广东省佛山市南海区2020-2021学年高一上学期学业水平测试数学试题答案

南海区2023届高一学业水平测试数学试题2020年12月一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}A =，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A ．{2,4}B ．{1,3,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅1．答案：A解析：阴影部分表示的集合是{2,4}UA =．2．命题“2,210R x x ∀∈+>”的否定是（ ） A ．2,210R x x ∀∈+≤ B ．2,210R x x ∃∈+> C ．2,210R x x ∃∈+≤ D ．2,210R x x ∃∈+<2．答案：C解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，即“,()x D p x ∀∈”的否定是“,()x D p x ∃∈⌝” 3．下面的图象中可作为函数()y f x =的图象的是（ ）xyOxy OxyOxyOA B C D3．答案：D解析：根据函数的定义，对于定义域中的任意x ，都有唯一确定的y 与之对应，故选D ． 4．设R x ∈，则“250x x -<”是“02x <<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．答案：B解析：由250x x -<，解得05x <<，由于{|02}{|05}x x x x ⊂<<<<≠，所以“250x x -<”是“02x <<”的必要而不充分条件．5．下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．4()f x x = B ．5()f x x =C ．1()f x x x=+D ．21()f x x=5．答案：A解析：选项B ，C 是奇函数，选项D 是偶函数，但在(0,)+∞上单调递减，只有选项A 符合题意． 6．函数2xy -=-与2xy =的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称6．答案：C解析：因为(,)x y 与(,)x y --关于原点对称，所以函数2xy -=-与2xy =的图象关于原点对称．7．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)0f =且对任意的正数()a b a b ≠、，有()()0f a f b a b-<-，则不等式()0f x x<的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(1,0)(0,1)- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-7．答案：C解析：因为任意的正数()a b a b ≠、，有()()0f a f b a b-<-成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，0时，()0f x <，当0x <时，．设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数()[]f x x x =-则下列选项中，正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1，没有最小值B ．()f x 的最小值为0，没有最大值C ．()f x 没有最大值，没有最小值D ．()f x 的最大值为1，最小值为08．答案：B解析：函数()[]f x x x =-的图象如图所示，有图可知，()f x 的最小值为0，没有最大值．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．已知幂函数()R ααy x=∈的图象过点(3,27)，下列说法正确的是（ ）A ．函数αy x =的图象过原点 B ．函数αy x =是偶函数 C ．函数αy x =是单调减函数 D ．函数αy x =的值域为R9．答案：AD解析：将点(3,27)代入αy x =，得327α=，解得3α=，所以3()R y xx =∈，该函数过原点，是奇函数，在R 上单调递增，值域为R ，故选AD ．10．如图，某池塘里的浮萍面积y (单位：2m )与时间t (单位：月)的关系式为ty ka =（R k ∈，且0k ≠；0a >且1a ≠）．则下列说法正确的是（ ） A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230m C ．浮萍每月的增长率为1D ．若浮萍面积蔓延到2224m 6m ,9m ,所经过的时间分别为123,,t t t ，则1322t t t +=．10．答案：BCD解析：将(1,1)，(3,4)分别代入ty ka =，得314ka ka =⎧⎨=⎩，解得2k =，2a =，1222t t y -∴=⋅=，过点10,,(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),2⎛⎫⎪⎝⎭，浮萍每月增加的面积不相等，当6t =时，523230y ==>，每月浮萍的面积是上个月的2倍，增长率为1，若浮萍面积蔓延到2224m 6m ,9m ,所经过的时间分别为123,,t t t ，则1124t -=，2126t -=，3129t -=，因为2496⨯=，所以312111222(2)t t t ---⋅=，132112(1)t t t ∴-+-=-，即1322t t t +=．11．已知0a >，0b >，1a b +=，则（ ） A ．14ab ≤B ．122a b->C ．22log log 2a b +-≥D ．1114a b +≥ 11．答案：ABD解析：2()14a b ab +=≤，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确； 因为0a >，0b >，1a b +=，所以(1,1)a b -∈-，所以11222a b-->=，选项B 正确； 22221log log log ()log 24a b ab +==-≤，所以C 错误； 1111111,4,44a b ab a b ab ab a b +∴+==∴+≤≥≥正确，故选ABD12．对任意两个实数,a b ，定义,min{,},a ab a b b a b⎧=⎨>⎩≤，若2()2f x x =-，2()2g x x =-，下列关于函数()min{(),()}F x f x g x =的说法正确的是（ ） A．函数()F x 是偶函数 B ．方程()0F x =有两个实数根C ．函数()F x 在(上单调递增，在上单调递减D ．函数()F x12．答案：ABD解析：作出函数(y F x =函数()F x 函数()F x 在(函数()F x 有最大值为0三、填空题：本题共413．求值：124log 1616+= ． 13．答案：6解析：124log 1616246+=+=．14．若关于x 的不等式220x ax a -+≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是 ． 14．答案：01a <<解析：由题意可知，22(2)4440a a a a ∆=--=-<，解得01a <<．15．用二分法计算32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似解（精确度为0.1）可取为 ． 15．答案：1.4解析：(1.375)(1.4375)0f f ⋅<，且1.4375 1.3750.1-<，故近似解0(1.375,1.4375)x ∈，可取0 1.4x =． 16．log a x 中的x ，a 要分别满足0x >，0a >且1a ≠，小明同学不知道为什么，请你帮他解释 ．16．答案：由ya x =，①，得log a x y =②，在①②两式中,a x 相同，在①中有0a >且1a ≠，又对任意的实数y ，0ya >，即0x >．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）设函数()f x =M ，不等式2430x x -+>的解集为N ．（1）求集合,M N ； （2）求集合MN ，M N ；（3）写出集合()M N 与()MN 的关系．17．解析：（1）函数()f x =M ，由230x -≥，…………………………1分得32x ≥，32M x x ⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭≥，…………………………………………………………………………2分 由2430x x -+>得3x >或1x <，{1N x ∴=<或3}x >，……………………………………………3分（2）32M x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≥，{1N x =<或3}x >，{|3}MN x x ∴=>，…………………………6分312MN x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或≥．…………………………………………………………………………8分（3）()()MN MN ⊂≠．…………………………………………………………………………10分18．（本题满分12分） 已知()f x x =．（1）求证()f x 在[0,)+∞上是增函数；（2）①,R a b +∈，猜想222a b +与2a b +的大小关系；②证明你的猜想的结论；③求函数21(01)2x x x -+<<的最值． 18．（1）12,[0,)x x ∀∈+∞且12x x <，………………………………………………………………1分12121212()()f x f x x x x x ∴-==+2分12x x <，120x x ∴-<120x x >．…………………………………………………………4分 12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞是增函数……………………………5分（2）①2251,2,22a b a b +===，而322a b +=2222a b a b ++>， 7分如图，点22(,0),(,0)A a B b ，点E 是AB 的中点22,02a b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AC AB ⊥，BD AB ⊥，EF AB ⊥，EF 交CD 于点G ，知EF =2a b EG +=．2a b+……………………………………………………………………………7分 ②2222222()()224a b a b a b a b +++-+⎛⎫-=⎪⎝⎭………………………………………………………8分 22222222()22()0444a b a b ab a b ab a b +---+--===≥．……………………………………9分22222a b a b ++⎛⎫∴ ⎪⎝⎭≥，02a b +>，2a b+．……………………………………10分1122x x -+====．当且仅当1x x -=，即12x =12，无最大值．…………12分12==，当且仅当12x =时等号成立，12，无最大值．………………………………………………………………12分 19．（本题满分12分）若函数()2f x x =-（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象； （2）写出函数()f x 的值域、单调区间； （3）在①125x +②3x -，③2x +这三个式子中任选出一个使其等于()h x ，求不等式()()f x h x >的解集．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．19．解析：（1）函数图象如图所示：……………………………………5分（2）由图象可得函数的值域为[0,)+∞，……………………………………6分 单调递减区间为(,2)-∞，单调递增区间为[2,)+∞． （3）…………………………………………………………10分解1225x x +=-，得5x =，由图知原不等式的解集为{|0x x <或5}x >．………………………12分…………………………………………………………10分由图知原不等式的解集为R ．……………………………………………………………………………12分……………………………………………………………10分由22x x -=+，得0x =，由图知原不等式的解集为{|0}x x <．……………………………12分 20．（本题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和 6.7亿．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年期间的具体人口增长模型．（精确到0.0001）（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿?（参考数据：ln67 4.2047=，ln55 4.0073=，ln13 2.5649=，ln6.7 1.9021=，ln5.5 1.7047=） 20．解析：（1）由题意知0 5.5y =，设1950~1959年期间的我国人口的年平均增长率为r ，根据马尔萨斯人口增长模型，当9t =时， 6.7y =，………………………………………………………………2分有96.7 5.5re =即9 6.7675.555re==，…………………………………………………………3分 两边取自然对数得679ln ln 67ln 55 4.2047 4.00730.197455r ==-=-=，………………………4分 即0.197490.0219r =÷≈．……………………………………………………………………………5分因此，我国在1950~1959年间的具体人口增长模型为0.02195.5,[0,9]ty et =∈．…………………6分（2）将13y =代入0.02195.5ty e =，得0.021913 5.5te=，…………………………………………7分即0.0219135.5te=，130.0219ln ln13ln 5.5 2.5649 1.70470.86025.5t ==-=-=， 从而0.86020.021939.28t =÷≈．…………………………………………………………………10分 从而195039.281989.28+=，…………………………………………………………………11分故大约在1990年我国人口总数达到13亿．……………………………………………………………12分 注：如果答1989年扣1分．21．（本题满分12分）已知定义域为R 的函数21()22x xf x a =-+是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）若对任意的[1,2]x ∈，不等式22()(4)0f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围．21．解析：（1）由题意得：函数21()22x xf x a =-+是奇函数，定义域为R ．………………………1分 (0)0f ∴=，11012a ∴-=+，得1a =．…………………………………………………………………3分 经检验，1a =时，()f x 是奇函数．………………………………………………………………………4分（2）21211111()121221*********x x x x x x f x =-=-=--=-+++++-，任取12,x x ∈R ，且12x x <， 则1212211212111111222212212121(21)(21)()()x x x x x x x x f x f x ⎛⎫---=-= ⎪++++++⎝-⎭-=， 121212,22,220x x x x x x <∴<∴-<，又12(21)(21)0x x ++>，12()()0f x f x ∴-<，12()()f x f x ∴<，故()f x 在R 上单调递增．………………………………………………………………………6分对任意的x ∈R ，不等式22()(4)0f x mx f x -++>成立，即22()(4)f x mx f x ->-+，又因为()f x 是奇函数，所以22()(4)f x mx f x ->--，……………………………………………………………………8分 所以2240x mx -+>，即42m x x<+恒成立，…………………………………………………10分因为42x x+=≥（当且仅当x =，……………………………………11分所以min42m x x ⎛⎫<+ ⎪=⎝⎭12分22．（本题满分12分）如图，OAB △是边长为2的正三角形，记OAB △位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t ．（1）求函数()f t 解析式；（2）画出函数()y f t =的图象；（3）当函数()()g t f t at =-有且只有一个零点时，求a 的值．22．解析：（1）当01t <≤时，2()2f t =，………………………………………………………1分 当12t <≤时，2())f t t =-，……………………………………………………………2分 当2t >时，()f t =3分所以22,01()),12t f t t t <⎪=-<≤≤…………………………………………………………4分 7分2)0t at--=，所以24203t a t⎛⎫--+=⎪⎪⎝⎭，所以2480⎛⎫∆=-=⎪⎪⎝⎭，解得a=a=当a=220t-+=，解得t=在(1,2]内．当a=220t++=，t=不在(1,2]]内，当01t<≤时，2()2g t t at=-，由2()02g t at=-=，解得t=，因为01t<≤，所以01<，即0a<≤当2a=y at=过点⎛⎝⎭，这两点都在()f t的图象上，当0a<<时，直线y at=与射线2)y t=>有一个交点，当0a≤或a>y at=与()f t的图象无交点，所以a=12分另法：设22,01()),12,(2)tf t atatt tat tg t at<⎪-=--<>=⎩-⎪≤≤（i）若2()(01)g t at t=-<≤有唯一零点，则0a<≤（ii）若2()2),12g t t at t=-<<有唯一零点，则a a==舍去），（iii）若(),2g t at t=-≥有唯一零点，则02a<≤．综上所述，当02a<≤时，()g t有两个零点．当a=()()g t f t at=-有且只有一个零点．…………………………………………………………………………………………………………12分。