材料力学笔记

材料力学（土）笔记

第三章 扭 转

1．概 述

等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形 若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算

等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用

其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线 当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解

对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解

2．薄壁圆筒的扭转

设一薄壁圆筒的壁厚δ远小于其平均半径0r （10

r ≤

δ），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩e M ，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n 上的内力将是作用在该截面上的力偶 该内力偶矩称为扭矩，并用T 表示

由横截面上的应力与微面积dA 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力

考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子

在圆筒两端施加外力偶矩e M 后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线

薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。 相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用ϕ来表示

圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度γ，这种直角的该变量γ称为切应变 这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的 由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等

由于壁厚δ远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化 薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切 由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得

⎰=⨯A

T r dA τ

由于τ为常量，且对于薄壁圆筒，r 可以用其平均半径0r 代替，积分

⎰==A

r A dA δπ0

2

为圆筒横截面面积，引进π2

00r A =，从而得到

δ

τ02A T

=

由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变γ和相距为l 的两端面间相对扭转角ϕ之间的关系式，式子中r 为薄壁圆筒的外半径

γϕγsin /==l r 当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角ϕ与外力偶矩e M （在数值上等于T ）之间成正比 可得τ和r 间的线性关系为

γτG =

上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数G 称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为GPa G 80=

剪切胡克定律只有在切应力不超过某材料的某极限值时才适用

该极限称为材料的剪切比例极限p τ，适用于切应力不超过材料剪切比例极限的线弹性范围

3．传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图 传动轴的外力偶矩

设一传动轴，其转速为n （r/min ），轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去 设通过某一轮所传递的功率为P ，常用单位为kW 1 kW=1000 W ；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N ·m

当轴在稳定转动时，外力偶在t 秒内所做的功等于其矩e M 与轮在t 秒内的转角α之乘积 因此，外力偶每秒钟所作的功即功率P 为

310}{}{}{}{-⋅⨯=s

rad

m

N e kW t M P α 3

/10}{}{-⋅⨯=s rad m N e M ω

3min

/1060

}{2}{-⋅⨯⨯

⨯=r m N e n M π 即得到作用在该轮上的外力偶矩为

min

/3

min /3}{}{1055.9}{26010}{}{r kW

r kW m

N e n P n P M ⨯=⨯⨯=⋅π 外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则

与轴的转动方向相反

扭矩及扭矩图

可用截面法计算轴横截面上的扭矩

为使从两段杆所求得的同一横截面上扭矩的正负号一致

按杆的变化情况，规定杆因扭转而使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时 则该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负 若将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢表示，则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负 为了表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在横截面的位置 可仿照轴力图的作法绘制扭矩图

4．等直圆杆扭转时的应力·强度条件 横截面上的应力

与薄壁圆筒相仿，在小变形下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力 ①几何方面

为研究横截面上任意一点处切应变随点的位置而变化的规律 在等直圆杆的表面上作出任意两个相邻的圆周线和纵向线 当杆的两端施加一对其矩为e M 的外力偶后，可以发现：

两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度，圆周线的大小和形状均为改变 在变形微小的情况下，圆周线的间距也未变化 纵向线则倾斜了一个角度γ

假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即平面假设 上述假设只适用于圆杆

为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置而变化的规律 假想地截取长为dx 的杆段进行分析

由平面假设可知，截面b-b 相对于截面a-a 绕杆轴转动了一个微小的角度ϕd 因此其上的任意半径也转动了同一角度ϕd

由于截面转动，杆表面上的纵向线倾斜了一个角度γ 纵向线的倾斜角γ就是横截面周边上任一点A 处的切应变

同时经过半径上任意一点的纵向线在杆变形后也倾斜了一个角度ργ

ρ为圆心到半径上点的距离

即为横截面半径上任意一点处的且应变 由几何关系可得

dx

d ϕ

ργγρρ=

≈tan

即

dx

d ϕ

ργρ=

②物理方面

由剪切胡可定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比 令相应点处的切应力为ρτ，即得横截面上切应力变化规律表达式

dx

d G G ϕρ

γτρρ== 由上式可知，在同一半径ρ的圆周上各点处的切应力ρτ 值均相等，其值与ρ成正比

因ργ为垂直于半径平面内的切应变，故ρτ的方向垂直于半径

③静力学方面

由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素dA ρτ等值且反向

则整个截面上的内力元素dA ρτ的合力必等于零，并组成一个力偶，即为横截面上的扭矩T 因为ρτ的方向垂直于半径，故内力元素dA ρτ对圆心的力矩为dA ρρτ 由静力学中的合力矩原理可得

⎰

=A

T dA ρρτ

经整理后得

⎰=A T dA dx

d G

2

ρϕ 上式中的积分

⎰

A

dA 2ρ仅与横截面的几何量有关，称为极惯性矩，用p I 表示

⎰=A

p dA I 2ρ

其单位为4

m ，整理得

p

GI T dx d =ϕ 可得

p

I T ρτρ=

上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式