【2020-2021自招】安徽合肥一六八中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

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2020-2021学年安徽省合肥市中考数学一模试卷及答案解析

安徽省合肥市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．6÷（﹣2）的结果为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．（﹣xy3）2=（）A．x2y5B．﹣x2y5C．xy6D．x2y63．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）2 B．y2﹣x2=（x+y）（y﹣x）C．x2+2xy﹣y2=（x﹣y）2D．x2﹣2xy+y2=（x+y）（x﹣y）4．一次函数y=ax﹣1和y=bx+5的图象如图所示，则a、b的值是（）A．a=3，b=2 B．a=2，b=3 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=15．某市中考体育加试考查5个科目，具体规定是：A项目必考，再从B、C、D、E四项中随机抽考两项，则抽考两项中恰好是C、E两项的概率是（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，分别连接AD、BC，已知∠D=65°，则∠OCD=（）A．30°B．35°C．40°D．45°7．如图1，把正方体沿上下底面的正方形对角线竖直方向切掉一半后得到图2，把切面作为正面观察，设它的主视图、左视图的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．：1 D．2：18．因春节放假，某工厂2月份产量比1月份下降了5%，3月份将恢复正常，预计3月份产量将比2月份增长15%．设2、3月份的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．15%﹣5%=x B．15%﹣5%=2xC．（1﹣5%）（1+15%）=2（1+x） D．（1﹣5%）（1+15%）=（1+x）29．如图1，点D、B、C、E在同一条直线上，在△ABC中，∠BAC=40°，AB=AC=2，点D、E在直线BC上由左向右运动，且始终保持∠DAE=110°，当点D向点B运动时（D不与B重合），如图（2），设DB=x，CE=y，则y与x的函数关系的图象大致可以表示为（）A．B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜3 B．1≤AD＜ C．≤AD＜D．≤AD＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．据规划，截止年底，环巢湖将新建湿地3946000平方米，届时环巢湖将更加风景如画，其中数“3946000”用科学记数法表示为．12．计算：﹣（12﹣π）0+|﹣2|= ．13．如图，AB是⊙O的直径，C是AB弧上一点，AP平分∠BAC，AB=3，AC=1，则PB= ．14．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE 于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有．①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式组：．16．观察下列等式：①﹣1=﹣②﹣4=﹣③﹣9=﹣…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（）﹣（）=（）（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A的平分线交BC于E，交DC延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，射线BG交AD于H，交CD延长线于M（1）求CE的长；（2）求MF的长．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．（1）以O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）若△A1B1C1三边中点分别为P1、P2、P3，将△A1B1C1绕P1、P2、P3中的某一点顺时针旋转90°，使得格点A1落在旋转后得到的△A2B2C2内，画出△A2B2C2，并标出旋转中心．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，三条平行的高速公路l1、l2、l3分别经过A、B、C三个城市，AB、AC分别为两条连接城市的普通公路，AB、AC分别与l1成30°、45°角，已知AB=200千米，AC=400千米，求两条高速公路l2、l3之间的距离（结果保留根号）．20．某工程需要开挖4200米长的隧道，了解甲、乙两工程队后得到如下信息：两个工程队单独完成这项工程所需费用相同，甲工程队比乙工程队每天可多完成20米，但每天需要的费用比乙工程队多40%．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少米？（2）为加快工程进度，必须要求两个工程队同时从两个方向施工，已知乙工程队每天的费用为a万元，求两工程队合作完成后的总费用（用含a的代数式表示）．六、（本题满分12分）21．某中学组织学生参加“社会主义核心价值观知识竞赛”，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制成图表如下：分数段频数频率60≤x＜70 30 0.170≤x＜80 9080≤x＜90 0.490≤x＜100 60 0.2根据以上图表信息，解答下列问题：（1）补全频数分布表和频数直方图；（2）参赛的小明同学认为他的比赛成绩是所有参赛同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在分数段内；（3）如果该校共有2000名学生参赛，比赛成绩80分以上（含80分）为“优秀”，请估计该校获得“优秀”等级的人数．七、（本题满分12分）22．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，在三角形内裁剪正方形，使正方形四个顶点恰好在三角形的边上，共有两种裁法：（1）裁法1，如图（1），若a=6，b=8，且正方形两条边在直角边上，试求正方形的边长x；（2）裁法2，如图（2），若a=6，b=8，且正方形一条边在斜边上，试求正方形的边长y；（3）对于任意Rt△ABC，若c为斜边，以裁法1得到的正方形面积S1和以裁法2得到的正方形面积S2，试猜想S1与S2的大小，并证明你的结论．八、（本题满分14分）23．如图是排球比赛场景的示意图，AB是球网，长度为10米，高AC为2.4米，二传手在距边界C处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处沿如图所示的抛物线在网前飞行，点M 的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．（1）以点C为坐标原点，建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？（3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点C多远的地方起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：=2.24，=5.48）安徽省合肥市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．6÷（﹣2）的结果为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考点】有理数的除法．【分析】根据有理数的除法计算即可．【解答】解：6÷（﹣2）=﹣3，故选B【点评】此题考查有理数的除法，注意同号得正，异号得负．2．（﹣xy3）2=（）A．x2y5B．﹣x2y5C．xy6D．x2y6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方计算即可．【解答】解：（﹣xy3）2=x2y6，故选D【点评】此题考查积的乘方，关键是根据法则进行计算．3．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）2 B．y2﹣x2=（x+y）（y﹣x）C．x2+2xy﹣y2=（x﹣y）2D．x2﹣2xy+y2=（x+y）（x﹣y）【考点】因式分解-运用公式法．【分析】分别利用公式法分解因式进而判断得出即可．【解答】解：A、x2+2xy+y2=（x+y）2，故此选项错误；B、y2﹣x2=（x+y）（y﹣x），正确；C、x2+2xy+y2=（x+y）2，故此选项错误；D、x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．4．一次函数y=ax﹣1和y=bx+5的图象如图所示，则a、b的值是（）A．a=3，b=2 B．a=2，b=3 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=1【考点】两条直线相交或平行问题．【专题】计算题．【分析】根据良好直线相交的问题，把两直线的交点坐标（3，2）分别代入两直线解析式即可求得a和b的值．【解答】解：把（3，2）代入y=ax﹣1得3a﹣1=2，解得a=1；把（3，2）代入y=bx+5得3b+5=2，解得b=﹣1．故选C．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．5．某市中考体育加试考查5个科目，具体规定是：A项目必考，再从B、C、D、E四项中随机抽考两项，则抽考两项中恰好是C、E两项的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中C、E两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）﹣（A，D）（B，D）（C，D）﹣（E，D）（A，C）（B，C）﹣（D，C）（E，C）（A，B）﹣（C，B）（D，B）（E，B）﹣（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）∵A项目必考，再从B、C、D、E四项中随机抽考两项，∴共有12种等可能的结果，恰好选中C、E两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中C、E）==，故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，分别连接AD、BC，已知∠D=65°，则∠OCD=（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】根据圆周角定理求得∠B=65°，进而根据直角三角形两锐角互余求得∠BCE=25°，根据等边对等角求得∠OCB=∠B=65°，从而求得∠OCD=65°﹣25°=40°．【解答】解：∵∠B=∠D=65°，CD⊥AB，∴∠BCE=90°﹣65°=25°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠B=65°，∴∠OCD=65°﹣25°=40°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．如图1，把正方体沿上下底面的正方形对角线竖直方向切掉一半后得到图2，把切面作为正面观察，设它的主视图、左视图的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．：1 D．2：1【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据正方体的性质，三视图的知识可知图2的主视图与左视图都是矩形，它们的高相等，主视图是左视图底边的2倍，根据矩形的面积公式即可求解．【解答】解：∵把正方体沿上下底面的正方形对角线竖直方向切掉一半后得到图2，∴图2的主视图与左视图都是矩形，它们的高相等，主视图是左视图底边的2倍，、S2，∵主视图、左视图的面积分别为S1：S2=2：1．∴S1故选：B．【点评】考查了简单组合体的三视图，关键是得到图2的主视图与左视图都是矩形，以及它们相互间的关系．8．因春节放假，某工厂2月份产量比1月份下降了5%，3月份将恢复正常，预计3月份产量将比2月份增长15%．设2、3月份的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．15%﹣5%=x B．15%﹣5%=2xC．（1﹣5%）（1+15%）=2（1+x） D．（1﹣5%）（1+15%）=（1+x）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．【解答】解：设一月份的产量为a，则二月份的产量为a（1﹣5%），三月份的产量为a（1﹣5%）（1+15%），根据题意得：a（1﹣5%）（1+15%）=a（1+x）2，即：（1﹣5%）（1+15%）=（1+x）2，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．9．如图1，点D、B、C、E在同一条直线上，在△ABC中，∠BAC=40°，AB=AC=2，点D、E在直线BC上由左向右运动，且始终保持∠DAE=110°，当点D向点B运动时（D不与B重合），如图（2），设DB=x，CE=y，则y与x的函数关系的图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】利用AB=AC可得∠ABC=∠ACB，进而可得∠ABD=∠ACE，然后证明∠ADB=∠CAE，可得△ADB∽△EAC，根据相似三角形的对应边成比例可得y与x之间的函数关系式，从而作出判断．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠ABD=∠ACE，∠ADB+∠BAD=70°，∵∠DAE=110°，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADB=∠CAE，∴△ADB∽△EAC，∴，∴xy=4，解得y=．故选：A．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和函数的图象，利用两角对应相等得到两三角形相似是解决本题的关键．10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜3 B．1≤AD＜ C．≤AD＜D．≤AD＜【考点】直线与圆的位置关系．【分析】首先由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的长，然后根据题意画出图形，分别从当⊙D与BC相切时与当⊙D与BC相交时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，以D为圆心，AD的长为半径画⊙D，①如图1，当⊙D与BC相切时，DE⊥BC时，设AD=x，则DE=AD=x，BD=AB﹣AD=5﹣x，∵∠BED=∠C=90°，∠B是公共角，∴△BDE∽△BAC，∴，即，解得：x=；②如图2，当⊙D与BC相交时，若交点为B或C，则AD=AB=，∴AD的取值范围是≤AD＜．故选D．【点评】此题考查了点与圆的位置关系、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．据规划，截止年底，环巢湖将新建湿地3946000平方米，届时环巢湖将更加风景如画，其中数“3946000”用科学记数法表示为 3.946×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将3946000用科学记数法表示为3.946×106．故答案为：3.946×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．计算：﹣（12﹣π）0+|﹣2|= +1 ．【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1+2﹣=+1，故答案为：+1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．如图，AB是⊙O的直径，C是AB弧上一点，AP平分∠BAC，AB=3，AC=1，则PB= ．【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】延长AC，BP交于D，由AB是⊙O的直径，得到∠APB=∠ACB=90°，求得∠APD=∠DCB=90°，根据角平分线的定义得到∠DAP=∠BAP，推出△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质得到PD=PB，AD=AB=3，根据勾股定理得到BC==2，BD==2，即可得到结论．【解答】解：延长AC，BP交于D，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠ACB=90°，∴∠APD=∠DCB=90°，∵AP平分∠BAC，∴∠DAP=∠BAP，在△ADP与△ABP中，，∴△ADP≌△ABP，∴PD=PB，AD=AB=3，∴CD=AD﹣AC=2，∵∠ACB=90°，∴BC==2，∴BD==2，∴PB=BD=．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE 于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有①③．①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】延长AE交BC的延长线与点M，则△ACM是等腰三角形，即可证明E是AM的中点，则DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理求解．【解答】解：延长AE交BC的延长线与点M．∵CE⊥AE，CE平分∠ACB，∴△ACM是等腰三角形，∴AE=EM，AC═CM=b，同理，AB=BF=c，AD=DF，AE=EM．∴DE=FM，∵CF=c﹣a，∴FM=b﹣（c﹣a）=a+b﹣c．∴DE=（a+b﹣c）．故①③正确．故答案是：①③．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＞4，由②得：x≤6，不等式组的解集为4＜x≤6．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．观察下列等式：①﹣1=﹣②﹣4=﹣③﹣9=﹣…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（）﹣（16 ）=（﹣）（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）由①②③不难看出各式分母不变，分子是连续奇数的平方，根据规律写出第四个等式即可；（2）根据（1）由特殊到一般的思想可写出一般式，化简后左边等于右边即可证明．【解答】解：（1）由①②③不难看出各式分母不变，分子是连续奇数的平方，所以第四个等式是：﹣16=﹣；（2）第n个等式（用含n的式子表示）是：﹣n2=﹣；证明：左边==﹣=右边．所以此式正确．【点评】本题主要考查了数字变化规律问题，解决此类问题的关键是运用由特殊到一般的思想，找到一般规律，要善于前后联系，挖掘规律．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A的平分线交BC于E，交DC延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，射线BG交AD于H，交CD延长线于M（1）求CE的长；（2）求MF的长．【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）由角平分线得出∠BAE=∠DAE，由平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD=6，证出∠DAE=∠AEB，∠BAE=∠AEB，得出BE=AB=4，即可得出结果；（2）由ASA证明△ABG≌△AHG，得出AH=AB=4，∠ABG=∠AHG，得出HD=2，由平行线的性质和角的关系得出∠M=∠MHD，得出DM=DH=2，同理得出CF=CE=2，即可得出结果．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD=4，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=4，∴CE=BC﹣BE=6﹣4=2；（2）∵BG⊥AE，∴∠AGB=∠AGH，在△ABG和△AHG中，，∴△ABG≌△AHG（ASA），∴AH=AB=4，∠ABG=∠AHG，∴HD=AD﹣AH=6﹣4=2，∵AB∥MF，∴∠ABG=∠M，∵∠AHG=∠MHD，∴∠M=∠MHD，∴DM=DH=2，同理可得：CF=CE=2，∴MF=DM+CD+CF=2+4+2=8．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的平分线、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．（1）以O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）若△A1B1C1三边中点分别为P1、P2、P3，将△A1B1C1绕P1、P2、P3中的某一点顺时针旋转90°，使得格点A1落在旋转后得到的△A2B2C2内，画出△A2B2C2，并标出旋转中心．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】（1）延长AO到A1，使OA1=OA，同样作出点B1、C1，则△A1B1C1为所求；（2）以A1C1的中点P1为旋转中心，顺时针旋转90°，利用网格特点画出△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；（2）如图，△A2B2C2为所求，旋转中心为A1C1的中点P1．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，三条平行的高速公路l1、l2、l3分别经过A、B、C三个城市，AB、AC分别为两条连接城市的普通公路，AB、AC分别与l1成30°、45°角，已知AB=200千米，AC=400千米，求两条高速公路l2、l3之间的距离（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用．【分析】过A作AD⊥l2于D，延长AD交l3于E，构成两个直角三角形，解两个直角三角形分别求得AD=100，AE=200，即可求得两条高速公路l2、l3之间的距离．【解答】解：过A作AD⊥l2于D，延长AD交l3于E，在RT△ABD中，∠ABD=30°，AB=200，∴AD=100，在RT△ACE中，∠ACE=45°，AC=400，∵sin∠ACE=，∴AE=AC•sin45°=200，∴DE=AE﹣DE=200﹣100，答：两条高速公路l2、l3之间的距离为（200﹣100）千米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．20．某工程需要开挖4200米长的隧道，了解甲、乙两工程队后得到如下信息：两个工程队单独完成这项工程所需费用相同，甲工程队比乙工程队每天可多完成20米，但每天需要的费用比乙工程队多40%．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少米？（2）为加快工程进度，必须要求两个工程队同时从两个方向施工，已知乙工程队每天的费用为a万元，求两工程队合作完成后的总费用（用含a的代数式表示）．【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）设甲工程队每天能完成x米，则乙工程队每天完成（x﹣20）米，设乙工程队每天需要费用为a，则甲工程队每天需要费用为a（1+40%），根据两个工程队单独完成这项工程所需费用相同，列方程求解；（2）设两个工程队合作m天完成工程，根据（1）求得数据代入求出m的值，然后求出总费用．【解答】解：（1）设甲工程队每天能完成x米，则乙工程队每天完成（x﹣20）米，设乙工程队每天需要费用为a，则甲工程队每天需要费用为a（1+40%），由题意得，a（1+40%）•=a•，解得：x=70，经检验，x=70是分式方程的解，且符合题意，则x﹣20=50．答：甲工程队每天能完成70米，则乙工程队每天完成50米；（2）设两个工程队合作m天完成工程，由题意得，70m+50m=4200，解得：m=35，则总费用为：35[a+a（1+40%）]=84a（万元）．答：两工程队合作完成后的总费用为84a万元．【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．六、（本题满分12分）21．某中学组织学生参加“社会主义核心价值观知识竞赛”，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制成图表如下：分数段频数频率60≤x＜70 30 0.170≤x＜80 9080≤x＜90 0.490≤x＜100 60 0.2根据以上图表信息，解答下列问题：（1）补全频数分布表和频数直方图；（2）参赛的小明同学认为他的比赛成绩是所有参赛同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在80≤x＜90 分数段内；（3）如果该校共有2000名学生参赛，比赛成绩80分以上（含80分）为“优秀”，请估计该校获得“优秀”等级的人数．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）根据各组的频率的和是1，用1减去其它组的频数，即可求得70≤x＜80一组的频率，根据频率=即可求得总数，然后利用公式求得第三组的频数；（2）根据中位数的定义即可判断；（3）利用总人数乘以对应的频率即可．【解答】解：（1）70≤x＜80段的频数是1﹣0.2﹣0.4﹣0.1=0.3．总人数是30÷0.1=300（人），80≤x＜90段的频数是300×0.4=120（人），分数段频数频率60≤x＜70 30 0.170≤x＜80 90 0.380≤x＜90 120 0.490≤x＜100 60 0.2（2）共有300个数据，中位数为第150个数据和第151个数据的平均数，这两个数都在80≤x ＜90这一组．故答案是80≤x＜90；（3）根据题意得2000×（0.4+0.2）=1200（名）．答：该校获得“优秀”等级的人数是1200名．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．七、（本题满分12分）22．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，在三角形内裁剪正方形，使正方形四个顶点恰好在三角形的边上，共有两种裁法：（1）裁法1，如图（1），若a=6，b=8，且正方形两条边在直角边上，试求正方形的边长x；（2）裁法2，如图（2），若a=6，b=8，且正方形一条边在斜边上，试求正方形的边长y；（3）对于任意Rt△ABC，若c为斜边，以裁法1得到的正方形面积S1和以裁法2得到的正方形面积S2，试猜想S1与S2的大小，并证明你的结论．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）裁法1的正方形的边长为x，由EF∥BC，于是得到△AEF∽△ABC，所以=即可得到x=；（2）根据勾股定理得到c=10，设斜边上的高为h，根据三角形的面积公式的ab=ch，求出h=4.8得到比例式，即可得到y=；（3）由（1）知，，得到x=，由（2）知，得到y=，于是得到﹣=，由于c＞a，c＞b，于是得到（c﹣a）（c﹣b）＞0，求出＞0，得到x＞y，即可得到结论．【解答】解：（1）裁法1的正方形的边长为x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，∴，∴x=；（2）∵a=6，b=8，∴c=10，设斜边上的高为h，根据三角形的面积公式的ab=ch，∴h=4.8，∵裁法2的正方形的边长y，则，解得：y=，（3）S1＞S2，理由：由（1）知，，得bx=ab﹣ax，∴x=，由（2）知，得y=，即y=，∴﹣===，∵c＞a，c＞b，∴（c﹣a）（c﹣b）＞0，∴＞0，∴，∴x＞y，即裁法1得到的正方形边长＞裁法2得到的正方形边长，＞S2．∴S1【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．八、（本题满分14分）23．如图是排球比赛场景的示意图，AB是球网，长度为10米，高AC为2.4米，二传手在距边界C处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处沿如图所示的抛物线在网前飞行，点M 的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．（1）以点C为坐标原点，建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？（3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点C多远的地方起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：=2.24，=5.48）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据题意设y=a（x﹣h）2+k，用待定系数法求出函数关系式；（2）把x=2.5代入（1）的函数关系式，求出y的值与最大扣球高度3.10米进行比较即可；（3）把y=3.4和y=3.2代入函数关系式解方程，然后根据二次函数的图象和性质得到答案．【解答】解：以0为坐标原点，CD为x轴正方向建立平面直角坐标系，（1）令y=a（x﹣h）2+k，把（5.5，3.8）代入，得y=a（x﹣5.5）2+3.8∵点M（0.5，1.8）在图象上，∴1.8=a（0.5﹣5.5）2+3.8，解得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣5.5）2+3.8；（2）当x=2.5时，y=﹣（2.5﹣5.5）2+3.8=3.08，∵3.08＜3.10，∴甲队员能扣到球；（3）当y=3.4时，3.4=﹣（x﹣5.5）2+3.8，解得：x1=7.74，x2=3.26，当y=3.2时，3.2=﹣（x﹣5.5）2+3.8，解得：x1=8.24，x2=2.76，∵a=﹣＜0，∴抛物线开口向下，∴当3.2＜y≤3.4时，2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24，∴乙队员在离边界C点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣到球又避免对方拦网．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，选择恰当的坐标原点，建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二次函数解析式，然后运用二次函数图象和性质解决实际问题．。

2023年安徽省中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案

安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一参照答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组旳解集是x＞3，则m旳取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先解不等式组，然后根据不等式旳解集，得出m旳取值范围即可．解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整顿得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组旳解集是x＞3，∴m≤3．故选C．点评：重要考察了一元一次不等式组解集旳求法，将不等式组解集旳口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m旳范围．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．考点：特殊角旳三角函数值．分析：本题中直角三角形旳角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC旳度数，再由特殊角旳三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．点评：本题考察旳是特殊角旳三角函数值，解答此题旳关键是构造特殊角，用特殊角旳三角函数促使边角转化．注：（1）求（已知）非特角三角函数值旳关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求（已知）锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等旳比来转换．3．（3分）（•南漳县模拟）如图，AB为⊙O旳一固定直径，它把⊙O提成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD旳平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD旳距离保持不变B．位置不变D．随C点移动而移动C．等分考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦旳关系．专题：探究型．分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，因此有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆旳中点．故选B．点评：本题考察了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对旳圆周角相等，一条弧所对旳圆周角是它所对旳圆心角旳二分之一．也考察了垂径定理旳推论．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y旳最大值与最小值旳差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2考点：函数最值问题．分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后运用函数旳单调性求出函数旳最大值和最小值，最终求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y旳最大值为2，当x=1或5时，y旳最小值为2，故当x=1或5时，y获得最小值2，当x取1与5中间值3时，y获得最大值，故y旳最大值与最小值旳差为2﹣2，故选D．点评：本题重要考察函数最值问题旳知识点，解答本题旳关键是把函数两边平方，此题难度不大．5．（3分）（•泸州）已知O为圆锥旳顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过旳最短路线旳痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段旳性质：两点之间线段最短；几何体旳展开图．专题：压轴题；动点型．分析：此题运用圆锥旳性质，同步此题为数学知识旳应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过旳最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行旳最短路线应当是一条线段，因此选项A和B错误，又由于蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么假如将选项C、D旳圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上旳点P应当可以与母线OM′上旳点（P′）重叠，而选项C还原后两个点不可以重叠．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生旳空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形旳边长是和它相切旳圆旳周长旳两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形旳三边做无滑动旳旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈考点：直线与圆旳位置关系．分析：根据直线与圆相切旳性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形旳顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解答：解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形旳三边做无滑动旳旋转，∵等边三角形旳边长是和它相切旳圆旳周长旳两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形旳一种顶点旋转了三角形旳一种外角旳度数，圆心要绕其三角形旳顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考察了直线与圆旳位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考察了旋转旳性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c旳图象如下图，则如下结论对旳旳有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数旳关系．专题：图表型．分析：由抛物线旳开口方向判断a旳符号，由抛物线与y轴旳交点判断c旳符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点状况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值不小于0，即y=4a+2b+c＞0，对旳；④当x=3时函数值不不小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，对旳；⑤当x=1时，y旳值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，因此a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），对旳．③④⑤对旳．故选B．点评：考察二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴旳交点、抛物线与x轴交点旳个数确定．8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，假如，那么△ABC旳内切圆半径为（）A．1B．C．2D．考点：三角形旳内切圆与内心；等边三角形旳性质．分析：过P点作正△ABC旳三边旳平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分旳面积=白色部分旳面积，于是求出三角形ABC旳面积，进而求出等边三角形旳边长和高，再根据等边三角形旳内切圆旳半径等于高旳三分之一即可求出半径旳长度．解答：解：如图，过P点作正△ABC旳三边旳平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分旳面积=白色部分旳面积，又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=，故知S△ABC=3，S△ABC=AB2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC旳高h=3，△ABC旳内切圆半径r=h=1．故选A．点评：本题重要考察等边三角形旳性质，面积及等积变换，解答本题旳关键是过P点作三角形三边旳平行线，证明黑色部分旳面积与白色部分旳面积相等，此题有一定难度．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．考点：二次根式故意义旳条件；非负数旳性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据互为相反数旳和等于0列式，再根据非负数旳性质列式求出a+旳值，再配方开平方即可得解．解答：解：∵与|3﹣a﹣|互为相反数，∴+|3﹣a﹣|=0，∴3﹣a﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a＞0，∴（+）2=5，∴+=．故答案为：．点评：本题考察了二次根式故意义旳条件，非负数旳性质，求出a+=3后根据乘积二倍项不含字母，配方是解题旳关键．10．（3分）若[x]表达不超过x旳最大整数，，则[A]=﹣2．考点：取整计算．专题：计算题．分析：先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x]表达不超过x旳最大整数得到，[A]=﹣2．解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考察了取整计算：[x]表达不超过x旳最大整数．也考察了分母有理化和零指数幂．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，AN与BM交于点O，则=．考点：相似三角形旳鉴定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：连接MN，设△MON旳面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，易知MN是△ABC旳中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON旳面积是2s，进而可知△BMN旳面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM旳面积等于6s，同理可求△ABC旳面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON旳面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，∴MN是△ABC旳中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON旳面积=2s，∴△BMN旳面积=3s，∵N是BC旳中点，∴△BCM旳面积=6s，同理可知△ABC旳面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考察了相似三角形旳鉴定和性质、三角形中位线定理，解题旳关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O旳面积为3π，AB为直径，弧AC旳度数为80°，弧BD旳度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD旳最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦旳关系．专题：探究型．分析：先设圆O旳半径为r，由圆O旳面积为3π求出R旳值，再作点C有关AB旳对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′旳长即为PC+PD旳最小值，由圆心角、弧、弦旳关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′旳度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O旳半径为r，∵⊙O旳面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C有关AB旳对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′旳长即为PC+PD旳最小值，∵旳度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD旳最小值为3．故答案为：3．点评：本题考察旳是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理，圆心角、弧、弦旳关系，根据题意作出点C有关直线AB 旳对称点是解答此题旳关键．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不一样旳和数中，是2旳倍数旳个数为a，是3旳倍数旳个数为b，则样本6、a、b、9旳中位数是 5.5．考点：中位数．分析：首先列举出所有数据旳和，进而运用已知求出a，b旳值，再运用中位数是一组数据重新排序后之间旳一种数或之间两个数旳平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有也许：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不一样数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2旳倍数旳个数为a=5，是3旳倍数旳个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据旳中位数是：=5.5，故答案为：5.5．点评：此题考察了列举法求所有也许以及中位数旳定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间旳那个数（最中间两个数旳平均数），叫做这组数据旳中位数，假如中位数旳概念掌握得不好，不把数据按规定重新排列，就会出错．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成旳图形面积为S，则S 旳最小值是．考点：两条直线相交或平行问题．分析：首先用k表达出两条直线与坐标轴旳交点坐标，然后表达出围成旳面积S，根据得到旳函数旳取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴旳交点是A（，0），与y轴旳交点是B（0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴旳交点是C（，0），与y轴旳交点是D（0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC旳面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考察了两条指向相交或平行问题，解题旳关键是用k表达出直线与坐标轴旳交点坐标并用k表达出围成旳三角形旳面积，从而得到函数关系式，运用函数旳知识其最值问题．15．（3分）（•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重叠，折痕与PF交于Q点，则PQ旳长是cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形旳性质，用含x旳式子表达Rt△EGQ 旳三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形旳性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．点评：本题考察图形旳翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称旳性质，折叠前后图形旳形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．16．（3分）（•随州）将半径为4cm旳半圆围成一种圆锥，在圆锥内接一种圆柱（如图示），当圆柱旳侧面旳面积最大时，圆柱旳底面半径是1cm．考点：圆柱旳计算；二次函数旳最值；圆锥旳计算．专题：压轴题．分析：易得扇形旳弧长，除以2π也就得到了圆锥旳底面半径，再加上母线长，运用勾股定理即可求得圆锥旳高，运用相似可求得圆柱旳高与母线旳关系，表达出侧面积，根据二次函数求出对应旳最值时自变量旳取值即可．解答：解：扇形旳弧长=4πcm，∴圆锥旳底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥旳高为=2cm，设圆柱旳底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱旳侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱旳侧面积有最大值．点评：用到旳知识点为：圆锥旳弧长等于底面周长；圆锥旳高，母线长，底面半径构成直角三角形；相似三角形旳相似比相等及二次函数最值对应旳自变量旳求法等知识．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一种交点．（1）求抛物线旳解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线旳对称轴上与否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，阐明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为有关x 旳二元一次方程，令△=0求b旳值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形旳腰或底，分别求Q点旳坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一种交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意旳点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意旳Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．点评：本题考察了二次函数旳综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据等腰三角形旳性质，分类求Q 点旳坐标．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，既有一工程车需从距B点50m旳A处前方取土，然后通过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m旳地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所通过旳途径长．考点：解直角三角形旳应用-坡度坡角问题．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心旳位置G，与CD相切时圆心旳位置P，与CD相切时圆心旳位置I，分别求得各段旳途径旳长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G旳位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G旳路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P旳位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心旳位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心旳位置），移动旳途径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动旳距离是：6﹣1=5m，则圆心移动旳距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．点评：本题考察了弧长旳计算公式，对旳确定圆心移动旳路线是关键．19．（14分）如图，过正方形ABCD旳顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜测：CE与DF旳大小关系？并证明你旳猜测．（2）猜测：H是△AEF旳什么心？并证明你旳猜测．考点：相似形综合题．分析：（1）运用正方形旳性质得到AD∥BC，DC∥AB，运用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再运用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF旳垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF旳垂心．点评：本题考察了相似形旳综合知识，本题是一道开放性问题，对旳旳猜测是深入解题旳方向和基础，非常重要．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1旳圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2旳圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形旳面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2旳值．考点：圆旳综合题．专题：综合题．分析：（1）由于菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，根据菱形旳性质得到ADC和△DBC都是等边三角形，运用等边三角形旳面积等于边长平方旳倍即可得到菱形旳面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）由于PM与PE都是⊙O1旳切线，PN与PF都是⊙O2旳切线，根据切线长定理得到PM=PN，PN=PE，则PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）由于BE与BG都是⊙O1旳切线，根据切线旳性质和切线长定理得到BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，于是有∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，根据含30°旳直角三角形三边旳关系得到BE=O2E=r2，则BG=r2，DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，则MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），而EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），运用EF=MN可得到有关（r1+r2）旳方程，解方程即可．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形旳面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2旳切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1旳切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2旳切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．点评：本题考察了圆旳综合题：圆旳切线垂直于过切点旳半径；从圆外一点引圆旳两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心旳连线平分两切线旳夹角；掌握菱形旳性质，记住等边三角形旳面积等于边长平方旳倍以及含30°旳直角三角形三边旳关系．21．（15分）（•黄冈）如图，已知抛物线旳方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B在点C旳左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m旳值；（2）在（1）旳条件下，求△BCE旳面积；（3）在（1）条件下，在抛物线旳对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H旳坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上与否存在点F，使得以点B、C、F为顶点旳三角形与△BCE相似？若存在，求m 旳值；若不存在，请阐明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）将点（2，2）旳坐标代入抛物线解析式，即可求得m旳值；（2）求出B、C、E点旳坐标，进而求得△BCE旳面积；（3）根据轴对称以及两点之间线段最短旳性质，可知点B、C有关对称轴x=1对称，连接EC与对称轴旳交点即为所求旳H点，如答图1所示；（4）本问需分两种状况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=+2；②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾旳等式，故此种情形不存在．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C有关x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE旳长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整顿得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点旳三角形与△BCE相似，m=+2．点评：本题波及二次函数旳图象与性质、相似三角形旳鉴定与性质、轴对称﹣最小途径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种状况进行讨论，防止漏解；并且在计算时注意运用题中条件化简计算，防止运算出错．。

2022年度自主招生试题及答案

-168自主招生试题及答案合肥168中学自主招生数学试题及答案一、选取题3、已知:y=1/2(x平方-100x+196+|x平方-100x+196|),当x=1,2,到100,求这100个自然数和函数值解法一:对于函数x^2-100x+196,它可因式分解为(x-2)(x-98),因此当x=2 x=98时,这个函数为0当2因此当x=2、3、、4、……、98时,y都为0当x=0时,y=1/2*(196+196)=196该函数抛物线为x=50,因此x=1和x=99值相等,当x=1时,y=1^2-100+196=97因此这100个自然数值为196+97*2=390解法二:当2≤x≤98时,由于x^2-100x+196=(x-2)*(x-98)≤0,因此恒有y=[x^2-100x+196-(x^2-100x+196)]/2=0,当x=1,99,100时,y=[x^2-100x+196+(x^2-100x+196)]/2=x^2-100x+196。

y(1)=y(99)=97,y(100)=196。

因此:y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+……+y(97)+y(98)+y(99)+y(100=97+0+0+0+……+0+0+97+196=390。

5、设a平方+1=3a,b平方+1=3b,且a不等于b,则代数式1/a平方+1/b平方值是解:a²＋1=3a,b²＋1=3b,则:a、b是方程x²＋1=3x即x²－3x＋1=0两个根,则: a＋b=3且ab=11/a²＋1/b²=[a²＋b²]/(ab)²=[(a＋b)²－2ab]/(ab)²=76、如图,一种等边三角形边长与它一边相外切圆周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了()解:小球周长和三角形边长相等,因而在每条边转动了360°(即转1圈)三条边一共3圈。

2023年安徽省合肥一六八中学中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年安徽省合肥一六八中学中考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知y 是x 的反比例函数，如表给出了x 与y 的一些值，表中“▲”处的数为（）x﹣223y 3﹣3▲A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣13．已知a b c ，，分别是三角形的三边，则方程()()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根4．抛物线2(3)5y x =--+的顶点坐标是（）A ．（3，-5）B ．（-3,5）C ．（3,5）D ．（-3，-5）5．一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（）A ．40人B ．30人C ．20人D ．10人6．已知等腰ABC ，与A ∠相邻的外角是130°，则这个三角形的顶角为（）A ．65°或80°B ．80°C ．50°D ．50°或80°7．某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（）A ．35%B ．30%C ．40%D ．50%8．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若∠B ＝25°，则∠C 的大小等于()A ．25°B ．20°C ．40°D ．50°9．如图，点P 是反比例函数2y x=图象上的一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，若POD 的面积为m ，则函数1y mx =-的图象为（）A ．B ．C ．D ．10．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则反比例函数a y x=-与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转____度形成的．12．若圆锥的母线长为5cm ，底面圆的半径为3cm ，则它的侧面展开图的面积为______cm 2（保留π）．13．在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为____．14．已知－元二次方程ax 2＋bx ＋c =0的两根是－1和2，则抛物线y =bx 2－ax ＋c 的对称轴为_____．三、解答题15．已知关于x 的一元二次方程()2430x k x k -+++=．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求k 的取值范围．16．如图，AB 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O AD CD = ，，对角线AC 与BD 交于点E ，在BD 的延长线上取一点F ，使DF DE =，连接AF ．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若58AD AC ==，，求O 的半径．17．在平面直角坐标系中，ABC ．的位置如图所示，把ABC 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到A B C ''' ．(1)画出三角形A B C ''' ，并写出A '，B '，C '三点的坐标；(2)求A B C ''' 的面积．18．如图，直线y 1=-x+4与双曲线y=k xk≠0）交于A 、B 两点，点A 的坐标为（1，m ），经过点A 的直线y 2=x+b 与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的表达式以及点C 的坐标；（2）点P 是x 轴上一动点，连接AP ，若△ACP 是△AOB 的面积的一半，求此时点P 的坐标．19．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？20．如图1，已知Rt ABC ∆中，10AB cm =，6BC cm =，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度均为2/cm s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）()04t ≤≤．（1）当//PQ BC 时，t =_____s ；（2）设AQP ∆的面积为S （单位：2cm ），当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；（3）如图2，取点Q 关于AP 的对称点Q '，连接AQ '，PQ '，得到四边形AQPQ '，是否存在某一时刻t ，使四边形AQPQ '为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．21．某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK 环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA 1、BB 1、CC 1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．(1)若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA 1和BB 1连成一条的概率；(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．22．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＞AC ，CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 的中点，连接CE ．(1)若AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长；(2)求证：BC 2﹣AC 2＝2DE •AB ；(3)求证：CE ＝12AB ．23．在篮球比赛中，东东投出的球在点A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．参考答案：1．B【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可作答．【详解】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键.2．B 【分析】设反比例函数解析式为k y x =，将(2,3)-代入求得解析式，再将3x =代入，求解即可．【详解】解：由题意可得，设反比例函数解析式为k y x =将(2,3)-代入，可得6k =-，解析式为6y x -=将3x =代入得，623y -==-故选：B【点睛】此题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的性质以及待定系数法．3．A【分析】由于这个方程是一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况，再根据三角形的三边关系来判断判别式的符号即可求解．【详解】解：()()()224c a b a b ∆=-++ ()2244c a b =-+()224c a b ⎡⎤=-+⎣⎦()()4c a b c a b =++-+⎡⎤⎣⎦根据三角形三边关系，得0c a b ++>，()0c a b -+<，∴∆<∴该方程没有实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是对()224c a b ⎡⎤-+⎣⎦进行因式分解．4．C【分析】根据二次函数顶点式直接写出顶点坐标即可．【详解】解：已知抛物22(3)5(3)5y x x =--+=--+，则抛物线的顶点坐标是（3，5）；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握顶点式的应用是解题关键．二次函数的顶点式为2()y a x k h =-+，则抛物线的对称轴为直线x k =，顶点坐标为(k ，h )．5．C【分析】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得数据总和=频数÷频率．【详解】∵成绩在4.05米以上的频数是8，频率是0.4，∴参加比赛的运动员=8÷0.4=20.故选C.【点睛】考查频数与频率，掌握数据总和=频数÷频率是解题的关键.6．D【分析】先根据邻补角的定义求出A ∠，再分A ∠是顶角与底角两种情况讨论求解即可．【详解】解：A ∠的相邻外角是130︒，18013050A ∴∠=︒-︒=︒，①A ∠是顶角时，顶角为50︒，②A ∠是底角时，顶角为18050280︒-︒⨯=︒，所以，这个三角形的顶角为50︒或80︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，难点在于要分情况讨论．7．C【分析】设这两次平均降价的百分比为x ，根据题意列一元二次方程2(1)(160%)(110%)x -=-⨯-，解此方程即可解答．【详解】解：设原价为单位1，这两次平均降价的百分比为x ，由题意得2(1)(160%)(110%)x -=-⨯-2(1)0.36x -=10.6x ∴-=±0.4, 1.6x x ∴==（舍去）即这两次平均降价的百分比为40%，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．8．C【分析】连接OA ，根据切线的性质，即可求得∠C 的度数．【详解】如图，连接OA ．∵AC 是⊙O 的切线，∴∠OAC ＝90°．∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠OAB ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∴∠C ＝40°．故选C ．【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．9．A【分析】先根据反比例函数系数k 的几何意义，求出m 的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，－1）（1，0），即可确定选项．【详解】解：设P 点坐标为（x ，y ），∵P 点在第一象限且在函数y ＝2x的图象上，∴xy ＝2，∴S △OPD ＝12xy ＝12×2＝1，即m ＝1．∴一次函数y ＝mx －1的解析式为：y ＝x －1，当x ＝0时，y ＝－1，当y ＝0时，x ＝1，∴一次函数的图象经过点（0，－1），（1，0）的直线．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解答此题的关键是根据反比例函数系数k 的几何意义求出m 的值，再根据一次函数解析式确定与坐标轴的交点．10．C【分析】根据二次函数的图象确定a b c 、、的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【详解】观察二次函数图象可知：开口向上，0a >；对称轴y 轴右侧，02b a->，a b 、异号，则b ＜0；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0．∵反比例函数中0k a =-<，∴反比例函数图象在第二、四象限内；∵一次函数y bx c =-中，00b c <-<，，∴一次函数图象经过第二、三、四象限．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a b c 、、的正负．11．45【分析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度．【详解】本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成．所以旋转角为3608︒=45︒．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键．12．15π【详解】解：因为圆锥的母线长为5cm ，底面圆的半径为3cm ，所以圆锥的侧面展开图的面积=3515ra πππ=⨯⨯=cm 2．故答案为：15π．13．13【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选中同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A 、B 、C 分别表示《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》）共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一门课程的结果数为3，所以两人恰好选中同一门课程的概率=39．故答案为13．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．14．直线12x =-【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到b a =-1，再根据抛物线对称轴公式即可得到抛物线的对称轴为直线x=2a b --=2a b =-12.【详解】∵－元二次方程ax 2＋bx ＋c =0的两根是－1和2，∴-1+2=b a -，即b a=-1，∴抛物线y =bx 2－ax ＋c 的对称轴为直线x=2a b --=2a b =-12，故答案为直线x=-12.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称轴，熟练掌握相关知识是解题的关键.15．(1)证明见解析(2)3k <-【分析】（1）根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定0∆≥即可证得；（2）利用十字相乘法解一元二次方程()2430x k x k -+++=，得到1x =或3x k =+，根据此方程恰有一个根小于0，列不等式求解即可得到k 的取值范围．【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()2430x k x k -+++=，()1,4,3a b k c k ∴==-+=+，()()24413k k ∴∆=-+-⨯⨯+⎡⎤⎣⎦2816412k k k =++--244k k =++()220k =+≥，∴此方程总有两个实数根；（2）解：()2430x k x k -+++= ，()()130x x k ∴--+=⎡⎤⎣⎦，解得1x =或3x k =+，此方程恰有一个根小于0，30k ∴+<，解得3k <-．【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．16．（1）证明见详解；（2）256．【分析】(1)证明AF 是O 的切线，只需要证明FA 垂直AB 即可，即∠FAB=90°，由题,90AD EF BAD ABD ︒⊥∠+∠=得到，由DF DE =得FAD EAD ∠=∠，又AD CD =90FAB FAD BAD BAD ABD ︒∠=∠+∠=∠+∠=则即可证出结论．(2)连接DO ，交AC 于M ，可得到OD 垂直AC ，在Rt △ADM 中，利用勾股定理可求出DM 长，在Rt △AOM 中，设半径为r ，利用勾股定理即可求出半径的值．【详解】解：()1证明：AB 是O 的直径，90ADB ︒∴∠=，,90AD EF BAD ABD ︒∴⊥∠+∠=又DF DE = ，AF AE ∴=，FAD EAD ∴∠=∠．AD CD = ，FAD EAD ACD ABD ∴∠=∠=∠=∠，90FAB FAD BAD BAD ABD ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=，AF ∴是O 的切线．()2如图，连接OD ，交AC 于M ，AD CD = ，AD CD∴=，1,42OD AC AM CM AC ∴⊥===，5AD CD ∴==，在Rt DMC ∆中，3DM =，设O 的半径为r ，在Rt AMO ∆中，ME=r －3，∴222AO AM OM =+，222r =4+r 3（－），解得：r=256，∴O 的半径为256．【点睛】本题考查了圆的切线的证明，圆半径的求法，涉及到知识点有，垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理等，解题关键在于熟练运用圆中相关定理，通过相关定理找出关系进行解答．17．(1)见解析，()42A '--，，()04B '-，，()11C '-，(2)7【分析】（1）首先确定A 、B 、C 三点平移后的位置，然后再连接即可；（2）利用割补法即可求解．【详解】（1）解：如图所示：A B C ''' 即为所求，()42A '--，，()04B '-，，()11C '-，；（2）解：A B C ''' 的面积：111351524137222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】此题主要考查了作图——平移变换以及求网格三角形的面积，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．18．（1）y=3x ，C （-2，0）；（2）P 点为（-23，0）或（-103，0）．【分析】（1）把A （1，m ）代入y 1=-x+4中，求出m 的值，即可求出点A 的坐标，从而求出反比例函数的解析式和直线AC 的解析式，联立反比例和BC 直线解析式，即可求出点C 的坐标；（2）连接OA 、OB ，分别作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，求出△AOB 的面积，设P （x ，0），根据△ACP是△AOB的面积的一半，列出方程求出x，即可求出P点坐标.【详解】（1）把A（1，m）代入y1=-x+4得，m=-1+4=3，∴A（1，3），∵点A在双曲线y=kx（k≠0）上，∴k=1×3=3，∴反比例函数的表达式为y=3 x，∵直线y2=x+b经过点A，∴b=2，∴直线y2=x+2，令y2=0，求得x=-2，∴C（-2，0）；（2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，由题意得43y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得13xy=⎧⎨=⎩或31xy=⎧⎨=⎩，∴A（1，3），B（3，1），∴AM=3，BN=1，MN=2，∴S△AOB=S△AOM+S梯形AMNB-S△BON=S梯形AMNB=()3122+⨯=4，设P（x，0），∴CP=|x+2|，∴S △ACP =232x +⨯=12S △AOB ，∴|x+2|=43，则x=±43-2，∴x=-23或-103∴P 点为（-23，0）或（-103，0）．【点睛】本题是对反比例和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例及一次函数解析式知识是解决本题的关键.19．(1)该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元(2)大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元【分析】（1）设该大户今年应承租x 亩土地，才能使今年总收益达到96600元，根据总收入=每亩收入×种植面积列出方程求解即可；（2）设该大户今年应承租m 亩土地，收益为W 元，列出W 关于m 的关系式即可得到答案．【详解】（1）解：设该大户今年应承租x 亩土地，才能使今年总收益达到96600元，由题意得()480220096600x x --=⎡⎤⎣⎦，解得2440483000x x -+=，解得230=x 或210x =，∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；（2）解：设该大户今年应承租m 亩土地，收益为W 元，由题意得()4802200W m m =--⎡⎤⎣⎦22880m m=-+()2222096800m =--+，∵20-<，∴当220m =时，W 最大，最大为96800，∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．20．（1）209；（2）52t s =时，AQP S ∆取得最大值，最大值为2152cm ；（3）2513t s =时，四边形AQPQ '为菱形，此时菱形的面积为22400169cm 【分析】(1)由已知，可以求得AC=8，如果//PQ BC ，则有APQ ABC V :V ，再由相似三角形的性质可以得到解答；（2）可以过点P 作PD AC ⊥于点D ，由//PD BC 可得=AP PD AB BC，解出PD 后可以用自变量为t 的函数表示AQP ∆的面积，再由函数的性质可得AQP ∆的最大面积；（3）可以先假设存在某一刻t ，使四边形AQPQ '为菱形，接着与（2）类似，过点P 作PD AC ⊥于点D ，然后再根据相似三角形的性质，并结合勾股定理可以用自变量为t 的函数表示菱形AQPQ '的面积，最后根据函数的性质求出菱形AQPQ '的面积．【详解】解：（1）由已知，有8=，如果//PQ BC ，则有APQ ABC V :V ，∴AP AQ AB AC =，即1022108t t -=，可以解得：209t =，故答案为209．（2）如图，过点P 作PD AC ⊥于点D ，//PD BC ∴，AP PD AB BC∴=即102106t PD -=，解得665PD t =-12AQP S AQ PD ∆=⋅162625t t ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2665t t =-+26515522t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴当52t s =时，AQP S ∆取得最大值，最大值为2152cm ．（3）假设存在某一刻t ，使四边形AQPQ '为菱形，则有2AQ PQ BP t ===，如图，过点P 作PD AC ⊥于点D ，则有//PD BC ，AP PD AD AB BC AC==，即1021068t PD AD -==解得665PD t =-，885AD t =-．81882855QD AD AQ t t t ∴=-=--=-，在Rt PQD ∆中，由勾股定理得222QD PD PQ +=，即22218686(2)55t t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得213901250t t -+=，解得15t =，22513t =，04t ≤≤ ，2513t ∴=，由（2）可知，2665AQP S t t ∆=-+，262265AQP AQPQ S S t t ∆'⎛⎫∴==⨯-+ ⎪⎝⎭菱形()226252524002651313169cm ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯+⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴当2513t s =时，四边形AQPQ '为菱形，此时菱形的面积为22400169cm ．【点睛】本题考查相似三角形、二次函数、勾股定理的综合应用，在解题中利用数形结合思想把几何问题转化为函数求解是解题关键．21．(1)13(2)23【分析】（1）直接根据概率公式求解即可,概率的公式为：概率=所求情况数与总情况数之比；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）解：∵共有三根细绳，且抽出每两根细绳打结的可能性相同∴甲嘉宾从中任意选择两根细绳打结，恰好将细绳1AA ，BB 1连成一条的的概率是13．（2）解：画树状图：共有9种等可能的结果数.∵三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队∴甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为6种情况∴甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是：6293=．【点睛】本题主要考查列表法或树状图法求概率，注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是解题的关键．22．(1)125(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式计算，求出CD ；（2）根据题意得到BD ﹣AD ＝2DE ，根据勾股定理计算即可证明；（3）延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连结AF ，证明△AEF ≌△BEC （SAS ），根据全等三角形的性质得到∠B ＝∠EAF ，AF ＝BC ，再证明△ACF ≌△CAB ，得到CF ＝AB ，证明结论．【详解】（1）解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AB 5，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •DE ，即12×3×4＝12×5×CD ，解得：CD ＝125；（2）证明：∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴BD ﹣AD ＝（BE +DE ）﹣（AE ﹣DE ）＝BE ﹣AE +2DE ＝2DE ，∵CD ⊥AB ，∴BC 2＝BD 2+CD 2，AC 2＝AD 2+CD 2，∴BC 2﹣AC 2＝（BD 2+CD 2）﹣（AD 2+CD 2）＝BD 2﹣AD 2＝（BD +AD ）（BD ﹣AD ）＝AB •2DE ＝2DE •AB ；（3）证明：延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连结AF，在△AEF 和△BEC 中，AE BE AEF BEC EF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BEC （SAS ），∴∠B ＝∠EAF ，AF ＝BC ，∵∠ACB ＝90°，∴∠B +∠CAB ＝∠EAF +∠CAB ＝90°，∴∠CAF ＝∠ACB ＝90°，∵AC ＝CA ，∴△ACF ≌△CAB （SAS ），∴CF ＝AB ，答案第15页，共15页∵CF ＝2CE ，∴CE ＝12AB ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（1）22(0.4) 3.32y x =--+；（2）OD =1m ．【分析】（1）设2(0.4) 3.32y a x =-+（0a ≠），将A （0，3）代入求解即可得出答案；（2）把 2.6y =代入（1）所求得的解析式中，解方程求出x ，即可得出OD 的长．【详解】（1）设2(0.4) 3.32y a x =-+（0a ≠），把A （0，3）代入得，23(0.4) 3.32a x =-+，解得2a =-，∴抛物线的函数表达式为22(0.4) 3.32y x =--+；（2）①把 2.6y =代入22(0.4) 3.32y x =--+，化简得2(0.4)0.36x -=，解得10.2x =-（舍去），21x =，∴1OD m =．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．。

合肥168中学自主招生数学考试试题

合肥168中学自主招生数学考试试题一、【填空题】1. 已知正数a、b、c满足a＋b＋c＝4，则2(a－b－c)的值为__________2. 已知3个正数x, y, z满足x+y+z=6，则（2x-y）z的值为__________3. 设0＜a，b＜1，则ab（a＋b）的值为__________4. 若a+b+c＝6,ab+bc+ca＝32，则a^3+b^3+c^3的值为__________二、【选择题】1. 如果两个整数a, b均大于0，则下列结论正确的是( )A. a×b一定大于a＋bB. 若a＜b，则a^2＜b^2C. ab＞0且a^2＞b^2D. 若a＜b，则a^2＞b^22. 已知a^2－b^2＝6, 则a＋b的值为( )A. -6B. -3C. 0D. 33. 已知a＋b＋c＝2, ab＋bc＋ca＝1，则a^3＋b^3＋c^3的值是( )A. -5B. -1C. 0D. 14. 已知函数f(x)=3x－8，则f(2)的值是( )A. -2B. -6C. 2D. 6三、【解答题】1. 已知x,y满足2xy－(x＋y)＝7，求x，y的值。

解：可以将2xy－(x＋y)＝7化为2xy－x＝7＋y，解得x(2y－1)=7＋y，即：x＝(7＋y)/(2y－1)代入2xy－(x＋y)＝7得2yz/(2y－1)-y=(7+y)/(2y-1)，由上式可得y＝－2或7当y＝－2时，故x＝－2；当y＝7时，故x＝3因此，x，y的值为(-2，-2)和(3，7)2. 抛物线y＝x^2＋4x＋5的顶点坐标是？解：设抛物线的顶点的坐标为(h，k)，则h为抛物线的x轴最上点，k即抛物线的y轴最上点设抛物线的顶点的一般式为y=ax^2+bx+c。

把一般式带入抛物方程：k=h^2+4h+c，所以顶点C(h，k)的坐标为(h，h^2+4h+5)。

求出h：由a(h-h)^2+b(h-h)+c=k，可知2ah-2ah+b=0故h=b/2a=4/2=-2所以顶点坐标为(-2, -1)。

2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷

2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内． 1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(20132015)-》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为( ) A ．239.610⨯ B ．33.9610⨯ C ．43.9610⨯ D ．40.39610⨯2．（4分）如图，OA OB ⊥，若140∠=︒，则2∠的度数是( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（4分）下列计算正确的是( ) A ．2a a a +=B ．236a a a =gC ．326()a a -=-D ．752a a a ÷= 4．（4分）如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是()A ．0m >B ．0m <C ．2m >D ．2m < 环，方差如表：选手甲乙丙丁方差（环2) 0.035 0.016 0.022 0.025A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．（4分）如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(3,4)-B ．(4,3)--C ．(3,4)--D ．(4,3)7．（4分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中： ①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>，错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（4分）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判断 9．（4分）如图，已知123////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行直线上，若90ACB ∠=︒，则sin α的值是( )A ．13B ．617C ．55 D ．101010．（4分）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC ∆斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为( )A ．9π B ．3π C ．3332π-D ．3323π-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）已知1x =是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，则A = ． 12．（5分）如图，ABC ∆内接于O e ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O e 的直径，6AD =，则DC = ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图象上，连接OA 、OB ，若OA OB ⊥，OB OA =，则k = ．14．（5分）如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：201()6sin30(2)|282--︒+-+．16．（8分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为25．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，(1)a a >的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，⋯依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．18．（8分）如图，在76⨯的方格中，ABC ∆的顶点均在格点上．试按要求画出线段(EF E ，F 均为格点），各画出一条即可．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知函数43y x =与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点A ．将43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若2OACB=，求反比例函数的解析式．20．（10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB AC =．（1）求证：BAD AEC ∆≅∆；（2）若30B ∠=︒，45ADC ∠=︒，10BD =，求平行四边形ABDE 的面积．六、（本题满分12分） 21．（12分）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处（点G 在FE 的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离5BC =米，建筑物底部宽7FC =米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度 1.4AB =米，风筝线与水平线夹角为37︒．（1）求风筝距地面的高度GF ；（2）在建筑物后面有长 5 米的梯子MN ，梯脚M 在距墙 3 米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈七、（本题满分12分）22．（12分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售y（张)与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人出的车票数1y（张)与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．售票窗口售出的车票数2（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．八、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ． ①线段DB 和DG 的数量关系是；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系．（2）当四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若1BE =，2AB =，直接写出线段GM 的长度．2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内． 1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(20132015)-》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为( ) A ．239.610⨯B ．33.9610⨯C ．43.9610⨯D ．40.39610⨯【解答】解：将3960用科学记数法表示为33.9610⨯．故选：B ． 2．（4分）如图，OA OB ⊥，若140∠=︒，则2∠的度数是( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：OA OB ⊥Q ，140∠=︒， 2901904050∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ． 3．（4分）下列计算正确的是( ) A ．2a a a +=B ．236a a a =gC ．326()a a -=-D ．752a a a ÷=【解答】解：A 、2a a a +=，故本选项错误；B 、235a a a =g ，故本选项错误；C 、326()a a -=，故本选项错误；D 、75752a a a a -÷==，故本选项正确．故选：D ． 4．（4分）如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是( )A ．0m >B ．0m <C ．2m >D ．2m < 【解答】解：如图，Q 一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，20m ∴-<，解得，2m <．故选：D ．环，方差如表：选手甲乙丙丁方差（环2)0.035 0.016 0.022 0.025A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解答】解：0.0160.0220.0250.035<<<Q ， ∴乙的成绩的方差最小，∴这四个人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B ．6．（4分）如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(3,4)-B ．(4,3)--C ．(3,4)--D ．(4,3)【解答】解：因为直线y mx =过原点，双曲线ky x=的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4)，另一个交点的坐标为(3,4)--．故选：C ． 7．（4分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中： ①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>，错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①Q 由函数图象开口向下可知，0a <，由函数的对称轴12b x a =->-，故12b a<，0a <Q ，2b a ∴>，所以20a b -<，①正确；②0a <Q ，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则0c <，故0abc <；②正确；③当1x =时，0y a b c =++<，③正确； ④当1x =-时，0y a b c =-+<，④错误； ⑤当2x =时，420y a b c =++<，⑤错误；故错误的有2个．故选：B ．8．（4分）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断【解答】解：5200k +<Q ，即4k <-， ∴△1640k =+<，则方程没有实数根．故选：A ． 9．（4分）如图，已知123////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行直线上，若90ACB ∠=︒，则sin α的值是( )A ．13B ．617C ．55D ．1010【解答】解：如图，过点A 作1AD l ⊥于D ，过点B 作1BE l ⊥于E ，设1l ，2l ，3l 间的距离为1， 90CAD ACD ∠+∠=︒Q ， 90BCE ACD ∠+∠=︒， CAD BCE ∴∠=∠，在等腰直角ABC ∆中，AC BC =，在ACD ∆和CBE ∆中， 90CAD BCE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ACD CBE AAS ∴∆≅∆， 1CD BE ∴==，在Rt ACD ∆中，2222215AC AD CD =+=+=，在等腰直角ABC ∆中，22510AB AC ==⨯=，110sin 1010α∴==．故选：D ．10．（4分）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC ∆斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为( )A ．9π B 3π C 3332π-D 3323π-【解答】解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，B Q ，E 是半圆弧的三等分点， 60EOA EOB BOD ∴∠=∠=∠=︒， 30BAC EBA ∴∠=∠=︒， //BE AD ∴，Q 弧BE 的长为23π，∴6021803R ππ⨯=，解得：2R =，cos3023AB AD ∴=︒=，132BC AB ∴==，223AC AB BC ∴=-=，113333222ABC S BC AC ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， BOE ∆Q 和ABE ∆同底等高， BOE ∴∆和ABE ∆面积相等，∴图中阴影部分的面积为：233336022236023ABC BOES S ππ∆⨯-=-=-扇形．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）已知1x =是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，则A = 2或1- ．【解答】解：1x =Q 是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，220A A ∴+-=，解得2A =或1-．故答案为2或1-． 12．（5分）如图，ABC ∆内接于O e ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O e 的直径，6AD =，则DC = 23 ．【解答】解：BD Q 为O e 的直径， 90BAD BCD ∴∠=∠=︒， 120BAC ∠=︒Q ，1209030CAD ∴∠=︒-︒=︒， 30CBD CAD ∴∠=∠=︒，又120BAC ∠=︒Q ，180********BDC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， AB AC =Q ，ADB ADC ∴∠=∠，11603022ADB BDC ∴∠=∠=⨯︒=︒，6AD =Q ，∴在Rt ABD ∆中，3sin 60643BD AD =÷︒=÷=，在Rt BCD ∆中，11432322DC BD ==⨯=．故答案为：23．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图象上，连接OA 、OB ，若OA OB ⊥，OB OA =，则k = 2- ．【解答】解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，则有90ADO OCB ∠=∠=︒．设点A 的坐标为2(,)a a ，OD a ∴=，2AD a=OA OB ⊥Q ， 90AOB ∴∠=︒，90DOA COB CBO ∴∠=︒-∠=∠，在OCB ∆和ADO ∆中， OCB ADO CBO DOA OB AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OCB ADO AAS ∴∆≅∆， BC OD a ∴==，2OC AD a== 2(,)B a a ∴-，∴22k a a=-=-g ，故答案为2-．14．（5分）如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为 29922y x x =-+ ．【解答】解：Q 令0x =，则92y =， ∴点9(0,)2A ，9(,)2B b -，∴抛物线的对称轴为2b x =-，直线OB 的解析式为92y x b=-， Q 抛物线的顶点C 在直线OB 上，94y ∴=∴顶点C 的纵坐标为199224⨯=，即294192414b ⨯⨯-=⨯，解得13b =，23b =-，由图可知，021b->⨯，0b ∴<， 3b ∴=-，∴对称轴为直线33212x -=-=⨯，∴点D 的坐标为3(2，0)，设平移后的抛物线的解析式为2y x mx n =++，则9293042n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得9292m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，29922y x x =-+．故答案为：29922y x x =-+．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：201()6sin30(2)|282--︒+-+．【解答】解：原式211612222212()2=-⨯++-=．16．（8分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为25．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）【解答】解：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只，根据题意得：1332375xx yxx y⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-+-⎩，解得：510xy=⎧⎨=⎩，经检验符合题意，答：爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只；（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为1a、2a；3只豆沙粽子记为1b、2b、3b，则可列出表格如下：1a2a1b2b3b1a1a2a1a1b1a2b1a3b2a2a1a2a1b2a2b2a3b1b1b1a1b2a1b2b1b3b2b2b1a2b2a2b1b2b3b3b3b1a3b2a3b1b3b2b一共有20种情况，恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的有12种情况，所以，P（A）126320105===．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，(1)a a>的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，⋯依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．【解答】解：①如图，4a=，②如图，52a=，③如图，43a=，④如图，53a =，18．（8分）如图，在76⨯的方格中，ABC ∆的顶点均在格点上．试按要求画出线段(EF E ，F 均为格点），各画出一条即可．【解答】解：如图：从图中可得到AC 边的中点在格点上设为E ，过E 作AB 的平行线即可在格点上找到F ；5EC =，5EF =，10FC =，借助勾股定理确定F 点，则EF AC ⊥；借助圆规作AB 的垂直平分线即可；五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知函数43y x =与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点A ．将43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若2OACB=，求反比例函数的解析式．【解答】解：（1）43y x =Q 的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x =交于点B ，与x 轴交于点C ，∴直线BC 的解析式为463y x =-，把0y =代入得4603x -=，解得92x =， C ∴点坐标为9(2，0)；（2）作AE x ⊥轴于E 点，BF x ⊥轴于F 点，如图， //OA BC Q ，AOC BCF ∴∠=∠， Rt OAE Rt CBF ∴∆∆∽， ∴2OA AE OE BC BF CF===，设A 点坐标为4(,)3a a ，则OE a =，43AE a =，12CF a ∴=，23BF a =，9122OF OC CF a ∴=+=+，B ∴点坐标为91(22a +，2)3a ，Q 点A 与点B 都在ky x=的图象上，4912()3223a a a a ∴=+g g ，解得3a =，∴点A 的坐标为(3,4)，把(3,4)A 代入ky x=得3412k =⨯=，∴反比例函数的解析式为12y x=．20．（10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB AC =．（1）求证：BAD AEC ∆≅∆；（2）若30B ∠=︒，45ADC ∠=︒，10BD =，求平行四边形ABDE 的面积．【解答】（1）证明：AB AC =Q ， B ACB ∴∠=∠．又Q 四边形ABDE 是平行四边形 //AE BD ∴，AE BD =， ACB CAE B ∴∠=∠=∠，在DBA ∆和EAC ∆中 AB AC B EAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DBA EAC SAS ∴∆≅∆；（2）解：过A 作AG BC ⊥，垂足为G ．设AG x =，在Rt AGD ∆中，45ADC ∠=︒Q ， AG DG x ∴==，在Rt AGB ∆中，30B ∠=︒Q ，则2AB x =，3BG x ∴=，又10BD =Q ．BG DG BD ∴-=，即310x x -=，解得53531AG x ===+-，()1053550350ABDE S BD AG ∴=⋅=⨯+=+平行四边形．六、（本题满分12分） 21．（12分）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处（点G 在FE 的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离5BC =米，建筑物底部宽7FC =米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度 1.4AB =米，风筝线与水平线夹角为37︒．（1）求风筝距地面的高度GF ；（2）在建筑物后面有长 5 米的梯子MN ，梯脚M 在距墙 3 米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈【解答】解：（1）过A 作AP GF⊥于点P ．则12AP BF ==， 1.4AB PF ==，37GAP ∠=︒，在Rt PAG ∆中，tan GPPAG AP∠=， Q 兵兵与建筑物的距离5BC =米，5712AP BF FC CB ∴==+=+=tan37120.759GP AP ∴=︒≈⨯=g （米)， 9 1.410.4GF ∴=+≈（米)；（2）由题意可知5MN =米，3MF =米，∴在直角MNF ∆中，224NF MN MF =-=（米)，4 1.65510.65++=Q ，10.6510.4>，∴能触到挂在树上的风筝．七、（本题满分12分） 22．（12分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1y （张)与售票时间x （小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数2y （张)与售票时间x （小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 260y x = ，其中自变量x 的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．【解答】解：（1）设函数的解析式为2y ax =，把点(1,60)代入解析式得：60a =，则函数解析式为：2360(0)2y x x=剟；（2）设需要开放x 个普通售票窗口，由题意得，806051450x +⨯…，解得：3148x …，x Q 为整数且x 取最小值，15x ∴=，即至少需要开放15个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为y kx =，把点(1,80)代入得：80k =，则80y x =，10Q 点是2x =，∴当2x =时，160y =，即上午10点普通窗口售票为160张，由（1）得，当32x=时，135y =， ∴图②中的一次函数过点3(2，135)，(2,160)，设一次函数的解析式为：y mx n =+，把点的坐标代入得：313522160m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：5060m n =⎧⎨=⎩，则一次函数的解析式为5060y x =+．八、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ． ①线段DB 和DG 的数量关系是； ②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系．（2）当四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若1BE =，2AB =，直接写出线段GM 的长度．【解答】解：（1）①DB DG =，理由是： DBE ∠Q 绕点B 逆时针旋转90︒，如图1，由旋转可知，BDE FDG ∠=∠，90BDG ∠=︒，Q 四边形ABCD 是正方形， 45CBD ∴∠=︒， 45G ∴∠=︒，45G CBD ∴∠=∠=︒， DB DG ∴=；故答案为：DB DG =；②2BF BE BD +=，理由如下：由①知：FDG EDB ∠=∠，45G DBE ∠=∠=︒，BD DG =， ()FDG EDB ASA ∴∆≅∆，BE FG ∴=，BF FG BF BE BC CG ∴+=+=+， Rt DCG ∆中，45G CDG ∠=∠=︒Q ， CD CG CB ∴==， 2DG BD BC ==Q ，即22BF BE BC BD +==；（2）①如图2，3BF BE BD +=，理由如下：在菱形ABCD 中，11603022ADB CDB ADC ∠=∠=∠=⨯︒=︒，由旋转120︒得120EDF BDG ∠=∠=︒，EDB FDG ∠=∠，在DBG ∆中，1801203030G ∠=︒-︒-︒=︒， 30DBG G ∴∠=∠=︒， DB DG ∴=，()EDB FDG ASA ∴∆≅∆， BE FG ∴=，BF BE BF FG BG ∴+=+=，过点D 作DM BG ⊥于点M ，如图2，BD DG =Q ， 2BG BM ∴=，在Rt BMD ∆中，30DBM ∠=︒， 2BD DM ∴=．设DM a =，则2BD a =， 3BM a =，23BG a ∴=， ∴233BD BG a ==， 3BG BD ∴=，3BF BE BG BD ∴+==；②过点A 作AN BD ⊥于N ，过D 作DP BG ⊥于P ，如图3，21Rt ABN ∆中，30ABN ∠=︒，2AB =，1AN ∴=，3BN 223BD BN ∴== //DC BE Q ， ∴21CD CM BE BM ==，2CM BM +=Q ，23BM ∴=，Rt BDP ∆中，30DBP ∠=︒，23BD = 3BP ∴=，由旋转得：BD BF =， 26BF BP ∴==，2196133GM BG BM ∴=-=+-=．。

安徽省合肥市一六八中学2020届高三数学上学期第四次模拟考试试题理含解析

，由此可得 .
综上：x的取值X围是 .
故选：B
【点睛】本题考查了抽象函数不等式，要根据区间单调性不同分情况求解，考查了分类讨论思想，属于中档题.
前项和为，且满足，，则使最大项的为（）
A. 10B. 19C. 20D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得；，问题得解.
【详解】由等差数列的性质可知：
为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（）
A. 40B. 45C. 50D. 55
【答案】Dຫໍສະໝຸດ 【解析】【分析】根据等差数列下标和性质，以及前项和性质，即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，故
等价于，故可得 .
又根据等差数列前项和性质 .
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的性质，以及前项和的性质，属基础题.
（2）建立空间直角坐标系，有已知可得，即，问题得解.
【详解】（1）在平面上的射影为，
平面，
又平面，
又平行四边形中，，
，且
平面
又平面，
设，则
当，即时取得最大值
（2）由（1）知锐二面角即
以O为原点建立如下空间坐标系
则
于是，
由，得
即
解得，又为锐角，
【点睛】本题考查了线面垂直的证明，求三棱锥的体积以及空间向量的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.
【点睛】本题考查了递推作差法求数列通项公式，考查了分组求和法和错位相减法求数列前n项和，考查了计算能力，属于中档题.
19.如图，平行四边形中，，，，沿将折起，且在平面上射影为 .
（1）求三棱锥的体积最大值.

2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷

2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的A、B、C、D 四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内．1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(20132015)-》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为()A．239.610⨯B．33.9610⨯C．43.9610⨯D．40.39610⨯2．（4分）如图，OA OB ⊥，若140∠=︒，则2∠的度数是()A．20︒B．40︒C．50︒D．60︒3．（4分）下列计算正确的是()A．2a a a +=B．236a a a = C．326()a a -=-D．752a a a ÷=4．（4分）如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是()A．0m >B．0m <C．2m >D．2m <5．（4分）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：选手甲乙丙丁方差（环2)0.0350.0160.0220.025则这四个人中成绩发挥最稳定的是()A．甲B．乙C．丙D．丁6．（4分）如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是()A．(3,4)-B．(4,3)--C．(3,4)--D．(4,3)7．（4分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>，错误的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．（4分）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断9．（4分）如图，已知123////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行直线上，若90ACB ∠=︒，则sin α的值是()A．13B．617C．55D．101010．（4分）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC ∆斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为()A．9πB．39πC．33322π-D．33223π-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知1x =是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，则A =．12．（5分）如图，ABC ∆内接于O ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O 的直径，6AD =，则DC =．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图象上，连接OA 、OB ，若OA OB ⊥，OB OA =，则k =．14．（5分）如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：201()6sin 30(2)|2|2--︒+-+．16．（8分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为25．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，(1)a a >的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，⋯依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．18．（8分）如图，在76⨯的方格中，ABC ∆的顶点均在格点上．试按要求画出线段(EF E ，F 均为格点），各画出一条即可．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知函数43y x =与反比例函数(0)k y x x =>的图象交于点A ．将43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线ky x=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若2OACB=，求反比例函数的解析式．20．（10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB AC =．（1）求证：BAD AEC ∆≅∆；（2）若30B ∠=︒，45ADC ∠=︒，10BD =，求平行四边形ABDE 的面积．六、（本题满分12分）21．（12分）身高 1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处（点G 在FE 的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离5BC =米，建筑物底部宽7FC =米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度 1.4AB =米，风筝线与水平线夹角为37︒．（1）求风筝距地面的高度GF ；（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN ，梯脚M 在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈七、（本题满分12分）22．（12分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1y（张)与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数2y（张)与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．八、（本题满分14分）23．（14分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①线段DB 和DG 的数量关系是；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系．（2）当四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若1BE =，2AB =，直接写出线段GM 的长度．2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的A、B、C、D 四个选项中，只有一项是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内．1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(20132015)-》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为()A．239.610⨯B．33.9610⨯C．43.9610⨯D．40.39610⨯【解答】解：将3960用科学记数法表示为33.9610⨯．故选：B ．2．（4分）如图，OA OB ⊥，若140∠=︒，则2∠的度数是()A．20︒B．40︒C．50︒D．60︒【解答】解：OA OB ⊥ ，140∠=︒，2901904050∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．3．（4分）下列计算正确的是()A．2a a a +=B．236a a a = C．326()a a -=-D．752a a a ÷=【解答】解：A 、2a a a +=，故本选项错误；B 、235a a a = ，故本选项错误；C 、326()a a -=，故本选项错误；D 、75752a a a a -÷==，故本选项正确．故选：D ．4．（4分）如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是()A．0m >B．0m <C．2m >D．2m <【解答】解：如图，一次函数(2)1y m x =--的图象经过二、三、四象限，20m ∴-<，解得，2m <．故选：D ．5．（4分）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：选手甲乙丙丁方差（环2)0.0350.0160.0220.025则这四个人中成绩发挥最稳定的是()A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：0.0160.0220.0250.035<<< ，∴乙的成绩的方差最小，∴这四个人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B ．6．（4分）如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是()A．(3,4)-B．(4,3)--C．(3,4)--D．(4,3)【解答】解：因为直线y mx =过原点，双曲线ky x=的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4)，另一个交点的坐标为(3,4)--．故选：C ．7．（4分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>，错误的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：① 由函数图象开口向下可知，0a <，由函数的对称轴12b x a =->-，故12b a<，0a < ，2b a ∴>，所以20a b -<，①正确；②0a < ，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则0c <，故0abc <；②正确；③当1x =时，0y a b c =++<，③正确；④当1x =-时，0y a b c =-+<，④错误；⑤当2x =时，420y a b c =++<，⑤错误；故错误的有2个．故选：B ．8．（4分）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【解答】解：5200k +< ，即4k <-，∴△1640k =+<，则方程没有实数根．故选：A ．9．（4分）如图，已知123////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行直线上，若90ACB ∠=︒，则sin α的值是()A．13B．617C．55D．1010【解答】解：如图，过点A 作1AD l ⊥于D ，过点B 作1BE l ⊥于E ，设1l ，2l ，3l 间的距离为1，90CAD ACD ∠+∠=︒ ，90BCE ACD ∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在等腰直角ABC ∆中，AC BC =，在ACD ∆和CBE ∆中，90CAD BCE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴∆≅∆，1CD BE ∴==，在Rt ACD ∆中，2222215AC AD CD =+=+=，在等腰直角ABC ∆中，22510AB AC ==⨯=，110sin 1010α∴==．故选：D ．10．（4分）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ABC ∆斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为()A．9πB．39πC．33322π-D．33223π-【解答】解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，B ，E 是半圆弧的三等分点，60EOA EOB BOD ∴∠=∠=∠=︒，30BAC EBA ∴∠=∠=︒，//BE AD ∴，弧BE 的长为23π，∴6021803R ππ⨯=，解得：2R =，cos30AB AD ∴=︒=，12BC AB ∴==3AC ∴=，11333222ABC S BC AC ∆∴=⨯⨯=⨯=，BOE ∆ 和ABE ∆同底等高，BOE ∴∆和ABE ∆面积相等，∴图中阴影部分的面积为：260223603ABC BOES S ππ∆⨯-==-扇形．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知1x =是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，则A =2或1-．【解答】解：1x = 是关于x 的方程2220x Ax A +-=的一个根，220A A ∴+-=，解得2A =或1-．故答案为2或1-．12．（5分）如图，ABC ∆内接于O ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O 的直径，6AD =，则DC =【解答】解：BD 为O 的直径，90BAD BCD ∴∠=∠=︒，120BAC ∠=︒ ，1209030CAD ∴∠=︒-︒=︒，30CBD CAD ∴∠=∠=︒，又120BAC ∠=︒ ，180********BDC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，AB AC = ，ADB ADC ∴∠=∠，11603022ADB BDC ∴∠=∠=⨯︒=︒，6AD = ，∴在Rt ABD ∆中，sin 6062BD AD =÷︒=÷=，在Rt BCD ∆中，1122DC BD ==⨯=故答案为：．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数k y x =的图象上，连接OA 、OB ，若OA OB ⊥，OB OA =，则k =2-．【解答】解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C，则有90ADO OCB ∠=∠=︒．设点A 的坐标为2(,)a a ，OD a ∴=，2AD a =OA OB ⊥ ，90AOB ∴∠=︒，90DOA COB CBO ∴∠=︒-∠=∠，在OCB ∆和ADO ∆中，OCB ADO CBO DOA OB AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OCB ADO AAS ∴∆≅∆，BC OD a ∴==，2OC AD a==2(,)B a a ∴-，∴22k a a=-=- ，故答案为2-．14．（5分）如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为29922y x x =-+．【解答】解：令0x =，则92y =，∴点9(0,)2A ，9(,2B b -，∴抛物线的对称轴为2b x =-，直线OB 的解析式为92y x b =-，抛物线的顶点C 在直线OB 上，94y ∴=∴顶点C 的纵坐标为199224⨯=，即294192414b ⨯⨯-=⨯，解得13b =，23b =-，由图可知，021b ->⨯，0b ∴<，3b ∴=-，∴对称轴为直线33212x -=-=⨯，∴点D 的坐标为3(2，0)，设平移后的抛物线的解析式为2y x mx n =++，则9293042n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得9292m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，29922y x x =-+．故答案为：29922y x x =-+．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：201()6sin 30(2)|28|2--︒+-+．【解答】解：原式21161212()2=-⨯++-=16．（8分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为25．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）【解答】解：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x 只、y 只，根据题意得：1332375x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-+-⎩，解得：510x y =⎧⎨=⎩，经检验符合题意，答：爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只；（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为1a 、2a ；3只豆沙粽子记为1b 、2b 、3b ，则可列出表格如下：1a 2a 1b 2b 3b 1a 1a 2a 1a 1b 1a 2b 1a 3b 2a 2a 1a 2a 1b 2a 2b 2a 3b 1b 1b 1a 1b 2a 1b 2b 1b 3b 2b 2b 1a 2b 2a 2b 1b 2b 3b 3b 3b 1a 3b 2a 3b 1b 3b 2b 一共有20种情况，恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的有12种情况，所以，P （A）126320105===．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，(1)a a >的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，⋯依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．【解答】解：①如图，4a =，②如图，52a =，③如图，43a =，④如图，53a =，18．（8分）如图，在76⨯的方格中，ABC ∆的顶点均在格点上．试按要求画出线段(EF E ，F 均为格点），各画出一条即可．【解答】解：如图：从图中可得到AC 边的中点在格点上设为E ，过E 作AB 的平行线即可在格点上找到F ；EC =，EF =FC =，借助勾股定理确定F 点，则EF AC ⊥；借助圆规作AB 的垂直平分线即可；五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，已知函数43y x =与反比例函数(0)k y x x =>的图象交于点A ．将43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线k y x=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若2OA CB =，求反比例函数的解析式．【解答】解：（1）43y x =的图象向下平移6个单位后与双曲线k y x=交于点B ，与x 轴交于点C ，∴直线BC 的解析式为463y x =-，把0y =代入得4603x -=，解得92x =，C ∴点坐标为9(2，0)；（2）作AE x ⊥轴于E 点，BF x ⊥轴于F 点，如图，//OA BC ，AOC BCF ∴∠=∠，Rt OAE Rt CBF ∴∆∆∽，∴2OA AE OE BC BF CF ===，设A 点坐标为4(,)3a a ，则OE a =，43AE a =，12CF a ∴=，23BF a =，9122OF OC CF a ∴=+=+，B ∴点坐标为91(22a +，2)3a ，点A 与点B 都在k y x =的图象上，4912()3223a a a a ∴=+ ，解得3a =，∴点A 的坐标为(3,4)，把(3,4)A 代入k y x =得3412k =⨯=，∴反比例函数的解析式为12y x =．20．（10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB AC =．（1）求证：BAD AEC ∆≅∆；（2）若30B ∠=︒，45ADC ∠=︒，10BD =，求平行四边形ABDE 的面积．【解答】（1）证明：AB AC = ，B ACB ∴∠=∠．又四边形ABDE 是平行四边形//AE BD ∴，AE BD =，ACB CAE B ∴∠=∠=∠，在DBA ∆和EAC ∆中AB AC B EAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBA EAC SAS ∴∆≅∆；（2）解：过A 作AG BC ⊥，垂足为G ．设AG x =，在Rt AGD ∆中，45ADC ∠=︒ ，AG DG x ∴==，在Rt AGB ∆中，30B ∠=︒ ，则2AB x =，3BG x ∴=，又10BD = ．BG DG BD ∴-=，即310x x -=，解得1053531AG x ===+-，()1053550350ABDE S BD AG ∴=⋅=⨯+=+平行四边形．六、（本题满分12分）21．（12分）身高 1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处（点G 在FE 的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离5BC =米，建筑物底部宽7FC =米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度 1.4AB =米，风筝线与水平线夹角为37︒．（1）求风筝距地面的高度GF ；（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN ，梯脚M 在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75)︒≈【解答】解：（1）过A 作AP GF ⊥于点P ．则12AP BF ==， 1.4AB PF ==，37GAP ∠=︒，在Rt PAG ∆中，tan GP PAG AP ∠=，兵兵与建筑物的距离5BC =米，5712AP BF FC CB ∴==+=+=tan 37120.759GP AP ∴=︒≈⨯= （米)，9 1.410.4GF ∴=+≈（米)；（2）由题意可知5MN =米，3MF =米，∴在直角MNF ∆中，4NF ==（米)，4 1.65510.65++= ，，∴能触到挂在树上的风筝．七、（本题满分12分）22．（12分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1y （张)与售票时间x （小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数2y （张)与售票时间x （小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为260y x =，其中自变量x 的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．【解答】解：（1）设函数的解析式为2y ax =，把点(1,60)代入解析式得：60a =，则函数解析式为：2360(0)2y x x = ；（2）设需要开放x 个普通售票窗口，由题意得，806051450x +⨯ ，解得：3148x ，x 为整数且x 取最小值，15x ∴=，即至少需要开放15个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为y kx =，把点(1,80)代入得：80k =，则80y x =，10 点是2x =，∴当2x =时，160y =，即上午10点普通窗口售票为160张，由（1）得，当32x =时，135y =，∴图②中的一次函数过点3(2，135)，(2,160)，设一次函数的解析式为：y mx n =+，把点的坐标代入得：313522160m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：5060m n =⎧⎨=⎩，则一次函数的解析式为5060y x =+．八、（本题满分14分）23．（14分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①线段DB 和DG 的数量关系是；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系．（2）当四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将BDE ∠绕点D 逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若1BE =，2AB =，直接写出线段GM的长度．【解答】解：（1）①DB DG =，理由是：DBE ∠ 绕点B 逆时针旋转90︒，如图1，由旋转可知，BDE FDG ∠=∠，90BDG ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45CBD ∴∠=︒，45G ∴∠=︒，45G CBD ∴∠=∠=︒，DB DG ∴=；故答案为：DB DG =；②BF BE +=，理由如下：由①知：FDG EDB ∠=∠，45G DBE ∠=∠=︒，BD DG =，()FDG EDB ASA ∴∆≅∆，BE FG ∴=，BF FG BF BE BC CG ∴+=+=+，Rt DCG ∆中，45G CDG ∠=∠=︒ ，CD CG ∴==DG BD ==，即2BF BE BC +==；（2）①如图2，BF BE +=，理由如下：在菱形ABCD 中，11603022ADB CDB ADC ∠=∠=∠=⨯︒=︒，由旋转120︒得120EDF BDG ∠=∠=︒，EDB FDG ∠=∠，在DBG ∆中，1801203030G ∠=︒-︒-︒=︒，30DBG G ∴∠=∠=︒，DB DG ∴=，()EDB FDG ASA ∴∆≅∆，BE FG ∴=，BF BE BF FG BG ∴+=+=，过点D 作DM BG ⊥于点M ，如图2，BD DG = ，2BG BM ∴=，在Rt BMD ∆中，30DBM ∠=︒，2BD DM ∴=．设DM a =，则2BD a =，BM =，BG ∴=，∴BD BG ==BG ∴=，BF BE BG ∴+==；②过点A 作AN BD ⊥于N ，过D 作DP BG ⊥于P ，如图3，21Rt ABN ∆中，30ABN ∠=︒，2AB =，1AN ∴=，3BN =，23BD BN ∴==//DC BE ，∴21CD CM BE BM ==，2CM BM += ，23BM ∴=，Rt BDP ∆中，30DBP ∠=︒，23BD =，3BP ∴=，由旋转得：BD BF =，26BF BP ∴==，2196133GM BG BM ∴=-=+-=．。

2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷

2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列实数中最小的数是( ) A ．2B ．3-C ．0D ．π2．（4分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）安徽省的陆地面积为2139400km ，139400用科学记数法可表示为( ) A ．2139410⨯B ．41.39410⨯C ．51.39410⨯D ．413.9410⨯4．（4分）下列运算正确的是( ) A ．223a a a +=B ．325a a a =gC ．426()a a =D ．623623a a a -÷=5．（4分）若分式2402x x -=-，则x 的值是( )A ．2±B ．2C ．2-D ．06．（4分）如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图，则四月份每日的最低气温（单位：C)︒众数分别是( )A ．14B ．30C ．12D ．187．（4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( )A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -=C ．216(1)25x +=D ．225(1)16x -=8．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥．过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ．若1DE =，则ABC ∆的面积为( )A ．42B ．4C ．25D ．89．（4分）如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >； ②0a b c -+<； ③210ax bx c +++=有两个相等的实数根； ④930a b c ++>．其中正确的结论的序号为( )A ．①②B ．.①③C ．.②③D ．.①④10．（4分）如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ．6B ．2131+C ．9D ．323二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5123-= ．12．（5分）命题：“若0ab =，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是13．（5分）如图，已知A 为反比例函数(0)k y x x=<的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为B ，若OAB ∆的面积为2，则k 的值为14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则图中阴影部分面积为．（结果保留根号和)π三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）解方程：24x x =．16．（8分）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,4)A --，(0,4)B -，(1,1)C - （1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC ∆分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点(3,3)P --，连接PC ，则tan BCP ∠= ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．（1）求这个月晴天的天数．（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．18．（8分）观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，⋯，它们有一定的规律，若记第一个数为1a ，第二个数记为2a ，⋯，第n 个数记为n a ．（1）请写出29后面的第一个数；（2）通过计算21a a -，32a a -，43a a -，⋯由此推算10099a a -的值；（3）根据你发现的规律求100a 的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70ABC ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ，求把手A 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75)︒≈．20．（10分）如图，已知在ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，连结DF ，EF ，BF ．（1）求证：四边形BEFD 是平行四边形；（2）若90AFB ∠=︒，6AB =，求四边形BEFD 的周长．六、（本大题12分）21．（12分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？七、（本大题12分）22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．八、（本大题14分）23．（14分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120)ABCD BAD ∠=︒进行探究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ∆≅∆，②AE AF AC +=；（2）类比发现如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =；（3）深入探究如图3，若3AD AB =，探究得：3AE AFAC+的值为常数t ，则t = ．2020年安徽省合肥168中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列实数中最小的数是( ) A ．2B ．3-C ．0D ．π【解答】解：302π-<<<Q ，∴最小的数是3-，故选：B ．2．（4分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：故选：B ．3．（4分）安徽省的陆地面积为2139400km ，139400用科学记数法可表示为( ) A ．2139410⨯B ．41.39410⨯C ．51.39410⨯D ．413.9410⨯【解答】解：将139400用科学记数法表示为：51.39410⨯．故选：C ．4．（4分）下列运算正确的是( ) A ．223a a a +=B ．325a a a =gC ．426()a a =D ．623623a a a -÷=【解答】解：A 、23a a a +=，错误；B 、325a a a =g ，正确；C 、428()a a =，错误；D 、624623a a a -÷=-，错误；故选：B ．5．（4分）若分式2402x x -=-，则x 的值是( )A ．2±B ．2C ．2-D ．0【解答】解：依题意得：240x -=且20x -≠，解得2x =-．故选：C ．6．（4分）如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图，则四月份每日的最低气温（单位：C)︒众数分别是( )A ．14B ．30C ．12D ．18【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，14C ︒，故众数是14C ︒；故选：A ．7．（4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( )A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -=C ．216(1)25x +=D ．225(1)16x -=【解答】解：第一次降价后的价格为：25(1)x ⨯-；第二次降价后的价格为：225(1)x ⨯-； Q 两次降价后的价格为16元，225(1)16x ∴-=．故选：D ．8．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥．过点D作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ．若1DE =，则ABC ∆的面积为( )A ．42B ．4C ．25D ．8【解答】解：AB AD ⊥Q ，AD DE ⊥， 90BAD ADE ∴∠=∠=︒， //DE AB ∴， CED CAB ∴∠=∠， C C ∠=∠Q ， CED CAB ∴∆∆∽，1DE =Q ，2AB =，即:1:2DE AB =，:1:4DEC ACB S S ∆∆∴=，:3:4ACB ABDE S S ∆∴=四边形，11222121322ABD ADE ABDE S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=Q 四边形，4ACB S ∆∴=，故选：B ．9．（4分）如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >； ②0a b c -+<； ③210ax bx c +++=有两个相等的实数根； ④930a b c ++>．其中正确的结论的序号为( )A ．①②B ．.①③C ．.②③D ．.①④【解答】解：①由抛物线的开口方向向上可推出0a >，与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可推出10c =-<，对称轴为102bx a=->>，0a >，得0b <，故0abc >，故①正确； ②由对称轴为直线12bx a=->，抛物线与x 轴的一个交点交于(2,0)，(3,0)之间，则另一个交点在(0,0)，(1,0)-之间，所以当1x =-时，0y >，所以0a b c -+>，故②错误；③抛物线与y 轴的交点为(0,1)-，由图象知二次函数2y ax bx c =++图象与直线1y =-有两个交点，故210ax bx c +++=有两个不相等的实数根，故③错误； ④3x =时，2930y ax bx c a b c =++=++>，故④正确；故选：D ．10．（4分）如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ．6B ．2131+C ．9D ．323【解答】解：如图，设O e 与AC 相切于点E ，连接OE ，作1OP BC ⊥垂足为1P 交O e 于1Q ，此时垂线段1OP 最短，11PQ 最小值为11OP OQ -， 10AB =Q ，8AC =，6BC =，222AB AC BC ∴=+， 90C ∴∠=︒， 190OPB ∠=︒Q ， 1//OP AC ∴AO OB =Q ，11PC PB ∴=，1211PQ ∴最小值为111OP OQ -=，如图，当2Q 在AB 边上时，2P 与B 重合时，22P Q 经过圆心，经过圆心的弦最长， 22P Q 最大值538=+=，PQ ∴长的最大值与最小值的和是9．故选：C ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）计算：123-=3 ．【解答】解：1232333-=-=．故答案为：3．12．（5分）命题：“若0ab =，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是若a ，b 至少有一个为0，则0ab =【解答】解：命题：“若0ab =，则a 、b 中至少有一个为0”的逆命题是若a ，b 至少有一个为0，则0ab =，故答案为：若a ，b 至少有一个为0，则0ab =．13．（5分）如图，已知A 为反比例函数(0)k y x x=<的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为B ，若OAB ∆的面积为2，则k 的值为 4-【解答】解：AB y ⊥Q 轴，2OAB ∆而0k <， 4k ∴=-．故答案为4-．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则图中阴影部分面积为 223π- ．（结果保留根号和)π【解答】解：连接AB ， 90AOB ∠=︒Q ，AB ∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=︒， 23OB =Q ，3tan tan30232OA OB ABO OB ∴=∠=︒=⨯=，sin304AB AO =÷︒=，即圆的半径为2，22122322322ABO S S S ππ∆⨯∴=-=-⨯⨯=-阴影半圆．故答案为：223π-．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）解方程：24x x =．【解答】解：240x x -=，(4)0x x -=， 0x =或40x -=，所以10x =，24x =．16．（8分）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,4)A --，(0,4)B -，(1,1)C - （1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC ∆分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点(3,3)P --，连接PC ，则tan BCP ∠= 1 ．【解答】解：如图：（1）作出线段1B 、1C 连接即可；（2）画出直线CD ，点D 坐标为(1,4)--，（3）连接PB ，22221310PB BC ==+=Q ，2222420PC =+=， 222PB BC PC ∴+=， PBC ∴∆为等腰直角三角形， 45PCB ∴∠=︒， tan 1BCP ∴∠=，故答案为1．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．（1）求这个月晴天的天数．（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．【解答】解：（1）设这个月有x 天晴天，由题意得 305(30)550x x +-=，解得16x =，故这个月有16个晴天．（2）需要y 年才可以收回成本，由题意得 (550150)(0.520.45)1240000y -+g g …，解得8.6y …，y Q 是整数，∴至少需要9年才能收回成本．18．（8分）观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，⋯，它们有一定的规律，若记第一个数为1a ，第二个数记为2a ，⋯，第n 个数记为n a ．（1）请写出29后面的第一个数；（2）通过计算21a a -，32a a -，43a a -，⋯由此推算10099a a -的值；（3）根据你发现的规律求100a 的值．【解答】解：（1）29后面的第一位数是37；（2）由题意：21a a -，2=，323a a -=，434a a -=⋯由此推算10099100a a -=；（3）10011002234100110050512a +=++++⋯+=+⨯= 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角70ABC∠=︒，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75)︒≈．【解答】解：过点A作AD BC⊥于点D，延长AD交地面于点E，sinAD ABDAB ∠=Q，920.9486.48AD∴=⨯≈，6DE=Q，92.5AE AD DE∴=+=，∴把手A离地面的高度为92.5cm．20．（10分）如图，已知在ABC∆中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若90AFB∠=︒，6AB=，求四边形BEFD的周长．【解答】（1）证明：DQ，E，F分别是AB，BC，AC的中点，//DF BC∴，//EF AB，//DF BE∴，//EF BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：90AFB ∠=︒Q ，D 是AB 的中点，6AB =， 132DF DB DA AB ∴====， Q 四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形，3DB =Q ，∴四边形BEFD 的周长为12．六、（本大题12分）21．（12分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？【解答】解：（1）总人数1525%60=÷=（人)．A 类人数602415912=---=（人)．12600.220%÷==Q ， 20m ∴=．条形统计图如图；（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率249116020+==；（3）80025%200⨯=Q ，2002010÷=，∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．七、（本大题12分）22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．【解答】解：（1）Q 抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点， ∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，∴13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--，Q 直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）2223(1)4y x x x =--=--Q ，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-，//CE y Q 轴， (1,2)E ∴-， 2CE ∴=，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，223(23)3MN a a a a a ∴=----=-+，232a a ∴-+=，解得：2a =，1a =（舍去）， (2,1)M ∴-，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，2223(3)3MN a a a a a ∴=----=-， 232a a ∴-=，解得：317a +=，317a -=（舍去）， 317(M +∴，317)-+，综合可得M 点的坐标为(2,1)-或317317(,)+-+．（3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，223(23)3PG m m m m m ∴=----=-+， 22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆∴=+==⨯-+⨯=-+=--+g ， ∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为315(,)24-．八、（本大题14分）23．（14分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120)ABCD BAD ∠=︒进行探究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ∆≅∆，②AE AF AC +=；（2）类比发现如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =；（3）深入探究如图3，若3AD AB =，探究得：3AE AFAC+的值为常数t ，则t = 7 ．【解答】解；（1）①Q 四边形ABCD 是平行四边形，120BAD ∠=︒， 60D B ∴∠=∠=︒，AD AB =Q ，ABC ∴∆，ACD ∆都是等边三角形，60B CAD ∴∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，BC AC =， 60ECF ∠=︒Q ，60BCE ACE ACF ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒， BCE ACF ∴∠=∠，在BCE ∆和ACF ∆中， B CAF BC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCE ACF ∴∆≅∆．②BCE ACF ∆≅∆Q ，BE AF ∴=，AE AF AE BE AB AC ∴+=+==．（2）设DH x =，由题意，2CD x =，CH ， 24AD AB x ∴==，3AH AD DH x ∴=-=，CH AD ⊥Q ，AC ∴=， 222AC CD AD ∴+=，90ACD ∴∠=︒，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，60ACH ∴∠=︒，60ECF ∠=︒Q ，HCF ACE ∴∠=∠，ACE HCF ∴∆∆∽， ∴2AE AC FH CH==， 2AE FH ∴=．（3）如图3中，作CN AD ⊥于N ，CM BA ⊥于M ，CM 与AD 交于点H ． 180ECF EAF ∠+∠=︒Q ，180AEC AFC ∴∠+∠=︒，180AFC CFN ∠+∠=︒Q ，CFN AEC ∴∠=∠，90M CNF ∠=∠=︒Q ， CFN CEM ∴∆∆∽， ∴CN FN CM EM=， AB CM AD CN =Q g g ，3AD AB =， 3CM CN ∴=， ∴13CN FN CM EM ==，设CN a =，则3CM a =， 60MAH ∠=︒Q ，90M ∠=︒，30AHM CHN ∴∠=∠=︒， 2HC a ∴=，HM a =，3HN a =，3AM a ∴=，23AH a =， 22221AC AM CM a ∴=+=， 1433()3()33333AE AF EM AM AH HN FN EM AM AH HN FN AH HN AM a +=-++-=-++-=+-=，∴143337221aAE AF AC a+==．故答案为7．。

2022年安徽省合肥市一六八中学中考一模数学试卷含详解

安徽合肥市一六八中学2021-2022学年中考一模数学试卷温馨提示：本试卷沪科版1.1～26.4、共4页八大题、23小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.实数2021的相反数是（）A.2021B.2021-C.12021D.12021-2.下列计算正确的是（）A.a 3+a 3=a 6 B.3a -a =3 C.a •a 2=a 3 D.（a 2）3=a 5.3.据新华社消息，2022北京冬奥会开幕式中国大陆地区观看人数约为3.16亿人，其中3.16亿用科学记数法表示为（）.A.3.16×107B.3.16×108C.3.16×109D.3.16×10104.如图中几何体的主视图为（）A. B. C. D.5.若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x =在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（）A. B. C. D.6.如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若∠1=18°，则∠2的度数为（）A.162°B.142°C.138°D.135°7.为响应国家的惠民政策，某种口罩原价每箱100元，经过两次降价后每箱81元．设平均每次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.81（1＋2x ）＝100 B.100（1－2x ）＝81C.81（1＋x ）2＝100D.100（1－x ）2＝818.如图等腰直角△ABC 中∠C =90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE =90°，DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD +CE FA ；④AD 2+BE 2=DE 2，其中错误结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知40AB cm =，则图中阴影部分的面积为（）A.225cmB.21003cmC.250cmD.275cm 10.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.038(1)-=___________．12.分解因式：24ab a -=_______.13.如图，已知⊙O 上有三点A 、B 、C ，半径OC ＝2，∠ABC ＝30°，切线AP 交OC 延长线于点P ，则△OAP 的周长为______________14.如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC 、AB ＝6，BC ＝4，点P 是△ABC 内部的一个动点，连接PC ，且满足∠PAB ＝∠PBC ，过点P 作PD ⊥BC 交BC 于点D（1）∠APB ＝______________；（2）当线段CP 最短时，△BCP 的面积为______________；三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)15.计算：––3136x x 16.如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB 的顶点均在格点上，点O 为原点，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．（1）将△AOB 向下平移3个单位后得到△A 1O 1B 1，则点B 1的坐标为；（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 2OB 2，请在图中作出△A 2OB 2，并求出这时点A 2的坐标为；（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA 扫过的图形的面积．四、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)17.《九章算术》中有这样道题，原文如下：今有共买豕，人出一百，盈一百，人出九十，适足，问人数、豕价各几何？大意为：今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适，问合伙的人数、猪价各是多少？18.用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：（1）在图②中用了块白色正方形，在图③中用了__块白色正方形（2）按如图的规律维续铺下去，那么第n 个图形要用_块白色正方形；（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．五、(本大题共2小题，每小题10分，总计20分)19.如图是一种机器零件的左视大致图形，已测得30D ∠=︒，75A ∠=︒，BD AC ⊥，16CD cm =，28AB =cm ，25AE =cm ，求点E 到直线CD 之间距离EF 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈1.732≈）20.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 为直径，AC 平分∠BCD ，（1）若BC =5cm ，CD =12cm ，求AB 的长；（2）求证：BC +CD AC ．六、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)21.2022北京冬奥会，为了解学生最喜欢的冰雪运动，学校从全校随机抽取了部分学生，进行了问卷调查（每个被调查的学生在4种冰雪运动中只选择最喜欢做的一种），4种冰雪运动分别是：A 、滑雪，B 、滑冰，C 、冰球，D 、冰壶；将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图（未画完整）．（1）这次调查中，一共调查了名学生，请补全条形统计图；（2）若全校有2800名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生数；（3）学校想要从D 档的4名学生中随机抽取2名同学谈谈自己的喜爱的原因，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．七、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)22.如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋4与抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c （b 、c 是常数）交于A 、B 两点，点A在x轴上，点B在y轴上，设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D．①当点D为线段AB中点时，求P点坐标；②过点P作PF∥BO交AB于点F，求PF的最大值．八、(本大题共1小题，每小题14分，总计14分)23.已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,点E是边AD上的一个点(与点A,D不重合)．连接CE，作∠CEF=90°，交直线BC点F，点G为线段EF的中点．（1）如图1，若点E是AD的中点，四边形FHAB是矩形，求证：△HEF∽ΔDCE；（2）如图2，若将边AD向左平移1个单位得平行四边形A′BCD′，当点G落在边A′B上时，求A′E的长；（3）如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若存在，直接写出DE 的值.安徽合肥市一六八中学2021-2022学年中考一模数学试卷温馨提示：本试卷沪科版1.1～26.4、共4页八大题、23小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.实数2021的相反数是（）A.2021B.2021-C.12021D.12021-B【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．【详解】解：2021的相反数是：2021-．故选：B ．【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键．2.下列计算正确的是（）A.a 3+a 3=a6 B.3a -a =3 C.a •a 2=a 3 D.（a 2）3=a 5.C【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．【详解】A ．a 3+a 3=2a 3，故此选项错误；B ．3a -a =2a ，故此选项错误；C ．a •a 2=a 3，故此选项正确；D ．（a 2）3=a 6，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.据新华社消息，2022北京冬奥会开幕式中国大陆地区观看人数约为3.16亿人，其中3.16亿用科学记数法表示为（）.A.3.16×107B.3.16×108C.3.16×109D.3.16×1010B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：3.16亿＝316000000＝3.16×108，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.如图中几何体的主视图为（）A. B. C. D.A【分析】主视图是从正面看所得到的图形，结合所给几何体及选项即可得出答案．【详解】解：从正面观察所给几何体，得到的图形如下：故选：A ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．5.若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x =在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（）A. B. C. D.B【分析】由0ab <，得,a b 异号，若图象中得到的,a b 异号则成立，否则不成立．【详解】A.由图象可知：0,0a b >>，故A 错误；B.由图象可知：0,0a b <>，故B 正确；C.由图象可知：0,0a b ><，但正比例函数图象未过原点，故C 错误；D.由图象可知：0,0a b <<，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．6.如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若∠1=18°，则∠2的度数为（）A.162°B.142°C.138°D.135°C【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质求解即可．【详解】解：由题意得：∠E =90°，∠A =30°，DF BC ∥，∴∠EDF =∠ECB =∠1+∠A =48°，∴∠2=∠E +∠EDF =138°，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中角度的计算，熟知三角形外角的性质是解题的关键．7.为响应国家的惠民政策，某种口罩原价每箱100元，经过两次降价后每箱81元．设平均每次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.81（1＋2x ）＝100B.100（1－2x ）＝81C.81（1＋x ）2＝100D.100（1－x ）2＝81D 【分析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的单价是原来的()1x -，那么第二次降价后的单价是原来的()21x -，根据题意列方程解答即可．【详解】解：由题意得：()2100181x -=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，解答本题的关键在于根据题目条件列出一元二次方程．8.如图等腰直角△ABC 中∠C =90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE =90°，DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD +CE FA ；④AD 2+BE 2=DE 2，其中错误结论的个数有（）A .1个 B.2个 C.3个D.4个C【分析】连接CF ，求出CF =AF ，∠A =∠FCE ，证△ADF ≌△CEF ，△BEF ≌△CDF ，再逐个选项分析，即可得出答案．【详解】不作辅助线，观察图中几个三角形，没有全等三角形，∴①错误；连接CF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠FCB =∠A =45°，CF =AF =FB ；∵∠C =90°，∠DFE =90°，∴∠AFD +∠DFC =∠DFC +∠CFE =90°，∴∠AFD =∠CFE ，∴△ADF ≌△CEF ；∴CE =AD ，S △CEF =S △ADF ，∴S 四边形CEFD =S △AFC =12S △ACB ，即△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍，∴②正确．∵AC =BC ，∠ACB =90°，F 为AB 中点，∴CF ⊥AB ，AF =CF =BF ，∠A =45°，∠ACF =45°，∴AF =CF ，由勾股定理得：AC =2CF 2AF ，由（2）知△ADF ≌△CEF ，∴AC =AD +DC =CE +CD ，∴CD +CE 2AF ，∴③正确；易证△BEF ≌△CDF ，∴CD =BE ，在Rt △CDE 中222CD CE DE +=，∵CD =BE ，AD=CE ，∴222AD BE DE +=，∴④正确；综上所述②③④正确，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，等腰直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．9.七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知40AB cm =，则图中阴影部分的面积为（）A.225cm B.21003cm C.250cm D.275cm C 【分析】如图，设OF ＝EF ＝FG ＝x ，可得EH ＝2x ＝20，解方程即可解决问题．【详解】解：如图，设OF ＝EF ＝FG ＝x ，∴OE ＝OH ＝2x ，在Rt △EOH 中，EH ＝2x ，由题意EH ＝20cm ，∴20＝22x ，∴x ＝2∴阴影部分的面积＝（2）2＝50（cm 2），故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）A. B.C. D.A【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①02x ≤≤时，根据12APQ S AQ AP ∆=⋅，列出函数关系式，从而得到函数图象；②24x ≤≤时，根据''''APQ CP Q ABQ AP D ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【详解】①当02x ≤≤时，∵正方形的边长为2cm ，∴21122APQ y S AQ AP x ∆==⋅=；②当24x ≤≤时，APQ y S ∆=''''CP Q ABQ AP D ABCD S S S S ∆∆∆=---正方形()()()21112242222222x x x =⨯---⨯--⨯⨯-2122x x =-+，所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A 选项图象符合，故选A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.0(1)-=___________．3【分析】先计算8的立方根和（-1）0，再算减法．【详解】解：原式=2+1=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂和立方根的意义是解决本题的关键．12.分解因式：24ab a -=_______.()()22a b b +-．【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式a 后继续应用平方差公式分解即可【详解】解：()()()224422a a a a b b b b -=-=+-，故答案为：()()22a b b +-．13.如图，已知⊙O 上有三点A 、B 、C ，半径OC ＝2，∠ABC ＝30°，切线AP 交OC 延长线于点P ，则△OAP 的周长为______________6+##6+【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOP ∠的度数，再利用切线的性质得到90OAP ∠=︒，进而得到30P ∠=︒，然后利用含30°的直角三角形的性质求出OP 的长度，用勾股定理求出AP 的长度，即可得到OAP △的周长．【详解】解：连接OA ，如下图．30ABC =︒∠ 260AOP ABC ∴∠=∠=︒．AP 为O 的切线，OA AP ∴⊥，90OAP ∴∠=︒，30APO ∴∠=︒．2OC OA == ，2224OP AO ∴==⨯=，AP ∴===AOP ∴△的周长为246OA OP AP ++=++=+故答案为：6+．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答关键．14.如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC 、AB ＝6，BC ＝4，点P 是△ABC 内部的一个动点，连接PC ，且满足∠PAB ＝∠PBC ，过点P 作PD ⊥BC 交BC 于点D（1）∠APB ＝______________；（2）当线段CP 最短时，△BCP 的面积为______________；①.90°②.2.4【分析】（1）由90ABP PBC ∠+∠=︒得到90BAP ABP ∠+∠=︒，即可得到90APB ∠=︒；（2）首先证明点P 在以AB 为直径的O 上，连接OC 与O 交于点，此时PC 最小，利用勾股定理求出OC 即可得到25PC OC =，即可得到21255BCP OBC S S ∆∆==．【详解】解：（1）90ABC ∠=︒ ，90ABP PBC ∴∠+∠=︒，PAB PBC ∠=∠ ，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒；（2）设AB 的中点为O ，连接OP ，则OP OA OB ==，∴点P 在以AB 为直径的O 上，连接OC 交O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90OBC ∠=︒，4BC =，3OB =，5OC ∴==，532PC OC OP ∴=-=-=，25PC OC ∴=，1143622OBC S BC OB ∆=⋅=⨯⨯= ，2 2.45BCP OBC S S ∆∆∴==．故答案为：2.4．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)15.计算：––3136x x ≥x ≥3【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式即可．【详解】––3136x x ≥26(3)x x ≥--263x x ≥-+39x ≥3x ≥【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．16.如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB 的顶点均在格点上，点O 为原点，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．（1）将△AOB 向下平移3个单位后得到△A 1O 1B 1，则点B 1的坐标为；（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 2OB 2，请在图中作出△A 2OB 2，并求出这时点A 2的坐标为；（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA 扫过的图形的面积．（1）（1，0）；（2）(2,3)-；（3）134π．【分析】（1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；（2）过点O 作OA 的垂线，在上面取一点A 2使OA 2=OA ，同样的方法求出点B 2，顺次连接A 2、B 2、O 就得出△A 2OB 2，就可以相应的结论；（3）根据条件就是求扇形A 2OA 的面积即可．【详解】（1）由题意，得B 1（1，3﹣3），∴B 1（1，0）．（2）如图，过点O 作OA 的垂线，在上面取一点A 2使OA 2=OA ，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得A2（﹣2，3）．（3）由勾股定理，得OA13∴线段OA扫过的图形的面积为：901313= 3604ππ⨯．考点：1．作图－旋转变换；2．扇形面积的计算；3．坐标与图形变化——平移．【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换，扇形面积公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．四、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)17.《九章算术》中有这样道题，原文如下：今有共买豕，人出一百，盈一百，人出九十，适足，问人数、豕价各几何？大意为：今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适，问合伙的人数、猪价各是多少？合伙的人数为10人，猪价为900钱．【分析】设合伙的人数为x人，猪价为y钱，根据“每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设合伙的人数为x人，猪价为y钱，依题意，得：10010090x yx y-=⎧⎨=⎩，解得：10900 xy=⎧⎨=⎩．答：合伙的人数为10人，猪价为900钱．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18.用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：（1）在图②中用了块白色正方形，在图③中用了__块白色正方形（2）按如图的规律维续铺下去，那么第n个图形要用_块白色正方形；（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．（1）8；11（2）（3n +2）（3）能恰好用完2021块白色正方形，第673个图形【分析】（1）观察如图可直接得出答案；（2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案；（3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n +2=2021，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能．【小问1详解】解：根据题意得：图①中用了白色正方形的块数为5=3×1+2，图②中用了白色正方形块数为8=3×2+2，图③中用了白色正方形块数为11=3×3+2，故答案为：8；11【小问2详解】解：由（1）得：第n 个图形用了（3n +2）块，故答案为：（3n +2）【小问3详解】解：能恰好用完2021块白色正方形，理由如下：假设第n 块恰好用完2021块白色正方形，根据题意得：3n +2=2021，解得：n =673，∴能恰好用完2021块白色正方形，它是第673个图形．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n 个图形要用(3n +2)块白色正方形，利用规律解决问题是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题10分，总计20分)19.如图是一种机器零件的左视大致图形，已测得30D ∠=︒，75A ∠=︒，BD AC ⊥，16CD cm =，28AB =cm ，25AE =cm ，求点E 到直线CD 之间距离EF 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈1.732≈）37.7cm【分析】分别过点A 作AM CD ⊥交CD 的延长线于点M ，作AN EF ⊥于点N ，分别求出EN 和NF 即可．【详解】解：如图，分别过点A 作AM CD ⊥交CD 的延长线于点M ，作AN EF ⊥于点N ，则四边形AMFN 是矩形，∴NF AM =，AN MF =，AN FM ∥，∴9060NAC ACM BDC ∠=∠=︒-∠=︒．在Rt BCD 中，30CDB ∠=︒，∴182BC CD ==，∴28836AC AB BC =+=+=．在Rt ACM △中，3sin 362AM ACM AC =∠⨯=⨯=，则NF =在Rt AEN △中，756015EAN CAE NAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵sin EN EAN AE∠=，∴sin 25sin15 6.5EN AE EAN =⨯∠=⨯︒≈．∴ 6.5 6.5181.73237.7EF EN NF =+=+≈+⨯≈．故点E 到直线CD 之间的距离EF 的长约为37.7cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形，关键是作垂线构造直角三角形．20.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 为直径，AC 平分∠BCD ，（1）若BC =5cm ，CD =12cm ，求AB 的长；（2）求证：BC +CD AC ．（1）1322（2）见解析【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，利用勾股定理求解即可；（2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC′，证明△C′AC是等腰直角三角形，进一步求解即可证明BC+CD．【小问1详解】解：∵BD为直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵CD=12cm，BC=5cm，∴BD=13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∴AB=AD=22BD=1322，故AB的长为1322．【小问2详解】证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC′，由旋转性质可得：△ACD △ABC′，∠CAC′=90°，CA=C′A，∴AC′=AC，CD=BC′，∠ADC=ABC′，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC+∠AD′B=180°，又∵∠CAC′=90°，CA=C′A，∴△C′AC是等腰直角三角形，∴CC′=,∴BC+C′B，∴BC+CD．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．六、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)21.2022北京冬奥会，为了解学生最喜欢的冰雪运动，学校从全校随机抽取了部分学生，进行了问卷调查（每个被调查的学生在4种冰雪运动中只选择最喜欢做的一种），4种冰雪运动分别是：A、滑雪，B、滑冰，C、冰球，D、冰壶；将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图（未画完整）．（1）这次调查中，一共调查了名学生，请补全条形统计图；（2）若全校有2800名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生数；（3）学校想要从D档的4名学生中随机抽取2名同学谈谈自己的喜爱的原因，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．（1）40，图见解析（2）估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生为1120人（3）5 6【分析】（1）由B档人数及其所占百分比可得被调查的总人数，再用总人数减去B、C、D的人数求出A档人数，从而补全条形统计图；（2）由全校学生人数乘以最喜欢“滑冰”运动项目的学生所占的百分比即可；（3）画树状图，共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次调查的学生共有16÷40%＝40（名），故答案为：40，A档人数为40﹣（16+12+4）＝8（人），补全条形统计图如下：（2）2800×40%＝1120（人），即估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生为1120人；（3）用A 表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C 和D 分别表示九年级学生，画树状图如下：共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是1012=56．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．七、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)22.如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋4与抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c （b 、c 是常数）交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，设抛物线与x 轴的另一个交点为点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ．①当点D 为线段AB 中点时，求P 点坐标；②过点P 作PF ∥BO 交AB 于点F ，求PF 的最大值．（1）2142y x x =--+（2）①P点坐标(-；②2【分析】（1）根据直线y =x +4的解析式求出其与抛物线交于坐标轴上的两点A 和B 的坐标，再将这两点坐标代入抛物线解析式即可得到常数b 和c 的值，进而得到抛物线的解析式．（2）①根据A ，B 两点坐标求出点D 坐标，再使用待定系数法求出直线OD 解析式，再结合抛物线解析式列方程并求解即可得到点P 的坐标．②根据点P 的位置可设21,42P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，结合PF BO ∥和点F 的位置可得点F 的坐标，进而可表示出PF 的长度，再根据二次函数的最值求解即可．【小问1详解】解：∵直线4y x =+与坐标轴交于A ，B 两点，∴当0x =时，4y =，当0y =时，4x =-．∴点(4,0),(0,4)A B -．把A ，B 两点的坐标代入212y x bx c =-++中，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩解得1,4.b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为2142y x x =--+．【小问2详解】解：①∵(4,0),(0,4)A B -，点D 为线段AB 中点，∴点(2,2)D -．设OD 所在直线的解析式为y kx =，将(2,2)D -代入得1k =-，∴直线OD 的解析式为y x =-．由2142y x y x x =-⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或22x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．∴P点坐标(-．②∵点P 在2142y x x =--+上，点F 在4y x =+上，PF BO ∥，∴设点21,42P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，其中40x -<<，则点4(),F x x +．∴2221114(4)2(2)2222P F PF y y x x x x x x =-=--+-+=--=-++．∵102a =-<，且对称轴是直线2x =-，∴当2x =-时，PF 有最大值为2．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，包括一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数图象与一次函数图象交点问题，二次函数的最值，综合应用这些知识点是解题关键．八、(本大题共1小题，每小题14分，总计14分)23.已知在矩形ABCD 中AB =4,AD =6,点E 是边AD 上的一个点(与点A ,D 不重合)．连接CE ，作∠CEF =90°，交直线BC 点F ，点G 为线段EF 的中点．（1）如图1，若点E 是AD 的中点，四边形FHAB 是矩形，求证：△HEF ∽ΔDCE ；（2）如图2，若将边AD 向左平移1个单位得平行四边形A ′BCD ′，当点G 落在边A ′B 上时，求A ′E 的长；（3）如图3，连接DF ，点H 是DF 的中点，连接GH ，EH ，是否存在点E ，使△EGH 为等腰三角形？若存在，直接写出DE 2的值.（1）见解析（2）15414A E ±'=（3）存在，28DE =+或32或16.【分析】（1）作FH AD ⊥于H ，利用一线三垂直模型可证得ΔΔHEF DCE ∽；（2）作FH A D ⊥''于H ，作CD A D ⊥''于D ，由ΔΔEGA FGB '≅，从而设EA BF x '==，6ED x '=-，表示出EH ，然后由ΔΔCDE EHF ∽，列出比例式求得结果；（3）设DE a =，表示出GE 、EH 和GH ，分为GE EH =，GE GH =和EH GH =，各列出方程，求得结果．【小问1详解】作FH AD ⊥于H ，，由题意可得，90D H ∠=∠=︒，4FH AB ==，3==AE DE ，90CED DCE ∴∠+∠=︒，90CEF ∠=︒ ，90CED HEF ∴∠+∠=︒，HEF DCE ∴∠=∠，ΔΔHEF DCE ∴∽，【小问2详解】如图2，作FH A D ⊥''于H ，作CD A D ⊥''于D ，1DD ∴'=，由（1）得：ΔΔEGA FGB '≅，∴设EA BF x '==，6ED x ∴'=-，(6)(16)21EH DH DE CF DE x x x ∴=-=-=+-+-=-，由（1）知：ΔΔCDE EHF ∽，∴DE CD FH EH =，∴74421x x -=-，15414x ∴=，154A E ∴'=；【小问3详解】如图3，作FR AD ⊥于R ，HQ AD ⊥于Q ，设DE a =，则6AE a =-，G 是EF 的中点，H 是DF 的中点，GH ∴是FDQ D 的中位线，1122GH DE a ∴==，由（1）可得，44a RE=，16RE a∴=，EF ∴==1122EG EF ∴==16DR DE ER a a =+=+ ，1116()22DQ DR a a ∴==⋅+，116116()()22EQ DE DQ a a a a a ∴=-=-⋅+=-，2222116[(42EH EQ QH a a∴=+=⋅-+，当EG GH =时，221161[16()]44a a +=，28a ∴=+或28a =-（舍去），当EG EH =时，22116116[16(](444a a a+=-+，232a ∴=，当GH EH =时，221116(444a a a=-+，216a ∴=，综上所述：28DE =+或32或16．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和分类，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是较强的计算能力以及作辅助线，构造相似三角形．。