第二章 导数与微分习题汇总

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第二章 导数与微分
【内容提要】
1.导数的概念
设函数y =f (x )在x 0的某邻域(x 0-δ,x 0 + δ)(δ>0)内有定义,当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时,相应地,函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-.若0→∆x 时,极限x
y
x ∆∆→∆0lim 存在,则称函数y =f (x )在x =x 0处可导,称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数,
记为
)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或
0|d d x x x
y =或0|d d x x x f
=
+→∆0x 时,改变量比值的极限x
y
x ∆∆+
→∆0
lim 称f(x)在x 0处的右导数,记为)(0x f +'。

-→∆0x 时,改变量比值的极限x
y
x ∆∆-
→∆0
lim 称f(x)在x 0处的左导数,记为)(0x f -'。

2.导数的意义
导数的几何意义:)(0x f '是曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义:路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。

以此类推,速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。

3.可导与连续的关系
定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导,则函数在点x 0处一定连续。

此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。

4.导数的运算
定理1(代数和求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则
v u v u '±'='±)(
定理2(积的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则
v u v u uv '+'=')(
定理3(商的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,且v (x )≠0,则
2
v v u v u v u '
-'='
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导,且)(u f y =在其相应点u 处可导,则复合函数)]([x g f y =在x 处可导,且
x u x u y y '⋅'=' 或
d d d d d d y y u
x u x
=⋅
5.基本初等函数求导公式
本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数,整理所下:
0)(='C 1
)(-='μμ
μx x
a a a x x ln )(='
x x e )e (='
a
x x a ln 1)(log =
'
x x 1)(ln ='
x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='
x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='
x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=
2
11)(arcsin x x -=
' 2
11)(arccos x x --
='
2
11)(arctan x
x +=
' 2
11)cot arc (x
+-
='
这些基本导数公式必须熟记,与各种求导法则、求导方法配合,可求初等函数的导数。

6.微分的概念
设函数)(x f y =在点x 处可导,则称函数)(x f 在x 点的导数)(x f '与自变量增量Δx 的乘积为函数)(x f y =在x 处的微分,记为
x x f y ∆'=)(d
若x y =,则Δx =d x ,即自变量的微分等于自变量的改变量,因此函数的微分可记为
x x f y d )(d '=
由x x f y d )(d '=可知,先计算函数的导数,再乘以d x 或Δx ,就得到函数的微分d y 。

7.微分的计算
由x x f y d )(d '=可知,微分的计算归结为导数的计算。

由初等函数导数的计算公式、
法则和方法,可以直接得到微分基本公式和运算法则: d()0C = 1
d()d x x
x
μμμ-=
d()ln d x
x
a a a x = d()d x
x
e e x = 1ln d(log )d a x a
x x =
1d(ln )d x x x
=
d(sin )cos d x x x = d(cos )sin d x x x =- 2
d(tan )sec d x x x = 2
d(cot )csc d x x x =- d(sec )sec tan d x x x x =⋅ d(csc )csc cot d x x x x =-⋅
d(arccos )x x = d(arcsin )x x =
21d(arctan )d 1x x x =
+ 2
1
d(arccot )d 1x x x
=-+ 微分的运算法则如下:
四则运算法则:当u 、v 可微时,
d(u ±v )=d u ±d v d(uv )=v d u +u d v d(C u )=Cd u
2
d d v u d v v
u u v -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛,(v ≠0) 复合函数的微分法则:
设函数y =f (x )可微,当x 是自变量时,x x f y d )(d '=;当x 是中间变量x =g (t )时,复合函数y =f [g (t )]的微分为x x f t g x f t t g x f t y y t d )()(d )(d )()(d d '='=''='=。

就是说,不论x 是中间变量还是自变量,函数y =f (x )的微分都可以表示为x x f y d )(d '=。

由于表达形式一致,称之为一阶微分的形式不变性。

8.微分的简单应用
由微分的定义可知,当x ∆很小时,可以用函数)(x f y =的微分d y 代替函数改变量
y ∆,误差仅为x ∆的高阶无穷小,即
x x f y y d )(d 0'=≈∆
由)()(00x f x x f y -∆+=∆,得到近似公式
x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000
记x =x 0+Δx ,近似公式可以写为
))(()()(000x x x f x f x f -'+≈
若取x 0=0,则得到当| x |很小时,()f x 的近似公式
x f f x f )0()0()('+≈
微分还可以用来估计误差。

若)(x f y =,测量x 时产生的绝对误差为x ∆,当x ∆很小时,函数)(x f y =的绝对误差、相对误差分别计算为
|d |||y y ≈∆,
|
||
d |||||y y y y ≈
∆ 【习题解答】
2-1 求下列函数的导数。

(1) 3
421y x x =+-;
(2) 2
12
x x y +=;
(3) 4
4
2x x y +=; (4) y =(x 2+3)tan x ;
(5) x x y ln =; (6) ⎪⎪⎭⎫

⎛-+=x x y 11)1(; (7) x
x
x y cos 1sin +=
; (8) y =sec x tan x +csc x cot x ;
(9) 2lg log 2+=x x y ; (10) t
t
y --
+=
1111。

解 (1) 2
122y x '=+
(2) 21
y x x
'=-
+ (3) 44385
2816616
x x x x y x x
---'==- (4) y '=2x tan x + (x 2+3)sec 2x
(5)
y '=
(6) 1(1y '+= (7)2(sin cos )(1cosx)xsinx(sinx)sin (1cos )1cos x x x x x
y x x
++--+'=
=
++
(8) y ' = sec x tan 2x + sec 3x - csc x cot 2x - csc 3x
(9) 21log ln 2y x '=+
(10)
y '=
2-2 设f (x )=cos x sin x ,求)0(f '、⎪⎭

⎝⎛'2πf 。

解 f ' (x ) = - sin x sin x + cosxcosx = cos2x )0(f '= 1 ⎪⎭

⎝⎛'2πf = -1
2-3 设2
1)(x x
x f -=
,求)0(f '、)2(f '。

解 22
2222
1(2x)1()(1)(1)
x x x f x x x ---+'==-- )0(f ' = 1 )2(f ' = 5 /9
2-4 求曲线y =4x 2+4x -3在点(1,5)处的切线和法线方程。

解 y ' = 8x + 4 k = 12
切线方程 12x - y -7 = 0 法线方程 x + 12y - 61 = 0
2-5 物体运动方程为s =t +sin t ,求物体运动的速度和加速度。

解 s cos v t '== t s a sin -=''= 2-6 求下列各函数的导数。

(1) 21x y +=; (2) y =cos ax sin bx ; (3) y =ln 2x ; (4) y =lncos x ;
(5) 2sin 2
2
x y =; (6) 2
12arctan x x y -=;
(7) 2
cos 2
x y =; (8)2
2
arctan
x
a x y -=;
(9) x
x
y sin 1sin 1ln
-+=; (10)2e kx y -=。

解 (1) 解 2
x
1+=
'x y
(2) bx ax b bx ax a y cos cos sin sin +-='
(3) 2ln x
y x
'= (4) x x
x
y tan cos sin -=-=
' (5) 22
2sin )(2
cos 2sin 2x x x x x y ==' (6) 2
22222
12
)1()2(2)1(2)
1x 2(11x x x x x x y +=-----+=' (7) x x x y sin 2
1
21)
2sin (2cos 2-=-=' (8) 22222222
2222
2
222)(
11x
a a x a x a x a x
x
x a x a x y -+=------+=
' (9) x
x x x x y x
x x x
x x y cos 1cos sin sin 1cos cos ln )sin 1ln(cos sin 1ln sin 1sin 1ln
=
--+='-+=+=-+= (10)2
2
2)2(e kx kx kxe kx y ---=-=' 2-7 求下列各隐函数的导数。

(1) y 2=apx ; (2) x 2+y 2-xy =1; (3) x 3+y 3-3axy =0; (4) y =1-x e y 。

解 (1) y 2=apx
2yy ’ = ap y ’ = ap/2y (2) x 2+y 2-xy =1
2x + 2yy ’ - y - xy ’=0 y ’ = (y-2x) / (2y-x)
(3) x 3+y 3-3axy =0
3x 2 + 3y 2y ’ - 3ay - 3axy ’ = 0 y ’ = (3ay - 3 x 2) / (3y 2-3ax) (4) y =1-x e y
y ’= - e y - xe y y ’ y ’ = -e y / (1+ xe y )
2-8 取对数求下列各函数的导数。

(1) xy =(x +1)2(x -2)3; (2))
4)(3()
2)(1(-+-+=
x x x x y ;
(3) y x =x y ; (4) e y =xy 。

解 (1) xy =(x +1)2(x -2)3
lnx +lny=2ln(x+1)+3ln(x-2) 1/x + y ' /y =2/(x+1) + 3/(x-2) (2))
4)(3()
2)(1(-+-+=
x x x x y
lny = ln(x +1) + ln(x -3) - ln(x +3) - ln(x -4) y ' /y =1/(x+1) + 1/(x-3) - 1/(x+3) - 1/(x-4)
(3) y x =x y xlny = ylnx lny + xy ' /y = y ' lnx + y/x (4) e y =xy y = lnx + lny y ' = 1/x + y ' /y y ' = y / x(y-1) 2-9 求下列各函数的二阶导数。

(1) y =e x sin x ; (2) x x y -=e 2; (3) y =2x 2+ln x ; (4) y =a cos bx 。

解 (1) y =e x sin x
(sin cos )x
y e x x '=+
(sinx cosx)e (cosx sinx)2e cos x x x
y e x ''=++-=
(2) 22e x
x
y x x e --'=- 224e x x x y e xe x ---''=-+
(3) 14y x x
'=+
21
4y x
''=-
(4) sin y ab bx '=-
2
cos y ab bx ''=-
2-10 某物体降温过程中的温度为 0e kt u u -=,求物体的冷却速率。

解 0e kt u ku -'=-
2-11 口服某药物后,血药浓度为)e e ()(mt kt a t C ---=,求血药浓度的变化率。

解 ()(k e
+me )kt
mt C t a --'=-
2-12 一截面为倒置等边三角形的水槽,长20m ,若以3m 3/s 速度把水注入水槽,在水面
高2m 时,求水面上升的速度。

解 设水面高h m 时体积为v m 3 则
2v =
v ='' 3v '= h = 2 所以
m/s 80
)h '= 2-13 求下列各函数的微分。

(1) 2
1x
x
y -=
; (2) 322)(x a y +=; (3) y =x sin x +cos x ; (4) y =arctane x ; (5) y =ln(1+x 4); (6) )3cos(e x y x --=-。

解 (1) 2
22
1d d (1)x y x x +=-
(2)
d 3y x =
(3)d y =x cos xdx (4) 2d d 1x
x
e y x e =+
(5) 34
4d d 1x y x x
=+ (6) d (e sin(3))d x
y x x -=--- 2-14 在括号内填入适当函数,使下列等式成立。

(1) d( )=3d x ; (2) d( )=2x d x ; (3) d( )=e x d x ; (4) d( )=sin t d t ; (5) d( )=2
11x +d x ; (6) d( )=sec 2x d x .
解 (1) d( 3x )=3d x (2) d( x 2 )=2x d x
(3) d( e x )=e x d x (4) d( -cost )=sin t d t (5) d( ln(1+x ) )=2
11x +d x
(6) d( tan x )=sec 2x d x
2-15 已知2ln(1)arctan x t y t t
⎧=+⎨=-⎩,求d d y x ,22d d y
x 。

解 2
2
22d 1d 1t x t t
y t ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
d d 2y t x = d 1d()d 2y x = 222d 1d 4y t x t += 2-16 在| x |很小时,证明下列各近似公式。

(1) x e x
+≈1; (2) nx x n
+≈+1)1(;
(3)x x ≈tan ; (4) x x ≈+)1ln(。

解 (1)
000000(),0,,()1,()1()()()1x x f x e x x x f x f x f x x f x f x x e x
'==∆==='+∆-≈∆≈+
(2)
000000()(1),0,,(),()1
()()()(1)1n n f x x x x x f x n f x f x x f x f x x x nx
'=+=∆==='+∆-≈∆+≈+ (3)
000000()tan ,0,,()1,()0
()()()tan f x x x x x f x f x f x x f x f x x x x
'==∆==='+∆-≈∆≈ (4)
000000()ln(1),0,,()1,()0
()()()ln(1)f x x x x x f x f x f x x f x f x x x x
'=+=∆==='+∆-≈∆+≈ 2-17 求下列各式的近似值。

(1) 01.1e ; (2)
解 (1) 0000001.01(),1,0.01,(),()()()()1.01x f x e x x f x e f x e f x x f x f x x e e
'==∆==='+∆-≈∆≈
(2)
0000001
()1000,2,(),()10300
()()()2149109300150
f x x x f x f x f x x f x f x x
'==∆=-=
='+∆-≈∆≈-
=
2-18 造一个半径为1m 的球壳,厚度为1.5cm ,需用材料多少立方米? 解 设球体积为V ,半径为R ,则
3
23
4,d 4d ,R 1,dR 0.0153
d 0.06m V R V R R V V πππ====∆≈= 2-19 为计算球的体积,要求误差不超过1%,度量球的半径时允许的相对误差是多少?解 设球体积为V ,半径为R ,则
324
,d 4d ,
3
d d 13100
d 1300
V R V R R V V R V V R R R ππ==∆≈=≤≤
【课外练习】
一、单选题
1. 设()cos x f x x
=
,则'(0)f =( ),'
()f π=( )。

A . 1,0 B. 1,-1 C. 0,-1 D. 0,1 2.
设()f x =
,则'(0)f =( )。

A. 0 B.1 C.
12 D. -12
3. 可导的偶函数,其导函数为( )函数,可导的奇函数,其导数为( )函数。

(A )奇,偶 (B )偶,奇 (C )奇,奇 (D )不能确定
4. 函数()f x 在点0x x =处可导是()f x 在点0x x =处可微的( )条件。

A. 充分不必要 B.充分必要 C. 必要不充分 D. 不能确定
5. 函数()f x 在点0x x =处的左导数以及右导数都存在并且相等是()f x 在点0x x =处可导的( )条件。

A.充分不必要
B.充分必要
C.必要不充分
D.不能确定 6. 函数2
y x =当x 从1改变到1.01时的微分是( )。

A. 1.01 B. 0.01 C. 1.02 D. 0.02
7. 设函数()f x 可导且下列各极限都存在,则( )不成立。

A. '
()(0)(0)lim
x f x f f x →-= B.'
0(2)()()lim h f a h f a f a h
→+-=
C.'
0000
()()()lim x f x f x x f x x ∆→--∆=∆ D. '
0000()()()lim 2x f x x f x x f x x
∆→+∆--∆=∆
8. 若()()
lim
x a
f x f a A x a
→-=-,A 为常数,则有( )。

A.()f x 在点x a =处连续
B.()f x 在点x a =处可导
C. lim ()x a
f x →存在 D.以上都不对
9. 若sin y x =,则(10)
y
=( )。

A.sin x
B.sin x -
C.cos x
D.cos x - 10. 曲线3
3y x x =-上,切线平行于x 轴的点有( )。

A .(-1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D .(0,0)
二、填空题
1. 若1x =,而0.1x ∆=,则对于2
y x =,y ∆与d y 之差是 ;当0.01x ∆=时,y ∆与d y 之差是 。

2. 若4
3
()325f x x x =++,则'
(0)f = ,'
(1)f = 。

3. 若()f x =,则'(1)f = , '(4)f = 。

4. 由参数方程44
cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩所确定的函数,在0t =时,此函数的导数d d y x = ;由参数方程23
23x t t y t t
⎧=-⎨=-⎩所确定的函数的二阶导数22d d y
x = 。

5. 若已知函数2
()sin f x ax bx c =++,且'
(0)1f =,'
(π)2π1f =-,则常数a = ,常数b = 。

若(0)2f =,则常数c = 。

6. 函数sin 2y x x =的微分是 ,函数2
[ln(1)]y x =-的微分是 。

7. 填入适当的函数,使等号成立:d ( )=3d x x ,d ( )=sin 2d x x ,
d ( )=2d x
e x -。

8.设函数()y y x =由方程y e xy e +=所确定,则'(0)y = ,''
(0)y = 。

9. 若抛物线2
y x =与3
y x =的切线平行,则自变量x 取值为 。

10.设函数()f x 是可导的偶函数且'
(0)f 存在,则'
(0)f = 。

三、计算及证明题
1. 求下列函数的导数。

(1)232y x =+ ; (2)23
(1)y x =-; (3)33log y x x =;
(4)tan x y x =; (5)1cos x
y x
=-; (6)22
11x y x x -=++ 。

2.求下列函数的微分。

(1)1
y x
=
+ (2)sin 2y x x = ; (3)22x
y x e =; (4)2
2
1arctan 1x y x
-=+。

3.设arctan y x =,证明它满足方程2'''
(1)20x y xy ++=。

4.用定义求函数3
()f x x =在点1x =的导数。

5.证明函数1sin ,0
()0,
0x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处不可导。

6.设2,3
(),3
x x f x ax b x ⎧≥=⎨+<⎩,试确定,a b 的值,使()f x 在 3x =处可导。

7.已知直线运动方程为2
105s t t =+,分别令1t ∆=,0.1,0.01求从4t =到4t t =+∆这一段时间内运动的平均速度以及4t =时的瞬时速度。

8.求曲线3
y x =在点00(,)P x y 0(0)x ≠的切线方程与法线方程。

9.试确定曲线ln y x =上哪些点的切线平行于直线1y x =-。

10
的近似值。

11.求下列函数的高阶导数。

(1)()ln f x x x =, 求''
()f x ; (2)2
()x f x e -=,求 '''
()f x ; (3)()ln(1)f x x =+,求(5)
()f
x ; (4)3()x f x x e =,求(10)()f x ;
12. 现在已经测得一根圆轴的直径为43厘米,并知在测量中绝对误差不超过0.2厘米。

求以此数据计算圆轴的横截面面积时所引起的误差。

13. 设有一个吊桥,其铁链成一抛物线形状,桥两端系于相距100米且高度相同的支柱上,铁链之最低点在悬点(在支柱最下端,即铁链所系之处)下10米处。

求铁链与支柱所成的夹角。

【课外练习 参考答案】
第二章 导数与微分
一、单选题
1. B
2. A
3. A
4. B
5. B
6. D
7. B
8. D
9. B 10. C
二、填空题
1. 0.01,00001
2. 0, 18
3.

4. 0,
3
4(1)
t - 5. 1,1,2
6(sin 22cos 2)x x x dx +,
2ln(1)
1
x dx x -- 7. 232x c +,1cos 22x c -+, 212x e c --+
8. '1(0)y e -=-
,''2(0)y e -= 9. 0或2
3
10. 0 三、 计算及证明题
1. 解
(1)'
6y x = (2)'22
6(1)y x x =-
(3)2'
2
33log ln 3
x y x x =+ (4)2'
2sec tan x x x y x -=
(5)'
21cos sin (1cos )x x x y x --=- (6)2'
22
41(1)x x y x x --=++
1. 解
(1)21d (-
y x x x
=+ (2)d (sin 22cos 2)d y x x x x =+ (3)2d 2(1)d x
y x x e x =+ (4)4
-2d d 1x
y x x
=+ 3. 证明
由已知arctan y x =
则 '
'
21(arctan )1y x x ==+,'
''
222
121(1)x y x x ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
所以 2'''
(1)20x y xy ++=得证。

4. 解 由定义
332320
000
(1)(1)(1)11331(33)3
lim
lim lim lim x x x x f x f x x x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆+∆-===+∆+∆=∆∆∆
所以 '
(1)3f =。

5. 证明 由于
()(0)1
sin 0f x f x x
-=-
则 0x →时,上式的极限不存在 所以函数()f x 在0x =处不可导。

6. 解
因为()f x 在 3x =处左、右两侧的函数表达式不同, 所以要使()f x 在 3x =处可导,
必须使()f x 在 3x =处的左、右导数'(3)f -、'
(3)f +都存在且相等。

由于22
'
00(3)(3)(3)3(3)lim
lim 6x x f x f x f x x
+∆→∆→+∆-+∆-===∆∆, 而'
0(3)(3)[(3)](3)
(3)lim lim x x f x f a x b a b f a x x
-∆→∆→+∆-+∆+-+===∆∆ 所以 6a =
此时 ()f x 在3x =处可连续。

则 (3)(3)f f -=
而 0
(3)lim (3)3x f f x a b -∆→=-∆=+,2
(3)39f ==
所以 9b =- 7. 解
因为平均速度22[10()5()](105)
10105s t t t t t t v t t t t
∆+∆++∆-+===++∆∆∆ 所以当4t =,1t ∆=时,55v = 当4t =, 0.1t ∆=时,50.5v = 当4t =,0.01t ∆=时,50.05v =
4t =时的瞬时速度为
22000[10()5()](105)
lim lim lim(10105)50t t t s t t t t t t v t t t t
∆→∆→∆→∆+∆++∆-+===++∆=∆∆
8. 解 由于
2
20033y x x x x x
∆=+∆+∆∆ 则 '
2
2
2
00000
()lim(33)3x f x x x x x x ∆→=+∆+∆=,
所以曲线3
y x =在点00(,)P x y 的切线方程是20003()y y x x x -=-。

由解析几何知道,若切线斜率为k ,则法线斜率为1
(0)k k
-≠, 所以过点00(,)P x y 的法线斜率为'2
00
11
()3f x x -
=-, 因此,曲线3
y x =在点00(,)P x y 的法线方程为0020
1
()3y y x x x -=--。

0(0)x ≠ 9. 解
因为两直线平行等价于两直线的斜率相等(斜率都存在时)。

而直线1y x =-的斜率为'
1y = 曲线ln y x =的导数'
'
1(ln )y x x
== 则当1x =时,
1
1x
=,此时ln 0y x ==, 所以曲线ln y x =上的点(1,0)处的切线平行于直线1y x =-。

10. 解
()f x =0.97x =的值。

因此,令001,0.97x x x x ==+∆= 即0.03x ∆=-,于是得到
'1(0.03)x =≈⋅-=1
1(0.03)0.9852
+-=
11. 解
(1)因为()ln f x x x =,所以'
()1ln f x x =+,''
1()f x x
=
(2)因为2
()x f x e
-=,所以2
'
()2x f x xe
-=- 2
2
2
''
2
()22(2)(42)x x x f x e x xe
x e
---=---=-
2
2
2
'''
2
2
()8(42)(2)4(32)x x x f x xe
x x e x x e
---=+--=-
(3)因为()ln(1)f x x =+,所以'
1()1
f x x =
+=1
(1)x -+ ''2()(1)f x x -=-+,'''3()2(1)f x x -=+,(4)4()6(1)f x x -=-+ (5)5()24(1)f x x -=+
(5)因为3()x
f x x e =,所以'
323
2
()3(3)x
x
x
f x x e x e x x e =+=+
''32232()(3)(36)(66)x x x f x x x e x x e x x x e =+++=++
'''32232()(66)(3126)(9186)x x x f x x x x e x x e x x x e =+++++=+++ (4)322()(9186)(31818)x x f x x x x e x x e =++++++
…….
由以上归纳可得:
(10)32()(30270720)x f x x x x e =+++
12. 解
由题意,圆轴的直径43D =厘米,其绝对误差0.2D ∆≤厘米。

按照所测的直径计算圆轴的横截面面积为
2211
()43462.2544
s f D D πππ====2cm
它的绝对误差
'1()2S dS f D D D D π∆≈=∆=
∆1
430.2 4.32
ππ≤⋅⋅=2cm 其相对误差
21
20.4
20.93%1434
D D S dS D S S D D ππ∆∆∆≈==≤≈
13. 解
根据题意,以铁链最低点处的切线作为横轴,以铁链的最低点作为坐标原点,建立直角坐标系。

则铁链所处的抛物线方程为21250y x =
,则 '1125
y x =。

记左悬点为(50,10)A -,右悬点为(50,10)B , 则抛物线在右悬点处的切线斜率为'
2
(50)5
y =
所以在右悬点处抛物线与坐标轴横轴的夹角为2arctan 5
因此,铁链与支柱所成的夹角为2arctan
2
5
π
-。

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