材料物理导论答案

= ih ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ 2m
=
ih 2m
ir
(−2ikr ) r3
=
hk mr 2
i r
16. 一粒子在一维势阱中运动，势阱为
U (x)
=
⎪⎧U ⎨
o
> 0,
x
>
a
求束缚态(0
<
E
<
U0)的能级所满足的方程。
⎪⎩0, x ≤ a
解：粒子满足波函数：
⎧ ⎪− ⎪
h2 2m
d
2ϕ1 (x0 dx 2
第一章 材料的力学
1. 一圆杆的直径为 2.5 mm、长度为 25cm 并受到 4500N 的轴向拉力，若直径拉细至 2.4mm，
且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，
并比较讨论这些计算结果。
解：根据题意可得下表
拉伸前后圆杆相关参数表
体积 V/mm3 直径 d/mm 圆面积 S/mm2
解：据题即求如图 E1,E2,η2 和η3 四参数。如图所示有
ε
= ε1
+ε2
+ε3
=
σ0 E1
+
σ0 E2
(1 − e−t /τ
)+
σ0 η3
t
其中ε1 立即回复，ε2 逐渐回复，ε3 不能回复。
⇒
⎪⎧ε1 ⎪ ⎪ ⎨ε 3 ⎪
= =
σ0 E1
σ0 η3
= 0.05 − (3 + e10−10 ) /100 = t = 1.0 ×104 ⋅ 36000 = (3 +
MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小
τ 53
拉力值，并求滑移面的法向应力。
N
60°
解：由题意得图示方向滑移 系统的剪切强度可表示 为：
F cos 53° τ = 0.00152π × cos 60°
⇒
Fmin
=
τ f × 0.00152π cos 53°× cos 60°
= 3.17 ×103 (N )
−
0.03)
10 exp(
−
t
)
+
0.03,
得出τ＝3600s，（与ε＝（3＋e10−t
)
/
100相比）
τ
∴
ε
2＝1.0E×210
4
（1－e
−10
)
=
0.01,∴ E2
= 1.0 ×6 ×109 Pa ⋅ s
10. 当取 Tg 为参考温度时 logαT
=
− c2
c1 +
此拉力下的法向应力为 ：σ
=
3.17 ×103 × cos 60° 0.00152π / cos 60°
Ф3mm
= 1.12 ×108 (Pa) = 112(MPa)
12. 拉伸某试样得到如下表的数据,试作σ − ε 曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时
的伸长率以及抗张强度。
ε × 103
5
10 20 30
40
50 60
σ × 104 Pa 250 500 950 1250 1470 1565 1690
ε × 103
70 80 90 100
120
150
σ ×10 4 Pa 1660 1500 1400 1380 1380(断)
σ∗104 Pa
1800 1600
1530
1400 1200 1000
800 600 400 200
解：令 E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有
上限弹性模量EH = E1V1 + E2V2 = 380 × 0.95 + 84 × 0.05 = 365.2(GPa)
下限弹性模量EL
=
( V1 E1
+
V2 )−1 E2
=
0.95 (
380
+
0.05 )
−1
84
=
323.1(GPa)
2m 2
2mE 2E / mω 2
∴ 根据Sommerfeld量子化条件有：
∫ Pxd x = π
∫ 2mE ⋅ 2E / mω 2 = 2Eπ
ω
= nh（这时
Px dx相当于椭圆的面积）
⇒ E = nhω (n = 1,2,3,LL)
( ) 15. 波函数的几率流密度 J = ih ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ，取球面坐标时，算符 2m
(T (T
− Ts − Ts
) )
中的
C1=17.44,C2=51.6，求以
Tg+50℃为
参考温度时 WLF 方程中的常数 C1 和 C2。
解：⎪⎧C1
Q
⎪ ⎨
⎪⎪⎩C2
= =
B 2.303 fg = Bf
= 17.44(B是常数， fg 51.6(B f 是自由体积在
f g是Tg时的自由体积百分数 Tg以上的热膨胀系数 )
抗张强度：为强化阶段曲线最高点：σ b ＝1690×10-4 Pa
13. 氦原子的动能是 E= 3 kT(式中波尔兹曼常数 k=1.38x10-23 J/K)，求 T = 1 K 时氦原子的 2
物质波的波长。
解：根据⎪⎨⎧E
=
3 2
kT
=
1 2
mv 2
⎪⎩P = mv = h / λ
⇒λ =h/P= h = 3mkT
ε1
l1 A l V l1
V
或者：
∫ ∫ ∫ 做功W = l2 Fdl = ε2 Aσldε = V ε2 σdε = VS, 亦即W ∝ S.
l1
ε1
ε1
5. 一陶瓷含体积百分比为 95%的 Al2O3 (E = 380 GPa)和 5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算 其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有 5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。
体积模量B = E = 3.5 ×108 = 3.9 ×108 (Pa) ≈ 390(MPa) 3(1 − 2µ) 3(1 − 0.7)
4. 试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。
∫ ∫ ∫ 证： 面积S = ε2 σdε = l2 F dl = 1 l2 Fdl = 1 W ,亦即S ∝ W .
0 0.2% 20
σb
48
40
60
80
ε∗103
100
120
扬氏模量 E = σ ,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出:E=500 Pa。 ε
屈服应力：由于无明显的屈服点，则取应变为 0.2％时说对应的 σ p0.2 为名义屈服应力点，
作图可得：屈服应力 1530×10-4 Pa，伸长率为 48×10-3。
)
=
(E
−U0
)ϕ1(x)KKKKKK x
<
−a
⎪ ⎨− ⎪
h2 2m
d
2ϕ2 (x0 ) dx 2
=
Eϕ2 (x)KKKKKKKKK −
a
<
x
<
a
⎪ ⎪− ⎩
h2 2m
d
2ϕ3 (x0 ) dx 2
=
(E
− U 0 )ϕ3 (x)KKKKKK x
>
a
即：
⎧d ⎪
⎪
2ϕ1 ( x0 ) dx 2
−
)
又有f
=
fg
+ B f (T
− Tg ) ⇒
f g +50
=
fg
+ 50B f
= 101.6 51.6
fg
∴以Tg
+
50°C为参考时有
⎪⎪⎧C1 ⎨
⎪⎪⎩C2
17.44
=
= 8.86
101.6 / 51.6
= 101.6 × 51.6 = 101.6 51.6
F
11. 一圆柱形 Al2O3晶体受轴向拉力 F，若其临界抗剪强度τf 为 135
h2
h2
⎧d ⎪
⎪
2ϕ1 (x0 dx 2
)
−
α
2ϕ1 (x)
=
当该陶瓷含有 5%的气孔时，将 P=0.05 代入经验计算公式 E=E0(1-1.9P+0.9P2)可得，其
上、下限弹性模量分别变为 331.3 GPa 和 293.1 GPa。
6. 试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出 t = 0,t = ∞ 和 t = τ
时的纵坐标表达式。 解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程：
解：
∆l
= ε ⋅ l0
=σ E
⋅ l0
=
F ⋅l0 A0 ⋅ E
=
1000 × 40
1×10 ×10−4 × 3.5 ×109
= 0.0114(cm)
3. 一材料在室温时的杨氏模量为 3.5×108 N/m2,泊松比为 0.35，计算其剪切模量和体积模
量。
解：根据 E = 2G(1 + µ) = 3B(1 − 2µ) 可知： 剪切模量G = E = 3.5 ×108 = 1.3 ×108 (Pa) ≈ 130(MPa) 2(1 + µ) 2(1 + 0.35)
其应力松弛曲线方程为：σ (t) = σ (0)e-t/τ 则有：σ (0) = σ (0);σ (∞) = 0;σ (τ ) = σ (0) / e.
Voigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：
其蠕变曲线方程为：ε (t) = σ 0 (1 − e−t /τ ) = ε (∞)(1 − e−t /τ ) E