部实数加，虚部虚数加（减）。
3. 如果需要，对结果进行简化或转换为标准形式。
四、复数加法与减法的例题解析1. 举例讲解复数加法和减法的运算过程。
2. 分析例题，引导学生运用复数加法和减法法则进行计算。
3. 讲解例题中的关键步骤和易错点。
五、复数加法与减法的练习题1. 设计不同难度的练习题，让学生巩固复数加法和减法的运算方法。
2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和指导。
3. 分析学生练习中的普遍错误，进行针对性的讲解和辅导。
六、复数加法与减法的应用1. 介绍复数在几何中的应用，如复平面上的点表示。
2. 讲解复数在物理中的应用，如交流电的相位。
3. 举例说明复数在工程和经济问题中的应用。
七、复数加法与减法的拓展1. 探讨复数加法和减法的性质，如交换律、结合律等。
2. 介绍复数加法和减法在多维空间中的应用。
3. 引入高级数学中与复数加法和减法相关的内容，如群、环、域的概念。
八、复数加法与减法的练习与评估1. 设计综合性的练习题，考察学生对复数加法和减法的掌握程度。
2. 组织课堂练习时间，让学生完成练习题。
3. 评估学生的练习成果，及时给予反馈和建议。
复数单元教案全面安排
复数单元教案全面安排一、教学目标知识与技能1. 学生能够理解复数的概念，包括实部和虚部。
2. 学生能够掌握复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
3. 学生能够将复数与笛卡尔坐标系联系起来，理解其在几何上的表示。
过程与方法1. 学生能够通过实例探究复数的性质，如共轭复数、模和辐角。
2. 学生能够运用复数解决实际问题，如电路中的电流和电压。
情感态度价值观1. 学生能够理解复数在数学和科学领域的重要性。
2. 学生能够欣赏数学的抽象美，培养对数学的兴趣和好奇心。
二、教学内容1. 复数的概念- 实数与虚数- 复数的基本形式：a + bi（a, b 为实数，i 为虚数单位）2. 复数的四则运算- 加法与减法- 乘法与除法3. 复数的性质- 共轭复数- 模（绝对值）- 辐角4. 复数在几何上的表示- 笛卡尔坐标系- 复数的几何意义三、教学安排1. 课时分配- 复数的概念：2 课时- 复数的四则运算：3 课时- 复数的性质：3 课时- 复数在几何上的表示：2 课时- 实践与应用：2 课时2. 教学过程第一阶段：复数的概念（2 课时）1. 第 1 课时：引入实数与虚数的概念，引导学生理解复数的基本形式。
2. 第 2 课时：通过实例讲解复数的加减运算，巩固学生对复数概念的理解。
第二阶段：复数的四则运算（3 课时）1. 第1-2 课时：讲解复数的加减运算，引导学生掌握运算规律。
2. 第 3 课时：讲解复数的乘除运算，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
第三阶段：复数的性质（3 课时）1. 第 1-2 课时：讲解共轭复数、模和辐角的定义及性质。
2. 第 3 课时：引导学生运用复数的性质解决实际问题。
第四阶段：复数在几何上的表示（2 课时）1. 第 1 课时：讲解复数在笛卡尔坐标系中的表示方法。
2. 第 2 课时：引导学生理解复数的几何意义，并通过实例展示其在几何中的应用。
第五阶段：实践与应用（2 课时）1. 第 1 课时：引导学生运用复数解决实际问题，如电路中的电流和电压。
高中数学复数第一题教案
高中数学复数第一题教案
主题：复数
目标：学生能够理解复数的定义、性质和运算规则，掌握复数的加减乘除等基本操作。
前导问题：请问大家知道什么是复数吗？
导入：引导学生通过实例认识复数，并说明其存在的必要性和重要性。
教学步骤：
第一步：复数的引入
通过实例引导学生了解复数的定义，解释实数空间不足以描述所有数的情况，需要引入复
数的概念。
第二步：复数的表示
讲解复数的一般形式a+bi、共轭复数、实部虚部、模与幅角等概念，并进行相关例题讲解。
第三步：复数的加减
通过实例演示复数的加减法规则，注意实部与虚部的相加减。
第四步：复数的乘法
讲解复数的乘法运算规则，包括复数的乘法法则、复数乘以实数和复数的乘法特点。
第五步：复数的除法
介绍复数的除法运算规则，讲解实数的除法与复数的除法的不同之处。
第六步：综合练习
布置一些综合习题，让学生巩固所学的知识，检验对复数的掌握程度。
小结：总结本节课的重点内容，强调复数的定义、性质和运算规则，引导学生将知识点串
联起来。
作业：布置相关的复数练习题，对学生加深对复数的理解和运用能力。
扩展：鼓励学生探索复数的其他性质和运算规律，拓展学生的数学思维和能力。
教学反思：及时总结本节课的教学效果，反馈学生的学习情况，指导下一节课的教学方向
和重点。
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修
《复数的运算——复数的加法与减法》一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）掌握复数加法与减法的运算方法；（3）能够运用复数的加法与减法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生掌握复数的加法与减法运算；（2）利用图形展示复数加法与减法运算的结果，加深学生对运算规律的理解；（3）培养学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生对复数知识的认识；（2）培养学生合作交流的能力，培养学生的团队精神；（3）通过复数运算的学习，使学生感受到数学在生活中的应用，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）复数加法与减法的运算方法。
2. 教学难点：（1）复数加法与减法运算的推广；（2）复数加法与减法在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习复数的基础知识，如复数的定义、表示方法等；（2）提问：复数能否进行加法与减法运算？引出本节课的主题。
2. 知识讲解：（1）讲解复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）示范性讲解复数加法与减法的运算方法，并通过实例进行分析；（3）利用图形展示复数加法与减法运算的结果，加深学生对运算规律的理解。
3. 课堂练习：（1）布置一些简单的复数加法与减法运算题目，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行点评，讲解正确答案的思路和方法。
四、课后作业1. 复习本节课的内容，巩固复数的加法与减法运算方法；2. 完成课后练习题，提高运用复数解决实际问题的能力。
五、教学反思2. 对学生在课堂上的表现进行评价，分析学生的学习情况；3. 根据教学反思，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
六、教学活动1. 小组讨论：让学生分组讨论复数加法与减法在实际问题中的应用，每组选取一个实例进行讲解。
2. 案例分析：选取一些生活中的实际问题，让学生运用复数加法与减法进行解答。
(完整版)复数章节教案.
【教学过程】辨析定义活动3：（1）引入虚数单位i,并规定21i=-复数的概念：形如z a bi=+这样的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部，且,a b都为实数。
并引入复数集，用大写字母C表示。
{/,,}C z z a bi a b R==+∈（2）根据复数的基本形式，对复数进一步分类。
当0b=时，a bi+就是实数，当0b≠时，a bi+是虚数，其中0a=且0b≠时称为纯虚数。
（3）复数相等的概念如果两个复数a bi+与c di+相等，则等价于a c=且b d=.并在此强调，复数一般不能比较大小。
思考：0(,)a bi ab R+=∈的充要条件是什么？（4）典型例题选讲：1．已知(21)(3)x i y y i-+=--,其中,x y R∈,求,x y.2．已知226(2)0x y x y i+-+--=,求实数,x y的值.学生通过看书，预先了解复数的概念，并在老师的引导下进一步认识复数的基本形式。
通过对复数中实部与虚部取值范围的讨论，让同学们理解复数与实数的关系。
对复数定义的更深一步理解。
通过例题的讲解，了解学生的知识掌握程度。
可以让学生先自己解答，老师再做讲解。
类比研究复数的几何意义。
（1）复数与复平面的一一对应复数z a bi=+与直角坐标系中的点(,)Z a b一一对应。
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面，简称复平面，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴（虚轴不包括原点）。
通过复数与复平面的一一对应和向量的一一对应，理解数形结合的思想，并把现在学习的新知识与以往学习的知识联系在一起。
教学过程设计师生活动设计意图类比研究（2）复数与平面向量的一一对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数一一对应，这样，我们可以用平面向量来表示复数。
复数z a bi=+与平面向量ozu u r一一对应（3）典型例题选讲已知复数22(6)(2)z m m m m i=+-++-在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
复数教案高中数学
复数教案高中数学一、教学目标1. 知识与技能：掌握复数的概念，能够进行复数的加减乘除运算。
2. 过程与方法：通过举例分析和练习巩固复数的相关知识点。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣，提高数学学习的积极性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：复数的概念和基本运算法则。
2. 教学难点：复数的乘法和除法运算。
三、教学内容1. 复数的定义和表示方法2. 复数的加减运算3. 复数的乘除运算四、教学过程1. 复数的定义和表示方法- 引导学生了解复数的定义：将形如a+bi的数称为复数，其中a和b分别是实数，i是虚数单位。
- 通过示例讲解复数的表示方法，如2+3i、-4-5i等。
2. 复数的加减运算- 讲解复数的加减运算规则：实部相加，虚部相加，结果为新的复数。
- 通过例题演练，让学生掌握复数的加减法则。
3. 复数的乘除运算- 解释复数的乘法规则：通过公式(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd，进行乘法运算。
- 教授复数的除法方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭，然后进行运算。
- 进行例题练习，让学生熟练掌握复数的乘除运算。
五、课堂练习1. 计算以下复数的和差：- (3+4i) + (5+2i)- (7-2i) - (4+3i)2. 计算以下复数的乘积和商：- (2+3i) × (1+2i)- (4-3i) ÷ (2+1i)六、作业布置1. 完成课堂练习题。
2. 熟练掌握复数的加减乘除运算方法。
3. 预习下节课内容：复数的绝对值和幂。
七、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解复数的概念，掌握复数的加减乘除运算方法。
教师应多设计实际例题，引导学生合理运用复数知识解决问题，促进学生对数学知识的深入理解和掌握。
高中数学教案《复数》
教学设计：《复数》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解复数的概念，掌握复数的表示方法（代数形式和三角形式），学会复数的基本运算（加法、减法、乘法、除法及共轭复数）。
2.过程与方法：通过实例引入、小组讨论、师生互动等方式，培养学生抽象思维能力和问题解决能力，体会复数在解决实际问题中的应用。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神和团队合作精神，理解复数在数学史和现代科技中的重要性。
二、教学重点和难点●重点：复数的概念、表示方法及基本运算。
●难点：复数乘法的几何意义、共轭复数的应用及复数除法的运算法则。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●故事导入：讲述数学家欧拉在解决三次方程根时遇到负数开平方的情况，引出复数的历史背景。
●生活实例：展示电路中的电流与电压相位差，说明复数在描述交流电中的应用，激发学生兴趣。
●提出问题：引导学生思考如何用数学工具表示并解决这类问题，自然引出复数的概念。
2. 概念讲解与表示方法（10分钟）●定义讲解：清晰阐述复数的定义，包括实部、虚部及虚数单位i。
●表示方法：介绍复数的代数形式a+bi，并通过图形展示复数在复平面上的表示（点表示法）。
●三角形式：简要提及复数的三角形式re^(iθ)，为后续学习埋下伏笔。
3. 复数的基本运算（20分钟）●加法与减法：通过图示和例题，讲解复数加减法的几何意义及运算法则。
●乘法：重点讲解复数乘法的运算法则，利用分配律和i²=-1的性质，结合图形展示乘积在复平面上的旋转与伸缩效应。
●除法与共轭复数：介绍复数除法的计算方法，强调共轭复数在除法中的作用，通过实例演示除法过程。
4. 探究与讨论（10分钟）●小组讨论：分组探讨复数在物理、工程等领域的应用实例，每组选代表分享。
●问题解决：设置几道涉及复数基本运算的实际问题，鼓励学生合作解决，增强应用能力。
●教师总结：汇总讨论成果，强调复数概念及运算的核心要点。
5. 巩固练习与反馈（15分钟）●课堂练习：设计多层次练习题，包括基础运算、综合应用及开放性问题，确保每位学生都能参与。
复数的四则运算 教案
复数的四则运算教案教案标题：复数的四则运算教案目标：1. 理解复数的定义和基本概念；2. 掌握复数的加减乘除运算规则；3. 能够在实际问题中应用复数进行计算。
教学重点：1. 复数的定义和基本概念；2. 复数的加减乘除运算规则。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则；2. 在实际问题中应用复数进行计算。
教学准备：1. 复数的定义和基本概念的教学材料；2. 复数的加减乘除运算规则的教学材料；3. 实际问题的案例材料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入复数的概念，与学生一起回顾实数的定义和基本概念；2. 提问：是否有一种数可以表示平面上的点？请举例说明。
二、概念讲解（10分钟）1. 讲解复数的定义和基本概念，包括实部和虚部的概念；2. 通过示意图和实例，帮助学生理解复数的几何意义。
三、加减运算规则（15分钟）1. 讲解复数的加减运算规则，包括实部和虚部的分别相加减；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的加减运算方法。
四、乘法运算规则（15分钟）1. 讲解复数的乘法运算规则，包括实部和虚部的相乘和相加减；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的乘法运算方法。
五、除法运算规则（15分钟）1. 讲解复数的除法运算规则，包括有理化和分子分母的相乘除；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的除法运算方法。
六、实际问题应用（15分钟）1. 给出一些实际问题的案例，要求学生运用复数进行计算；2. 引导学生分析问题，提供解决思路，并进行解答。
七、总结与拓展（5分钟）1. 总结复数的四则运算规则；2. 提出一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。
教学反思：本教案通过概念讲解、示例演算和实际问题应用等环节，全面引导学生掌握复数的四则运算规则，并能够在实际问题中灵活应用。
同时，教学过程中注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高学生的数学素养。
复数的概念精选教案
复数的概念精选教案复数的概念教案1目的要求1.掌握复数的代数形式，理解虚数、纯虚数、实部与虚部等有关复数的概念.2.理解复数相等的定义，并会应用它来解决有关问题. 内容分析1.我们知道，形如a+bi(a，b∈R.以后说复数a+bi时，都有a，b∈R)的数叫做复数.复数通常用小写英文字母z表示，即z=a+bi.把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式.复数的代数形式z=a+bi，即是与以后的几何表示、向量表示相对应，也说明任何一个复数均可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，是复数能由复平面内的点来表示的理论基础.复数的代数形式、几何表示、向量表示、三角形式及指数形式(本书不介绍)是复数的不同表示形式，它们既相互联系又各具特点.2.虚数、纯虚数、实部与虚部等概念，是复数这一章的基本概念.教学中要多举一些例子让学生判别，以加深学生理解.一些初学者对虚部(z=a+bi，b叫做z的虚部，它是一个实数)和纯虚数(z=a+bi，当a=0，b≠0时，z=bi叫做纯虚数)、零(z=a+bi，当a=b=0时，z=0)和纯虚数以及虚数(z=a+bi，b≠0时，z叫做虚数)和纯虚数等相关概念容易混淆.教学中应有意识地加以强调.3.若复数z1=a+bi，z2=c+di，则这是复数相等的定义，也就是说，它是一项规定.由这个定义可以得出一个推论：复数相等的定义是*的重要基础知识之一，它是求复数值、在复数集中解方程等的重要依据.复数相等的定义与初中学习的多项式恒等的意义在本质上是一致的，说明这一点，对学生理解这一概念是有帮助的.4.两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.因为不论怎样定义两个复数之间的一个大小关系，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：(1)对于任意实数a、b来说，ab，a=b，ba这三种情况有且只有一种成立; p="" (4)如果ab，0c，那么acbc.="" (3)如果ab，那么a+cb+c;="" (2)如果ab，bc，那么a例如，对于复数i和2i来说，显然i≠0，且i≠2i. 若定义i2i，0i，则i22i2，即-1-2，矛盾; 若定义i2i，i2，矛盾; 若定义2ii，0i，则21，矛盾; p=""若定义2ii，i0，则2i2i2，即-2-1，矛盾. p="" 因此，无论怎样定义i与2i的大小关系，都会导致矛盾.5.教科书中的两道例题相对来说比较简单，学生完全有能力通过自学弄懂.因此，教师只需对其解题方法加以概述.这里安排的另外两道例题(例3和例4)有一点难度，教学中，一是要结合简易逻辑知识讲清楚ax2+bx+c≠0的解法;二是因为初中对二元二次方程组的解法要求较低，估计学生对与例4类似问题学习起来有些困难.因此要引导学生从方程思想的高度去理解本例的解法.教学过程 1.复习提问(1)简要说明引进新数i的必要性. (2)引入新数i后，对它有哪两点规定? 2.提出复数的代数形式的概念在复习提问(2)的基础上，由i的第二条性质提出复数的代数形式的概念.这时必须说明如下两点：(1)复数的代数形式a+bi是复数的表示形式之一;(2)任何一个复数a+bi，必须由一个有序实数对(a，b)唯一确定. 第(2)点说明可为后续学习打下基础.3.提出虚数、纯虚数、实部与虚部等复数的有关概念在学生掌握复数的代数形式的基础上，提出复数的有关概念是顺理成章的事.教学中注意渗透数学中的重要思想方法——分类与讨论思想，同时结合以下实例加深对复数有关概念的理解.例1 下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么.113，--2，0，-i22例2 t取何实数时，复数z=(t2-1)+(t-1)i是(1)零? (2)纯虚数? (3)虚数?4.提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.也就是由此容易得出：这是复数这一章中最重要的基础知识之一，它是求复数值及在复数集C中解方程的重要依据.这里顺便说明，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.教科书中举例说1+i与3+5i不能比较大小，学生不易接受.教学中，可说明i与2i不能比较大小，以帮助学生初步了解，为什么说两个不全为实数的复数不能比较大小.5.布置学生阅读教科书中的两道例题6.讲解例3、例4 例3 实数x分别取什么值时，复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?分析：因为x∈R，所以x2+x-6，x2-2x-15都是实数，由复数z=a+bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值.解：(1)当x2-2x-15=0，即x=-3或x=5时，复数z是实数;(2)当x2-2x-15≠0，即x≠-3且x≠5时，复数z是虚数;(3)当x2+x-6=0且x2-2x-15≠0，即x=2时，复数z是纯虚数; (4)当x2+x-6=0且x2-2x-15=0，即x=-3时，复数z=0. 例4 求适合下列方程中的x与y(x、y∈R)的值.(1)x2+2+(x-3)i=y2+9+(y-2)i; (2)2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0.分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值.解：(1)根据复数相等的定义，得方程组??x2+2=y2+9，?x-3=y-2. 所以，x=4，y=3.(2)根据复数相等的定义，得方程组???2x2-5x+3=0，? ?y2+y-6=0.?所以，??x=32，或x=1， ??y=-3，或y=2.7.课堂练习教科书中的课后练习第1、2、3题. 8.归纳总结 (1)由学生填空：设复数z=a+bi(a，b∈R)，当________时，z为实数;当当________时，z为纯虚数;当________时，z等于零.(2)教师对“复数的概念”这一节作简明扼要的概述. 布置作业教科书习题5.1第1、3题. (洪立松陈宗炫)________时，z为虚数;复数的概念教案2教学目标(1)把握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;(2)理解并把握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;(4)通过学习-平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点是复数加法法则。
《复数的四则运算》教案
3.2《复数的四则运算》教案（1）教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学习重难点重点：复数的加、减、乘法运算 难点：复数的加、减、乘法运算 教学过程： 一、复习回顾： 1.虚数单位i 的引入； 2.复数有关概念：复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。
实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈纯虚数：0a b =⎧⎨≠⎩复数相等a bi c di +=+⇔a cb d=⎧⎨=⎩特别地，a+bi =0⇔a=b=0。
问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。
虚数不可以比较大小。
二、问题引入：我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：a b b a +=+ ab ba =()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i =-21，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 三、知识新授：1、复数加减法的运算法则：(1) 运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。
即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。
(2)复数的加法满足交换律、结合律即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
高中数学选修6复数教案
高中数学选修6复数教案教学目标：1. 了解复数的定义、形式和性质；2. 学会复数的加减、乘除运算；3. 掌握复数的幅角表示和复数的求幂；4. 熟练应用复数解决实际问题。
教学内容：1. 复数的概念和表示2. 复数的四则运算3. 复数的模和幅角4. 复数的求幂教学过程：一、复数的概念和表示1. 复数的定义和形式- 定义：形如 a+bi 的数称为复数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。
- 形式：a 是复数的实部，bi 是复数的虚部，a+bi 称为复数的标准形式。
2. 复数的性质- 复数相等：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
- 复数的加减法：按照实部和虚部分别相加减即可。
- 复数的乘法：展开式相乘，用 i²=-1 化简。
- 复数的除法：将除数乘以共轭复数，再化简。
二、复数的模和幅角1. 复数的模- 定义：复数 a+bi 的模是其与原点的距离，通常用 |a+bi| 表示。
- 公式：|a+bi| = √(a² + b²)，即复数的模是实部和虚部平方和的平方根。
2. 复数的幅角- 定义：复数 a+bi 的幅角是与实轴正向的夹角，通常用 arg(a+bi) 表示。
- 公式：tanθ = b/a，其中tanθ 是幅角θ 的正切值。
三、复数的求幂1. 复数的求幂公式- 公式：(a+bi)ⁿ = |a+bi|ⁿ(cos nθ + i sin nθ)，其中 n 是整数。
2. 复数的求幂步骤- 首先计算复数的模和幅角；- 根据公式利用三角函数计算幂。
四、实际应用1. 复数在电路分析中的应用；2. 复数在信号处理中的应用；3. 复数在几何中的应用。
教学反馈：1. 复习复数的基本概念；2. 解答学生提出的问题；3. 练习应用题，提高学生解题能力。
课后作业：1. 完成练习册中的相关习题；2. 思考复数在生活中的应用；3. 针对学生疑惑的问题做好笔记，学习和复习。
高中数学复数这节的教案
高中数学复数这节的教案【知识目标】1. 理解复数的概念和性质；2. 能够运用复数进行运算；3. 能够将复数表示为平面直角坐标系中的点；4. 能够在平面直角坐标系中表示复数运算结果。
【能力目标】1. 提高学生发散思维和抽象思维能力；2. 培养学生解决实际问题的能力；3. 提高学生数学表达能力和解决问题的方法。
【情感目标】1. 让学生认识到数学的美和奇妙之处；2. 培养学生艰苦钻研的品质和敢于探索未知的勇气；3. 注重培养学生的合作精神和团队合作能力。
【教学重点】1. 复数的基本概念；2. 复数的表示和运算；3. 复数平面坐标系中的应用。
【教学难点】1. 复数的概念和性质理解；2. 复数平面坐标系的应用和解决实际问题。
【教学过程】一、复数的引入（15分钟）1. 通过实例引入复数的概念，让学生感受到复数的奇妙之处。
二、复数的定义和性质（20分钟）1. 讲解复数的定义和性质，引导学生理解复数的加减乘除；2. 给学生一些简单的例题，让他们熟练掌握复数的运算规则。
三、复数的几何表示（20分钟）1. 阐述复数和平面直角坐标系的关系，引导学生将复数表示为平面直角坐标系中的点；2. 解释复数的几何表示和对应的几何运算规则。
四、综合运用（25分钟）1. 设计一些实际问题，让学生结合复数的概念和运算规则，解决问题；2. 引导学生探索更多复数的应用领域，培养他们解决实际问题的能力。
五、课堂总结（10分钟）1. 对本节课的重点知识进行回顾和总结；2. 引导学生发表自己的见解和思考。
【作业布置】1. 完成课堂练习题；2. 设计一个实际问题，并用复数解决；3. 阅读相关资料，扩大对复数的理解和应用领域。
【板书设计】1. 复数：a + bi；2. 复数运算规则；3. 复数的几何表示。
【教学反思】通过本节课的设计和实施，学生能够充分理解复数的概念和性质，掌握复数的基本运算规则，并能够在实际问题中灵活运用复数进行解决。
同时，通过课堂互动和合作学习，学生的主动性和创造性得到了有效发挥，教学效果得到了很好的提升。
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【教学过程】辨析定义活动3：（1）引入虚数单位i,并规定21i=-复数的概念：形如z a bi=+这样的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部，且,a b都为实数。
并引入复数集，用大写字母C表示。
{/,,}C z z a bi a b R==+∈（2）根据复数的基本形式，对复数进一步分类。
当0b=时，a bi+就是实数，当0b≠时，a bi+是虚数，其中0a=且0b≠时称为纯虚数。
（3）复数相等的概念如果两个复数a bi+与c di+相等，则等价于a c=且b d=.并在此强调，复数一般不能比较大小。
思考：0(,)a bi ab R+=∈的充要条件是什么？（4）典型例题选讲：1．已知(21)(3)x i y y i-+=--,其中,x y R∈,求,x y.2．已知226(2)0x y x y i+-+--=,求实数,x y的值.学生通过看书，预先了解复数的概念，并在老师的引导下进一步认识复数的基本形式。
通过对复数中实部与虚部取值范围的讨论，让同学们理解复数与实数的关系。
对复数定义的更深一步理解。
通过例题的讲解，了解学生的知识掌握程度。
可以让学生先自己解答，老师再做讲解。
类比研究复数的几何意义。
（1）复数与复平面的一一对应复数z a bi=+与直角坐标系中的点(,)Z a b一一对应。
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面，简称复平面，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴（虚轴不包括原点）。
通过复数与复平面的一一对应和向量的一一对应，理解数形结合的思想，并把现在学习的新知识与以往学习的知识联系在一起。
教学过程设计师生活动设计意图类比研究（2）复数与平面向量的一一对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数一一对应，这样，我们可以用平面向量来表示复数。
复数z a bi=+与平面向量oz一一对应（3）典型例题选讲已知复数22(6)(2)z m m m m i=+-++-在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
分析：第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0，则226020m mm m⎧+-<⎪⎨+->⎪⎩解决实际问题。
体会数形结合的思想。
表示复数的点所在象限的问题。
（几何问题）复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题。
（代数问题）把新学习的知识与之前学习的知识进一步融合，让学生在发现中学习，并理解知识点之间的关系，有利于对新知识的理解和旧知识的巩固。
在解决具体问题时所发现的新的数学思想方法，可以帮助同学们在今后的学习中多角度的思考问题，解答问题，有利于学生思维的拓展。
共轭复数概念：一般地，如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数。
复数z的共轭复数记作z，即(,)z a bi a b R=+∈，则z a bi=-.典型例题精讲：已知22(1)z x x i=++，且222(1)(2)x x i y x y i++=++(,)x y R∈，求这个复数的共轭复数。
教学过程设计师生活动设计意图【教学过程】 第12课时（一）导入新课：复数的概念及其几何意义； （二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定： 1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 2、复数的加法运算律: 交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量 4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？ 解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内. 点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。
即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B 。
例3、复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数。
解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x 解得⎩⎨⎧-==12y x故点D 对应的复数为2－i 。
分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解。
解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心， 于是有(－2+i )+(x +yi )=0， ∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图，通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。
（三）课堂练习：1. 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ D ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i -2. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 2i i +在复平面内表示的点在第 二 象限.4. 计算：（1）(24)(34)i i ++- = 5 （2）5(32)i -+= -2-2i（3）(34)(2)(15)i i i --++--= -2-8i （4）(2)(23)4i i i --++= 2i（四）课堂小结：复数的加法与减法的运算及几何意义 （五）课后作业：课本第112页习题A ：1、2、3、4。
例2图【第34 课时】 【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bia ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则： 利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bia ++的分母有理化得：原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘. 点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1. 例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法. 例4i43+引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性. 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i1+i⎛⎫⎪⎝⎭等于（）A．4i B．4i-C．2i D．2i-2.设复数z满足12iiz+=，则z=（）A．2i-+B．2i--C．2i-D．2i+3.复数32321⎪⎪⎭⎫⎝⎛+i的值是（）A.i-B.iC.1- D.14.已知复数z与()iz822-+都是纯虚数，求z.提示：复数z为纯虚数，故可设()0z bi b=≠，再代入求解即可.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识 .重点 .能力与思想方法 .【教学过程】动脑思考 探索新知我们首先通过一道例题来研究复数乘法运算的几何意义．例1 已知复数π26z =∠，求（1）i i z z ，；（2）在同一个坐标系内画出i z z 、与i z所对应的向量，观察它们的模与辐角之间的关系．解 （1）由于 πi=2∠，所以ππππ2πi 22()262623z =∠⋅∠=∠+=∠， π2πππ62()2()πi 6232z ∠==∠-=∠-∠． （2）在同一个坐标系内画出i z z 、与iz所对应的向量12OZ OZ OZ 、、（如图3－7）．观察图形发现，三个向量的模相等，向量1OZ 是向量OZ 绕坐标原点，沿着逆时针方向旋转π2得到的，向量2OZ 是向量OZ 绕坐标原点，沿着顺时针方向旋转π2得到的．动脑思考 探索新知设复数111222z r z r θθ=∠=∠，分别对应向量12OZ OZ 和，则12z z 对应的向量OZ 可以由向量1OZ 绕坐标原点逆时针旋转角2θ，然后再将模伸长（21r >）或压缩（21r <）成原来的2r 倍得到．这就是复数乘法的几何意义．作为特例，ϕ∠是模为1，辐角为ϕ的复数，任意复数z r θ=∠乘以ϕ∠，意义是其向量的模不变，绕坐标原点逆时针旋转了ϕ角．因此，ϕ∠叫做旋转因子．πi=2∠是一个特殊的旋转因子，复数i z 表示将z 对应的向量绕坐标原点，沿着顺时针方向旋转π2． 电学中将正弦交流电源作用下产生的电压和电流统称为正弦量．一般研究的都是同频率图3－的正弦量．因为频率相同，所以要确定电压，只要确定它的最大值m U 和初相ϕ就可以了．以电压为例，设电压sin()m u U t ωϕ=+，以它为虚部的复数为 cos()i sin()m m U U t U t ωϕωϕ=+++i()i i e e e t t m m U U ωϕωϕ+==⋅.设复数i m m U U e ϕ=，则其模是电压u 的最大值；其辐角为对应正弦量的初相位，旋转因子i etω是模为1，在复平面上以角速度ω沿逆时针方向旋转的向量，表示对应正弦量的角频率．由此看来，复数i m m U U e ϕ=的模和辐角正好能反映电压u 的最大值m U 和初相位ϕ．因此，正弦量可以用复数来表示．这种用复数来进行正弦交流电路分析计算的方法叫做相量法， 用来表示正弦量的最大值和初相的复数叫做相量．为了加以区别，表示相量时，在表示相量的大写字母上面加“· ”． 例如，sin()m u U t ωϕ=+，相应相量表示为i (cos isin )m m m m U U e U U ϕϕϕϕ==∠=+．巩固知识 典型例题例2 求下列已知电流的合成电流：1π30sin(100)3I t =+， 2π40sin(100)3I t =-.分析 两个同频率的正弦量的合成仍是正弦量，其频率不变，只是峰值及初相位与原来不同，电流12I I 和相应的相量为 πi 3130e I •=与πi()3240eI •-=.那么，我们只要求出12I I I •••=+的模和幅角，就可以求出复数I •的三角形式，从而求出合成电流I ．解 对应于电流1I 和2I 的相量分别为：πi 3130e I •=，πi()3240e I •-=则 12I I I •••=+ππii()3330e 40e-=+ππππ30(cos isin )40[cos()isin()]3333=++-+-1130(40(2222=++-35=-.于是 23536.06I =+=，tan 1354'357θθ-==-=-︒． 故1I 和2I 的合成电流I 36.06sin(1001354')t =-︒. 动脑思考 探索新知进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： （1）写出对应相量；（2）将各相量写成复数的代数形式； （3）进行复数的加、减运算；（4）将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量. 巩固知识 典型例题例3 已知电压1π)3u t ω=+，2πsin()4u t ω=-．求（1）电压的相量12U U ，；（2）12u u +．解 （1）1ππ2(cosisin )3322U =+=+，2ππcos()isin()4422U =-+-=-．（2）122i 2222U U +=++-1.4140.518i =+ 1.51(cos 207'isin 207')=︒+︒，故 12 1.51sin(2007')u u t ω+=+︒． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： 结论：（1）写出对应相量；（2）将各相量写成复数的代数形式；（3）进行复数的加、减运算；（4）将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量.*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．3（必做）；学习与训练训练题3．3（选做）。