三垂线定理及其应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴ DC为PC在平面的射影, 而△ABC为等腰三角形, D为AB的中点,
C
B
A
D
∴ AB ⊥ CD ∴ AB ⊥PC (由三垂线定理)
定理应用
三垂线定理
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结
BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD， 连结A1B
∵DD1⊥平面ABCD
P A o a
α
Байду номын сангаас
(1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面
α 内的射影，则a⊥b。 且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 强调：1°四线是对同一个平面而言.
( ×) (×)
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线，
2°定理的关键找“平面的垂线”.
定理应用 • 例1. 如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB 的中点,求证AB⊥PC. P 证明: ∵ PD⊥平面ABC,
已知:如图,PO为平面α的斜线, PA⊥α , a在平面α内且垂直PO的射影AO. 求证:a⊥PO
三垂线定理
P a α A o
证明:
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
PA∩AO=A
①
③
PO 平面PAO
②
线面垂直 ③
a⊥PO
线线垂直
① 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 2 , AA1= 3, E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小? D 解: 连接BD,AC,AC交EF于G, 连接A1G 1
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD, A1 而E,F为AB和AD中点, ∴EF∥BD, ∴ EF⊥AC
再
见！
2005年11月
三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间 的垂直关系. 2、a与PO可以相交，也可以异面.
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
4 、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内 P 两直线的垂直问题.
α
A
o
a
三垂线定理
1、判定下列命题是否正确
AC2=AB2+BC2， AC= 152+a2
米
答：电塔顶A与道路的距离是 152 a 2 米。
A
B
90°
C
45° ●D
练习:
2.如图,AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2, a,b成30o角,在a上取点P使AP=4,则点P到直 2 2 线b的距离:____.
A
P a
C
D
B
b
定理应用
1.在直线上取点P,过P点作平面β的垂线PO. 2.过点O作交线的垂线OB. 3.连接PB.
P
α
B
O
A
β
小
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
结 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直。
1.定理中四条线均针对同一平面而言,
2.定理的主要应用:证明线线垂直,线面垂直, 求点到线的距离,二面角大小, 3.证明程序分三个步骤:“一垂二射三证”, 计算程序分三个步骤:“一作二证三算”.
解：在道路边取一点C， 使BC与道边所成水平角等于90°，
∵BC是AC的射影,且CD⊥BC,∴CD⊥AC (三垂线定理) 因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。 A B
90°
C
再在道路边取一点D，使∠CDB=45°, 则CD=CB
可测得C、D的距离等于a米,
在直角△ABC中,
∴BC= a米，
三垂线定理及其应用
P A o
a
α
三线概念: 平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
o
a
是PO在平面α内的射 影.
α
三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面 的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。
又因为AG为A1G在平面ABCD F 上的射影.(由三垂线定理) ∴ EF⊥A1G,则∠A1GA为二面角的平 A 面角. 计算得:二面角的大小为:60o
D B1
C1
C
G E B
练习:
3.如图.在一个45o的二面角的一个平面α内有一条 直线PA与二面角棱成45o,则此直线与二面角的另 一个平面β所成角为______. 30o
练习:
1. 如图,PA垂直⊙O所在平面,AB为圆的直径,C 为 圆上 的任意一点(不同于A,B),则图中有多少个直角三角形?
P
答:有4个,分别是: △PAB,△PAC,△ACB,△PCB. A
O
B
C
三垂线定理 定理应用 例3,道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的 距离？(测角器只能测水平面角)
A1 D1 B1 C1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影
∵ABCD是正方形∴AC⊥BD (AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1 ( 请思考：如何证明D1B⊥AB1 )
A D B C
同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C
三垂线定理
关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出 或作出平面的垂线,至于射影则是由垂足和斜足来确定的。 证明a⊥b(线线垂直)的一个程序：一垂、二射、三证。 即 第一、找或作平面垂线.
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与
一条斜线。 第三、证明直线a与射影线垂直，从而得出a与b垂直。
C
B
A
D
∴ AB ⊥ CD ∴ AB ⊥PC (由三垂线定理)
定理应用
三垂线定理
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结
BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD， 连结A1B
∵DD1⊥平面ABCD
P A o a
α
Байду номын сангаас
(1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面
α 内的射影，则a⊥b。 且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 强调：1°四线是对同一个平面而言.
( ×) (×)
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线，
2°定理的关键找“平面的垂线”.
定理应用 • 例1. 如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB 的中点,求证AB⊥PC. P 证明: ∵ PD⊥平面ABC,
已知:如图,PO为平面α的斜线, PA⊥α , a在平面α内且垂直PO的射影AO. 求证:a⊥PO
三垂线定理
P a α A o
证明:
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
PA∩AO=A
①
③
PO 平面PAO
②
线面垂直 ③
a⊥PO
线线垂直
① 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 2 , AA1= 3, E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小? D 解: 连接BD,AC,AC交EF于G, 连接A1G 1
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD, A1 而E,F为AB和AD中点, ∴EF∥BD, ∴ EF⊥AC
再
见！
2005年11月
三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间 的垂直关系. 2、a与PO可以相交，也可以异面.
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
4 、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内 P 两直线的垂直问题.
α
A
o
a
三垂线定理
1、判定下列命题是否正确
AC2=AB2+BC2， AC= 152+a2
米
答：电塔顶A与道路的距离是 152 a 2 米。
A
B
90°
C
45° ●D
练习:
2.如图,AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2, a,b成30o角,在a上取点P使AP=4,则点P到直 2 2 线b的距离:____.
A
P a
C
D
B
b
定理应用
1.在直线上取点P,过P点作平面β的垂线PO. 2.过点O作交线的垂线OB. 3.连接PB.
P
α
B
O
A
β
小
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
结 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直。
1.定理中四条线均针对同一平面而言,
2.定理的主要应用:证明线线垂直,线面垂直, 求点到线的距离,二面角大小, 3.证明程序分三个步骤:“一垂二射三证”, 计算程序分三个步骤:“一作二证三算”.
解：在道路边取一点C， 使BC与道边所成水平角等于90°，
∵BC是AC的射影,且CD⊥BC,∴CD⊥AC (三垂线定理) 因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。 A B
90°
C
再在道路边取一点D，使∠CDB=45°, 则CD=CB
可测得C、D的距离等于a米,
在直角△ABC中,
∴BC= a米，
三垂线定理及其应用
P A o
a
α
三线概念: 平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
o
a
是PO在平面α内的射 影.
α
三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面 的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。
又因为AG为A1G在平面ABCD F 上的射影.(由三垂线定理) ∴ EF⊥A1G,则∠A1GA为二面角的平 A 面角. 计算得:二面角的大小为:60o
D B1
C1
C
G E B
练习:
3.如图.在一个45o的二面角的一个平面α内有一条 直线PA与二面角棱成45o,则此直线与二面角的另 一个平面β所成角为______. 30o
练习:
1. 如图,PA垂直⊙O所在平面,AB为圆的直径,C 为 圆上 的任意一点(不同于A,B),则图中有多少个直角三角形?
P
答:有4个,分别是: △PAB,△PAC,△ACB,△PCB. A
O
B
C
三垂线定理 定理应用 例3,道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的 距离？(测角器只能测水平面角)
A1 D1 B1 C1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影
∵ABCD是正方形∴AC⊥BD (AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1 ( 请思考：如何证明D1B⊥AB1 )
A D B C
同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C
三垂线定理
关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出 或作出平面的垂线,至于射影则是由垂足和斜足来确定的。 证明a⊥b(线线垂直)的一个程序：一垂、二射、三证。 即 第一、找或作平面垂线.
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与
一条斜线。 第三、证明直线a与射影线垂直，从而得出a与b垂直。