内积空间中的正交与投影

注2一般说来，对于积空间 的任意向量 以及任意子空间 ， 在 上的投影并不一定存在。
注3若 在 上有投影，则投影必定是唯一的。
定理5.2.1设 是积空间 的线性子空间， . 若 是 在 上的投影，则
,(5.2.2)
且 是 中使(5.2.2)成立的惟一向量。
证因为 是 在 上的投影，所以 .
对于 ，因为 ，而 ，所以
唯一性另证：若 ，使得 ，则由平行四边形公式得：
故
证毕！
引理5.2.3设 是积空间 中的线性子空间， ， .若 ，则
，即 .
证任取 ，对任意数 ，因为 ，所以
.(5.2.6)
令 (这是使(5.2.6)式右端取极小值的 )，就得到
.
因为 ，所以 . 这就证明了 . 证毕！
定理5.2.2（投影定理）设 是积空间 中的完备线性子空间，则对 ， 在 上的投影唯一地存在。
，
故由“勾股定理”得
(5.2.3)
显然(5.2.3)式只有当 时，等号才成立。
由(5.2.3)知：(5.2.2)式成立，且(5.2.2)式中右边的下确界只有当 时才能达到。 证毕！
5.2.2投影定理
引理5.2.2（变分引理）设 是积空间 中完备的凸集， . 记
(5.2.4)
则必有唯wk.baidu.com的 ，使得 .
证由下确界的定义，必定有 中的点列 ，使得
证因为 ，取 ， 在 上的投影记为 ，则
，即 .
但是 ，因此 ，即 中有非零元素。证毕！
推论2设 是Hilbert空间 中的线性子空间，则 .( )
特别地，若 ，则 在 中稠密。( )
证由引理5.2.1， 是 的闭线性子空间，因而是完备的。
显然 ，而 是包含 的最小闭集，所以 .
另一方面， 也是Hilbert空间 的闭线性子空间。
，
故 . 同理可证 .
“ ”设 ，往证 .因为 已经分解为 与 的线性和：
，
所以，要证明 ，只需证明 .
因为 ，所以显然有 .证毕！
定义5.2.3设 是积空间 的线性子空间， . 若存在 ，使得
(5.2.1)
则称 是 在 上的（正交）投影，或 在 上的投影分量。
注1 是 在 上的（正交）投影，或 在 上的投影分量。
5.2积空间中的正交与投影
5.2.1 正交和投影
定义5.2.1设 是积空间， ，若 ，则称 与 正交，记作 .
设 ，当 与 中所有向量都直交时，称 与 正交，记作 .
设 ，若对 ，都有 ，则称 与 正交，记作 .
设 ，记 ，并称之为 的正交补（集）。
注 .
正交性质：
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ;
由引理5.2.1知： 是 的闭子空间, 而 是包含 的最小的闭集，所以
或
得： .综上所述，有 .证毕！
定义5.2.2设 是积空间， 是 的两个线性子空间，若 ，则称
为 与 的正交和，记作 .
命题5.2.1设积空间 能分解为 与 的线性和
则它为正交和 .
In fact,“ ”设 ，则由定义5.2.3知： . 于是
若 ，则由推论1知：必有非零元素 ( ).
由 ，由 得： .
因此 ，于是 . 这与 矛盾。故 .证毕！
.
这样的点列称为“极小化”序列。
下面证明 是基本点列。由平行四边形公式得：
.(5.2.5)
因为 是凸集，所以 ，因此 . 由(5.2.5)得：
.
令 ，则有
.
所以 是基本点列。
因为 是完备的，所以 ，使得 . 这时
.
若 ，使得 ，则点列 显然是“极小化”序列。这说明 ，也就是说在 中使 的元 是唯一的。
(3)若 ，则 ；
(4)对 ，恒有 ；
注 不意味着 .
(5)勾股弦定理：当 时， .
引理5.2.1设 是积空间， ，则 是 的闭线性子空间。
证（自证！）
注因为 未必是 的闭线性子空间，所以一般地， ，但有 .
若 是 的闭线性子空间，则 .
推论设 ，若 是 成的闭线性子空间，则
.
证因为 ，所以 .
反过来，若 ，即 ，这时 .
即：存在 ，使得 ，且这种分解是唯一的。
特别地，当 时， .
证由引理5.2.2，有 ，使得 .
由引理5.2.3得： . 记 ，则
，且 ，
就是 在 上的投影。
下证唯一性。设另有分解 ，其中 .因为
，
而 ，故 ，由此得
.
特别地，当 时，因为
,
所以 .证毕！
推论1设 是积空间 中的完备线性子空间，且 ，则在 中必有非零元素。