幂函数与二次函数 PPT

等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点,常以
选择、填空题的形式出现,考查求解一元二次不等式、一元二
次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题,同时考查函
数与方程、数形结合、转化与化归思想.
【典例3】(1)(2014·珠海模拟)若当x∈(1,2)时,不等式
x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围为
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,3]
D.[3,+∞)
【解析】选B.当0≤x≤2时,函数t=g(x)=6-ax单调递减,所以要
使函数f(x)为减函数,所以函数y=logat为增函数,所以有a>1且 g(2)=6-2a>0,即1<a<3,所以a的取值范围是(1,3).
3.(2014·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若
2.二次函数单调性有关问题的求解策略 根据二次函数的单调性,结合二次函数图象的开口方向及升、降 情况对对称轴进行分析、讨论,进而求解.
【加固训练】
1.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为
.
【解析】当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,
由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1, 解之得1<a<8 ,
3
若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)>1, 且8-2a>0,所以a>4,且a<4,故不存在. 综上可知,实数a的取值范围是 ( 1 ，.8 )
所以6a+3=1,即a=1 - 满足题意；
3
②当 2a 1,即 1a<-
2
时，1
2
f(x)max=f(-1)=-2a-1,
所以-2a-1=1,即a=-1满足题意.
综上可知a=- 1 或-1.
3
考点3 利用二次函数的图象与性质求解一元二次 方程、不等式问题
高频考点 通关
【考情】二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不
4
2，则有：
y1 y2
1 2a
log 1 2
2
3 a2 0,
43解a 2得 0,
4
2 3
a
2,
a
23 3
,
即 2 <3 a≤2,所以实数a的取值范围是(
3
答案：( 2 ，3 2]
3
，2 23 ].
3
2.(2014·成都模拟)函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数, 则a的取值范围是( )
所以 a(1)23 b因为(1)y23， = 是减函( 1 数) x ，
2
5
2
所以 a(1)23 c所(以1)b13,<a<c.
2
2
(2)因为f(x)在(0,+∞)上是减函数，
所以m2-2m-3<0,解之得-1<m<3.
又m∈N*，所以m=1或m=2.
由于f(x)的图象关于y轴对称.所以m2-2m-3为偶数，
1
1
x2
x2
考点2 利用二次函数的图象与性质求解二次函数问题 【典例2】(1)(2013·浙江高考)已知a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
又当m=2时，m2-2m-3为奇数，所以m=2舍去，因此m=1. 又y=x12 在[0,+∞)上为增函数， 所以(a+1)12 <(3-2a)12 等价于0≤a+1<3-2a, 解之得-1≤a< 2 ,
3
故实数a的取值范围是{a|-1≤a< 2 }.
3
2.幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征:
1 2
,y=x-1的图象与性质:
R
R
R
R {y|y≥0} R
奇函数 偶函数 奇函数
(-∞,
0)
R
(0,
增
+∞)
1
x2
{x|x≥0} {y|y≥0}
非奇非 偶函数
(0,+∞)
{x|x≠0} {y|y≠0}
奇函数
(-∞,0) (0,+∞)
1
x2
(1,1)
2.二次函数 (1)解析式:
ax2+bx+c a(x-h)2+k
幂函数与二次函数
(2)根据题意，作出函数y=f(x)+ 3 a 2
4
的图象，
发现：当x>1时，函数的图象是由y=
log1 x
3 a2
2
4
得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x≤1时
的图象是抛物线的一部分，各段图象如图，
若方程f(x)=- 3 a有2 且仅有两个不等实根，且较大实根大于
2
52
则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c
(2)已知幂函数f(x)= xm22m3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且 在(0，+∞)上是减函数，求满足(a+1)m2 <(3-2a)m2 的实数a的取 值范围.
2
【规范解答】(1)选D.因为y= x 3在第一象限内是增函数，
【解析】(1)当a=2时源自文库f(x)=x2+3x-3
(x3)2又x21∈, ［-2,3］，
24
所以 fx f(3)21,
min
24
f(x)max=f(3)=15,所以值域为[
21 4
,1
5].
(2)对称轴为 x 2a 1.
2
①当 2 a ≤ 11,即a≥- 时，1
2
2
f(x)max=f(3)=6a+3,
3
答案: ( 1 ， 8 )
3
第六节 幂函数与二次函数
1
1
x
x2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
【知识梳理】
1.幂函数
(1)定义:形如_y_=_x_α_(α∈R)的函数叫幂函数,其中x是_自__变__量__,
α是常数.
(2)幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= x
a(x-x1)(x-x2)
(h,k)
(2)图象与性质:
[ 4ac b2 ,) 4a
(, 4ac b2 ] 4a
(, b ] 2a
[ b ,) 2a
(, b ] 2a
[ b ,) 2a
b=0
x b 2a
考点1 幂函数及其图象与性质
【典例1】(1)(2014·许昌模拟)若 a(1)2 3， b(1)2 3,c(1)1 3，
.
(2)(2014·合肥模拟)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).