10整式的概念

字母表示数一（整式的概念）
【课前热身】列代数式
1、边长为a 的正方形的面积为________，
2、边长为b 的正方体的体积为 ；
3、铅笔的单价是x 元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是 元；
4、一辆汽车的速度是v 千米/小时，行驶t 小时所走的路程是_______千米；
5、设n 是一个数，则它的相反数是________．
【本讲说明】
本讲内容属于 “数与式”领域，是“数与代数”领域的重要内容，本讲内容的编写是在学生已有的字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。

本讲的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，整式的概念是整式运算的基础，在中考中主要考查单项式的次数、系数；多项式的次数、项数，命题的形式多为填空题和选择题。

【课程引入】
某地区冬季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.5℃． （1）如果山脚温度是－10℃，则山上x 米处的温度是多少？
（2）如果山脚处的温度保持不变，那么山上200米、1000米、3000米处的温度各是多少？ 【知识梳理】 1、单项式 单项式：数字或字母的积组成的式子叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

(1)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

(2)单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

知识延伸：(1)书写含有字母的式子时应注意： ①当数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“· ”，且数字在前，字母在后，若数字是带分数的，要化为假分数；②字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“· ”；③除法写成分数的形式。

(2)单项式的有关问题：
①单项式的系数包括它前面的符号；②单项式的系数是1或－1时，通常1省略不写，
如－k ，pq 2
等；③单项式的次数仅仅与字母有关，是单项式中所有字母的指数的和，如：单
项式b 的次数是1，而不是0，常数－5的次数是0，而c b a 3
2
4
2的次数是6，与4
2无关；
④要正确区分单项式的次数与单项式中字母的次数，如：q p 2
6的次数是3，其中p 的次数是2；⑤圆周率π是常数。

2、多项式
多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项。

常数项：多项式中不含字母的项，叫做常数项。

多项式的次数：在多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

知识延伸：(1)多项式的组成元素是单项式，换句话说，若一个代数式中的某一单独的项不是单项式，那么它也就不是多项式；
(2)多项式中含有字母的项是几次就叫几次项，一个多项式含有几项，就叫几项式，若一个多项式有m 项，次数为n ，则这个多项式就叫n 次m 项式。

3、多项式的排列
降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

知识延伸：排列是指按某一个字母的次数排列。

规律方法小结：(1)重新排列多项式时，各项都要带符号移动位置；
(2)对含有两个或两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数排列顺序。

4、整式
单项式和多项式统称整式。

⎪
⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧的和叫做多项式多项式：几个单项式
母也是单项式。

单独的一个数或一个字的式子；由数或字母的乘积组成单项式：整式 知识延伸：因为单项式和多项式都是代数式，所以整式也是代数式，但代数式不一定
是整式。

【典例分析】
【知识点1】用字母表示数
【例题1】列式表示：
(1)一本字典的售价是56元，n 本这样的字典的售价是＿＿＿元； (2)a 的平方的相反数是＿＿＿； 【举一反三】
(1)乙数比甲数小7%，甲数为x ，乙数表示为＿＿＿＿＿；
(2)一个三位数，它的百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数为＿＿＿＿．
(3)一个正方形的周长为c ，则这个正方形的边长为＿＿＿＿． 【知识点2】单项式
【例题2】判断下列各式中哪些是单项式，哪些不是?如果是单项式，请指出它的系数与次数．
23bx -，223x y ，5π，y x -，22
5a b ，12a b -，3235a b -． 【举一反三】 1．在
s
t
b a a ab
c x ab 295.005443、、、、、、、---中，单项式有( ) A .5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个
2．下列说法中正确的是( )
A ．单项式5
22y
x -的系数是－2，次数是3
B ．单项式a 的系数是0，次数是O
C ．单项式
π
x
-的系数是－1，次数是1
D ．单项式232ab -的系数是2
9
-，次数是2
【拓展】单项式5
32b
a π-的系数是____________，次数是______________。

【知识点3】多项式 【例题3】
1、请指出下列式子中的多项式：
（1）3153
2xy x -+；（2）222x y +；（3）2ab a b +；（4）1x y -+；（5）592015ab -；（6）-20．
2、指出下列多项式是几次几项式，并进行降幂排列: (1)1232
-+-x x
(2)2952
3
2
++-xy x x
(3)42
222-+-ab b a b a
(4)14
+x
【举一反三】
1、指出下列多项式的最高次项及其系数和常数项。

(1)x x x 5222
5
-+-
(2)442
3
++--x x x
2、将多项式3
2
2
4a ab b a a +-+分别按a 的升幂和降幂进行排列。

3、多项式()b x x x a b
-+--3
4是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数。

【拓展】已知单项式3
42
1y x -
的次数与多项式22128b a b a a m +++的次数相同，
求m 的值。

【知识点4】整式
【例题4】判断下列各式子是否为整式：
（1）
22217a b c +
；
（2）3
3xy y +； （3）2
7184x y --； （4）5xy ； （5）-35．
【举一反三】下列式子中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式?
xy
π-，3m n +，15-，216a -+，13a b
+，3nx y ，4y x +，0，1
z ．
【知识点5】整体知识的运用 【例题5】
1、已知2321x x +=，求多项式2
647x x +-的值．
【举一反三】
1、已 知
()2
3|+2|=0
a b -+，x 、y 互为相反数，c 、d 互为倒数，求3
443b x y cd --+的值．
2、如果关于x 的多项式42142ax x +-与35b x x +是同次多项式，求321
2342
b b b -++的值．
3、当x =2，y =－2是，382015,mx ny ++=求当x =－4，1
2
y =-时，式子33245018mx ny -+的值．
2、某超市出售一种商品，其原价为每件a 元，现有三种调价方案： （1）先提价20%；再降价20%； （2）先降价 20%，再提价20%； （3）先提价15%，再降价15%． 请分别算出调价后的价
【举一反三】1、—件服装降价10%后卖m 元，则原价为___________
2、某种药品前年的定价是a 元，去年提价20%，今年又降价20%，今年的定价是 元．
【知识点6】用含字母的式子表示变化规律
【例题6】如图，是正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是 ．
【举一反三】
1、观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…，将这列数排成下列形式：记ij a 为第i 行第j 列的数，如234a =，那么87a 是 ；2=_______i a ．
2、有足够多的每个面的面积为1cm 2
的小正方体按下图的方式进行组合，则第4个图形的表面积为 cm 2
，如此排下去，第n 个图形表面积为 cm 2
．
【拓展】某汽车行驶时油箱中余油量Q （L ）与行驶时间t （h ）的关系如下表：
（1）用含t 的整式表示Q ；
（2）当1
22
t =时，求Q 的值；
（3）根据所列整式回答：汽车行驶前油箱中有多少升的汽油？ （4）油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时?。