用拉格朗日配方式化二次型为标准形
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线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
拉格朗日配方法(将二次型转化为标准型)
得标准形
2 2 f z1 z2 z3 , 2
所用可逆线性变换为 x1 z1 z 2 z 3 , x 2 z1 z 2 z 3 , x3 z3 .
1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 1. 0 0 1
C
2 0.
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
思考题
化二次型 f x1 , x 2 , x 3 x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3 为标准形, 并写出所作的可逆线性 变换 .
思考题解答
解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 x1 y1 y 2 , x 2 y1 y 2 , x y , 3 3 2 2 2 有 f ( y1 y 3 ) y 2 y 3 , z1 y1 y 2 , y1 z1 z 3 , 再令 z 2 y 2 , 或 y2 z2 , z y , y z , 3 3 3 3
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 ( i j ),则先作可逆线性变换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
用配方法化二次型为标准型技巧
用配方法化二次型为标准型技巧配方法是一种常用的数值求解二次型的方法,可以将二次型化为标准型,从而使求解更加容易。
以下是一种化二次型为标准型的技巧: 假设有二次型 $A cdot y^T + B cdot y + C = 0$,其中 $y$ 是一个 $n times 1$ 的列向量,$A,B,C$ 是 $n times n$ 的方阵。
我们可以使用以下公式将二次型化为标准型:$$A cdot y^T + B cdot y + C = begin{bmatrix} A & B B^T & C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} y y^T end{bmatrix}^T + begin{bmatrix} 0 0 end{bmatrix}$$其中,$y$ 的列向量部分被表示为 $y_i$ 的系数矩阵 $A$ 乘以$y$ 的旋转矩阵 $B$ 的和 $C$ 乘以 $y$ 的旋转矩阵 $B^T$ 的乘积。
接下来,我们可以使用配方法将标准型转化为二次型。
具体来说,我们可以使用一个 $n times n$ 的方阵 $P$,其中 $P_{ii} = 1$ 且$P_{ij} = 0$ 只有在 $ieq j$ 的情况下才有意义,然后将 $A$ 和 $B$ 的列向量部分分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$,得到:$$y_i = P_{ij} y_j$$其中,$P_{ij}$ 表示 $P$ 乘以 $A$ 和 $B$ 的列向量部分在$i$ 和 $j$ 方向上的对应系数。
最后,将 $y$ 的列向量部分和常数项 $C$ 分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$ 的转置,即可得到化二次型为标准型的技巧。
需要注意的是,上述技巧仅适用于二次型的系数矩阵和旋转矩阵都是方阵的情况。
如果系数矩阵和旋转矩阵不是方阵,则需要使用其他的化二次型为标准型的技巧。
用配方法将二次型化为标准型
用配方法将二次型化为标准型首先，我们需要明确二次型的定义。
对于n元变量的二次型，一般形式为：\[f(x_1, x_2, ..., x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]其中，系数$a_{ij}$为实数。
我们的目标是通过配方法将上述二次型化为标准型，即消去二次项和一次项的交叉乘积，使得二次型的表达式更加简洁和易于研究。
接下来，我们将介绍配方法的具体步骤。
首先，我们需要构造一个线性变换矩阵P，使得通过P的转换可以将原二次型化为标准型。
设$\boldsymbol{x} = (x_1,x_2, ..., x_n)^T$为n维列向量，$\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)^T$为线性变换后的列向量，则有：\[\boldsymbol{y} = P\boldsymbol{x}\]其中，P为n阶可逆矩阵。
通过矩阵P的逆变换，我们可以将二次型的表达式从$\boldsymbol{x}$转化为$\boldsymbol{y}$，并且通过适当的选择P，可以使得二次型化为标准型。
具体来说，我们可以通过以下步骤将二次型化为标准型：1. 首先，我们需要求出二次型的矩阵表达形式。
对于给定的二次型，我们可以利用系数$a_{ij}$构造出一个对称矩阵A，使得二次型可以表示为$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$的形式。
2. 接下来，我们需要对矩阵A进行对角化。
通过矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到一个对角矩阵D和一个正交矩阵P，使得$A = PDP^T$。
其中，D为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值，P为正交矩阵，其列向量为A的特征向量。
3. 最后，我们可以通过线性变换$\boldsymbol{y} = P^T\boldsymbol{x}$将二次型转化为标准型。
把二次型化为标准形的方法
160
工科数学 第 14 卷
2 2 因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x 2 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 1 x 2 - 4x 1 x 3 - 8x 2 x 3 的矩阵为 A ( 前面已写出) , 由 2 2 - 2 2 2 - 2 2 0 - 2 2 3 - 4 0 1 - 2 0 1 - 2 A - 2 - 4 5 - 2 - 4 5 - 2 - 2 5 r2 - r1 C 2- C 1 = … … … … … … … … …
其中 + =
0 0
, C= 1 0
0 0 1 - 1 - 1 y1 1 2
所作的可逆变换为 x 2 =
y 2 , 即 x 2=
所以 此种方法, 与书本中的初等变换结合紧密, 学生容易理解和掌握 . 本题所用的三种方法, 求得的标准形都是一致的, 但变换矩阵 C 各有不同 ( 因变换矩阵不 是唯一的) , 若用正交变换法, 不但变换矩阵不同, 而且标准形的平方项系数也可能不同, 但平 方项的个数总是相同的, 因为平方项的个数是由二次型的秩, 也就是二次型的矩阵 A 的秩所 唯一确定, 它与所作的变换无关.
i, j = 1
∑a
ij
x i x j 都可以通过非退化的线性变换变成标准 形 f = Κ 1y 1 + Κ 2y 2
2 2
2 + …+ Κ . 这个问题不仅在数学上, 而且在物理学、 工程学、 经济学等领域中都是一个重要的 ny n
问题 . 变换的方法很多, 但工程数学教材中一般只用了正交变换法和拉格朗日配方法 . 现以一 题为例, 介绍偏导数法, 雅可比法和初等变换法, 借以扩大眼界, 开阔思路 . 例 将二次型
线性代数 用配方法化二次型为标准型
y1 y2
y3
2Eyv3 aluation
only.
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Copyy2y1 rigzz21ht
22z30z30, 4-20即11yyA12spos10e
思考题解答
解 由于所给二次型不含平方项,故令
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为标C准op形y？right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
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Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
拉格朗日配方法的具体步骤一
得标准形
2 f = z1 − z 2 − z 2 , 2 3
所用可逆线性变换为 ⎧ x1 = z1 − z 2 − z 3 , ⎪ ⎨ x 2 = z1 + z 2 − z 3 , ⎪ x3 = z3 . ⎩
− x − x − 2x2 x3 + 2x + 5x + 6x2 x3
2 2 2 3 2 2 2 3
2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 4x3 + 4x2 x3 2
( x1 + x2 + x3 )2 + ( x2 + 2x3 )2. =
⎧ y1 = x1 + x2 + x3 ⎪ 令 ⎨ y2 = x 2 + 2 x 3 ⎪y =x ⎩ 3 3 ⎧ x1 = y1 − y2 + y3 ⎪ ⇒ ⎨ x 2 = y2 − 2 y3 ⎪x = y ⎩ 3 3
2 2 = y1 + y2 .
所用变换矩阵为
⎛1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 0 1 − 2 ⎟, ⎜0 0 ⎟ 1 ⎠ ⎝
(C
= 1 ≠ 0 ).
例2 化二次型 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
成标准形, 并求所用的变换矩阵 .
解 由于所给二次型中无平方项，所以 ⎧ x1 = y1 + y 2 ⎛ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎪ 令 ⎨ x 2 = y1 − y 2 , ⎜ 即⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 1 − 1 0 ⎟⎜ y 2 ⎟ ⎟ ⎪x = y ⎜ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎟ ⎩ 3 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝
5-6配方法把二次型化为标准形-PPT文档资料
1 1 x y 1 1 1 1 2 x y 2 0 2 x 0 0 1 y 3 3
2 2 2 f x 2 x 5 x 2 x x 2 x x 6 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2 得 f 2 z 2 z 6 z . 1 2 3
所用变换矩阵为
1 1 01 0 1 C1 1 00 1 2 0 0 10 0 1
3 1 1 1 1 1. 0 0 1
C 2 0 .
得标准形
2 2 2 f , z 1 z 2 z 3
所用可逆线性变换为 x1 z1 z2 z3 , x2 z1 z2 z3 , x3 z3 .
例1 化二次型
2 2 2 f x 2 x 5 x 2 x x 2 x x 6 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
为标准形 ,并求所用的变换矩阵 .
解
含有 的项配方 x 1 含有平方项 2 2 2 f x 2 x 5 x 2 x x 2 x x 6 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 x 2 x x 2 x x 2 x 5 x 6 x x 1 12 13 2 3 2 3 2 x x x 去掉配方后多出来的项 1 2 3 2 2 2 2 x x 2 x x 2 x 5 x 6 x x 2 3 23 2 3 2 3
代入 f 2 x x 2 x x 6 x x , 1 2 1 3 2 3
2 2 得 f 2 y 2 y 4 y y 8 y y . 1 2 1 3 2 3
再配方，得
2 2 2 f 2 y y 2 y 2 y 6 y . 1 3 2 3 3
课件：化二次型为标准形
解
可将 f 化为标准形: 所用变换矩阵为
2. 若二次型中不含有平方项, 但有 aij 0 (i j ),
则先作可逆变换
化二次型为含有平方项的二次型再按 1 中方法配方.
例4 化二次型 并求所用的变换矩阵.
为标准形,
例4 化二次型 并求所用的变换矩阵.
解
为标准形,
可将 f 化为标准形:
由 f 的标准形可知A的特征值为:
对 1=1, 对 2 = 0,
对 3 = 4,
故所求正交阵为 P = (P1, P2, P3)
二、拉格朗日配方法
1. 若二次型含有 xi 的平方项, 则先把含有 xi 的乘积项 先集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行,直到都配 成平方项为止.
例3 用配方法化二次型为标准形, 并求所用变换矩阵.
2. 求出矩阵 A 的所有特征值: 1, 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
解系, 并正交、单位化得: P1, P2, ,Pn. 4. 得正交矩阵: P = (P1, P2, ,Pn). 5. 正交变换 x = Py 将 f 化为标准形:
例1 求一个正交变换 x = Py, 将二次型 f 化为标准形. 解 f 的矩阵为:
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
由上可知: 即寻找可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角阵. 此问题称为把对称阵 A 合同对角化.
设对称阵 A 的n个特征值为: 1, 2, , n, 对角阵 = diag ( 1, 2, , n), 则总存在正交阵 P 使得 P 1AP= , 即 PTAP= .
拉格朗日配方法(将二次型转化为标准型)
配方
通过配方的方法，将二次型转化为完 全平方的形式，便于求解。
配方步骤
1 2
写出二次型的矩阵形式
将二次型表示为矩阵形式，便于后续操作。
求出矩阵的特征值和特征向量
通过求解矩阵的特征值和特征向量，得到二次型 的标准型。
3
进行配方
利用特征值和特征向量进行配方，将二次型转化 为标准型。
示例解析
示例一
简单二次型的配方。例如，将二次型$f=x^2+2xy+y^2$转化为标准型。首先，我们可以将其表示为矩阵形式， 然后求出矩阵的特征值和特征向量，最后进行配方，得到标准型$f=(x+y)^2$。
05
拉格朗日配方法优缺点分 析
优点总结
适用性广
01
拉格朗日配方法适用于任何二次型，无论其是否正定或负定。
简化计算
02
通过配方，可以将二次型转化为标准型，从而简化后续的计算
过程。
保持对称性
03
在转化过程中，拉格朗日配方法保持了二次型的对称性，使得
转化后的标准型具有更好的性质。
缺点剖析
计算量较大
相比于其他方法，如特征值分解或正交变换，拉格朗日配方法的 计算量相对较大。
• 将特征向量正交化并单位化：由于这两个特征向量已经正交，直接单位化即可， 得到$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$ 和$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$。
拓展拉格朗日配方法的应用领域
目前，拉格朗日配方法主要应用于二次型的标准型转化等领域。未来研究可探索该方法在更多领域的应用，如优化问 题、控制论等，进一步挖掘其潜在价值。
通过配方的方法，将二次型转化为完 全平方的形式，便于求解。
配方步骤
1 2
写出二次型的矩阵形式
将二次型表示为矩阵形式，便于后续操作。
求出矩阵的特征值和特征向量
通过求解矩阵的特征值和特征向量，得到二次型 的标准型。
3
进行配方
利用特征值和特征向量进行配方，将二次型转化 为标准型。
示例解析
示例一
简单二次型的配方。例如，将二次型$f=x^2+2xy+y^2$转化为标准型。首先，我们可以将其表示为矩阵形式， 然后求出矩阵的特征值和特征向量，最后进行配方，得到标准型$f=(x+y)^2$。
05
拉格朗日配方法优缺点分 析
优点总结
适用性广
01
拉格朗日配方法适用于任何二次型，无论其是否正定或负定。
简化计算
02
通过配方，可以将二次型转化为标准型，从而简化后续的计算
过程。
保持对称性
03
在转化过程中，拉格朗日配方法保持了二次型的对称性，使得
转化后的标准型具有更好的性质。
缺点剖析
计算量较大
相比于其他方法，如特征值分解或正交变换，拉格朗日配方法的 计算量相对较大。
• 将特征向量正交化并单位化：由于这两个特征向量已经正交，直接单位化即可， 得到$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$ 和$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$。
拓展拉格朗日配方法的应用领域
目前，拉格朗日配方法主要应用于二次型的标准型转化等领域。未来研究可探索该方法在更多领域的应用，如优化问 题、控制论等，进一步挖掘其潜在价值。
用拉格朗日配方法化二次型为标准形
xi yi y j ,
x j yi y j ,
xk
yk , k
i,
j
使二次型化为含有平方项的形式，再按上面的方法配 方。
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Ex.10 用配方法化二次型
f x12 6x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 12x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。 解
f x12 6x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 12x2 x3 [ x12 4x1( x2 x3 ) 4( x2 x3 )2 ] 2x22 x32 4x2 x3 ( x1 2x2 2x3 )2 2( x22 2x2 x3 x32 ) x32 ( x1 2x2 2x3 )2 2( x2 x3 )2 x32
到可逆线性变换，把二次型化成标准形，且由定理 9可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。
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0 0 1 0 0 1 0 0 1
(| C | 2 0).
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由例1和例2可知，用拉格朗日配方法化二次型 为标准形的一般步骤是：
（1）若二次型中含有 xi 的平方项，则先把含 xi 的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方， 直到都配成平方项；
（2）若二次型中不含任何平方项，但有 aij ≠ 0 ( i ≠ j ) ，则作一可逆线性变换
例14 化二次型
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。 解
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
f 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
拉格朗日配方法的具体步骤
⎛ 1 1 0 ⎞⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ C = ⎜ 1 − 1 0 ⎟⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 0 0 1 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ = ⎜ 1 − 1 − 1⎟. ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
(C
= −2 ≠ 0 ).
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
2 2 2 2 − x2 − x3 − 2x2 x3 + 2x2 + 5x3 + 6x2 x3
2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 4x3 + 4x2 x3 2
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + 2x3 ) .
2 2
⎧ y1 = x1 + x2 + x3 ⎪ 令 ⎨ y2 = x 2 + 2 x 3 ⎪y =x ⎩ 3 3
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 2 2 2 = x1 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 2 = ( x1 + x2 + x3 ) 去掉配方后多出来的项
(C
= −2 ≠ 0 ).
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
2 2 2 2 − x2 − x3 − 2x2 x3 + 2x2 + 5x3 + 6x2 x3
2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 4x3 + 4x2 x3 2
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + 2x3 ) .
2 2
⎧ y1 = x1 + x2 + x3 ⎪ 令 ⎨ y2 = x 2 + 2 x 3 ⎪y =x ⎩ 3 3
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 2 2 2 = x1 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 2 = ( x1 + x2 + x3 ) 去掉配方后多出来的项
线性代数§5.6配方法
思考题
化二次型 f = x1x2 + x1x3 + x2x3 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵.
思考题解答
由于所给二次型不含平方项, 故令 x1 y1 y 2 x 2 y1 y 2 y3 x3 f = y12 – y22 + (y1 – y2)y3 + (y1 + y2)y3 = y12 – y22 + y1y3 – y2y3 + y1y3 + y2y3 f = ( y1 + y3)2 – y22 – y33 ,
xi yi y j x j y i y j ( k i, j ). xk yk 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按1中方 法配方. 例1: 化二次型 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. 用含有x1的项配方 解: 含有平方项 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 =x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3 =(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2
令
y1 x1 x 2 x 3 x1 y1 y 2 y 3 x2 2 x3 x2 y2 2 y3 y2 x3 y3 y3 x3 x1 1 1 1 y1 x 2 0 1 2 y 2 . 0 0 1 y 3 x3 f = x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 = y12+y22
线性代数§5.6配方法
§5.6 配方法化二次型为标准形
一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几 何形状不变. 问题: 有没有其它方法, 也可以把二次型化为标准 形? 问题的回答是肯定的. 下面介绍一种行之有效的 方法——拉格朗日配方法. 拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有xi 的平方项, 则先把含有xi的乘积 项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都 配成平方项为止, 经过非退化线性变换, 就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项, 但是aij0 ( i j ), 则 先作可逆线性变换:
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
所用变换矩阵为
| C | 1 0.
例2: 化二次型 f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. 解: 由于所给二次型中无平方项, 所以 x1 y1 y 2 x1 1 1 0 y1 x 1 1 0 y . 即 x y y , 令 2 1 2 2 0 0 1 2 y3 x3 y3 x3 代入二次型 f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3, 得 f =2y12–2y22–4 y1 y3+8y2 y3 再配方, 得 f =2(y1- y3)2–2(y2–2y3)2+6 y32. y3 z3 z1 y1 y1 z1 令 y2 2 y3 y2 z 2 2 z 3 , z2 yi y j x j y i y j ( k i, j ). xk yk 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按1中方 法配方. 例1: 化二次型 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. 用含有x1的项配方 解: 含有平方项 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 =x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3 =(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2
一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几 何形状不变. 问题: 有没有其它方法, 也可以把二次型化为标准 形? 问题的回答是肯定的. 下面介绍一种行之有效的 方法——拉格朗日配方法. 拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有xi 的平方项, 则先把含有xi的乘积 项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都 配成平方项为止, 经过非退化线性变换, 就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项, 但是aij0 ( i j ), 则 先作可逆线性变换:
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
所用变换矩阵为
| C | 1 0.
例2: 化二次型 f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. 解: 由于所给二次型中无平方项, 所以 x1 y1 y 2 x1 1 1 0 y1 x 1 1 0 y . 即 x y y , 令 2 1 2 2 0 0 1 2 y3 x3 y3 x3 代入二次型 f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3, 得 f =2y12–2y22–4 y1 y3+8y2 y3 再配方, 得 f =2(y1- y3)2–2(y2–2y3)2+6 y32. y3 z3 z1 y1 y1 z1 令 y2 2 y3 y2 z 2 2 z 3 , z2 yi y j x j y i y j ( k i, j ). xk yk 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按1中方 法配方. 例1: 化二次型 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. 用含有x1的项配方 解: 含有平方项 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 =x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3 =(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2
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(| C | 2 0).
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由例1和例2可知，用拉格朗日配方法化二次型 为标准形的一般步骤是：
（1）若二次型中含有 xi 的平方项，则先把含 xi 的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方， 直到都配成平方项；
1 1 1 C 0 1 2,( C 1 0).
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例15 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。
解令
代入可得
x1 y1 y2 ,
x2
y1
y2 ,
（2）若二次型中不含任何平方项，但有 aij ≠ 0 ( i ≠ j ) ，则作一可逆线性变换
xi yi y j ,
x j yi y j ,
xk
yk , k
i,
j
使二次型化为含有平方项的形式，再按上面的方法配 方。
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Ex.10 用配方法化二次型 f x12 6 x22 5 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 12x2 x3
y1 z1 z3 ,
令
z2
y2
2 y3,
即
y2
z2
2z3 ,
z3
y3 ,
y3
z3 ,
即 有f 2z12 2z22 6z32 .所 用 的 变 换 矩 阵 是
1 1 0 1 0 1 1 1 3 C 1 1 0 1 1 1 1 1 1,
x32 )
x
2 3
( x1 2 x2 2 x3 )2 2( x2 x3 )2 x32
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( x1 2 x2 2 x3 )2 2( x2 x3 )2 x32
x1 2 x2 2 x3 y1 ,
令
x2 x3 y2 ,即
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f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 .
y1 x1 x2 x3 ,
令
y2
x22 x3 , Nhomakorabea
y3
x3 ,
x1 y1 y2 y3 ,
即 x2 y2 2 y3 ,
x3
y3 ,
就 把f化 成 标 准 形f y12 y22 , 所 用 的 变 换 是:
x3
y3 ,
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
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f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
再配方, 得f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 .
z1 y1 y3 ,
§6 用配方法化二次型成 标准形
★用拉格朗日配方法化二次型为标准形
化二次型为标准型的方法有多种，本节主要 介绍拉格朗日配方法。
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例14 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。
解
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
( x1
x2
x3 )2
x
2 2
x
2 3
2x2 x3
2 x22
5 x32
6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 4 x2 x3 4 x32 , 上式右端除第一项外已不再含 x1, 继续配方，可得
f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 .
成标准形，并求所用的变换矩阵。
解
f
x12
6 x22
5
x
2 3
4 x1 x2
4 x1 x3
12 x2
x3
[ x12 4 x1( x2 x3 ) 4( x2 x3 )2 ] 2 x22 x32 4 x2 x3
( x1
2 x2
2x3 )2
2( x22
2x2 x3
x3 y3.
得f y12 2 y22 y32 .
x1 y1 2 y2 ,
x2
y2
y3 ,
x3
y3 .
一般地，任何二次型都可用拉格朗日配方法找
到可逆线性变换，把二次型化成标准形，且由定理 9可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。
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(| C | 2 0).
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由例1和例2可知，用拉格朗日配方法化二次型 为标准形的一般步骤是：
（1）若二次型中含有 xi 的平方项，则先把含 xi 的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方， 直到都配成平方项；
1 1 1 C 0 1 2,( C 1 0).
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例15 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。
解令
代入可得
x1 y1 y2 ,
x2
y1
y2 ,
（2）若二次型中不含任何平方项，但有 aij ≠ 0 ( i ≠ j ) ，则作一可逆线性变换
xi yi y j ,
x j yi y j ,
xk
yk , k
i,
j
使二次型化为含有平方项的形式，再按上面的方法配 方。
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Ex.10 用配方法化二次型 f x12 6 x22 5 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 12x2 x3
y1 z1 z3 ,
令
z2
y2
2 y3,
即
y2
z2
2z3 ,
z3
y3 ,
y3
z3 ,
即 有f 2z12 2z22 6z32 .所 用 的 变 换 矩 阵 是
1 1 0 1 0 1 1 1 3 C 1 1 0 1 1 1 1 1 1,
x32 )
x
2 3
( x1 2 x2 2 x3 )2 2( x2 x3 )2 x32
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( x1 2 x2 2 x3 )2 2( x2 x3 )2 x32
x1 2 x2 2 x3 y1 ,
令
x2 x3 y2 ,即
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f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 .
y1 x1 x2 x3 ,
令
y2
x22 x3 , Nhomakorabea
y3
x3 ,
x1 y1 y2 y3 ,
即 x2 y2 2 y3 ,
x3
y3 ,
就 把f化 成 标 准 形f y12 y22 , 所 用 的 变 换 是:
x3
y3 ,
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
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f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
再配方, 得f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 .
z1 y1 y3 ,
§6 用配方法化二次型成 标准形
★用拉格朗日配方法化二次型为标准形
化二次型为标准型的方法有多种，本节主要 介绍拉格朗日配方法。
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例14 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。
解
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
( x1
x2
x3 )2
x
2 2
x
2 3
2x2 x3
2 x22
5 x32
6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 4 x2 x3 4 x32 , 上式右端除第一项外已不再含 x1, 继续配方，可得
f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 .
成标准形，并求所用的变换矩阵。
解
f
x12
6 x22
5
x
2 3
4 x1 x2
4 x1 x3
12 x2
x3
[ x12 4 x1( x2 x3 ) 4( x2 x3 )2 ] 2 x22 x32 4 x2 x3
( x1
2 x2
2x3 )2
2( x22
2x2 x3
x3 y3.
得f y12 2 y22 y32 .
x1 y1 2 y2 ,
x2
y2
y3 ,
x3
y3 .
一般地，任何二次型都可用拉格朗日配方法找
到可逆线性变换，把二次型化成标准形，且由定理 9可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。
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