湍流模型

大涡流动从平均流动中得到能量
在最小尺度的涡中，湍流能量随着粘性耗散转移为内能

能量从大涡向小涡转移

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T f ~
k2 T f k T f

每种湍流模型用不同的方法计算 μT

解模拟湍流粘性的输运方程

标准 k–ε, RNG k–ε, Realizable k–ε

解关于 k 和 ε的输运方程.
解关于 k 和 ω的输运方程.


解决低雷诺数下的differential viscosity模型 由解析方法得到的 Prandtl / Schmidt数的代数公式 旋流修正

对更复杂的剪切流来说比SKE 表现更好，比如剪切流、旋涡和分离 流
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(2) 雷诺德应力模型 (通过雷诺应力输运方程)

RSM 对复杂的 3D湍流流动更有效，但是模型更加复杂， 计算强度 更大， 比涡粘模型更难收敛
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ANБайду номын сангаасYS, Inc. Proprietary
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相对较新的模型

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k–ε 湍流模型

标准 k–ω, SST k–ω

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Spalart-Allmaras 模型
ui u j 2 uk 2 T Rij uiuj T ij k ij x 3 j xi 3 xk

Boussinesq假设 – Reynolds 应力 通过使用涡流粘性（湍流粘性）μT模 拟， 对简单湍流剪切流来说假设是合理的，例如 边界层、 圆形射流 、 混合层、 管流 等等。（S-A， k–ε ）
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方程封闭


RANS 模型能够用下列方法封闭 (1) 涡粘模型 (通过 Boussinesq 假设)

剪切应力输运k–ω (SSTKW) 模型(Menter, 1994)


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模型方程不包括在壁面上没有定义的项，例如不需要壁面函数可以 在壁面积分 对于有压力梯度的大范围边界层流动是精确稳定的 FLUENT 提供k–ω 模型下的两个子模型 标准k–ω (SKW) 模型

在航天和涡轮机械领域得到最广泛的应用 几个k–ω子模型选项：压缩效果，转錑，剪切流修正. SST k–ω 模型使用混合函数从壁面附近的标准k–ω 模型逐渐过渡到边 界层的外部的高雷诺数k–ε模型. 包含修正的湍流粘性公式来解决湍流剪应力引起的输运效果
湍流模型
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Redh 2,300
自然对流 Ra 10 9 Pr
2 3 g L3 T C p g L T where Ra is the Rayleigh number k Cp Pr is the Prandtl number k
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k–ε 湍流模型

Realizable k–ε (RKE) 模型

realizable 意味着这个模型满足在雷诺应力上的特定数学约束, 与物理 湍流流动一致. uj 0 法向应力为正 ui
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计算方法总览

雷诺德平均NS模型(RANS)


解总体均值（或者时间均值）纳维－斯托克斯方程 在RANS方法中，所有湍流尺度都进行模拟 在工业流动计算中使用得最为广泛 解算空间平均 N-S 方程，大涡直接求解, 比网格尺度小的涡通过模型 得到 计算消耗小于DNS，但是对于大多数的实际应用来说占用计算资源 还是太大了 理论上来说，所有的紊流流动能够由数值解出所有的N-S方程来模拟 解出尺寸频谱，不需要任何模型 花费太高! 对工程流动不实用 ，目前 DNS 在 Fluent中不可用。
1 ui x, t lim N N

n 1
N
ui
n
x, t
ui x, t
uix, t
ui x, t
ui x, t ui x, t uix, t
瞬时项 时均项 波动项
Example: 完全发展 湍流管流 速度分布

Reynolds-averaged 动量方程如下

关于 Reynolds 剪切应力的Schwarz’不等式 :
uu
i j
2
ui2u 2 j

耗散率更能体现能量在谱空间的传输 优点：

对平面射流和圆形射流的散布率预测得更加精确. 对包括旋转、逆压梯度下的边界层、 分离, 循环流动提供较好性能

三种模型区别：计算湍流粘性方法不同；控制湍流扩散的Pr数不 同；耗散项的形式不同
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湍流结构
Small structures
Large structures
Energy Cascade Richardson (1922)
湍流是什么?

非定常，无规律 (无周期) 运动，输运量 (质量, 动量, 组分) 在时间 和空间中波动

湍流漩涡. 增强的混合（物质，动量 能量，等等）效果

流动属性和速度呈现随机变化


统计平均结果 湍流模型
大涡的尺寸和速率与平均流动在一个量级


包括一个大范围的湍流漩涡尺寸 (比例频谱).

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在FLUENT中可用的湍流模型
1－方程模型 Spalart-Allmaras 2－方程模型 标准 k–ε RNG k–ε realizable k–ε 标准 k–ω SST k–ω 雷诺德应力模型 分离涡模拟 大涡模拟
基于RANS的模 型
增加 每个计算迭代步 消耗
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雷诺应力模型 (RSM)
T uiuj uk uiuj Pij Fij Dij ij ij t xk
Stress production Rotation production




Turbulent Dissipation diffusion Pressure Strain


Spalart-Allmaras 是一种低耗的求解关于改进的涡粘输运方程的 RANS 模型 主要用于空气动力学/涡轮机， 比如机翼上的超音速/跨音速流动, 边界层流动 等等

对于有壁面边界空气动力学流动应用较好

在有逆压梯度的情况下给出了较好的结果 在涡轮机应用中很广泛 还没有应用于各种复杂的工程流动 对流动尺度变换较大的流动不太合适（平板射流，自由剪切流）
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计算湍流粘性

基于量纲分析， μT 能够由 湍流时间尺度 (或速度尺度) 和空间尺 度来决定

湍流动能 [L2/T2] 湍流耗散率 [L2/T3] 比耗散率 [1/T] Spalart-Allmaras

k uiui 2 ui x j ui x j uj xi k
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RANS 模拟 – 时间平均

将N－S方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量:
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k–ω 湍流模型

k–ω 湍流模型得到广泛特点：

大涡模拟 (LES)



直接数值模拟 (DNS)



现在没有一种简单而实用的湍流模型能够可靠的预测出具有充分 精度的所有湍流流动
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流动是否为湍流
外部流动
Re x 500,000 沿着表面
Re d 20,000 沿着障碍物
内部流动
where Re L
U L L x, d , d h , etc.
其它因素比如自由流动湍流,，表 面条件，扰动等，在低雷诺数下 可能导致转变为紊流
ui Rij Rij uiuj x x (Reynolds 应力张量) j j Reynolds 应力是由附加的平均过程引起的，因此为了封闭控制方程 组，必须对Reynolds应力建模 ui ui p u k t xk xi x j

标准 k–ε (SKE) 模型


在工程应用中使用最为广泛的湍流模型 稳定而且相对精确 包括可压缩性、 浮力、 燃烧等子模型 局限性

ε 方程包括一个 不能在壁面上计算的项， 因此 必须使用壁面函数 在流动有强分离、大压力梯度情况下结果不太准确

RNG k–ε模型

k–ε 方程中 的常数通过renormalization group 定理得到 包括以下子模型