三角形的欧拉线
从直角三角形中的欧拉线谈起
Ｅ日 ２ ＝Ｅ Ｂ ２ Ｂ 日 ２ Ｅ ． Ｈ Ｃ Ｓ ＥＢ Ｈ ， ＋ —２ Ｂ Ｏ
此题．但假如 ＡＡ ＢＣ是任意三 角形呢？恐怕就 会给坐标法解 此题带来一些 麻烦．其 实此题结 论对 于任意三角形也成立， 下面给 出证明． 证明： 图 １ ， 四边形 ＦＢＥ日是平行四边 如 １设
例３ 余 弦树． 曾遇到这样一个题 目： 如图 ７ 最 中间的三角 ， 形 为直 角三 角形， 个 四边形都是正方形， ６ 求证
ｓ ４＋ Ｓ５＋ Ｓ６ Ｓ１＋ ＋ 一
图３
图４
图３ 应该是大家非常熟悉 的图形， 据说欧几 里德就是利用这一图形证 明勾股定理 的． 其过程 需要用全等三角形的知识证明Ｓ Ｂ Ｄ＝Ｓ Ｋ Ｉ ＥＡ Ａ Ｎ，
的三高 的延长线将三个正方形分为 ６ 个矩形， 而 且两两相等，Ｓ Ｆ Ｂ ＭＪ ＝ Ｓ Ｌ Ｅ ＝ ａ ｃｓ ＢＰ ｃｏ Ｂ，
ＳＭ ＧＣＪ ＝ ＳＣＨＮＫ ＝ ａ Ｃ ＳＣ ． Ｓ ｂＯ ＫＮＩ ＝ Ａ
ＳＡ Ｌ ＤＰ ＝ ｂ Ｃ Ｓ ｃ Ｏ Ａ，则 ｂ ＋ Ｃ ＝ ２ ｃ Ｏ Ａ ＋ ｂ ＣＳ
Ｇ 垂 心 Ｈ 三点共 线 （ 线被 称为欧拉 线） 并 、 此 ， 且２ ０Ｇ ＝ ＧＨ．当时觉得很有意思， 希望记下 来， 反复好几次， 都没记住， 经常把三个点的位置
记错， 甚至有时候还将 内心也扯进来 了． 无意中 想到， 既然是对任意三 角形成立， 么对直角三 那 角形也应该成立啊， 于是便得到图 ２ ， ＢＣ ＝
时也对直角三 角形 的特殊性有 了兴趣．下面给
例 ２ 证明柯西不等式．
以前 的很多教材利 用相似三角形来证明勾
三角形八大定理
三角形八大定理三角形八大定理是三角形几何学中非常重要的概念，它们是三角形基本性质的总结和归纳。
在三角形的研究中，这些定理不仅具有理论价值，还有实际应用价值。
本文将对三角形八大定理进行详细介绍。
一、角平分线定理定义：三角形内任意一条角的平分线，将这个角分成两个相等的小角。
证明：假设AB为三角形ABC的一条角的平分线，交BC边于点D。
根据角的定义，∠BAD和∠DAC是相等的。
又因为∠BAD和∠DAC的和等于∠BAC，所以∠BAD和∠DAC都等于∠BAC的一半。
二、垂心定理定义：三角形三条高的交点称为垂心，垂心到三边的距离分别为h1、h2、h3，那么h1:h2:h3=bc:ac:ab。
证明：假设H为三角形ABC的垂心，AH、BH、CH分别垂直于BC、AC、AB。
根据三角形相似的性质，可得AH:HB=cosB:cosABH:HC=cosC:cosBCH:HA=cosA:cosC由于cosA:sinA=bc:2S，所以AH:HB=bc:sinB:sinABH:HC=ac:sinC:sinBCH:HA=ab:sinA:sinC将上述三个等式带入第一个等式中，得到h1:h2:h3=AH:HB:BH:HC=bc:ac:ab三、中线定理定义：三角形三条中线交于一点，称为重心。
重心到三角形三个顶点的距离相等，即G到AB、AC、BC的距离相等。
证明：假设D、E、F为三角形ABC的中点，交于点G。
由于AD、BE、CF是三角形ABC的中线，所以它们相等。
又因为G是三角形ABC 的重心，所以AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1，所以AG:AB=GD:AD=1:2BG:BC=GE:BE=1:2CG:AC=GF:CF=1:2由此可得，G到三角形三个顶点的距离相等。
四、欧拉线定理定义：三角形三条高、重心、垂心、外心四个点的连线，称为欧拉线。
欧拉线定理指出，垂心、重心、外心三点共线，且重心到外心的距离等于垂心到外心的距离的两倍。
九点圆与欧拉线
九点圆与欧拉线
【九点圆（欧拉圆或费尔巴赫圆）】三角形中，三边中点、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1、三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2、九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3、三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．【欧拉线】
定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线的性质：
1、在任意三角形中，以上四点共线。
锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和
2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
3、欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．。
欧拉线
欧理线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。
连结AD、CD、AH、CH、OH。
作中线AM，设AM交OH于点G’∵ BD是直径∴ ∠BAD、∠BCD是直角∴ AD⊥AB，DC⊥BC∵ CH⊥AB，AH⊥BC∴ DA‖CH，DC‖AH∴ 四边形ADCH是平行四边形∴ AH=DC∵ M是BC的中点，O是BD的中点∴ OM= 1/2DC∴ OM= 1/2AH∵ OM‖AH∴ △OMG’ ∽△HAG’∴AG’/MG’=AH/MO=2/1∴ G’是△ABC的重心∴ G与G’重合∴ O、G、H三点在同一条直线上如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H 三点的坐标即可.欧拉线的证法2设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。
连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。
连接OD ，又因为O 为外心，所以OD⊥BC。
连接AH 并延长交BC 于E,因H 为垂心,所以 AE⊥BC。
所以OD//AE ，有∠ODA=∠EAD。
由于G 为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG 并延长交BA 于F,则可知F 为AB 中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF连接FD ，有FD 平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD 平行AC ，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。
欧拉线问题 解析版-高中数学
欧拉线问题欧拉线是高中数学常见的信息题类的考点，其原理很简单：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线叫做三角形的欧拉线，只需要掌握图形特点即可轻松求解等腰三角形中的欧拉线(中垂线)1.数学巨星欧拉(LeonhardEuler，1707~1783)在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知△ABC的顶点B(-1,0)，C(0,2)，且AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0【答案】D【分析】根据题意得出△ABC的欧拉线方程为线段BC的垂直平分线，再根据点B和点C的坐标求出线段BC 的垂直平分线即可．【详解】由B(-1,0)，C(0,2)，得线段BC中点的坐标为-1 2 ,1，所以线段BC的斜率k BC=2，所以线段BC垂直平分线的方程为：y-1=-12x+12，即2x+4y-3=0，又因为AB=AC，所以△ABC的外心、中心、垂心都在线段△ABC的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0，故选：D．2.瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC，点B-1,3，点C4,-2，圆M:(x+3)2+y2= 4,P x0,y0是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()A.△ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得∠MPN=π6C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点【答案】ABD【分析】由题意求出BC中点为D的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线AD的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项即可.【详解】设BC中点为D，因为AB=AC，所以AD⊥BC，因为k BC=3+2-1-4=-1，所以k AD=1，且x D=-1+42=32，y D=3-22=12，所以D32,12，由题意可得欧拉线为直线AD，则欧拉线的方程为y-12=x-32即y=x-1，A正确；由圆的切线性质可得∠MPD≥∠MPN，设P(a,a-1)，则PM2=(a+3)2+(a-1)2=2a2+4a+10，在△MPD中由正弦定理得PMsin∠PDM=PDsin∠MPD，所以sin∠MPD=PD×sin∠PDMPM=22a2+4a+10，由二次函数的性质得当a=-42×2=-1时2a2+4a+10取最小值8，所以sin∠MPD=22a2+4a+10≤22，即∠MPD的最大值为π4，所以∠MPN≤π4，所以圆M上存在点N，使得∠MPN=π6，B正确；由圆的切线的定义可知PD⊥MD，PE⊥ME，PD=PE，所以S PDME=S△PMD+S△PME=12×PD×MD+12×PE×ME=2PD，又因为PD=PM2-4，且PM min=-3-112+(-1)2=22，所以PD min=4即四边形PDME面积的最小值为4，C错误；设P(a,a-1)，因为PD⊥MD，PE⊥ME，所以P,D,M,E四点共圆，其中PM为直径，设PM中点Ha-32,a-12，则PH=a-a-322+a-1-a-122=a2+2a+52，所以圆H为x-a-3 22+y-a-122=a2+2a+52即x2+y2-(a-3)x-(a-1)y-3a=0，所以DE为圆M和圆H的相交弦，两圆方程相减得DE方程为(a+3)x+(a-1)y+5+3a=0，即a(x+y+3)+3x-y+5=0，由x+y+3=03x-y+5=0解得DE过定点(-2,-1)，D正确；故选：ABD3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边△ABC中，AB=AC，点B坐标为-1,1，点C坐标为3,-3，且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=r2r>0相切，则△ABC的“欧拉线”方程为，圆M的半径r=．【答案】y=x-22【分析】分析可知△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，求出线段BC 的中垂线方程，可得出△ABC 的“欧拉线”方程，利用圆心到“欧拉线”的距离等于圆的半径可求得r 的值，即可得解.【详解】线段BC 的中点为M 1,-1 ，在非等边△ABC 中，AB =AC ，所以，△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，k BC =1+3-1-3=-1，所以，△ABC 的“欧拉线”方程为y +1=x -1，即y =x -2，由已知，圆M 与直线y =x -2相切，故r =212+12= 2.故答案为：y =x -2；2.普通三角形中的欧拉线4.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，则△ABC 的欧拉线方程为()A.4x -3y -6=0B.3x +4y +3=0C.4x +3y -6=0D.3x +4y -3=0【答案】C【分析】先求出△ABC 的重心坐标，由k AB ⋅k AC =-1得出△ABC 为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案．【详解】因为△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，所以△ABC 的重心为G 1,23 ，因为k AB =2，k AC =-12，所以k AB ⋅k AC =-1，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 的外心为BC 的中点D 32,0 ，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC 的欧拉线为直线GD ，所以△ABC 的欧拉线方程为y -023-0=x -321-32，即4x +3y -6=0，故选：C ．5.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知A 0,2 ，B 4,2 ，C a ,-1 ，且△ABC 为圆x 2+y 2+Ex +Fy =0内接三角形，则△ABC 的欧拉线方程为.【答案】y =1/y -1=0【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出E 、F ，从而得到圆心坐标即△ABC 的外心坐标，再确定△ABC的重心坐标，即可得解.【详解】依题意22+2F=042+22+4E+2F=0，解得E=-4F=-2，所以圆x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5，故圆心坐标为2,1，即△ABC的外心坐标为2,1，又△ABC的重心坐标为a+43,1 ，又点2,1、a+4 3,1均在直线y=1上，所以△ABC的欧拉线方程为y=1.故答案为：y=16.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC=BC，顶点A-1,0、B1,2，且其“欧拉线”与圆M：x+52+y2=r2r>0相切．(1)求△ABC的“欧拉线”方程；(2)若圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，求a的范围．【答案】(1)x+y-1=0(2)a∈-7,7【分析】(1)由等腰三角形三线合一知△ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，根据与直线AB垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程；(2)由直线与圆相切得到圆M的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围.【详解】(1)因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A-1,0、B1,2可得：AB的中点D1-12,0+22，即D0,1 ，由k AB=2-01--1=1，得k l=-1，故l的方程为y-1=-x即x+y-1=0；(2)因为l与圆M：x+52+y2=r2相切，故圆心M-5,0，r=|6|1+1=32，圆x2+y-a2=2的圆心坐标为0,a，半径r1=2，则要想圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，则两圆外切、相交或内切，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，即32-2≤-52+a2≤32+2，故22≤25+a2≤42，解得a∈-7,7．。
欧拉线的证明3.0版
高一（1）班离弦组制作人：艾莉希儿2021.3.9数学实践课简介欧拉线是指三角形的外心、重心、垂心，三点共线，在欧拉之前，三角形的外心、重心、垂心等的性质已经被人深入研究，但他们之间的联系却很少有人探讨，而欧拉对这些“心”之间的联系产生了较大兴趣，于1765年证明了此定理，因而人们把这条直线叫欧拉线。
今天我们组就为大家带来它的证明。
证明：设O是△ABC的外心，G是重心，AL是中线，由重心性质可得AG∶GL＝2∶1，延长OG至H，使GH＝2GO，则有GH∶GO＝AG∶GL∴OL∥AH，∵OL⊥BC，∴AH⊥BC，延长AH交BC于D，则AD⊥BC，同理，CH⊥AB。
故H为△ABC的垂心，∴O、G、H三点共线，即△ABC的外心、重心、垂心三点共线。
当然我们是要使用向量来证明这个定理的，所以下面是向量的证明方法在此之前，我们先给出平面直角坐标系里重心的表达式设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则△ABC的重心（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3）.设三角形的外接圆半径为1设3个顶点为A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc)由重心坐标公式G((cosa+cosb+cosc)/3,(sina+sinb+sinc)/3)设H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)用向量垂直的条件得AH'⊥BC,BH'⊥AC.所以,H'与垂心H重合.易见向量OH=3向量OG.故O,G,H三点共线.当然，还可以看出OG:OH=1:3完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿感谢聆听ps：还有什么到不到的地方就这样吧。
我都快口区了。
关于欧拉线的一个有趣结论
关于欧拉线的一个有趣结论上海市延安中学 钟建国我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线。
这条直线，就叫做三角形的欧拉线。
笔者在研究中发现一个关于欧拉线的有趣结论：如图1，已知1234L L L L 、、、这四条直线中的任意三条直线都能围成一个非等边的三角形，且123L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行于4L ，则124L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行或重合于3L 。
下面给出这一结论的两种证法。
方法一：平几法。
我们先来证明一个预备定理：设1C 是ABC ∆边CB 延长线上的一点，O G 、分别为ABC ∆的外心和重心，11O G 、分别为1ABC ∆的外心和重心。
如果1//OG AC ，那么11//O G AC 。
证明：如图2，设直线OG 交直线1CC 于点D 。
我们试图证明：1//G D AC ，1//O D AC ，从而就有11//O G AC 。
先证明1//G D AC 。
如图3，连结1AG 并延长交1C B 于点1E ，连结AG 并延长交BC 于点E ，显然，1E E 、分别为线段1C B BC 、的中点。
设111C E E B x ==，BE EC y ==。
由1// GD AC ，得12C D DE =。
通过计算容易证得112E D DC =，即1//G D AC 。
再证明1//O D AC 。
如图4，因为1//OD AC ，所以11ODB C OO B ∠=∠=∠，这表明1O D B O 、、、四点共圆。
于是，111O D C O O BC ∠=∠=∠，即1//OD AC 。
最后证明原命题：如图5，过2L 、3L 的交点作54//L L 。
利用相似形的原理容易证明：124L L L 、、围成的三角形的欧拉线，一定平行于125L L L 、、围成的三角形的欧拉线。
如果123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于4L ，那么，123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于5L 。
三角形的四心&欧拉线的证明
三角形的四心三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。
等边三角形的四心重合。
一、三角形的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的三条中线必交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
三角形的三条中线必交于一点求证：AE=CE证明：延长OE到点G，使OG=OB∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、三角形的外心三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形的三条垂直平分线必交于一点三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O求证：O点在BC的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO∵EO垂直平分AC，∴AO=CO∴BO=CO即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
三角形的欧拉线与费马点
三角形的欧拉线与费马点欧拉线和费马点是三角形几何中的两个重要概念。
欧拉线是连接三角形的垂心、重心、外心和内心的一条直线；费马点是使三角形内各边上的两个角相等的点。
本文将介绍三角形的欧拉线和费马点的相关理论和性质。
一、欧拉线的定义及性质在三角形ABC中，垂心H是高线的三个垂足的交点，重心G是三角形三条中线的交点，外心O是三角形外接圆的圆心，内心I是三角形内切圆的圆心。
连接H、G、O和I的直线被称为欧拉线。
欧拉线具有以下性质：1. 欧拉线与垂心连线垂直：欧拉线与垂心H的连线是垂直的，即HO⊥BC、GO⊥AC和IO⊥AB。
2. 欧拉线与三角形的关系：欧拉线与三角形内切圆和外接圆有密切的联系。
其中，欧拉线的中点是外心O和内心I连线的中点，也是重心G和垂心H连线的中点。
3. 欧拉线的长度关系：设三角形边长分别为a、b、c，欧拉线上的点离三角形顶点的距离分别为d、e、f，则有d = R - 2r，e = R + 2r，f = 2R；其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。
二、费马点的定义及性质费马点是使三角形内各边上的两个角相等的点，也被称为费马点和莫尔根布洛赫点。
设三角形ABC中的两个角∠BAC和∠ABC相等，费马点P满足∠APB = ∠BPC = ∠CPA。
费马点具有以下性质：1. 费马点的唯一性：对于任意的三角形ABC，费马点P是唯一的。
2. 费马点与三角形的关系：费马点P到三角形的各顶点的距离之和是常数，即PA + PB + PC = 常数。
3. 费马点与等边三角形：对于等边三角形ABC，费马点P与各顶点的距离相等。
三、欧拉线与费马点的关系三角形的欧拉线与费马点之间存在着紧密的联系。
1. 费马点在欧拉线上：对于任意三角形ABC，费马点P总是在欧拉线上。
2. 欧拉线上的重要点：在三角形ABC中，欧拉线上的垂心H、重心G、外心O和内心I都与费马点P在一条直线上。
3. 欧拉线的切点：欧拉线与三角形的外接圆和内切圆有两个切点，这两个切点与费马点P共线。
欧拉(Euler)线：
欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；。
已知PC的值若AE葛尔刚（Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1B2与A2B1交于点X，A1B3与A3B1交于点Y，A2B3于A3B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
帕斯卡（Paskal）定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。
托勒密（Ptolemy）定理：在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD（任意四边形都可！哇哈哈）斯图尔特（Stewart）定理：设P为△ABC边BC上一点，且BP：PC＝n：m，则m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2)＋n·(PC2)＋（m＋n）(AP2)梅内劳斯定理：在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝1阿波罗尼斯（Apollonius）圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
三角形的欧拉线与边的位置关系
三角形的欧拉线与边的位置关系作者：李善佳来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第11期天津师范大学数学科学学院300387摘要：本文探讨了三角形欧拉线与三边的位置关系，揭示了欧拉线平行于三角形一边的条件.关键词：欧拉线；外心；重心；垂心；平行我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线，这样的直线就是著名的欧拉线. 在欧拉线上，重心到垂心的距离等于重心到外心距离的2倍.以下用O，G，H分别表示△ABC的外心、重心、垂心.情形一，△ABC是等边三角形，此时外心、重心、垂心三点重合，欧拉线缩成一点（如图1）.[A][B][C][G][·][H][O]图1情形二，△ABC是底边与腰不相等的等腰三角形，此时，欧拉线垂直平分底边AB（如图2）.[C][A][H][G][O][B]图2情形三，△ABC是直角三角形，∠A=90°，此时，垂心H与直角顶点A重合，外心O等分斜边BC，欧拉线是斜边上的中线所在的直线（如图3）.情形四，△ABC是钝角三角形，∠A>90°，此时，重心G与外心O分别在BC的两侧，欧拉线与钝角所对的边（即最长边）相交，也与其他两边（或它们的延长线）相交（如图4）.[A][H][G][O][C][B]图4显然，以上四种情形的欧拉线与三角形的任意一边都不平行. 那么，要使欧拉线平行于三角形的某一边，需要满足什么条件呢？如图5，设边AB固定，C为动点，欧拉线与AB平行. 以AB中点D为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设AB=2，则点A，B的坐标分别为（－1，0），（1，0），又设O（0，d），C（x，y），△ABC的外接圆半径为r，则有（x－0）2+（y－d）2=r2，由于GH∥DB，CD=3GD，故d=，又r2=1+d2，因此x2+=1，这是中心在原点，焦点在y轴上的椭圆方程. 排除A，B，E，F四点，点C的轨迹方程为x2+=1（－1[D][A][r][O][G][H][B][（1，0）][x][C（x，y）][E][y][（-1，0）][F]图5cot∠AOD=d根据GH=2GO知，重心G的轨迹方程是+=1。
欧拉线
欧理线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。
连结AD、CD、AH、CH、OH。
作中线AM，设AM交OH于点G’∵ BD是直径∴ ∠BAD、∠BCD是直角∴ AD⊥AB，DC⊥BC∵ CH⊥AB，AH⊥BC∴ DA‖CH，DC‖AH∴ 四边形ADCH是平行四边形∴ AH=DC∵ M是BC的中点，O是BD的中点∴ OM= 1/2DC∴ OM= 1/2AH∵ OM‖AH∴ △OMG’ ∽△HAG’∴AG’/MG’=AH/MO=2/1∴ G’是△ABC的重心∴ G与G’重合∴ O、G、H三点在同一条直线上如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H 三点的坐标即可.欧拉线的证法2设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。
连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。
连接OD ，又因为O 为外心，所以OD⊥BC。
连接AH 并延长交BC 于E,因H 为垂心,所以 AE⊥BC。
所以OD//AE ，有∠ODA=∠EAD。
由于G 为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG 并延长交BA 于F,则可知F 为AB 中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF连接FD ，有FD 平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD 平行AC ，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。
欧拉公式 三角形
欧拉公式三角形三角形是数学中最基本的几何图形之一，几乎每一个人都熟悉它。
但是，只有少数人知道欧拉公式是用来计算三角形的面积的，它是18世纪德国数学家卡尔欧拉发现的重要公式。
本文将讨论欧拉公式三角形，以及它是如何工作的。
欧拉公式是一个简单而强大的公式，它可以用来计算三角形的面积，它也被称为欧拉三角形公式。
它的公式是：面积 = 1/2 x a x b x sinC，其中a和b是三角形的两边，C是它们之间的夹角。
这意味着，只要知道三角形的三个边长，就可以使用欧拉公式轻松计算出它的面积。
欧拉三角形公式的历史可以追溯到18世纪，当时卡尔欧拉首次提出了这一公式。
尽管它在当时似乎是一个新发现，但实际上在古希腊和古罗马时期就已经存在了，他们知道如何在几何中计算三角形的面积。
古希腊几何家希腊尼基将三角形的面积定义为它的三边的一半乘以它们之间的夹角的正弦值。
欧拉的发现只是用西方的方式重新表达了这个想法，因此大多数历史学家认为欧拉不是实际发明这个公式，只是将其表达为西方算法。
今天，欧拉三角形公式是一个广泛使用的数学工具，它在建筑，土木工程，航空航天等领域都得到了广泛应用。
它也被用于位置标识，例如确定地图上两个点之间的距离，或者确定一艘船在海上的位置。
此外，欧拉公式也被用来计算圆面积，已知圆半径的情况下，可以使用下面的公式：面积=πr2，其中r是圆的半径。
总的来说，卡尔欧拉的欧拉三角形公式是一个重要的发现，它是一个极其重要的数学工具，它可以用来计算三角形和圆的面积，它在航空航天，建筑，土木等领域中都得到了广泛应用。
今天，欧拉公式仍然是一个受欢迎的数学工具，它正在帮助我们解决复杂的问题。
三角形欧拉线一般方程
三角形欧拉线一般方程说到几何，大家可能会觉得有点复杂，不过别担心，我会用简单的语言带你一起走进这个神秘的世界。
今天我们要聊的是三角形的欧拉线和它的方程。
听上去是不是有点高大上？别急，我会一步一步来，让你能轻松搞懂这些概念。
1. 什么是三角形的欧拉线？1.1 基本概念首先，我们得了解欧拉线是什么。
简单来说，三角形的欧拉线就是一条神奇的直线，这条直线经过了三角形的一些特别的点：外接圆的圆心、重心和垂心。
你可以把它想象成一条神奇的纽带，把这些点连接起来。
听起来有点像童话故事里的魔法吗？1.2 重要性欧拉线可不是随便哪条直线，它在数学和几何里有着极其重要的地位。
这条线有时被称为几何的“万能钥匙”，因为它在很多问题中都能发挥作用。
2. 欧拉线的一般方程2.1 方程的推导要弄清楚欧拉线的一般方程，我们先得知道一些基础知识。
我们先来看看三角形的坐标系。
假如你给我一个三角形的三个顶点坐标，我们就可以用这些坐标来找出欧拉线的方程了。
听上去是不是有点头晕？别担心，我会逐步解释。
2.2 方程的具体形式欧拉线的方程可以写成标准的直线方程形式。
通过一些数学公式，你可以用三角形的顶点坐标来求得。
比如，给定一个三角形的三个顶点 ( A(x_1, y_1) )、( B(x_2, y_2) ) 和( C(x_3, y_3) )，我们可以通过代入公式来求出直线的方程。
3. 实际应用3.1 实际计算举个例子，假如你要用这些公式来计算一个实际问题，你可以先找到三角形的外接圆圆心、重心和垂心的坐标。
然后用这些坐标代入公式，你就能找出欧拉线的方程了。
是不是感觉数学一下子变得有趣了起来？3.2 几何中的应用在几何问题中，欧拉线的方程帮助我们解决各种问题，比如三角形的性质、角度关系等等。
它的用途非常广泛，就像一个万能工具箱，能帮你解决很多难题。
4. 总结总的来说，欧拉线是三角形中一条非常特别的直线，它连接了外接圆的圆心、重心和垂心。
通过一些数学公式，我们可以找出这条直线的方程。
三角形的欧拉线方程
三角形的欧拉线方程
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目录
1.欧拉线的定义
2.三角形的欧拉线方程
3.欧拉线的应用
正文
1.欧拉线的定义
欧拉线，又称为欧拉线段，是指在平面上连接一个三角形的一个顶点和与其不相邻的另外两个顶点中点的线段。
三角形的欧拉线共有三条，分别连接三个顶点与对边中点。
欧拉线在几何学中有着广泛的应用，如计算三角形的面积、证明三角形的性质等。
2.三角形的欧拉线方程
对于一个三角形 ABC，假设 D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，那么三角形 ABC 的欧拉线方程可以表示为：
AD = BD·CD
AE = CE·BE
AF = DF·BF
其中，AD、AE、AF 分别为三角形 ABC 的三条欧拉线，BD、CE、DF 分别为三角形 ABC 的三条边的中点连线。
3.欧拉线的应用
三角形的欧拉线在解决几何问题时具有重要意义。
首先，通过欧拉线方程，可以求解三角形的面积。
例如，在直角三角形中，斜边的中点到另外两个顶点的距离即为直角边的一半，根据欧拉线方程可以求得面积。
其次，欧拉线在证明三角形的性质方面也有重要应用。
例如，通过欧拉线可以证明三角形的角平分线、中线和旁心等性质。
此外，欧拉线在其他几何形状，如四边形、五边形等多边形中也有类似的应用。
三角形的欧拉线
所以 ,
故 AB ∶ AC∶ BC = 2∶ 2∶ 1. 例 5 如图 5 , 在锐角 △ABC 中 , ∠B =
30° , AD 、 B E 是两条高 , 点 H 是垂心 , 点 G 是
△AB H 的重心 ,直线 CG 交 AB 、 AD 于 M 、 N. 证明 : △AMN 是正三角形 . 讲解 : 如图 5 , 取 △AB H 的 外心 O , 易知点 C 是 △AB H 的 垂心 . 所以 , O 、 G 、C 三 点 共 线 ,且该直线是
OH = 3 OG.
2 2 2 2 因此 , OH = 9 R - ( a + b + c ) . 例 7 如图 7 , ⊙O 是 Rt △ABC 的内切
圆 , A′ 、 B′ 、 C′ 分别是三边上的切点 . 证明 : △A′ B′ C′ 的欧拉线平分斜边 AB .
图7
讲解 : 如图 7 , 联结 OA′ 、 OB′ 、 OC′ , 射线
H ,取重心 G ,则直线 GH 为 △ABC 的欧拉
令 SH = 1 ,则 DH = 2 , AS = SD = 3 , AH = AS + SH = 4. AH 4 因为 = = 2 ,由三角形重心性质知 HD 2
AG = 2. GK
故
AH AG = . HD GK
所以 , GH ∥BC ,即 △ABC 的欧拉线平行
CO 交 AB 、 A′ B′ 于 N、 S . 易知四边形 A′ CB′ O 为正方形 , 则 CS = SO , SA′ = SB′ , △A′ B′ C′ 的重心 G 在中线 C′ S 上. 设 △A′ B′ C′ 的欧拉线 GO 交斜边 AB 于 点 M . 观察 △SNC′ 及直线 MOG , 利用梅涅劳
用向量方法研究三角形欧拉线的几何特征
用向量方法研究三角形欧拉线的几何特征邬天泉 （浙江省台州市洪家中学 318015）[本文已发表于华中师大《数学通讯》2004-17期]文[1]给出了推断三角形五“心”的向量形式的一组充要条件，这组充要条件不仅形式简捷美观，而且还具有较强的实用性，本文以三角形重心为起点，三角形两个顶点为终点的向量为基底，给出了三角形中一些特征向量（例如欧拉线所在的向量）的线性表示，进一步研究了这些特征向量的有趣的几何性质。
引理[1设O 是⊿ABC 所在平面上的一点，则]（1） O 是⊿ABC 重心0;OA OB OC ⇔++=JJJ G JJJ G JJJ G G（2） O 是⊿ABC 内心sin sin sin 0;A OA B OB C OC ⇔⋅+⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G（3） 在非直角三角形中，O 是⊿ABC 垂心tan tan tan 0;A OA B OB C OC ⇔⋅+⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G（4） O 是⊿ABC 旁心sin sin sin 0A OA B OB C OC ⇔−⋅+⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G 或sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅−⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G 或sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅−⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G . 定理1 ⊿ABC 的重心为G ,内心为I, 垂心为H , 内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c,则 （1） ;a b a c IG GB a b c a b c −−=+++++JJG JJJ G JJJ G GC ⋅ （2）； cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =−⋅+−JJJG JJJ G JJJ G （3） 若⊿ABC 的BC 边的旁心为O,则 a b a c OG GB GC a b c a b c++=+−−−−JJJ G JJJ G JJJ G ； ()()22222()a IO b c GB b c GC b c a⎡⎤=+++⎣⎦+−JJ G JJJ G JJJ G . 证明 (1) 由引理的（2）得 sin sin sin 0;A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=JJ G JJ G JJ G G据正弦定理 得 0,a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=JJ G JJ G JJ G G()()()0a IG GA b IG GB c IG GC +++++=JJG JJJ G JJG JJJ G JJG JJJ G G ， 再将 代入，整理得GA GB GC =−−JJJ G JJJ G JJJ G a b a c IG GB a b c a b c−−=+++++GC JJG JJJ G JJJ G . (2)在非直角三角形中，H 是⊿ABC 垂心, 由引理得tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G ,∴ta ，n ()tan ()tan ()0A HG GA B HG GB C HG GC ⋅++⋅++⋅+=JJJG JJJ G JJJG JJJ G JJJJG JJJ G G 再将 代入，整理得GA GB GC =−−JJJ G JJJ G JJJ G .cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =−⋅+−JJJG JJJ G JJJ G ⋅(3) 若⊿ABC 的BC 边的旁心为O, 由引理得sin sin sin 0A OA B OB C OC −⋅+⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G ，又正弦定理，得0a OA b OB c OC −⋅+⋅+⋅=JJJ G JJJ G JJJ G G∴ ()()()a OG GA b OG GB c OG GC 0−⋅++⋅++⋅+=JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G G ，再将 代入，整理得GA GB GC =−−JJJ G JJJ G JJJ G a b a c OG GB GC a b c a b c ++=+−−−−JJJ G JJJ G JJJ G . 又据（1） a b a c IG GB a b c a b cGC −−=+++++JJG JJJ G JJJ G 得IO IG GO =+=JJ G JJG JJJ G a b a c GB GC a b c a b c −−+−++++JJJ G JJJ G ()a b a c GB GC a b c a b c+++−−−−JJJ G JJJ G =()()22222()a b c GB b c GC b c a⎡⎤+++⎣⎦+−JJJ G JJJ G . 定理2 ⊿ABC 的重心为G , 内心为I , 内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c, 则 GI// BC 的充要条件为 2a=b+c. 这时 3b a IG B aC −=⋅JJG JJJ G ， 且.3a b IG −=JJG 证明 由定理1知 a b a c IG GB GC a b c a b c −−=+++++JJG JJJ G JJJ G GB JJJ G ，与不共线，GI// BC GC JJJ G IG BC IG GB G λλ⇔=⇔=−+JJG JJJ G JJG JJJ G JJJ C λG0a b a c GB GC a b c a b c λλ−−⎛⎞⎛⎞⇔++−=JJ G ⎜⎟⎜⎟++++⎝⎠⎝⎠JJJ G J G 00a b a b c a c a b c λλ−⎧+=⎪⎪++⇔⎨−⎪−=⎪++⎩.2a b c ⇔=+当GI// BC 时，3b a a λ−=， 3b a IG B aC −=⋅JJG JJJ G ，且.3a b IG −=JJ G 由此，我们还可以得到一个有趣的推论 对于⊿ABC ，重心为G ,内心为I, 若以B , C 为焦点的椭圆经过点A, 则 IG // BC 的充要条件是: 椭圆的离心率12e =. 定理3 ⊿ABC 的重心为G , 垂心为H ，则HG// BC 的充要条件是tanAtanB=3.当HG// BC 时，2222223b a HG BC c a b −=⋅⋅+−JJJG JJJ G ，且()2222223a a b HG c a b −=+−JJJG . 证明 由定理1知 cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =−⋅+−⋅JJJG JJJ G JJJ G ，BC GC GB =−JJJ G JJJ G JJJ G ，则 HG// BC HG BC λ⇔=JJJG JJJ G HG GB GC λλ⇔=−+JJJG JJJ G JJJJJ G cot (cot cot )0cot (cot cot )0C B A B C A λλ−+=⎧⇔⎨−−=⎩2cot cot cot (cot cot )B C A B C ⇔=+ .2tan tan tan tan tan 3A B C B C ⇔=+⇔= 这时 111tan 1tan tan tan tan 3tan B A C B C A λ⎛⎞=−=−⎜⎟⎝⎠=222222113b c a c a b ⎛⎞+−−⎜⎟+−⎝⎠=2222223b a c a b ⎛⎞−⎜⎟+−⎝⎠. ∴2222223b a HG BC c a b −=⋅⋅+−JJJG JJJ G ，且()2222223a a b HG c a b −=+−JJJG . 定理4 ⊿ABC 的BC 边的旁心为O ，重心为G ，内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c, 且(GB b c GC=)≠JJJ G JJJ G ，则OG ⊥BC 的充要条件是 GB ⊥GC. 证明 由已知，得 ()()220a b GB a c GC +−+=JJJ G JJJ G ，又由定理1知 a b a c OG GB GC a b c a b c ++=+−−−−JJJ G JJJ G JJJ G ， ∵ BC GB GC =−+JJJ G JJJ G JJJ G ，∴OG ⊥BC 0OG BC ⇔⋅=JJJ G JJJ G()(a b a c GB GC GC GB a b c a b c ++)0⇔+−−−−−JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G = ()()()22b c GB GC a b GB a c GC ⇔−⋅=+−+JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G 0=.0GB GC GB GC ⇔⋅=⇔⊥JJJ G JJJ G 定理5 ⊿ABC 的BC 边的旁心为O ，内心为I, 重心为G , 内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,且)GB b c GC =≠, 则 IO ⊥B C 的充要条件是G B⊥G C. 证明 由定理1知()()22222()a IO b c GB b c GC b c a⎡⎤=+++⎣⎦+−JJ G JJJ G JJJ G ， BC GC GB =−JJJ G JJJ G JJJ G ，又 ()()2222b c GB c b GC 0+−+=JJJ G JJJ G∴ 0IO BC IO BC ⊥⇔⋅=JJ G JJJ G ()()()22b c GB c b GC GC GB ⎡⎤0⇔+++⋅−=⎣⎦JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G ()b c GB GC ⇔−⋅=JJJ G JJJ G ()()2222b c GB c b GC 0+−+=JJJ G JJJ G0.GB GC GB GC ⇔⋅=⇔⊥JJJ G JJJ G 参考文献[1] 胡福林 也谈三角形五“心”向量形式的充要条件 数学通讯 2004-1。