融入数学史教学的几个教学案例

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数学史融入中学数学教学的实践与案

数学史融入中学数学教学的实践与案一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学四年级下册第五单元《分数的认识》中的第二课时。

主要内容包括：分数的意义，分数与除法的关系，以及分数大小的比较。

二、教学目标1. 学生能够理解分数的意义，掌握分数与除法的关系。

2. 学生能够运用分数知识解决实际问题。

3. 学生能够学会比较分数的大小，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：分数的意义，分数与除法的关系，分数大小的比较。

难点：理解分数在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：练习本、笔、学习卡片。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一个分蛋糕的实例，引导学生思考如何用数学方法表示蛋糕的分配情况。

学生可以提出用分数来表示，教师进而引入分数的概念。

2. 例题讲解：教师通过多媒体课件展示分数的意义，讲解分数的定义，分数与除法的关系，以及分数大小的比较。

3. 随堂练习：教师给出一些实际问题，让学生运用分数知识解决。

例如：“小明有 3 个苹果，小红的苹果数量是小明的 2/3，请问小红有多少个苹果？”4. 小组讨论：学生分小组讨论如何比较分数的大小，教师巡回指导，引导学生发现分数大小比较的方法。

六、板书设计板书内容主要包括：分数的定义，分数与除法的关系，分数大小的比较方法。

七、作业设计1. 请用分数表示下列物品的分配情况：（1）一个苹果分给两个人，每个人分得几个苹果？（2）一瓶饮料有 240 毫升，小丽喝掉了 1/4，请问小丽喝掉了多少毫升饮料？答案：（1）每个人分得 1/2 个苹果。

（2）小丽喝掉了 60 毫升饮料。

2. 比较下列分数的大小，写出比较结果：（1）1/2 和 3/6（2）2/5 和 3/10答案：（1）1/2 = 3/6（2）2/5 > 3/10八、课后反思及拓展延伸本节课通过实例引入分数的概念，让学生在实际问题中感受分数的应用，提高了学生的学习兴趣。

在教学过程中，通过小组讨论、随堂练习等形式，让学生充分参与课堂，提高了学生的动手能力和解决问题的能力。

以数学史为主体的几篇教学案例

在数学教学中,数学史的研究现在已经受到教师的重视。

许多教师在运用数学史进行教学设计的时候,往往将重点落在运用数学史的趣事上以吸引学生的兴趣,但是在我看来,数学史在数学教学中的作用远不止于此,从研究数学史的角度可以看到人类在数学发展历史上走过的弯路,可以成为突破中学数学重点和难点的契机,可以让学生理解数学家们的思维方式,从而去模仿数学家们的心智,进行创造性思考,更能让学生认识问题的本质。

数学是一门高度抽象化、逻辑化、形式化的学科。

正因为此,在许多人的心中,数学是一门高深的学问。

其实,在数学史上有许多“火热的思考”,正是经过这些思考,将数学打造成一门逻辑性极强,高度抽象的学科。

正是这些思考将数学的本质完完整整的呈现出来。

教师如果将这些内容介绍给学生,将在概念的引入、学生思维的建构方面起到意想不到的作用。

本文将从几个侧面给出例证。

1深入理解对数的发明15、16世纪的欧洲,航海和贸易的迅速发展,极大地推动了天文学和三角学的进步。

随之出现的大量的大数计算工作(主要是乘法和除法)变得日益重要起来。

虽说乘除法并不难,但是对许多很大的数进行运算要做到快速准确就不是一件容易的事了。

特别是天文学家,为了确定行星的位置或制作天文数表,往往要花上几天甚至几个月的时间进行计算。

这样改进数字计算方法成了当务之急,特别是将乘除转化为加减的方法,这样的话就可以事半功倍。

1544年,德国数学家斯蒂费尔(1487-1567)在《综合算术》一书中,列出了如下的两个数列:…,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,……,14,12,1,2,48,16,32,64,128,256,516,…这里第一行是等差数列,第二行是等比数列。

他称第一行的数为“指数”(德文exponent,原意是代表者),并明确地指出了:等比数列中数的乘、除、乘方、开方,可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现。

可惜的是,斯蒂费尔并没有由此做出更深入的研究,而把发明对数的机会失去了。

高中融入数学史教案设计

高中融入数学史教案设计教学内容：融入数学史中的数学概念教学目标：1. 了解数学史的发展历程及其中的重要数学概念2. 掌握相关数学概念的定义和应用3. 培养学生对数学的兴趣和探索精神教学重点和难点：重点：数学史的发展历程及其中的重要数学概念难点：理解并应用数学史中的数学概念教学过程：第一步：导入（5分钟）教师向学生介绍本节课的教学内容，激发学生对数学史的兴趣，引导学生主动探索数学史中的数学概念。

第二步：讲解数学史中的数学概念（15分钟）1. 教师向学生介绍数学史中的重要数学概念，如埃及的几何学、希腊的几何学和代数学、印度的数学等。

2. 教师讲解每个数学概念的定义、背景及其在数学史中的作用，引导学生理解并掌握相关知识。

第三步：解决问题（20分钟）1. 学生分组讨论自选一个数学概念，并结合实际问题进行探讨和分析。

2. 学生展示他们的研究成果，讨论交流解决问题的过程和方法。

第四步：拓展延伸（10分钟）教师展示相关数学史中的数学发现和成就，引导学生深入了解数学史的意义和价值，激发学生进一步探索和学习的兴趣。

第五步：总结和反思（5分钟）教师帮助学生总结本节课的重点内容，引导学生反思学习过程中的收获和困惑，激励学生继续深入学习和探索数学史。

教学资源：1. 课件资料：数学史中的数学概念2. 教材参考：相关数学史的书籍和文献3. 实例问题：与数学史中的数学概念相关的实际问题教学评估：1. 学生小组讨论成果展示和讨论的表现2. 学生个人对数学史中数学概念的理解及应用能力3. 学生对数学史的认识和兴趣程度教学反思：1. 对教学设计和过程进行及时反思，不断优化教学环节和方法2. 收集学生反馈意见，了解学生学习动态和需求，调整教学策略和重点教学实施时间：1课时。

数学史融入数学概念课教学模式探究——以“函数”教学为例

数学史融入数学概念课教学模式探究——以“函数”教学为例发布时间：2022-09-11T17:23:29.252Z 来源：《中小学教育》2022年8月4期作者：黄志虎[导读] 课程活动的开展不止在于学科本身知识的传授，亦是在于培养学生的文化素养，使其能够对学科形成充分、正确的认识，为学科学习奠定良好基础。

在新课程背景下，高中数学课堂亦需要做好数学文化的渗透培养，将数学史适时融入数学概念可教学模式当中，借此引导学生把握数学知识的形成过程及应用原理，使其能够在数学史的引领下更好地体会数学思维过程，从而激发其对数学的学习兴趣，培养学生良好的探究精神。

对此，本文将以“函数”部分的教学为例，探究数学史的教学融入策略，以供参考。

黄志虎安徽省宿松中学摘要：课程活动的开展不止在于学科本身知识的传授，亦是在于培养学生的文化素养，使其能够对学科形成充分、正确的认识，为学科学习奠定良好基础。

对此，本文将以“函数”部分的教学为例，探究数学史的教学融入策略，以供参考。

关键词：数学史；数学概念课；数学教学模式；函数中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）8-193-01引言：数学概念是高中数学学习的重点和基础，对数学知识的理解、运用具有重要指导意义。

其中，作为数学概念的重要模块，函数概念所涉及的内容贯穿高中数学全阶段，但就函数概念的教学而言，由于其存在较高的概括性、抽象性以及表达形式的多样性，因而具有一定的教学难度。

这就要求教师需转变教学策略，适当融入数学史，结合学生认知思维水平，引领学生走进数学世界，使其能够在情境体验中更好地把握和认识函数概念，从而提高函数概念部分的学习效果。

数学史融入初中数学教科书的现状研究以、北师大版、华东师大版为例

数学史融入初中数学教科书的现状研究以、北师大版、华东师大版为例一、概述数学史作为人类文明的重要组成部分，不仅记录了数学的发展历程，更蕴含着丰富的思想方法和文化价值。

将数学史融入初中数学教科书，不仅可以增强学生对数学的兴趣和热爱，还能帮助他们更好地理解数学的本质和内涵，从而提高数学学习的效果和质量。

我国初中数学教科书的编写已经逐渐重视数学史的融入。

以北师大版、华东师大版等为例，这些版本的教科书在数学史的呈现上各具特色，既有对古代数学成就的介绍，也有对现代数学发展的概述。

这些教科书还注重将数学史与数学知识相结合，通过生动的历史案例和故事，引导学生深入探索数学的奥秘和魅力。

尽管数学史融入初中数学教科书取得了一定的进展，但仍然存在一些问题和挑战。

部分教科书在数学史的呈现上过于简单或片面，缺乏深入的分析和解读；一些教师也缺乏对数学史的理解和重视，难以有效地将其融入到课堂教学中。

对数学史融入初中数学教科书的现状进行深入研究，具有重要的理论和实践意义。

1. 数学史的重要性及其在教育领域的价值作为探索数学发展历程的学科，不仅揭示了数学概念的起源、演变和拓展，更展现了数学家们的智慧与勇气。

它的重要性不仅在于其历史价值，更在于其对现代数学教育的深远影响。

在教育领域，数学史的价值体现在多个方面。

数学史有助于激发学生的学习兴趣。

通过了解数学的历史背景，学生可以更加深入地理解数学概念的来源和演变，从而增强对数学的兴趣和好奇心。

在学习勾股定理时，引入毕达哥拉斯的故事和勾股定理的发现过程，可以使学生更加投入地学习和探索这一重要定理。

数学史能够培养学生的数学素养和人文精神。

数学史中蕴含着丰富的数学思想、方法和精神，通过学习数学史，学生可以更好地理解数学的本质和价值，提升数学素养。

数学史也展现了数学家们的探索精神和创新精神，这对于培养学生的科学精神和人文素养具有重要意义。

数学史对于推动数学教育的改革和发展也具有重要意义。

通过对数学史的研究，我们可以更加深入地了解数学教育的历史和发展趋势，从而为数学教育的改革提供有益的借鉴和启示。

关于数学史融入初中数学课堂教学的实践探究——以《勾股定理》为例高爱莲

关于数学史融入初中数学课堂教学的实践探究——以《勾股定理》为例高爱莲发布时间：2021-10-12T14:27:16.327Z 来源：《现代中小学教育》2021年9月下作者：高爱莲[导读] 本节课本着以学生为主体的理念，融入数学史激发学生求知欲，这种教学理念有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。

苏州工业园区星澄学校高爱莲 215000摘要：现如今，初中数学教学注重培养学生的思维逻辑能力，但还是对数学史的了解少之又少，数学需要文化的传承，数学史融入初中数学课堂势在必行。

本文就结合具体的课例来探究如何将数学史融入初中数学课堂教学。

关键词：数学史初中数学1问题背景目前国内数学教育的现状就是学生沉溺于锻炼数学思维，却缺乏对数学有积极的认识以及缺乏对数学史的了解。

我们需要通过数学课堂激发学生对数学史的了解，让更多的孩子觉得学习数学不再枯燥，提高初中数学学习的积极性。

2《勾股定理》教学设计2.1教学目标的设定本节课从学生感兴趣的历史小故事出发，以学生“观察-猜想-归纳-验证”的模式，让学生在探索直角三角形三边关系的活动中，积累数学活动经验，切身感受到数形结合和从特殊到一般的思想方法.故将本节课的教学目标设定为：1、通过计算正方形的面积，会用“割”或“补”的方法把不能利用网格线直接计算面积的图形转化为能利用网格线直接计算面积的图形，初步体会化归思想；2、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；3、能运用勾股定理求直角三角形中未知边的长；4、进一步体会数学与生活的紧密联系；通过实例了解勾股定理的历史和应用.2.2教学过程的设计一、新课引入我们之前已经探索和学习过许多关于三角形的知识，你能说说下面这个三角形中x的取值范围吗？【思考】如果三角形是一个直角三角形，x又会怎样呢？【提示】可以用刻度尺画出这个直角三角形,并量出第三边的长.【思考】你觉得量出的结果可靠吗?量出来的长度不够可靠，又如何准确求出第三边的长呢?直角三角形的三边之间有没有特殊的数量关系呢?本节课我们就来研究直角三角形三边数量关系.设计意图：利用对三角形三边的不等关系的回顾，从学生的原有认知出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，自然地引出本节课．二、情境创设毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和"数"之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上开始画起来.设计意图：毕达哥拉斯做客故事，提出问题.学生独立思考隐藏的规律，提出猜想.我配合演示，使问题更形象、具体，学生容易得出等腰直角三角形三边满足关系.三、新知探究1、他选了一块磁砖，以它的对角线为边画一个正方形，你能猜猜他发现了什么吗？设计意图：由故事出发提出问题，让学生独立思考提出猜想.学生更容易得出等腰直角三角形三边满足关系.结论：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【思考】等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否都满足这样的关系呢？2、观察下图，如果每一个小正方形的边长为１,那么可以得到：正方形P的面积＝；正方形Q的面积＝；正方形R的面积＝．【思考】你是用什么方法求出这三个正方形的面积的？【小组合作】小组成员（6人）分别在网格纸上画一个直角三角形（AC、BC为直角边，AB为斜边），合作将以三角形三边为边长的正方形面积SAC、SBC、SAB填入表格中，看看直角三角形三边是否还满足这样的关系呢？勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.数学语言：在Rt△ABC中，.四、例题精讲设计意图：对勾股定理的直接应用，巩固基础知识，培养基本解题技能.【学以致用】直角三角形ABC两直角边BC、AC分别为3cm和4cm.求：（1）△ABC斜边AB的长；（2）△ABC的周长；（3）△ABC斜边上的高CD.【学以致用】学校教学楼到食堂有一片长约8m、宽约6m的长方形草坪,被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条“捷径”.(1)这几位同学为什么不走正路,走“捷径”?(2)走“捷径”比正路少走多少米?(3)他们这样做,值得吗?设计意图：让学生用所学的知识技能来解决实际问题，加强对勾股定理的理解，增强学生的实际应用能力.3结束语本节课本着以学生为主体的理念，融入数学史激发学生求知欲，这种教学理念有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。

数学教学中的数学史教学设计

数学教学中的数学史教学设计在数学教学中，教师可以通过将数学史融入教学设计中，提高学生对数学的兴趣和理解。

本文将探讨数学教学中的数学史教学设计，并提供一些建议和实例。

一、介绍数学史教学设计的意义数学史是研究数学发展历史的学科，通过学习数学史，学生可以了解数学的起源、发展以及与其他学科的关系。

将数学史纳入教学设计中，能够激发学生对数学的兴趣，帮助他们更好地理解数学的概念和原理。

二、数学史作为教学内容的选取在选择数学史作为教学内容时，教师应该根据教学目标和学生的年级水平进行有针对性的选择。

例如，在初中阶段，可以选择介绍古代数学的发展，如埃及的几何学、古希腊的几何学等。

在高中阶段，可以选择介绍近代数学的重要发展，如微积分的发展、概率论的发展等。

三、数学史与教学内容的结合将数学史与教学内容相结合，可以帮助学生更加深入地理解数学的概念和原理。

例如，在教学三角函数时，可以介绍古希腊的数学家希波克拉底斯对三角函数的研究成果，并引导学生探索三角函数的性质和应用。

通过了解数学史，学生可以更加直观地理解三角函数的本质和运用。

四、数学史作为问题解决的背景教师可以设计数学问题，并以数学史为背景进行引导。

例如，在教学方程组时，可以引导学生了解泰勒和牛顿在解决物体运动问题中所遇到的方程组，并引导学生探索解决方程组的方法和策略。

通过与数学史的结合，学生可以更加深入地理解和运用方程组的解法。

五、数学史与实际应用的联系数学史教学设计也可以与实际应用相联系，强调数学在实际生活中的应用价值。

例如，在教学平方根时，可以引导学生了解勾股定理的历史背景和应用场景，并引导学生通过勾股定理解决实际生活中的测量问题。

通过将数学史与实际应用相结合，学生可以更加直观地理解和应用数学的知识和方法。

六、结语通过将数学史纳入数学教学设计中，可以提高学生对数学的兴趣和理解。

教师可以根据教学目标和学生的年级水平选择合适的数学史内容，并将数学史与教学内容相结合，作为问题解决的背景，强调与实际应用的联系。

将数学史融入初中教学的案例

将数学史融入初中教学的案例
数学史是一门具有悠久历史的学科，通过将数学史融入初中教学，不仅可以帮助学生了解数学的发展过程和思想方法，还能激发学生对
数学的兴趣和求知欲。

以下是一个将数学史融入初中教学的案例：在初中数学课堂上，教师可以选取数学史中的某个重要数学家或
数学发现进行介绍和讲解。

例如，可以引入古希腊数学家毕达哥拉斯，介绍他的生平和贡献，尤其是他的著名定理——毕达哥拉斯定理。

首先，教师可以通过图片展示毕达哥拉斯的形象，带领学生进入
古希腊时期的数学氛围。

然后，教师可以简要介绍毕达哥拉斯的生平
和背景，包括他的教育背景、旅行经历等。

接着，教师可以引入毕达哥拉斯定理的内容和意义。

教师可通过
几何图形的绘制，让学生发现并理解毕达哥拉斯定理的几何意义。

然后，教师可以引导学生分析毕达哥拉斯定理的应用领域，例如在三角
形中的应用，会形成多种实际问题。

通过这些例子，学生可以更好地
理解和掌握毕达哥拉斯定理。

除此之外，教师还可以邀请学生以小组形式展开研究，深入了解
毕达哥拉斯定理的历史背景和数学家们的思考过程。

学生可以通过阅
读相关资料、互相交流和讨论来探究问题，并最终呈现出自己对于毕
达哥拉斯定理的认识和理解。

通过将数学史融入初中教学，不仅可以帮助学生拓宽知识面和培
养数学思维，还可以培养学生对于数学发展历程的兴趣和好奇心。

这
种教学模式能够让学生积极参与到数学学习中，提高他们的学习主动
性和创造力，并激发他们对于数学的热爱。

日常教学融入数学史的一次尝试-椭圆及其标准方程教学案例

日常教学融入数学史的一次尝试-----椭圆及其标准方程教学案例孙军波浙江省温州中学数学组325000******************* [关键词]：新课程，数学史，椭圆及其标准方程。

前言新课程一个亮点就是把数学史引入到高中教学中，用历史来阐述一个知识是产生和发展。

使学生对它有更深层次的了解，从而对数学研究产生兴趣。

但数学史是作为单独的学科存在，还是在日常的教学中点点渗透颇有争议。

笔者较倾向于后者。

基于以上想法，以《椭圆及其标准方程》为平台设计了一节课，希各专家不吝赐教。

正文一、数学实验安排学生按照书本给的提示，亲自体验一下一个轨迹的产生。

同桌互助学习：“取一条定长的细绳，把它的两端固定，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉直，使笔尖在图板上慢慢移动，画出的轨迹是什么?”并请两组同学到黑板上作图。

[设计意图]活用课本上的情景，学生亲自体验一下轨迹的产生。

二、引入正题过渡语句：“虽然我们所做的图形大小不同，却有一定的相似，那么有哪些相似的地方呢？我们来思考两个问题。

”（1）这些轨迹上的点有什么共同的特征？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？[设计意图]对表象抽丝剥茧，为研究其本质降低坡度。

三、给出定义过渡语言：“这个图形就是我们称为椭圆，大家能否根据它的图象特征试着给出椭圆的定义”例如“到两定的距离之和是个常数的点的轨迹叫椭圆”尝试补充：引导给出“平面内”，“常数”，“常数>两点距离”，等重要的细节。

补充思考：“如果常数等于两点距离会是什么样的几何图形？（线段）常数小于两点距离会是什么样的几何图形？（没有几何图形）”最后给出正确的定义：平面内与两个定点F1F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

[设计意图]：不直接给出定义，让学生体会定义的产生过程，了解椭圆的几何特征。

追问：生活中有没有见到类似椭圆形状的物体?[通过现实图象加深椭圆的印象]四、追溯历史过渡语言：“那有没有同学知道椭圆是怎么发现的呢？历史上又是谁最先研究的它的呢？”早在公元前四世纪，以梅内克缪斯，阿波罗尼奥斯，阿基米德等为代表的古希腊数学家就已经发现并研究椭圆，他们用一个垂直于侧棱的平面去截圆锥（如图所示）发现了椭圆。

数学史融入数学课堂的教学设计-2019年精选文档

数学史融入数学课堂的教学设计HPM研究组织成立三十多年以来，HPM理论及其实践研究得到了长足的发展.本文参考范广辉提出的“数学史——探索”教学模式，对圆锥曲线的发展历史进行教学重组，以工作单的形式引领学生经历概念形成的几个关键时期，以及数学家探究数学概念的活动，完成数学知识的自我建构.工作单1 倍立方问题传说中，这问题的来源可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Delos），造成四分之一的人口死亡.岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍.人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图.开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易.他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗？结果……问题1.你能利用所学知识求出数学题“体积是棱长a的立方体的2倍的立方体的棱长b”吗？让我们来看一下柏氏门徒当时差点成功的作法：“求体积是棱长a的立方体的2倍的立方体”，这问题可以转化为“求在a 与2a之间插入二数x，y，使a，x，y，2a成等比数列”，即a∶x=x∶y=y∶2a，故x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，从而x3=a（xy）=a（2a2），故x3=2a3，则棱长x的立方体即为所求.2.从上述方法中可以看出，我们所要求的棱长x是哪两条曲线的交点横坐标？3.我们只要画出这些曲线就可以找到x的值，尝试从图像中找出x.上述用曲线来求解倍立方问题的方法是希腊数学家门奈赫莫斯开创的圆锥曲线法，这些曲线就是我们现在的抛物线.工作单2 门奈赫莫斯与圆锥曲线希腊著名学者门奈赫莫斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”.他把Rt△ABC的直角A的平分线AO作为轴，旋转△ABC一周，得到曲面ABECE′，如图1.用垂直于AC 的平面去截此曲面，可得到曲线EDE′，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”.他想以此在理论上解决“倍立方问题”未获成功.而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线作为专有概念进行研究：若以Rt△ABC中的长直角边AC为轴旋转△ABC一周，得到曲面CB′BE′，如图2.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐角圆锥截线”；若以Rt△ABC中的短直角边AB为轴旋转△ABC一周，可得到曲面BC′ECE′，如图3.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口曲线EDE′称为“钝角圆锥截线”.当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面”为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”.我们可以用几何知识证明曲线的性质：设直角圆锥的轴三角形VBC是等腰直角三角形，顶角V是直角，过母线VB上一点A用垂直于VB的平面截圆锥面，其交线QAR为直角圆锥截线.过交线QAR上任一点P作平面垂直于轴VO，它与轴截面VBC交于DE，与圆锥交于以DE为直径的圆DPE，作AF∥DE，FG⊥DE.若记AN=x，NP=y，AG是与点A位置有关的定线段记为b.问题：我们可以得到x，y，b之间怎样的关系式？上述的关系式正是解析几何中抛物线的解析式.类似的方法可以证明锐角圆锥截线就是现在的椭圆，钝角圆锥曲线是双曲线.【。

小学数学教学中的数学史知识融入

小学数学教学中的数学史知识融入一、引言数学是一门神奇的学科，它不仅存在于我们生活的方方面面，而且在很多时候也是我们解决问题的有效工具。

在小学数学教学中，为了培养学生对数学的兴趣和理解，常常融入数学史知识。

数学史知识不仅可以让学生了解数学的发展历程，还可以激发学生的求知欲和好奇心。

本文将重点探讨小学数学教学中数学史知识的融入方式和作用。

二、数学史知识在小学数学教学中的融入方式1. 通过故事讲述在小学数学教学中，老师可以通过讲述数学历史上的故事来引导学生了解数学的发展历程。

比如，可以讲述古代数学家毕达哥拉斯的发现以及毕达哥拉斯定理的由来，或者讲述阿基米德浴缸定理的故事等。

通过生动有趣的故事，可以吸引学生的注意力，激发他们对数学的兴趣。

2. 通过数学史人物介绍在小学数学教学中，老师可以介绍一些数学史上的著名人物，如欧几里得、牛顿、莱布尼兹等，让学生了解这些数学家的成就和贡献。

通过介绍数学史人物，可以让学生了解数学的发展离不开这些杰出的数学家，从而激励学生更加努力学习数学。

3. 通过数学史事件介绍在小学数学教学中，老师可以介绍一些与数学发展相关的历史事件，如数学印象中的古代时期、文艺复兴时期以及现代数学的发展等。

通过介绍这些历史事件，可以让学生了解数学的演变和发展，从而更好地理解数学的重要性。

4. 通过数学发展阶段介绍在小学数学教学中，老师可以介绍数学的各个发展阶段，如古代数学、中世纪数学、文艺复兴数学以及现代数学等。

通过介绍这些不同的发展阶段，可以让学生了解数学是如何一步步发展壮大的，从而更好地理解数学的本质和意义。

三、数学史知识在小学数学教学中的作用1. 激发学生对数学的兴趣通过融入数学史知识，可以让学生了解数学并非是一门枯燥的学科，而是一个充满魅力和神奇的世界。

数学史知识可以让学生看到数学的发展历程，从而激发他们对数学的兴趣，让他们更加主动地学习数学。

2. 增加学生对数学的理解通过融入数学史知识，可以让学生更加深入地了解数学的本质和意义。

数学史融入初中课堂的案例研究

数学史融入初中课堂的案例研究数学史是数学学科发展的重要历史记录，它将数学概念、方法、思想和文化贯穿于人类文明的发展进程中。

近年来，数学史的教育价值逐渐受到重视，越来越多的教育工作者开始研究如何将数学史融入课堂教学。

特别是在初中阶段，学生对于数学学科的认知和兴趣至关重要，因此将数学史融入初中课堂具有一定的实践和研究价值。

目前，数学史在初中课堂中的应用已经得到了一定的和实践。

国内外许多学者对数学史融入初中课堂进行了研究。

其中，李维等人（2017）提出了数学史融入初中课堂的具体策略和方法，强调了数学史对于提高学生数学兴趣和培养数学思维的重要性。

另外，张景中（2018）等人在初中数学教材中引入数学史相关内容，通过实践发现这有助于提高学生的学习积极性和数学成绩。

然而，仍有一些不足之处需要进一步探讨，如如何选择适合融入课堂的数学史内容，如何更好地将数学史与课堂教学相结合等。

本研究以某初中学校的学生为研究对象，将数学史融入初中数学课堂。

我们选择了适合初中生的数学史内容，包括一些重要的数学概念、方法和思想的历史发展过程。

然后，我们在课堂教学过程中穿插这些数学史内容，引导学生通过探究数学史来理解数学概念和方法。

我们通过问卷调查和考试成绩分析等方法，对实践效果进行了评估。

通过问卷调查，我们发现绝大多数学生对数学史融入课堂表示欢迎，认为这有助于提高他们的数学兴趣和数学理解能力。

同时，学生在课堂上的表现和考试成绩也有所提高。

然而，在实践过程中，我们也遇到了一些困难，如选择合适的数学史内容、如何更好地与课堂教学相结合等。

针对这些问题，我们提出了以下解决方案：深入挖掘与初中数学教材内容相关的数学史资料，选择具有代表性和适合初中生理解的内容；结合课堂教学实际，将数学史内容穿插在数学知识的学习过程中，让学生在学习数学知识的同时了解数学的历史发展；开展以数学史为主题的课堂教学活动，如“数学史小课堂”、“数学家的故事分享会”等，让学生在轻松愉快的氛围中了解数学的历史文化；鼓励学生自主学习和探索数学史，通过阅读相关书籍、网上查阅资料等方式，拓展学生的数学知识面和对数学史的了解；对教师进行相关培训，提高教师对数学史的认知和教学技能，使其更好地将数学史融入初中数学课堂。

勾股定理教学中数学史融入

勾股定理教学中数学史的融入【摘要】勾股定理是数学历史上最为古老的定理，也是初中数学中的一个非常重要的定理，其相关历史在《数学》书中以引入、例题、作业题、阅读材料等多种形式体现，为数学史融入课堂教学奠定了基础，使教学方式和处理方法更加灵活多样.鉴于此，本文以“勾股定理”的教学为例，结合自己教学实践和学习思考，阐述数学教学中勾股定理历史的融入.【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略1.勾股定理历史融入教学的意义1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。

2.勾股定理历史融入教学的策略在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.2.1在情景创设中融入勾股定理历史建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.案例1：师：同学们知道勾股定理吗？生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为”毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.2.2在定理证明中融入勾股定理历史数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.案例2.：刘徽（公元263年左右）的证明：刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.③剪拼法（学生动手验证）证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”参考文献[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[s] 北京：北京师范大学出版社[2]袁银宗.对数学史及其教学的思考与实验[j] .中学数学教学参考（初中）[3]李文林.数学史概论[m] . 高等教育出版社。

数学史融入“数系的扩充与复数的引入”的教学研究

总结
总结
本次演示探讨了数学史融入数学教学的意义与方式。通过融入数学史，可以帮助学生更好地理解数学理论和实践，提高他们的数学素养和综合素质。数学史也为教师提供了更加丰富的教学资源和指导方法。常见的融入方式包括在课程设计中融入数学史内容、适当引入历史案例、让学生阅读数学史相关书籍和文献以及开展数学史主题的实践活动。
2.在数学教学中适当引入历史案例
2.在数学教学中适当引入历史案例
在数学教学中，教师可以根据教学内容，适当引入历史案例。例如，在讲解数论时，可以引入著名的“哥德巴赫猜想”，让学生们了解数论的发展历程和未来的研究方向。同时，教师还可以引导学生们探讨历史案例中所蕴含的数学思想和解决方法，以便他们更好地掌握数学知识。
数学史在“数系的扩充与复数的引入”教学中的应用
2、培养学生的创新精神：通过介绍数学家在研究数系扩充和复数引入过程中的创新精神，可以鼓励学生积极探索、勇于创新。例如，可以讲述笛卡尔如何打破传统思维，将代数与几何相结合，从而推动了数系扩充的研究。
数学史在“数系的扩充与复数的引入”教学中的应用
3、强化数学概念的理解：通过数学史的融入，可以帮助学生更好地理解数学概念的来龙去脉和实际应用。例如，在讲解复数时，可以介绍复数在电信号处理、量子力学等领域的应用，从而帮助学生更好地理解复数的意义和价值。
四、数学史在统计学教学中的应用
四、数学史在统计学教学中的应用
统计学是数学的重要分支，对于中学生来说，掌握统计学的基本概念和方法是学习数学的重要任务之一。在教授统计学的过程中，教师可以引入数学史的内容，例如统计学的起源和发展历程、统计学家的研究故事等，帮助学生了解统计学的背景和发展历程，加深对统计学概念和方法的理解。

数学史教学设计案例

数学史教学设计案例一、古希腊数学的发展古希腊数学是数学史上的重要里程碑，其发展对后世数学产生了深远影响。

在这个案例中，我们可以设计一个关于古希腊数学的教学案例，列举以下内容：1. 古希腊数学的起源：介绍古希腊数学的起源，包括古希腊哲学家对数学的重视和数学的应用领域。

2. 毕达哥拉斯定理的发现：介绍毕达哥拉斯定理的发现和证明过程，让学生了解古希腊数学家发现这一重要定理的思路和方法。

3. 欧几里德的《几何原本》：介绍欧几里德的《几何原本》对几何学的贡献，包括公理化方法和证明方法的运用。

4. 阿基米德的浮力定律：介绍阿基米德的浮力定律的发现和应用，让学生了解数学在物理学中的应用。

5. 阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》：介绍阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》对几何学的贡献，包括椭圆、双曲线和抛物线的性质和应用。

6. 希波克拉底的三等分问题：介绍希波克拉底对三等分问题的研究和解法，让学生了解古希腊数学家在代数学方面的贡献。

7. 亚历山大的数学：介绍亚历山大帝国时期的数学发展，包括亚历山大图书馆的建立和对数学研究的推动。

8. 古希腊数学的影响：介绍古希腊数学对后世数学的影响，包括欧洲文艺复兴时期对古希腊数学的研究和应用。

9. 古希腊数学的教育价值：介绍古希腊数学的教育价值，包括培养逻辑思维能力、提高问题解决能力等方面的作用。

10. 古希腊数学的继承和发展：介绍古希腊数学的继承和发展，包括中世纪欧洲对古希腊数学的传承和发展，以及现代数学对古希腊数学的研究和应用。

通过这个教学案例，学生可以了解古希腊数学的发展历程、重要成果和影响，培养对数学的兴趣和学习动力，提高数学思维和解决问题的能力。

同时，学生也可以了解数学在人类文明发展中的重要作用，加深对数学的认识和理解。

“数学史融入”的数学教学探析——以七巧板拼图教学为例

‘现代基础教育研究“第３７卷，２０２０年３月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＭｏｄｅｒｎＢａｓｉｃＥｄｕｃａｔｉｏｎ）Ｖｏｌ．３７，Ｍａｒ．２０２０数学史融入的数学教学探析以七巧板拼图教学为例于㊀骏（上海市世界外国语中学，上海２００２３３）㊀㊀摘㊀要：㊀七巧板是中国人很早就发明出来的一种益智游戏，它巧妙地将几何图形融入游戏中，体现了中国古人的智慧㊂将数学史融入数学教学，让学生通过对七巧板数学史知识的重构，了解七巧板拼图体现的古人出入相补数形结合的思想，并且融入分类讨论的方法，使得七巧板中的教学手段更加丰富，更加具有数学的味道巧中生变，巧中取智㊂㊀㊀关键词：㊀数学史；七巧板；ＨＰＭ；出入相补；数形结合；分类讨论㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀作者简介：于㊀骏，上海市世界外国语中学高级教师，硕士，主要从事初中数学教学研究㊂一㊁引言七巧板是中国人很早就发明出来的一种益智游戏，它巧妙地将几何图形融入游戏中，体现了中国古人的智慧㊂沪教版初中数学七年级下册的探究活动一中就有七巧板问题探究内容，目的是将数学史融入数学教学中，不仅提升学生的兴趣，而且使学生对出入相补原理有初步认识㊂但由于受到教材编排的顺序以及教材的侧重点㊁学生空间想象思维的限制，初中学生对出入相补原理并不是很熟悉㊂笔者通过教材七巧板问题探究活动的内容，以趣味性㊁科学性㊁可学性㊁有效性和新颖性五项原则为指导，对历史材料进行了选择和重构加工，开设了一节拓展课㊂这节课力求使学生了解七巧板中的拼图问题不仅是各种有趣的拼图，而且还体现古人出入相补原理以及数形结合的思想，并融入分类讨论的方法，使得七巧板中的教学手段更加丰富，更加具有数学的味道，从而发展学生的思维能力㊂二㊁历史素材的选择与重构七巧图的起源尚无定说，它的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍‘周髀算经“，其中就有３人拼成三角形的记载㊂七巧板在国外被称为唐图（Ｔａｎｇｒａｍ），意思是来自中国的拼图㊂宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用６张小桌子组成的宴几请客吃饭的小桌子㊂可以确信的是，七巧图及与它类似的游戏燕几图㊁蝶几图或益智图，在明清两代曾于民间广为流行㊂清道光咸丰年间陆以濄（１８０１１８６５年）在‘冷泸杂记“中记载：宋黄伯思燕几圃，以方几七，长短相参㊂衍为二十五体，变为六十八名㊂明俨征蝶几冈，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅㊂其式三，其式六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余㊂近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余㊂体物肖形，随手变幻㊂盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜之㊂８８１这基本说明了其渊源，即宋代的燕几图到明代发展为蝶几图，到清初再演变成七巧图㊂清康熙年间刘献庭在‘广阳鸡记“中记述，他看到十三只拼板图所拼成的图形颇似蝶几图，但其记述十三块板或长方，或半长方，或锐角，或钝角，则又不似蝶几，然而这已是类似于七巧板（见图１）的拼板游戏了㊂明末清初，皇宫中的人还经常用它来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板，苏州拙政园中还保留着七巧板图案的清代家具㊂七巧板后来传往欧洲，至今风靡不衰㊂１９７８年荷兰人ＪｏｏｓｆＥｌｆｆｅｒｓ编写了一本有关七巧板的书，１８１８年德国和美国都出版了关于七巧板的书，意大利出版的书中还介绍了中国七巧板的历史㊂实际上欧洲早就有了比七巧板更为复杂的拼图游戏阿基米德的十四巧板（见图２）㊂古希腊人阿基米德最为珍贵的是两篇著作，即‘方法论“和‘十四巧板“，这是１９９８年在阿基米德羊皮书中整理发现的㊂据研究，十四巧板共有５３６种不同的拼成正方形的拼法，也有一说是１７１５２种不同拼法㊂图１㊀七巧板㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀阿基米德的十四巧板㊀㊀这些历史素材使得七巧板的整个脉络清晰起来，可以引发学生的兴趣，但是课堂教学毕竟时间有限，无法详细阐述，而且有些素材与本节课的主旨研究出入相补和数形结合思想并不十分契合㊂因此在选材的时候重点考虑本节课的教学目标来加以取舍，以达到更好的效果：１．通过探究活动，认识到拼图问题实质是需要分清㊁剖析组成图形的边㊁角㊁周长及面积要素之间的关系；２．知道古人是如何通过七巧板甚至十四巧板将几何融入游戏㊁融入生活的，体会出入相补原理和数形结合思想；３．在探究中结合分类讨论的思想，提升学生分析问题㊁解决问题的能力㊂因此，最后重构时决定录制一个２分钟左右的短视频七巧板的来历，介绍七巧板最初的燕几图㊁后续发展的蝶几图㊁拙政园的清代七巧板家具㊁变化多端的七巧板拼图以及阿基米德的十四巧板等内容㊂三、教学设计与实施１教材与学情分析单纯用七巧板拼出不同的图案，只是小学数学对学生直观感受出图形与几何的关系㊁感受几何图形的变化和美感的要求㊂而到了初中阶段，就要求学生具有数形结合的能力，要求学生能根据出入相补的原理来解释和进一步理解乘法公式的内涵㊂本节内容是沪教版七年级第二学期第十四章‘三角形“中的探究活动一，是在学生学习了三角形有关概念和性质的基础上的探究活动㊂教材以活动课的形式设计，引导学生通过对七巧板中蕴含的各种不同的图形构造，进行各种拼图游戏，充分调动学生学习的积极性，发挥学生丰富的空间想象力，倡导合９８１于㊀骏：数学史融入的数学教学探析作交流的学习气氛㊂（１）七年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的时期，在学习了六年级的代数式㊁方程（组）㊁不等式（组）以及七年级上学期整式的乘法公式之后，学生已经初步具备用字母表示数的观念和能力，也初步具有运用出入相补原理来解释整式的乘法公式的能力㊂（２）沪教版七年级上学期教材第九章拓展活动一的设计过程中强调问题情境创设的直观性以及情境的趣味性，借助七巧板拼摆可以引发这个时期学生对几何学习的积极性，并深入思考其中图形的内在联系㊂（３）七年级学生的抽象思维能力还较弱，空间观念有待发展㊂教师在进行七巧板的拼摆及教学活动时，应让学生在充分观察实物模型的基础上感知图形，并多提供机会，让他们在主动参与㊁勤于动手中自主创造㊁交互学习，从而乐于探究㊂２新课引入设问１：七巧板由几个图形组成？分别是什么样的图形呢？通过观察，学生能很快地正确回答㊂教师引导大家观察两个最小块，它们形状和大小完全一致，这与我们目前学习的全等三角形知识点联系了起来㊂设问２：七巧板的七个图形各个内角分别是多少度？假设七巧板中最小一块直角三角形的直角边长为１，那么它的斜边与直角边有何关系？关于边长和角度，七巧板中的角度只有三种，分别为４５ʎ㊁９０ʎ㊁１３５ʎ，这可以把最小的两块等腰直角三角形用不同的拼接方式得到，通过两种不同的重叠直角边和一种重叠斜边而形成了三种不同的图形：等腰直角三角形㊁正方形㊁平行四边形㊂同时引导学生观察两组图形中的面积刚好是２倍的关系，这样可为后面研究等腰直角三角形的斜边和直角边的关系奠定很好的基础㊂通过后续调查，以前玩过七巧板的很多学生并没有细想七巧板中图形的边与角的关系，只是凭直觉想象进行拼图㊂而通过这两个问题的提问，以及对七巧板中图形的观察和探究，学生认识到，几何拼图需要分清图形之间的边㊁角㊁面积等要素的关系，而且初步意识到可以从面积的角度来分析七巧板拼图问题㊂３问题探究（１）拼大号三角形问题１：在一套七巧板中中号图形能由小号图形组合得到，那么大号图形可以吗？㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３㊀大三角形的拼出：两种拼法㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀大三角形的拼出：第三种拼法㊀㊀针对这个问题，有些学生从直观的想象中，比较容易地回答出其中的两种（见图３），却遗漏了第三种拼法（见图４）㊂这时，教师通过引入部分面积的铺垫，引导大家思考：假如最小的等腰直角三角形的直角边为１，则其面积为１２，因此中号的三角形㊁正方形㊁平行四边形的面积则为１，大号等腰直角三角形就是２了㊂那么我们发现图３中的拼法从面积角度就是１２＋１２＋１＝２，其中两个面积为１２的小三角形都用了，面积为１的中号图形中分别用了等腰直角三角形和正０９１第３７卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀‘现代基础教育研究“（ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＭｏｄｅｒｎＢａｓｉｃＥｄｕｃａｔｉｏｎ）㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２０年３月方形，那么这两个图形可以用另一个面积为１的平行四边形来代替吗？经过尝试发现，学生很快地拼出了图４的拼法，而且考虑到大号三角形的面积为２的拆分，以及一套七巧板的限制，只有这三种构成大号三角形的方法了㊂因此，很自然地将７块七巧板按照面积分成三类：面积是１２的两小块小号等腰直角三角形，面积是１的三块中号图形（分别为等腰直角三角形㊁正方形㊁平行四边形），面积为２的两块大号等腰直角三角形㊂（２）４块巧板拼正方形问题２：你能用七巧板中的４块拼出正方形吗？你是如何分类的？也就是分类的标准是什么？图５㊀４块巧板拼出正方形有了上述面积的数和拆分以及分类的基础，接下来学生明显不是盲目地拼图，而是有意识地考虑：４块的正方形的面积应该是４，一是因为４是平方数，这时它的边长为２；二是因为７块七巧板的面积总和为８，不会再出现其他的类型㊂因此考虑数和４的拆分，拆成４个数（可从２个２，３个１，２个１２中选择）相加，于是比较顺利地得出４＝２＋１＋１２＋１２的唯一拆分方法，而其中的面积为１的图形同样如问题１中那样，可以分别用三种不同的图形去尝试，最后得出三种拼图（见图５）㊂同时结合以上分析得出分类标准：从面积的角度考虑，用数和的拆分来分类讨论，而在标准制订好之后，分类讨论的要求不重复㊁不遗漏㊂（３）５块巧板㊁７块巧板拼正方形问题３：你能用七巧板中的５块拼出正方形吗？能用所有７块拼出正方形吗？在以上拼图过程中运用到什么原理？㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀５块巧板拼出正方形㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀７块巧板拼出正方形㊀㊀用５块巧板拼出正方形是比较有难度的，让人意想不到的是，由于前面关于面积的数和拆分的分类讨论的讲解，课堂上很快就有学生能拼出来，回答也非常准确：由于５块拼出正方形，面积应该还是４，边长为２，考虑数和５的拆分，只可能是将问题２中的４＝２＋１＋１２＋１２拆分中的２再拆成两个１相加，１９１于㊀骏：数学史融入的数学教学探析即４＝１＋１＋１＋１２＋１２，也就是３块中号图形和２块小号三角形都要用上，考虑到边和角的拼接，最后拼出了图形（见图６）㊂由于小时候都接触过七巧板，加上本节课的介绍，用７块七巧板也顺利拼出正方形（见图７）㊂像上面的将几个图形经过拼接形成新的图形的方法，称为割补法㊂在课堂上，许多学生对这个概念都有印象，但是它实际上是运用到出入相补的原理，这个说法学生却显得有点陌生㊂虽然出入相补原理在七年级上学期整式的乘法和乘法公式中已经有过介绍和应用，但学生对它的印象却并不深刻，在课后的学生问卷调查中，其中有一个问题是本节课蕴含了哪些数学思想？在全部４７份问卷中只有４位学生回答了出入相补原理㊂针对这种缺失，笔者在课堂针对性地设计七巧板的拼图问题教学，渗透出入相补原理于教学中，继续探究下面几个问题㊂（４）七巧板拼平方差公式问题４：我们学习过平方差公式：ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）㊂你能用七巧板中的几块拼出这个公式吗？教师刚开始提出这个问题时大家有点懵：七巧板还能表示平方差公式？大多数学生之前都没有考虑过㊂教师适当地指出，可以用问题３中５块巧板拼出的正方形来试一试的时候，再结合图形的面积考虑，大家的思路一下子就开阔了㊂生：我们可以把ａ２－ｂ２看作是两个边长为ａ和ｂ的正方形的面积之差，就如问题３中，把那块小的边长为ｂ的正方形去掉，再重新组合成一个长方形，这个长方形的长是ａ＋ｂ，宽是ａ－ｂ，这样就可以说明平方差公式：ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）（见图８）㊂生：也可以把剩下的两个直角梯形的高重叠在一起，构成一个等腰梯形，上底是２ａ，下底是２ｂ，高是ａ－ｂ，也能得到平方差公式㊂生：还可以把它转一下，仍然是重叠高，但是得到的是平行四边形，底和高分别是ａ＋ｂ与ａ－ｂ，还是得到平方差公式㊂图８㊀利用５块巧板拼出平方差公式经过学生热烈的发言，笔者进一步指明，图８的第三种方法就是三国时期的赵爽用来说明平方差公式的方法，我们的想法和古人的想法是如此相似，并且创新出更多的方案㊂（５）七巧板拼完全平方公式问题５：我们学习过完全平方公式：（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２㊂你能利用两套七巧板中的几块拼出这个公式吗？对于完全平方公式的拼法，由于涉及要在大正方形中分出一个小正方形㊁一个中正方形以及两个全２９１第３７卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀‘现代基础教育研究“（ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＭｏｄｅｒｎＢａｓｉｃＥｄｕｃａｔｉｏｎ）㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２０年３月等的长方形，因此用一套七巧板是不够的㊂而利用两套七巧板时，还是要注意到面积，由于７块巧板的面积之和是８，而９是平方数，可以作为边长为３的正方形的面积，这样只要再加上两块面积是１２的小三角形，就可以用图９的方式表达出来㊂图９㊀七巧板拼出完全平方公式（６）七巧板拼等腰梯形和直角梯形问题６是一道思考题：你能用７块七巧板拼出一个等腰梯形吗？或是直角梯形呢？这样拼图的原理是什么？原理还是出入相补，同时考虑到面积的数和拆分㊂七块图形的总面积为８，并且考虑到七巧板的各个图形的内角只有３种：４５ʎ，９０ʎ，１３５ʎ㊂因此等腰梯形可以考虑Ｓ＝（２＋６）ˑ２ː２＝８；直角梯形可以考虑Ｓ＝（３＋５）ˑ２ː２＝８（见图１０）㊂图１０㊀七巧板拼出等腰梯形和直角梯形学生通过体会出入相补的原理，并且动手实践，拼出各种符合要求的图形，不仅提升了兴趣，更进一步挖掘了七巧板拼图问题中所包含的数形结合分类讨论思想，提升其总结和归纳的能力㊂四、数学史融入数学教学的学生评价１教学体现数学知识之谐、方法之美从知识技能来说，数学史融入数学教学（ＨＰＭ）有助于学生理解数学符号㊁术语㊁计算方法㊁表征方式㊁数学语言的演进过程，体现ＨＰＭ的知识之谐㊁方法之美，从而更好地理解数学㊂课前，教师对全班４７名学生进行了前测调查，其中有一个问题：我们学习过平方差公式：ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ），你能用图形的割补来表示这个公式吗？请画出你知道的方式（有几种画几种）㊂结果３９１于㊀骏：数学史融入的数学教学探析第３７卷㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀‘现代基础教育研究“（ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＭｏｄｅｒｎＢａｓｉｃＥｄｕｃａｔｉｏｎ）㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２０年３月不尽如人意：只有一人画出三种方式，３５人只能画出图８中第三种拼图方式，没有人画出图８中的第二种拼图方式㊂本节课后，教师对学生做了后测，其中的问题４本节课你学会了哪些平方差公式的几何图形表示？请画出（有几种画几种）㊂有１６人能正确画出三种表示方式，有４人能画出两种方式，还有１６人能准确地画出一种方式㊂这说明学生对本节课利用图形的方式表示乘法公式的印象非常深刻，并对运用出入相补原理来构造平方差等乘法公式有了更好的理解㊂本节课分类讨论和数形结合的数学思想的渗透也十分有效㊂在后测的问题简要介绍一下七巧板的组成以及它们之间的面积关系中，大多数学生能正确说出七巧板的组成以及按照面积进行分类㊂对于问题用４块拼正方形，有几种拼法，为什么？大多数学生都正确地说出用面积来进行数和的拆分，即４＝２＋１＋１２＋１２，因此用４块巧板可以有３种方法来拼出正方形㊂在本节课蕴含了哪些数学思想问题中，大多数学生回答了分类讨论数形结合，有少数学生还回答出出入相补等积变形探究与实践复制㊁平移㊁翻折等图形运动等，这说明学生对分类讨论和数形结合思想有了更深入的理解㊂２教学促进了思考，体现探究之乐从过程和方法来看，ＨＰＭ教学不仅为学生提供了探究机会，更多的是经过古今对比，拓宽了思维，促进了思考，体现了ＨＰＭ的探究之乐㊂对于后测的问题：用５块拼正方形，你是如何考虑的？随意尝试还是用面积关系？学生大都回答从面积的角度来考虑：一开始是随便尝试，后来学会了用面积来进行数和的拆分㊂问题小学或者幼儿园时，你玩过七巧板吗？你觉得本节课中你对七巧板有哪些新的认识？只有８位学生表示没有玩过，而通过本节课的学习，学生对七巧板这种游戏也有了新的认识：学会了通过七巧板的面积来解决代数问题；将数与形结合起来研究问题；七巧板不仅可以用来玩，还可以用来解决数学题，用另一种思考方式来解决问题；在拼的过程中，其中蕴含许多数学原理；七巧板是古人智慧的结晶；了解了七巧板的历史以及运用；不只是拼小人，还可以用来推演几何；原来七巧板问题如此复杂多样，可能性很多；七巧板不只是瞎拼乱凑；七巧板以前对我而言是拼出花鸟鱼虫的玩具，现在我发现它也是一种解释说明数学公式的好方法㊂３教学能激发学习兴趣，体现文化之魅㊁德育之效在情感㊁态度和价值观上，ＨＰＭ教学经过教师的加工重构后，使得学生能重新经历数学史中知识的发展迁移过程，从新角度来审视过程中的合理性，不断提出新的问题，分析问题，解决问题，从而激发学生的学习兴趣，也体现了ＨＰＭ的文化之魅和德育之效㊂在谈谈你对本节课的感想中，学生的回答就能说明ＨＰＭ的有效性：学习方法十分新颖，运用不同的视角学习数学；寓教于乐，有动手的机会；运用图形具象化题目是很好的方法，让我获益匪浅；懂得了七巧板的奥秘，了解了中国古人的智慧；老师讲得有声有色，我学会了不少新知识，其实笛卡尔应该是数形结合的始祖，能运用图形解释公式真的十分奥妙；巧妙地用七巧板勾起了学生对数学的兴趣；４９１于㊀骏：数学史融入的数学教学探析生活中蕴含着许多数学原理，我们需要去发现它们；有趣，有互动，浅显易懂，方法新；增强了我的思维能力，能用不同的标准来分类讨论；学会了很多教材上没有的知识㊂结合本节课，学生对分类讨论的思想和用图形来表示公式的出入相补原理都有更深的理解，达成了知识与技能的目标；而过程与方法则更是在深入思考的前提下给予学生动手实践的机会，不仅让学生体会到七巧板中古人的智慧，更是从另一个角度来重构七巧板的功能，培养学生发现问题㊁提出问题㊁分析和解决问题的能力；本节课中对七巧板的全新解构，让学生认识到数学来源于生活，与生活息息相关，而不是一些冰冷的符号㊁公式㊁运算，使得数学更具有亲和力，让学生逐步喜欢上数学，这些都是情感态度与价值观目标实现的标志㊂总之，在ＨＰＭ教学设计中，教师可以充分挖掘和拓展教材，对数学史的材料进行重构，使得数学史知识㊁数学史教育在课堂上发挥更大的价值㊂参考文献：［１］㊀汪晓勤．ＨＰＭ的若干研究与展望［Ｊ］．中学数学月刊，２０１２，（２）．［２］㊀李玲，顾海萍．平方差公式：以多种方式融入数学史［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教学），２０１４，（１１）．［３］㊀李溢．有趣的七巧板教学案例［Ｊ］．数学教学，２０１５，（２）．［４］㊀赵锋．有趣的七巧板教学设计［Ｊ］．初中数学教与学，２０１２，（７）．［５］㊀汪晓勤．数学史与数学教育［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教学），２０１４，（１）．［６］㊀汪晓勤，张安静．平方差公式的历史［Ｊ］．中学数学教学参考（中旬），２０１０，（１１）．［７］㊀赵爽．‘周髀算经“郭书春注［Ａ］．中国科学技术典籍通汇㊃数学卷（一）［Ｃ］．郑州：河南教育出版社，１９９４．［８］㊀汪晓勤．ＨＰＭ：数学史与数学教育［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［９］㊀汪晓勤．数学文化透视［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，２０１３．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＴｅａｃｈｉｎｇｏｆｔｈｅＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＨｉｓｔｏｒｙＴａｋｉｎｇｔｈｅＴｅａｃｈｉｎｇｏｆＪｉｇｓａｗＰｕｚｚｌｅａｓａｎＥｘａｍｐｌｅＹＵＪｕｎ（ＳｈａｎｇｈａｉＷｏｒｌｄＦｏｒｅｉｇｎＬａｎｇｕａｇｅＳｃｈｏｏｌ，Ｓｈａｎｇｈａｉ，２００２３３）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＪｉｇｓａｗｐｕｚｚｌｅｉｓａｋｉｎｄｏｆｉｎｔｅｌｌｅｃｔｕａｌｂｅｎｅｆｉｔｇａｍｅｉｎｖｅｎｔｅｄｂｙＣｈｉｎｅｓｅｐｅｏｐｌｅａｌｏｎｇｔｉｍｅａｇｏ．Ｉｔｓｋｉｌｌｆｕｌｌｙｉｎ⁃ｔｅｇｒａｔｅｓｇｅｏｍｅｔｒｙｉｎｔｏｔｈｅｇａｍｅａｎｄｅｍｂｏｄｉｅｓｔｈｅｗｉｓｄｏｍｏｆａｎｃｉｅｎｔＣｈｉｎｅｓｅ．Ｂｙｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｎｔｏｍａｔｈ⁃ｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇ，ｓｔｕｄｅｎｔｓｃａｎｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｏｆｊｉｇｓａｗｐｕｚｚｌｅａｎｄｓｏｌｖｅｔｈｅｐｕｚｚｌｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｊｉｇｓａｗｐｕｚｚｌｅ，ｗｈｉｃｈｉｓｎｏｔｏｎｌｙａｖａｒｉｅｔｙｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｐｕｚｚｌｅｓ，ｂｕｔａｌｓｏｔｈｅａｎｃｉｅｎｔｐｅｏｐｌｅｓｔｈｏｕｇｈｔｏｆｔｈｅＯｕｔ－ｉｎＣｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙＰｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｎｕｍｂｅｒｗｉｔｈｔｈｅｓｈａｐｅａｎｄｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ．Ｉｔｍａｋｅｓｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｉｎｊｉｇｓａｗｐｕｚｚｌｅｍｏｒｅｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ，ａｎｄｓｈｏｗｓｔｈｅｎａｔｕｒｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＵｓｉｎｇｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅｔｏｔａｃｋｌｅｔｈｅｃｏｎｓｔａｎｔｃｈａｎｇｅｉｎｊｉｇｓａｗ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｊｉｇｓａｗｐｕｚｚｌｅ，ＨＰＭ，ｔｈｅＯｕｔ－ｉｎＣｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙＰｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｓｈａｐｅｓ，ｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ５９１。