一阶微分方程应用

将W (0) = W0代入，得方程通解
W = 6000+ (W0 6000)e0.05t
（3）由通解表达式知，当W0 = 5000百万时，净资产额 单调减少，公司将在第36年破产；当W0 = 6000百万时，
公司将收支平衡，净资产保持在600百万元不变；当
W0 = 7000百万时，公司净资产将按指数不断增长。
解：V = 4 R 3 , V'(t) = kS = 4kR 2 3
dV = dV dR = 4R2 dR dR = k
dt dR dt
dt dt
QD
Qs
例4 已知某商品的需求量Q对价格P的弹性
为 3 p3 ,而市场对该商品的最大需求量为1万
件,求需求函数.
例5 设f (x)可微，且f (x) +
W(t)变化特点。
解:（1）利用平衡法，即
净资产增长速度=资产本身增长速度
职工工资增长速度
得到方程
dW = 0.05W 300 dt
dW = 0.05W 300
dt
（2）分离变量，得
W
dW = 0.05dt 6000
积分得 ln|W 6000|= 0.05t + c1
于是 W 6000 = ce0.05t (c = ec1为任意常数)
第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用
微分方程的应用举例
例1 设某企业t时刻产值y(t)的增长率与产值y(t) 及 新增投资2bt有关,并有y = -2aty + 2bt,(常数a,b > 0, y(0) = y0 < b, )求y(t)
例2 一个半径为R的雪球,融化时体积V的变化率正比于 雪球的表面积S,比例系数k > 0,若开始时雪球半径为r0 , 问全部融化完需多少时间? (W 2000513)
x
1 t
f
(t)

sin t
t
dt=1,求f
( x).
例6 某公司净资产有W(t)（百万元），并且资产本身 以每年5%的速度增长，同时该公司每年要以300百万 元的数额连续支付职工工资。
（1）给出描述净资产W(t)的微分方程；
（2）求解方程，这时假设初始净资产为W0
（3）讨论在W0 =500，600，700三种情形下，