材料物理导论答案

= ih ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ 2m
=
ih 2m
ir
(−2ikr ) r3
=
hk mr 2
i r
16. 一粒子在一维势阱中运动，势阱为
U (x)
=
⎪⎧U ⎨
o
> 0,
x
>
a
求束缚态(0
<
E
<
U0)的能级所满足的方程。
⎪⎩0, x ≤ a
解：粒子满足波函数：
⎧ ⎪− ⎪
h2 2m
d
2ϕ1 (x0 dx 2
抗张强度：为强化阶段曲线最高点：σ b ＝1690×10-4 Pa
13. 氦原子的动能是 E= 3 kT(式中波尔兹曼常数 k=1.38x10-23 J/K)，求 T = 1 K 时氦原子的 2
物质波的波长。
解：根据⎪⎨⎧E
=
3 2
kT
=
1 2
mv 2
⎪⎩P = mv = h / λ
⇒λ =h/P= h = 3mkT
解：
∆l
= ε ⋅ l0
=σ E
⋅ l0
=
F ⋅l0 A0 ⋅ E
=
1000 × 40
1×10 ×10−4 × 3.5 ×109
= 0.0114(cm)
3. 一材料在室温时的杨氏模量为 3.5×108 N/m2,泊松比为 0.35，计算其剪切模量和体积模
量。
解：根据 E = 2G(1 + µ) = 3B(1 − 2µ) 可知： 剪切模量G = E = 3.5 ×108 = 1.3 ×108 (Pa) ≈ 130(MPa) 2(1 + µ) 2(1 + 0.35)
拉伸前 1227.2
2.5
4.909
拉伸后 1227.2
2.4
4.524
真应力σ T
=
F A
=
4500 4.524 ×10−6
= 995(MPa)
真应变ε T
= ln l1 l0
= ln
A0 A
2.52 = ln
2.4 2
= 0.0816
名义应力σ = F = 4500 = 917(MPa)
A0 4.909 ×10−6
7. 试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率
谱。
解：（详见书本）。
8. 一试样受到拉应力为 1.0×103 N/m2,10 秒种后试样长度为原始长度的 1.15 倍,移去外力
后试样的长度为原始长度的 1.10 倍,若可用单一 Maxwell 模型来描述,求其松弛时间τ
)
又有f
=
fg
+ B f (T
− Tg ) ⇒
f g +50
=
fg
+ 50B f
= 101.6 51.6
fg
∴以Tg
+
50°C为参考时有
⎪⎪⎧C1 ⎨
⎪⎪⎩C2
17.44
=
= 8.86
101.6 / 51.6
= 101.6 × 51.6 = 101.6 51.6
F
11. 一圆柱形 Al2O3晶体受轴向拉力 F，若其临界抗剪强度τf 为 135
体积模量B = E = 3.5 ×108 = 3.9 ×108 (Pa) ≈ 390(MPa) 3(1 − 2µ) 3(1 − 0.7)
4. 试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。
∫ ∫ ∫ 证： 面积S = ε2 σdε = l2 F dl = 1 l2 Fdl = 1 W ,亦即S ∝ W .
此拉力下的法向应力为 ：σ
=
3.17 ×103 × cos 60° 0.00152π / cos 60°
Ф3mm
= 1.12 ×108 (Pa) = 112(MPa)
12. 拉伸某试样得到如下表的数据,试作σ − ε 曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时
的伸长率以及抗张强度。
ε × 103
5
10 20 30
ε1
l1 A l V l1
V
或者：
∫ ∫ ∫ 做功W = l2 Fdl = ε2 Aσldε = V ε2 σdε = VS, 亦即W ∝ S.
l1
ε1
ε1
5. 一陶瓷含体积百分比为 95%的 Al2O3 (E = 380 GPa)和 5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算 其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有 5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。
40
50 60
σ × 104 Pa 250 500 950 1250 1470 1565 1690
ε × 103
70 80 90 100
120
150
σ ×10 4 Pa 1660 1500 1400 1380 1380(断)
σ∗104 Pa
1800 1600
1530
1400 1200 1000
800 600 400 200
2m 2
2mE 2E / mω 2
∴ 根据Sommerfeld量子化条件有：
∫ Pxd x = π
∫ 2mE ⋅ 2E / mω 2 = 2Eπ
ω
= nh（这时
Px dx相当于椭圆的面积）
⇒ E = nhω (n = 1,2,3,LL)
( ) 15. 波函数的几率流密度 J = ih ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ，取球面坐标时，算符 2m
η3
0.01 e10−∞
)
/100
=
E2,ε2
0.03
⎪ε ⎪
2
=
0.05 − 0.03 − 0.01 =
0.01
⎩
E1,ε1
η2,ε
2
η3,ε
3
⇒
⎧ ⎪⎪E1 ⎨ ⎪⎪⎩η3
= =
1.0 ×10 4 = 1.0 ×10 6 (Pa) 0.01
1.0 ×10 4 × 36000 = 1.2 ×1010 0.03
第一章 材料的力学
1. 一圆杆的直径为 2.5 mm、长度为 25cm 并受到 4500N 的轴向拉力，若直径拉细至 2.4mm，
且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，
并比较讨论这些计算结果。
解：根据题意可得下表
拉伸前后圆杆相关参数表
体积 V/mm3 直径 d/mm 圆面积 S/mm2
名义应变ε = ∆l = A0 −1 = 0.0851
l0 A
由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。
2. 一试样长 40cm,宽 10cm,厚 1cm，受到应力为 1000N 拉力，其杨氏模量为 3.5×109 N/m2，
能伸长多少厘米? Load 10cm
40cm
1cm Load
0 0.2% 20
σb
48
40
60
80
ε∗103
100
120
扬氏模量 E = σ ,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出:E=500 Pa。 ε
屈服应力：由于无明显的屈服点，则取应变为 0.2％时说对应的 σ p0.2 为名义屈服应力点，
作图可得：屈服应力 1530×10-4 Pa，伸长率为 48×10-3。
−
0.03)
10 exp(
−
t
)
+
0.03,
得出τ＝3600s，（与ε＝（3＋e10−t
)
/
100相比）
τ
∴
ε
2＝1.0E×210
4
（1－e
−10
)
=
0.01,∴ E2
= 1.0 ×106 Pa,η2
=
E2τ
=
3.6 ×109 Pa ⋅ s
10. 当取 Tg 为参考温度时 logαT
=
− c2
c1 +
h2
h2
⎧d ⎪
⎪
2ϕ1 (x0 dx 2
)
−
α
2ϕ1 (x)
=
解：令 E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有
上限弹性模量EH = E1V1 + E2V2 = 380 × 0.95 + 84 × 0.05 = 365.2(GPa)
下限弹性模量EL
=
( V1 E1
+
V2 )−1 E2
=
0.95 (
380
+
0.05 )
−1
84
=
323.1(GPa)
9. 一非晶高聚物的蠕变行为可用一个 Maxwell 模型和一个 Voigt 模型串联描述，若 t=0 时
施以拉伸应力为 1.0×104 N/m2 至 10 小时,应变为 0.05,移去应力后的回复应变可描述为
ε = (3 + e10−t ) / 100 ,t 为小时，请估算该力学模型的四个参数值。
(T (T
− Ts − Ts
) )
中的
C1=17.44,C2=51.6，求以
Tg+50℃为
参考温度时 WLF 方程中的常数 C1 和 C2。
解：⎪⎧C1
Q
⎪ ⎨
⎪⎪⎩C2
= =
B 2.303 fg = Bf
= 17.44(B是常数， fg 51.6(B f 是自由体积在
f g是Tg时的自由体积百分数 Tg以上的热膨胀系数 )
值。
解：根据
Maxwell
⎧ 模型有： ⎪
⎪⎩⎨ε
=
σ ε1
= σ1 +ε2
=σ2 =σ +
E
σ η
t
可恢复 不可恢复
依题意得：
⎧ ⎪
E= σ
1.0 ×103 =
= 2 ×104 (Pa)
⎪ ⎨ ⎪⎪⎩η
=
σt ε2
ε1 0.05 1.0 ×103 ×10
= 0.1
= 1×105 (Pa ⋅ s)
所以松弛时间τ=η/E=1.0×105/2×104=5(s).
(U 0
− E)2m h2
ϕ1(x)
=
0KKKKKK x
<
−a
⎪d ⎨ ⎪
2ϕ 2 ( x0 ) dx 2
+
E 2m h2
ϕ2 (x)
=
0KKKKKKKKK
−
a
<
x
<
a
⎪d ⎪ ⎩
2ϕ 3 ( x0 ) dx 2
−
(U 0
− E)2m h2
ϕ3 (x)
=
0KKKKKK
x
>
a
令 (U 0 − E )2m ＝ α 2、E 2m ＝ β 2
其应力松弛曲线方程为：σ (t) = σ (0)e-t/τ 则有：σ (0) = σ (0);σ (∞) = 0;σ (τ ) = σ (0) / e.
Voigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：
其蠕变曲线方程为：ε (t) = σ 0 (1 − e−t /τ ) = ε (∞)(1 − e−t /τ ) E
(Pa
⋅
s)
Voigt 的回复方程为：ε (t) = ε 0 exp(−t /τ ) ，这里 t 为从回复时算起，而题目的 t 为从开始
10 − t 拉伸时算起，所以此题的回复方程为： ε (t) = ε 0 exp( τ )
排除立即恢复后的应变，应变的回复方程就可写成
ε (t)
=
(0.05
−
0.01
解：据题即求如图 E1,E2,η2 和η3 四参数。如图所示有
ε
= ε1
+ε2
+ε3
=
σ0 E1
+
σ0 E2
(1 − e−t /τ
)+
σ0 η3
t
其中ε1 立即回复，ε2 逐渐回复，ε3 不能回复。
⇒
⎪⎧ε1 ⎪ ⎪ ⎨ε 3 ⎪
= =
σ0 E1
σ0 η3
= 0.05 − (3 + e10−10 ) /100 = t = 1.0 ×104 ⋅ 36000 = (3 +
6.6 ×10−34
= 1.26 ×10−9 (m) = 12.6(nm)
3×
4 ×10−3 6.02 ×1023
× 1.38 × 10− 23
×1
14. 利用 Sommerfeld 的量子化条件，求一维谐振子的能量。 解：
Q 一维谐振子的能量 E = P 2 + 1 mω 2 x 2 ⇒ P 2 + x 2 = 1相当于一个椭圆
MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小
τ 53
拉力值，并求滑移面的法向应力。
N
60°
解：由题意得图示方向滑移 系统的剪切强度可表示 为：
F cos 53° τ = 0.00152π × cos 60°
⇒
Fmin
=
τ f × 0.00152π cos 53°× cos 60°
= 3.17 ×103 (N )
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当该陶瓷含有 5%的气孔时，将 P=0.05 代入经验计算公式 E=E0(1-1.9P+0.9P2)可得，其
上、下限弹性模量分别变为 331.3 GPa 和 293.1 GPa。
6. 试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出 t = 0,t = ∞ 和 t = τ
时的纵坐标表达式。 解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程：
)
=
(E
−U0
)ϕ1(x)KKKKKK x
<
−a
⎪ ⎨− ⎪
h2 2m
d
2ϕ2 (x0 ) dx 2
=
Eϕ2 (x)KKKKKKKKK −
a
<
x
<
a
⎪ ⎪− ⎩
h2 2m
d
2ϕ3 (x0 ) dx 2
=
(E
− U 0 )ϕ3 (x)KKKKKK x
>
a
即：
⎧d ⎪
⎪
2ϕ1 ( x0 ) dx 2
−
∇
=
i r
∂ ∂r
+
j θ
1 r
∂ ∂θ
+
k ϕ
1 r sinθ
∂ ∂ϕ
，求定态波函数ψ
=
1 eikr 的几率流密度。 r
解：
Qψ = 1 eikr ,ψ * = 1 e−ikr
r
r
且∇ψ
= ir
ikr − 1 ⋅ eikr , ∇ψ * r2
= ir
− ikr − 1 ⋅ e−ikr r2
( ) ∴J
则有：ε (0) = 0；ε (∞) = σ 0 ；ε (τ ) = σ 0 (1 − e−1 ).
E
E
1.0
1.0
0.8
0.8
σ (t)/σ (0) ε (t)/ε (∞)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5 t/τ
0.0
0
1
2
3
4
5 t/τ
以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用 到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高 聚物的蠕变过程等。