组合数学PPT第一章排列与组合.

解 能整除n的正整数可以写为如下形式：
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
4 3 5 60
a1 a2 a3
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1.1 基本计数法则
例 1.9 求从 a,b,c,d,e 这 5个字母中取 6个所组成的字符 串个数。要求 (1)第 1 个和第 6个字符必为子音字符； (2) 每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
★〇〇〇★ 共有 (5 4) ( 20 19 18) P (5,2) P ( 20,3) 136800 种图案。
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1.3 排列
例1.14 A单位有7位代表，B单位有3位代表，排在 一列合影，要求 B 单位的人排在一起，问有多少 种不同的排列方案？ 解 B单位的某一排列作为一个元素参加单位 A进 行排列，可得 8! 种排列。 B单位的3人共有 3!个排列， 故共有 8!3! 排列方案。
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1.1 基本计数法则
例1.4 求长度为n的二元码的数目。 解 长度为n的二元码的形式为
a1a2 an , ai {0,1}, i 1, 2, , n
由乘法法则，长度为n的二元码的数目为
2 2 22 2n
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1.1 基本计数法则
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1.1基本计数法则

1.1 基本计数法则

加法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产 生方式。
例. 一位学生想选修一门数学课程或一门生物 课程。若有4门数学课程和3门生物课程，则该 学生有4+3=7种不同的选课方式。

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1.2 一一对应


定理（ Cayley ） n 个有标号的顶点的树的数目等 n 2 n 于 。 例1.12 给定下列树
3 7 6
2
1
5
源自文库
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可得序列: 3,1,5,5,1。反之从序列3,1,5,5,1也可以构 造出上述树。
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1.3 排列
定义：从n个不同的元素中，取出r个按次序排成 一列，称为从这 n个元素中取 r个的一个排列，其 排列数记为 P ( n, r ) . 由定义显然有 (1) P ( n, r ) 0, ( r n) (2) P ( n,1) n, ( n 1)

n! P ( n, r ) n( n 1)( n r 1) , 0! 1 ( n r )!
当r=n时有, P ( n, n) n ( n 1)2 1 n!
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1.3 排列
例 1.13 由 5 种颜色的星状物， 20 种不同的花排成 如下的图案：两边是星状物，中间是 3 朵花，问 共有多少种这样的图案？ 解 图案的形状为
例1.6 求布尔函数 f ( x1 , x2 , , xn )的数目。
解 自变量 ( x1 , x2 , , xn ) 可能取值的个数为 设取值为 a1， , a
2n
2
n
则n个变元的布尔函数有
a1 a
f
个。
2n
2 22
2n
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1.1 基本计数法则

例 1.8 n 7 3 112 134 ，求能整除n的正整数 的个数。

所求的字符串个数为：3 23 33 648 个。
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1.2 一一对应
例 设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个 方格叫做它的块。某甲从家中出发上班，向东要 走过m块，向北要走过n块，问某甲上班的路径有 多少条？ y 解 问题可划为求右图从点 (m,n) (0,0)到(m,n)的路径数: 每一条从点(0,0)到(m,n)的路径与 一个由m个x和n个y的排列相对应 x (0,0) 所求路径数为： C ( m n, m)
2 5 P (8,3) 3360 共有 4032 3360 7392 个。
第1章 排列与组合
组合数学

组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和 优化的一门学科。 应用领域: 计算机科学、概率论、社会科学、生 物科学、信息论等。 参考书：


1. R.A.Rrualdi. Introductory Combinatorics
组合数学 机械工业出版社
2. 孙淑玲 许胤龙. 组合数学引论 中国科学技术大 学出版社
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1.1基本计数法则

乘法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产 生方式。 例1.1 设一个符号由两个字符组成，第1个字符 由a,b,c,d,e组成，第2个字符由1,2,3组成，则由 乘法法则，该符号有5 3 15 种方式。

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1.1 基本计数法则
例 1.3 求比 10000 小的正整数中含有数字 1 的数的 个数。
解 比10000小的正整数可以写为
a1a2a3a4 , 0 ai 9
的形式。
共有104-1=9999个
其中不含1的正整数有 94-1=6560个
所求正整数的个数为 9999-6560=3439个。

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1.3 排列


例1.15 若例1.14中A单位的两人排在两端，B单位 的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？ 解 共有 7!(6 5 4) 604800 种方案。
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1.3 排列
例1.16 求20000到70000之间的偶数中由不同的数 字所组成的5位数的个数。 解 设所求的数的形式为 abcde 其中 2 a 6, e {0,2,4,6,8} (1)若 a {2, 4, 6 } ，这时e有4种选择，有 3 4 P (8,3) 4032 (2)若 a {3,5} ，这时e有5种选择，有