曲线运动与万有引力知识点总结与经典题

一、曲线运动1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。

2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸）t v v s d s t v s v t ⨯+=+===2222d 水船水河实水水船河宽3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角合河宽水船合船水v d v v v v v =-==t cos 22α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为动竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移ghv t v x200== （2）竖直位移221gt y =（3）通过的合位移222022)gt 21()t V (y x s +=+=（4）水平速度0v v x ==tx（5）竖直速度gt v y ==gh 2 （6）合速度22022)(gt v v v v y x t +=+=（7）夹角 0y v v tg xytg =β=α（8）飞行时间由下落的高度决定：gh t 2=（9）实验求0v ：a 、已知抛出点时：b 、不知抛出点时：t x v gh 2t 0==212ts s a -= g y y t 122-=∴ ，t x v =05、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合F ，v F ⊥合，0≠a ，v a ⊥（1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线速度是矢量，单位：米/秒（m/s ）（2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ）（3）向心加速度mF v R T R R v a 合向=====ωπω222)2(，向心加速度是矢量，单位：m/s 2 （4）向心力R f m R Tm R m R mv ma F 22222244ππω=====向合 （向心力是效果力，是沿半径方向的合力，用来改变速度方向，产生向心加速度，作圆周运动之用。

向心力不改变速度的大小。

） （5）周期与频率： T=2πr/v=2π/ω=1/f=1/n（6）皮带传动时线速度相等：21v v = 即：2211R R ωω= （7）同轴转动角速度相等：21ωω= 即：2211R v R v = 二、万有引力定律-天体运动1、开普勒周期定律： 22322131T RT R = (只适用同一个中心天体)2、万有引力定律：221rm m GF =引（r 是两个质点间的距离，G=6.67⨯10-11Nm 2/kg 2叫做万有引力恒量是卡文迪许用扭秤装置第一次精确测定。

） 3、天体运动天体运动所需向心力是由天体间的万有引力充当（提供）。

4、人造地球卫星：R 是地球半径，m R 6104.6⨯=，M 是地球质量，m 为卫星质量(1) 解题基本思路：① 在任何情况下总满足条件：万有引力=向心力．即：r 4r r m r 22222Tm m v ma Mm G πω==== 其中r=R+h (R 是地球半径,h 是卫星距离地球表面高度)② 在地球近地表面： R 4R R m R M 22222Tm m v m G πω===(2）人造卫星绕地球近地面飞行的速度：R mv R GMm 22=∴s km RGMv /9.7== s m gR v /k 97⋅== s/km 97v ⋅=叫第一宇宙速度，是人造卫星绕地球表面运转的最大速度，也是发射卫星时的最小速度。

5、宇宙速度：第一宇宙速度 V 1=7.9km/s （环绕速度） 第二宇宙速度 V 2=11.2km/s （脱离速度）第三宇宙速度 V 3=16.7km/s （逃逸速度） 6、万有引力定律的应用：灵活运用2R GMm mg =，即2gRGM =和公式r Tm r mv r GMm 22224π==，是解决天体问题的关键。

特别是2gR GM=叫黄金代换式，常常应用此式解题。

（1）测定地球表面重力加速度g ： mg RGMm =2 2R GM g=∴ （2）测量离地球表面高度为h 处的重力加速度g2)(h R GMm mg +=,2)(h R GM g +=∴ （3）测量中心天体的质量：r T m r GMm ⋅=2224π, 2324GTr M π=∴中心 (4) 测量中心天体的密度：32332323344球球R GT r R GT r VM πππρ=== （T 为公转周期） 若卫星绕中心天体表面运行，则r=R 球, ∴23GT πρ=7、V 、ω、T 、a 与距离r 的关系（1）rv r GM v r v m r Mm G 1,22∝==即得 （r 越大，卫星线速度v 越小。

） （2）33221,r rGM r m r Mm G∝==ωωω即得（r 越大, 卫星角速度ω越小）（3）332224,2r T GM r T r T m r Mm G ∝=⎪⎭⎫ ⎝⎛=即得ππ（r 越大，T 越大） （4）2221,r a r GM a ma r Mm G∝==即得（r 越大，向心加速度a 越小）8、有关地球同步卫星的问题：（三个值一定）⑴ 周期一定，即s h T 8640024==。

⑵ 轨道一定，地球同步卫星定点于赤道上空，其轨迹在赤道平面，作圆周运动。

⑶ 高度一定：)(4)(222h R Tm h R GMm +=+π ，mR GMTh 732210634⨯⋅=-=∴π一、曲线运动的基本概念中几个关键问题① 曲线运动的速度方向：曲线切线的方向。

② 曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度a ≠0。

③ 物体做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上。

④ 做曲线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧。

二、运动的合成与分解①合成和分解的基本概念。

(1)合运动与分运动的关系：①分运动具有独立性。

②分运动与合运动具有等时性。

③分运动与合运动具有等效性。

④合运动运动通常就是我们所观察到的实际运动。

(2)运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。

(3)几个结论：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。

②两个直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。

③两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。

②船过河模型(1)处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。

(2)若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间：θsin 1v d v d t ==合 (3)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间1v dt =(d 为河宽)。

因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。

③绳端问题绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。

例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v 匀速拉绳子时，求船的速度。

船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。

即为v ； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。

这样就可以求得船的速度为αcos v , 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。

虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。

④平抛运动1．运动性质a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动．b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动． c)在水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性． d)合运动是匀变速曲线运动． 2．平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正方向，如右图所示，则有： 分速度 gt v v v y x ==,0 合速度0222tan ,v gt t g v v o =+=θ 分位移221,gt y vt x == 合位移22y x s +=★ 注意：合位移方向与合速度方向不一致。

3．平抛运动的特点a)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化必沿竖直方向，如下图所示．任意两时刻的速度，画到一点上时，其末端连线必沿竖直方向，且都与v 构成直角三角形． b)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关．由公式221gt h =。

可得ght 2=,落地点距抛出点的水平距离t v x 0=由水平速度和下落时间共同决定。

4．平抛运动中几个有用的结论①平抛运动中以抛出点0为坐标原点的坐标系中任一点P(x 、y )的速度方向与竖直方向的夹角为α，则y x 2tan =α；其速度的反向延长线交于x 轴的2x处。

②斜面上的平抛问题：从斜面水平抛出，又落回斜面经历的时间为： θtag gv t 02= 三、圆周运动1．基本公式及概念 1）向心力：定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力，是效果力。

方向：向心力总是沿半径指向圆心，大小保持不变，是变力。

★匀速圆周运动的向心力，就是物体所受的合外力。

★向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力★匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。

★变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

2）运动参量：线速度：T R txv /2π==角速度：T t /2/πϑω==周期(T) 频率(f) fT 1=向心加速度：r Tr r v a 222)2(πω===向心力：r Tm r m r mv ma F 222)2(/πω====2．竖直平面的圆周运动问题的分析方法竖直平面的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况。

在最高点和最低点，合外力就是向心力。

（1）如右图所示为没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。

即 rvm mg 20=式中的v 0小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度gr v =②能过最高点的条件：v>v 0，此时绳对球产生拉力F③不能过最高点的条件：v<v 0，实际上球还没有到最高点就脱离了轨道。