分式的乘除法典型例题

《分式的乘除法》典型例题

例1 下列分式中是最简分式的是（）

A ．264a

b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y

x y x --2

2 例2 约分

（1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422

-+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除）

（1）22563ab cd c b a -⋅- （2）42

2

643mn n m ÷- （3）2

33344222++-⋅+--a a a a a a （4）2

22

22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算

（1）)()()(432

2xy x

y y x -÷-⋅- （2）x

x x x x x x --+⨯+÷+--36)3(446222 例5 化简求值

22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+⋅-，其中3

2=a ，3-=b . 例6 约分

（1）3286b ab ； （2）2

22322xy y x y x x --

例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式.

（1）44422-+-x x x ； （2）36

)

(4)(3a b b a a --； （3）22

2y

y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分：

（1）223c a b

， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392

-，

a a a 2312---，652+-a a a

参考答案

例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D.

故选择C.

解 C

例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分.

解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-⋅--⋅-=b a a b b a b a a 3)(4

1b a b --= （2）4

4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22

1(6)3432(b

b b b -+=⋅-⋅+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1

64

mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算.

解：（1）22563ab cd c b a -⋅-2253)6(ab c cd b a ⋅--=b

ad 52= （2）422643mn n m ÷-7

43286143n m mn n m -=⋅-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1

22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2

2

22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除

法化成乘法，而根据分式乘法法则，是先把分子、分母相乘，化成一个分式后再进行约分.在实际运算时，可以先约分，再相乘，这样简便易行，可减少出错.

例4 分析：（1）对于含有分式乘方，乘除的混合运算，运算顺序是先乘方后乘除，一般首先确定结果的符号，再做其他运算，（2）进行分式的乘除混合运算时，要注意，当分子、分母是多项式时，一般应分解因式，并在运算运程中约分，使运算简化，因式，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是“1”的式子，然后按照分式的乘除法法则计算，这样可以减少错误.

解：（1）原式2

436221)1()(x xy x y y x =-⋅-⋅= （2）原式x x x x x x --+⨯+⨯--=

3)2)(3(31)2()3(22 x

-=22 例5 分析 本题要求先化简再求值，实际上就是先将分子、分母分别分解因式，然后约分，把分式化为最简分式以后再代入求值.

解 原式＝)

())((23223b a b b a b a b b a ab a b a b +-+÷-+⋅- )

)(()()(32b a b a b a b b b a a b a b -++⨯-⨯-= b

a -= 当3,3

2-==b a 时， 原式9

2332

-=-= 例6 解 （1）.4328268623232b

a b b b ab b ab =÷÷= （2）222322xy

y x y x x --)2()2(2y x xy y x x --=（分子、分母分解因式） y

x =（约去公因式）

说明 1．当分子、分母是单项式时，其公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积.

2．当分子、分母是多项式时，先分解因式，再约去公因式.

例7 分析 （1）∵4

4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x ，分子、分母有公因式)2(-x ，所以它不是最简分式；（2）显然也不是最简分式；（3）中))((22y x y x y x -+=-与2y 没有公因式；（4）中22)1(12+=++x x x ，

222)2(2)44(2882+=++=++x x x x x ，分子、分母中没有公因式.

解 2

2

2y y x -和8821222++++x x x x 是最简分式； 44422-+-x x x 和63

)

(4)(3a b b a a --不是最简分式； 化简

（1）4

4422-+-x x x .22)2)(2()2(2+-=-+-=x x x x x （2）63)

(4)(3a b b a a --336)(43)(4)(3a b a a b a b a -=--= 例8 分析 （1）中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30，各字母a 、b 、c 因式的最高次幂分别是2a 、2b 、2c ，所以最简公分母是22230c b a .

（2）中分母为多项式，因而先把各分母分解因式，)3(339a a -=-；)3)(1(232-+=--a a a a ；)3)(2(652--=+-a a a a ，因而最简公分母是).3)(2)(1(3--+a a a

解 （1）最简公分母为23230c b a .

223c

a b 23243223301010310c b a b b c a b b =⋅⋅=， ab

c 2-232322222301515215c b a c ab c ab ab c ab c -=⋅⋅-=