理解三角函数
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“诱导公式”的重要性在那里？
• 诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称 性、变换中的不变性，几何意义是圆的对称性 （这是圆的最重要的性质）。 k • 所有变换 (k=0，±1，±2……)都
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可以由 T1 :
2
和 T 2 : 生成。
• 变换是整个数学的核心概念之一。
cos(
2
) sin , sin(
2
) cos .
cos( ) cos , sin( ) sin .
• 由此可导出所有“公式”，由变换导出的！
• “诱导公式”是圆的对称性的表现。
• 必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的 数学模型，这样才真正抓住了要领，才能 以简驭繁：只要让学生真正懂得两个变换 所表示的意义，再放手让他们逐步学着由 此推导出需用的公式，当然还要在理解的 基础上记住。
• 函数及其图象、函数的变换（映射）与坐 标系的变换及其关系、对称性与不变性等 等都是18-19世纪以后的新思想，而且是当 代的主流——我们应该教给学生先进的东 西。
从联系的观点、发展的眼光看
• 这样处理三角函数，可以充分利用单位圆， 发挥向量的作用，并充分体现了变换的思 想、对称性思想、不变性思想，使三角函 数简单、好懂、有用、好用。
匀速旋转的研究内容
• 首先是角，θ=ωt+θ0，θ0是角的初始位置。 这不仅有数学意义，更重要的是有物理意 义。
• 研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化， 即是研究x和y作为θ的函数——这是为什么要 采用“单位圆定义法”的理由，“正弦函数和 余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘”。 • 更重要的，在这一定义下，三角函数的性质都 是定义的推论。 • 三角恒等变换可以进一步简化——已没有太大 用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应 付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微 积分的方法可以轻易完成（有人认为是“培养 能力”）。
三角函数中需要加强的内容
• 三角函数与振动和波动现象的关系越来越 成为人们关注的焦点。人类从自然界和社 会生活中得到的关于振动和波动的信息越 来越多，如三相交流电，某地日出时间在 一年中的变化，各种乐器发出的声音，各 种各样的无线电波、雷达、电视，地震波， 甚至物种种群大小的周期变化，都被归结 为Asin(ωt+θ)（或Acos(ωt+θ) ）——变换的 角度。
x • T1： , y x , y ，则 x y , y x ；（画 个图就可以明白它是正确的，证明可以用向量 法：经过T1 ，i j，j －i，所以向量xi+yj 变为xj－yi=－yi+xj。） • T2 ： x , y x , y ，则 x x , y y 。 • 上述结果用三角函数表示就是：
• “向量就是复数，复数就是向量”： • 把z=x+yi作为单位圆上点P(x，y)的复数坐 标，则z=cosθ+isinθ。 • 令z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，就有 z1z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) =cos(α+β)+isin(α+β)。
结束语
• 重要的是三角函数的图象与性质的教学， 应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、 单调性、周期性，解释诱导公式（简化公 式）的几何意义——诱导公式就是图像的 平移、轴对称的解析表示——变换的角度。
• 由于平移 2 后正弦曲线与余弦曲线完全重 合，所以正弦函数、余弦函数实际上是一 回事，用物理的知识解释，就是它们仅在 位相上相差了 ——变换的角度。
强调单位圆作用的根本理由
• 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运 动的本质表现。 • 匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是 重大问题，三角学源自天文学。
• 角是“转”出来的：平面有向线段绕起点 （原点）在此平面内旋转就得到一个角。 “旋转”就有始边、终边之分，由转的大 小和方向决定。 • 有向线段的长度对角的性质无影响，所以 只讨论单位有向线段旋转所成的角。把它 的起点置于（0，0），终点是（x，y ）， x2 +y2 =1。于是，角就是单位圆上的点（x， y）在其圆周上旋转所成的，称为任意角。 • 任意角不仅是可取任意值的角，还有其他 丰富内容，主要是有方向。
• 要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆 公式!
教诱导公式的三个要点： • 依据——三角函数的定义； • 思想方法——变换（旋转、对称）； • 工具——单位圆。
如何认识“和（差）角公式”
• 归根到底是圆对称性的解析表示：“诱导 公式”解决了旋转一直角的问题，这里要 解决旋转任意角的问题。
更上位地看
把数学教得更本质更简单
——以三角函数的教学为例
一、三角函数定位的变化
• 强调“函数的角度”，强调刻画周期现象 的数学模型。 • 三角函数与其它学科的联系与结合非常重 要。最重要的是它与振动和波动的联系， “可以说，它几乎是全部高科技的基础之 一”，这是当前数学教学的薄弱环节。
• 强调发挥单位圆的作用，强调利用向量方 法，淡化三角恒等变换的技巧性内容。 • 三角函数16课时，三角恒等变换8课时，解 三角形8课时。 • 思考：三角函数与其它函数的不同点到底 在哪里？为什么要强调单位圆的作用？
• 改变习惯很难，但必须要改，否则跟不上 发展的要求； • 更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基 础； • “教什么”是数学教学的首要问题； • 在透彻了解内容本质的基础上，再用学生 能理解的方式呈现出来。
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敬请批评指正 谢谢
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“诱导公式”的重要性在那里？
• 诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称 性、变换中的不变性，几何意义是圆的对称性 （这是圆的最重要的性质）。 k • 所有变换 (k=0，±1，±2……)都
2
可以由 T1 :
2
和 T 2 : 生成。
• 变换是整个数学的核心概念之一。
cos(
2
) sin , sin(
2
) cos .
cos( ) cos , sin( ) sin .
• 由此可导出所有“公式”，由变换导出的！
• “诱导公式”是圆的对称性的表现。
• 必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的 数学模型，这样才真正抓住了要领，才能 以简驭繁：只要让学生真正懂得两个变换 所表示的意义，再放手让他们逐步学着由 此推导出需用的公式，当然还要在理解的 基础上记住。
• 函数及其图象、函数的变换（映射）与坐 标系的变换及其关系、对称性与不变性等 等都是18-19世纪以后的新思想，而且是当 代的主流——我们应该教给学生先进的东 西。
从联系的观点、发展的眼光看
• 这样处理三角函数，可以充分利用单位圆， 发挥向量的作用，并充分体现了变换的思 想、对称性思想、不变性思想，使三角函 数简单、好懂、有用、好用。
匀速旋转的研究内容
• 首先是角，θ=ωt+θ0，θ0是角的初始位置。 这不仅有数学意义，更重要的是有物理意 义。
• 研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化， 即是研究x和y作为θ的函数——这是为什么要 采用“单位圆定义法”的理由，“正弦函数和 余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘”。 • 更重要的，在这一定义下，三角函数的性质都 是定义的推论。 • 三角恒等变换可以进一步简化——已没有太大 用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应 付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微 积分的方法可以轻易完成（有人认为是“培养 能力”）。
三角函数中需要加强的内容
• 三角函数与振动和波动现象的关系越来越 成为人们关注的焦点。人类从自然界和社 会生活中得到的关于振动和波动的信息越 来越多，如三相交流电，某地日出时间在 一年中的变化，各种乐器发出的声音，各 种各样的无线电波、雷达、电视，地震波， 甚至物种种群大小的周期变化，都被归结 为Asin(ωt+θ)（或Acos(ωt+θ) ）——变换的 角度。
x • T1： , y x , y ，则 x y , y x ；（画 个图就可以明白它是正确的，证明可以用向量 法：经过T1 ，i j，j －i，所以向量xi+yj 变为xj－yi=－yi+xj。） • T2 ： x , y x , y ，则 x x , y y 。 • 上述结果用三角函数表示就是：
• “向量就是复数，复数就是向量”： • 把z=x+yi作为单位圆上点P(x，y)的复数坐 标，则z=cosθ+isinθ。 • 令z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，就有 z1z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) =cos(α+β)+isin(α+β)。
结束语
• 重要的是三角函数的图象与性质的教学， 应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、 单调性、周期性，解释诱导公式（简化公 式）的几何意义——诱导公式就是图像的 平移、轴对称的解析表示——变换的角度。
• 由于平移 2 后正弦曲线与余弦曲线完全重 合，所以正弦函数、余弦函数实际上是一 回事，用物理的知识解释，就是它们仅在 位相上相差了 ——变换的角度。
强调单位圆作用的根本理由
• 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运 动的本质表现。 • 匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是 重大问题，三角学源自天文学。
• 角是“转”出来的：平面有向线段绕起点 （原点）在此平面内旋转就得到一个角。 “旋转”就有始边、终边之分，由转的大 小和方向决定。 • 有向线段的长度对角的性质无影响，所以 只讨论单位有向线段旋转所成的角。把它 的起点置于（0，0），终点是（x，y ）， x2 +y2 =1。于是，角就是单位圆上的点（x， y）在其圆周上旋转所成的，称为任意角。 • 任意角不仅是可取任意值的角，还有其他 丰富内容，主要是有方向。
• 要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆 公式!
教诱导公式的三个要点： • 依据——三角函数的定义； • 思想方法——变换（旋转、对称）； • 工具——单位圆。
如何认识“和（差）角公式”
• 归根到底是圆对称性的解析表示：“诱导 公式”解决了旋转一直角的问题，这里要 解决旋转任意角的问题。
更上位地看
把数学教得更本质更简单
——以三角函数的教学为例
一、三角函数定位的变化
• 强调“函数的角度”，强调刻画周期现象 的数学模型。 • 三角函数与其它学科的联系与结合非常重 要。最重要的是它与振动和波动的联系， “可以说，它几乎是全部高科技的基础之 一”，这是当前数学教学的薄弱环节。
• 强调发挥单位圆的作用，强调利用向量方 法，淡化三角恒等变换的技巧性内容。 • 三角函数16课时，三角恒等变换8课时，解 三角形8课时。 • 思考：三角函数与其它函数的不同点到底 在哪里？为什么要强调单位圆的作用？
• 改变习惯很难，但必须要改，否则跟不上 发展的要求； • 更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基 础； • “教什么”是数学教学的首要问题； • 在透彻了解内容本质的基础上，再用学生 能理解的方式呈现出来。
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