层次分析法简单介绍

max 3.037, CI 0.0185, RI 0.58, CR 0.032 0.1
（4）构造判断矩阵B3-C
B3 C1 C2 C3 C4 W
C1
C2 C3 C4
1
1 1/3 1/3
1
1 1/3 1/3
3
3 1 1
3
3 1 1
0.406
0.406 0.094 0.094
max 4, CI 0, RI 0.9, CR 0 0.1
层次总排序的一致性检验
3
CI b j CI j 0.105 0.032 0.637 0.0185 0.258 0 0.015
j 1
RI b j RI j 0.1051.12 0.637 0.58 0.258 0.90 0.719
j 1
3
CI 0.015 CR 0.021 0.1 RI 0.719
图1
投资--层次分析模型
目标：
准则：
投资
风险程度
资金利润率
转产难易程度
方案：
家用电器
紧俏产品
传统产品
层次分析法的判断矩阵
判断矩阵的给定原则： • 比较n个因数对目标A的影响，从 而确定他们在A中所占的比重； • 每次选取两个因素比较其对目标 A的影响权重； 判断矩阵元素的表示：
判断矩阵A：
bij yi / y j , B (bij ) nn
（4）层次总排序A-C
层次B 层次C C1 C2 C3 C4 C5
B1
0.105 0.435 0.268 0.088 0.147 0.062
B2
0.637 0 0 0.637 0.105 0.258
B3
0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0
层次C 总排序权值
0.150 0.133 0.439 0.107 0.171
d) 计算 max
1 n (Aw)i ,最大特征值的近似值。 n i 1 wi
i 1
2 6 1 列向量 A 1 / 2 1 4 归一化 1 / 6 1 / 4 1
0.6 0.615 0.545 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
满足一致性检验。
最终综合决策
对于该公司合理利用留成利润，使公司取得更 大发展的方向，对所考虑的5个方案，经分析 计算得到优劣排序为：
• C3——办业余技校方案，权值为0.439 • C5——引进新设备方案，权值为0.171
• C1——发奖金方案，权值为0.150
• C2——扩建集体福利设施方案，权值为0.133 • C4——建图书馆、俱乐部方案，权值为0.107
层次分析法综合评价
Analytic Hierarchy Process
什么是层次分析法？
层次分析法
The analytic hierarchy process(AHP)
• 在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯· 塞蒂 （T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合 的、系统化、层次化的分析方法。 • 应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为 科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和 环境等领域。
0.587 0.324 w 0.089
层次总排序
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为 层次总排序。对于最高层而言，其层次单排序的结果也就是总排 序的结果。 从最高层到最低层逐层进行。设: A层m个因素 A1 , A2 ,, Am ,
B层的层次 总排序
a b
j 1 j
ij
A B
A 1, A 2 ,, A m
a1 , a2 ,, am
B1 B2 Bn
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1m b2 m bnm
a b
j 1 m j 1 m j
m
j 1j
b1 b2 bn
a b a b
层次分析法过程
理论过程： • 根据问题的性质和要达到的 目标分解出问题的组成因素； • 按因素间的相互关系将因素 层次化，组成一个层次结构 模型，然后按层分析； • 获得最低层因素对于最高层 （总目标）的重要性权值 数学过程 • 建立层次结构模型 • 构造成对比较矩阵 • 计算单排序权向量并做一致 性检验 • 计算组合权向量并做组合一 致性检验。（即最下层对最 上层总排序的权向量）
平均随机一致性指标 RI
• Bij不按照顺序，而是随机抽 取，这样B最不一致； • 取充分大的子样得到最大特 征值得平均值；
• 当判断矩阵完全一致时，CI=O；
• 但是，用CI判断一致性，会随 影响问题的因素和规模的增加 而误差增大。
CI
max n
n 1
4
RI
max n
n 1
层次分析法的局限性
1.方案局限性
• 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新 方案。 2.精确性不高 • 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适 用于精度较高的问题。 3.主观性 • 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整 个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。
• 根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有 联系的因素的重要性次序的权数。； • 上述的排序可以归结为计算式(7)所示的判断矩阵的特征 值和特征向量的问题； • 对应于最大特征值的正规化特征向量，其对应的分量即 为对应元素的单排序权值。
B W maxW
7
和法求特征值和特征向量
层次结构的模型的建立
将复杂问题分解为被人们称之为元素的组成部分。
这些元素又按其属性分成若干组，形成不同层次。
同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素 起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
层次分析法的模型
层次分析法的模型
第一类
最高层，又称顶层、目标层
第二类
中间层，又称准则层
第三类
最底层，又称措施层、方案层
B1 1 5 3
B2 1/5 1 1/3
B3 1/3 3 1
W 0.105 0.637 0.258
max 3.038, CI 0.019, RI 0.58, CR 0.033 0.1
（2）构造判断矩阵B1-C B1 C1 C1 1 C2 2 C3 3 C4 4 C5 7 W 0.435
层次分析法的优点
1.系统性
• 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、 综合的思维方式进行决策 。 2.实用型 • 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统 量化技术技术手段无法处理的实际问题。 3.简洁性 • 层次分析法的基本原理和步骤简洁明了，计算也非常简便， 并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
注：
不同的人对不同企业中的不同情况，有不同的判 断。用不同的判断值，计算的排序结果也不一样。
所以应当请那些对所处理的问题和周围环境有专 门研究的人来作判断，才能得到合理的排序结果。
AHP分析法的步骤
明确问题 建立层次结构
构造判断矩阵
层次单排序
否 一致性？
是 层次总排序
否 一致性？ 是 终止
上述的分析过程可以作为层次分析法计算机程序的算法流程。
层次分析法的基本思想
寻求层次分析法的生活背景：
• 在生活中我们经常会遇到多指标、多方案的综合比较 问题, 从中作出选择或者比较；
• 两个方案比较容易判断其优劣；
• 多个方案比较难以综合得出孰优孰劣；
பைடு நூலகம்APH方法的基本思想：
• 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案的比较过渡 到两两方案之间的比较,从而解决多方案比较的问题。
• 正互反阵存在正实数的最大特征根， 这个特征根是单根，其余的特征根 的模均小于它，并且这个最大的特 征根有正的特征向量（特征向量的 每一分量皆为正）。
CI CR RI
• n阶正互反矩阵 B bij 是一致性的 mn 充分必要条件max n
6
层次排序
层次单排序
• 当判断矩阵满足一致性时，或者判断矩阵不一致程度可 接受时也可以允许特征向量作为权重向量；
j 1 j
2j
nj
案例：合理利用企业留成利润
合理利用企业留成利润A
B1:改善职工物质 文化生活状况
B2:提高企业的 技术水平
B3:调动职工生产 积极性
C1: 发奖金
C2:扩建 集体福 利设施
C3:办业 余学校
C4:建图 书馆、 俱乐部
C5:引 进新 设备
（1）构造判断矩阵A-B A B1 B2 B3
~ a / a a) 将A的每一列向量归一化得 w ij ij ij
b) 将归一化的各行相加( Aw )
n
~ w ~ w ij i
j 1
n
i 1
c)将行向量归一化
n T ~ / w ~ w (w1, w2 ,, wn ) wi w i i
T ~ ~ ~ ~ w (w1, w2 ,, wn )
1
b11 b12 b1n b b b 21 22 2 n B b b b nn n1 n 2
2
• 在影响目标A的因素yi、yj中， 用bij来表示yi与yj的比值目标A 的影响程度之比值。 • n个被比较的因素构成一个两 两比较（成对比较）的判断 矩阵B
强烈程度
yi相等于yj yi稍好于yj yi明显好于yj yi比yj好的多 yi极端好于yj
注意：
• 相邻等级的两个因素之间的判断值可以用2、4、6、8来表示。 • 这种给定的准则并不是固定不变的，可以不同的目标和不同的主体而 变化
一致性检验
如何判断一致性？
一致性指标CI：
• 用一致性指标判断不一致的程 度；
C2
C3
1/2
1/3
1
1/3
3
1
2
1/2
5
1
0.268
0.088
C4
C5
1/4
1/7
1/2
1/5
2
1
1
1/3
3
1
0.147
0.062
max 5.128, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.029 0.1
（3）构造判断矩阵B2-C
B2 C3 C4 C5 C3 1 1/5 1/3 C4 5 1 3 C5 3 1/3 1 W 0.637 0.105 0.258
1.760 归一化 行向量 0.972 求和 0.268
1.769 Aw 0.974 0.268 1 1.769 0.974 0.268 ( ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
判断矩阵具有的性质：
bij 0, b ji 1 , bii 1 aij (i , j 1, 2 , ... n)
3
我们把具有上述性质的矩阵 称为正互反矩阵。
判断矩阵中元素的给值准则
判断值
1 3 5 7 9
比较关系
yi=yj yi>=yj yi>>yj yi>>>yj yi>>>>yj
Z
A1 B1
A2
B2
对总目标Z的排序为

Am
a1, a2 ,, am
B层得n个因素对上层中因 素Aj的层次单排序为：
Bn
b1 j , b2 j ,, bnj
( j 1,2,, m)
B层的层次总排序为： 即 B层第i个因素对
总目标的权值为：
m
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2 m Bn : a1bn1 a2bn 2 ambnm
5
一致性检验
随机一致性比率CR：
• 当CR<0.1时，认为判断矩阵具 有满意的一致性；
• 否则就需要调整判断矩阵，使 之具有满意的一致性； • 调整后计算出的最大特征值所 对应的特征向量经过个化后才 可以作为层次单排序的权值。
关于正互反矩阵，根据 Perron-Frobenius定理有结论：