高中数学必修三课件1.3算法案例
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高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
回 第______步． 0
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
高中数学第一章算法初步132进位制课件新人教A版必修3
[典例] 若 10b1(2)＝a02(3)，求数字 a，b 的值以及与此两数 的等值十进制数．
[ 解] 把 10b1(2)化为十进制数：10b1(2)＝1×23＋0×22＋ b×21＋1×20＝2b＋9，把 a02(3)化为十进制数：a02(3)＝a×32＋ 0×31＋2×30＝9a＋2，所以 2b＋9＝9a＋2.由于在二进制中，b 的值只能为 0 或 1，当 b＝0 时，a＝79，舍去；当 b＝1 时，a＝ 1.所以 a＝b＝1，与此两数等值的十进制数为 11.
1，…，a1，a0∈N,0<an<k,0≤an－1，…，a1，a0<k)． (2)十进制化为 k 进制的方法—— 除 k 取余法．
[答一答] 1．进位制是如何表示数字的？ 提示：若一个数为十进制数，则其基数可以省略不写，若是 其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出， 常在数的右下角标明基数．
∴301(5)＝136(7)．
——本课须掌握的三大问题 1．要把 k 进制数化为十进制数，首先把 k 进制数表示成不 同位上数字与 k 的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计 算和． 2．十进制数化为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤：
3．把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这 个数化为十进制数，再利用“除 k 取余法”化为另一个非十进制 数．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
(2)312(4)化为十进制数后的个位数字是 4 . 解析：312(4)＝3×42＋1×41＋2×40＝54，个位数字是 4.
类型二 十进制数化 k 进制数
[例 2] (1)试把十进制数 136 转化为二进制数； (2)试把十进制数 1 234 转化为七进制数． [解] (1)由于 136＝2×68＋0， 68＝2×34＋0， 34＝2×17＋0， 17＝2×8＋1， 8＝2×4＋0， 4＝2×2＋0， 2＝2×1＋0，
人教版高中数学必修三第一章-算法初步第一节《算法的概念》教学课件3(共21张PPT)
趣味益智游戏
一人带着一只狼、一只羊和一箱蔬菜要过河,但只 有一条小船.乘船时，每次只能带狼、羊和蔬菜中的一 种.当有人在场时，狼、羊、蔬菜都相安无事.一旦人 不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,安全地将狼、 羊和蔬菜带过河.
过河游戏
如何发电子邮件？
假如你的朋友不会发电子邮件，你能教会他么？ 发邮件的方法很多，下面就是其中一种的操作步骤：
第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0， 所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式: “判断53是否质数”的算法如下：
第1步,用2除53得余数为1,余数不为0,所以2不能整除53;
第2步,用3除53得余数为2,余数不为0,所以3不能整除53;
……
第52步,用52除53得余数为1,余数不为0,故52不能整除53;
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) ·f(b)＜0．
第三步,
取中间点
m
a
2
b．
第四步, 若f(a) ·f(m) < 0,则含零点的区间为
［a,m］；否则，含零点的区间b］.
第五步,判断f(m)是否等于０或者［a,b］的长 度是否小于d，若是，则m是方程的近似解;否 则，返回第三步．
|a-b| 1
0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25
y=x2-2
1 1.25 1.5
1.375
2
于是，开区间（1.4140625,1.41796875）中 的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近 似解.
判断“整数n(n>2)是否是质数”的算法 自然语言描述
第一步 给定大于2的整数n. 第二步 令i=2. 第三步 用i除n，得到余数r. 第四步 判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质
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第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0， 所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式: “判断53是否质数”的算法如下：
第1步,用2除53得余数为1,余数不为0,所以2不能整除53;
第2步,用3除53得余数为2,余数不为0,所以3不能整除53;
……
第52步,用52除53得余数为1,余数不为0,故52不能整除53;
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) ·f(b)＜0．
第三步,
取中间点
m
a
2
b．
第四步, 若f(a) ·f(m) < 0,则含零点的区间为
［a,m］；否则，含零点的区间b］.
第五步,判断f(m)是否等于０或者［a,b］的长 度是否小于d，若是，则m是方程的近似解;否 则，返回第三步．
|a-b| 1
0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25
y=x2-2
1 1.25 1.5
1.375
2
于是，开区间（1.4140625,1.41796875）中 的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近 似解.
判断“整数n(n>2)是否是质数”的算法 自然语言描述
第一步 给定大于2的整数n. 第二步 令i=2. 第三步 用i除n，得到余数r. 第四步 判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质
【成才之路】高中数学 算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案课件 新人教A必修3
2022/1/152022/1/15
人 教 A 版 数 学
(2)辗转相除法的算法分析： 由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转相除法的基 本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值 语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变 量m表示，把较小的数用变量n表示，这样式子m＝n·q＋ r(0≤r<n)就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实 现算法．如图．
用更相减损术： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4.
[点评] (1)辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束 除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大 数减去小数的差等于小数时停止减法运算，较小的数就是 最大公约数．
二、解答题 5．写出从键盘任意输入两个正整数a，b，输出这两个 数的最小公倍数的算法，画出程序框图，写出算法语句．
[解析] 从键盘输入两数 a，b 后，先求两数的最大公 约数 k，再计算两数的最小公倍数 p＝ak·b，输出 p 即可．
程序框图如右图． 程序为： INPUT “正整数 a，b＝”；a，b
3．辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据，但 要注意运算过程的差别，辗转相除法的上一次运算的除数 和余数分别作为下一次运算的被除数和除数，其结果直至 余数为零得出．更相减损术在上一次运算结束后，比较减 数和差的大小，将大的作为下一次运算的被减数，小的作 为减数，直至出现相等数时得到结果．
由此可见，二者算法是相似的．主要区别在于，辗转 相除法进行的是除法运算，即辗转相除，更相减损术进行 的是减法运算，即辗转相减，但其实质都是一个不断的递 归过程．另外两者在算法设计上有一个重要的区别点，辗 转相除法，下一次进行相除时，由上一次的除数和余数直 接相除即可．而更相减损术下一次相减前必须有一个判断 大小的过程，以区别谁做被减数．这些内容都是应特别注 意的关键环节．
人 教 A 版 数 学
(2)辗转相除法的算法分析： 由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转相除法的基 本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值 语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变 量m表示，把较小的数用变量n表示，这样式子m＝n·q＋ r(0≤r<n)就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实 现算法．如图．
用更相减损术： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4.
[点评] (1)辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束 除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大 数减去小数的差等于小数时停止减法运算，较小的数就是 最大公约数．
二、解答题 5．写出从键盘任意输入两个正整数a，b，输出这两个 数的最小公倍数的算法，画出程序框图，写出算法语句．
[解析] 从键盘输入两数 a，b 后，先求两数的最大公 约数 k，再计算两数的最小公倍数 p＝ak·b，输出 p 即可．
程序框图如右图． 程序为： INPUT “正整数 a，b＝”；a，b
3．辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据，但 要注意运算过程的差别，辗转相除法的上一次运算的除数 和余数分别作为下一次运算的被除数和除数，其结果直至 余数为零得出．更相减损术在上一次运算结束后，比较减 数和差的大小，将大的作为下一次运算的被减数，小的作 为减数，直至出现相等数时得到结果．
由此可见，二者算法是相似的．主要区别在于，辗转 相除法进行的是除法运算，即辗转相除，更相减损术进行 的是减法运算，即辗转相减，但其实质都是一个不断的递 归过程．另外两者在算法设计上有一个重要的区别点，辗 转相除法，下一次进行相除时，由上一次的除数和余数直 接相除即可．而更相减损术下一次相减前必须有一个判断 大小的过程，以区别谁做被减数．这些内容都是应特别注 意的关键环节．
(人教a版)必修三同步课件：1.3算法案例
故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
要点三 进位制
例3 (1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．
(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．
解
(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋
1×21＋1＝115. (2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80 ＝104902.所以，化为十进制数是104902.
所以80与36的最大公约数为4.
要点二
例2
秦九韶算法
已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个
多项式当x＝5时的值．
解
将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－
0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4；
2．注意：当多项ห้องสมุดไป่ตู้中n次项不存在时，可将第n次项看作0· xn.
跟踪演练2
用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算 ( )
的次数分别为
A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5 答案 D
解析
n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进
行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，
v2x＋an－3
vn－1x＋a0 n个一次多项式
4．进位制
运算方便 进位制是人们为了_____和_________ k进一”就是k进制，k进 计数 而约定的记数系统，“满
制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
高中数学 132 进位制课件 新人教A版必修3
最大公约数是( )
A．57
B．3
C．19
D．34
[答案] C
第十一页，共69页。
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3 ＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3时的值时，令v0＝a6；v1＝v0x＋ a5；…；v6＝v5x＋a0时，v3的值为( )
A．－9.8205 B．14.25 C．－22.445 D．30.9785 [答案] C
24005(7)＝2×74＋4×73＋0×72＋0×71＋5＝2401， 故七进制数24005(7)化成十进制数为2401.
第三十六页，共69页。
把十进制数化为k进制数 学法指导 十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
第三十七页，共69页。
(1)把十进制数89化为二进制数． (2)将十进制数21化为五进制数．
[答案] 111111(2)
第四十九页，共69页。
[解析] 将题中四个数化为十进制数． 85(9)＝8×91＋6×90＝72＋6＝78； 211(6)＝2×62＋1×6＋1＝72＋7＝79； 1000(4)＝1×43＝64； 111111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63.
第五十页，共69页。
[破疑点] 教材中的算法案例进一步体现了编写程序的 基本过程：
①算法分析，将解决实际问题的过程以步骤的形式用文 字语言表述出来．
②画程序框图，把算法分析用程序框和流程线的形式表 达出来．
③编写程序，将程序框图转化为算法语句即程序．
第二十四页，共69页。
以下各数有可能是五进制数的是( ) A．15 B．106 C．731 D．21340 [答案] D
第七页，共69页。
2020版新素养同步人教A版高中数学必修三课件：1.3算法案例
“改写多项式，由内向外算，步步执行完”．其中“改写多 项式”是指将n次多项式改写为若干个一次多项式的复合形式； “由内向外算”是指先由v0计算最内层的括号内的值v1，再向外层 扩展计算v2，…；“步步执行完”是指要计算到vn.如果多项式有 空项，一定要补上系数为0的相应项．
第二十一页，编辑于星期日：一点 三十二分。
2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )
A．3
B．9
C．17
D．51
解析：利用辗转相除法，得
459＝357×1＋102， 357＝102×3＋51， 102＝51×2＋0， 所以459和357的最大公约数是51. 答案：D
第二十二页，编辑于星期日：一点 三十二分。
第二十五页，编辑于星期日：一点 三十二分。
【解析】 解法一 (辗转相除法)： 324＝243×1＋81,243＝81×3＋0， 所以324与243的最大公约数为81. 又135＝81×1＋54,81＝54×1＋27,54＝27×2＝0， 所以81与135的最大公约数为27. 所以三个数324,243,135的最大公约数为27. 解法二(更相减损术)： 324－243＝81,243－81＝162,162－81＝81， 所以324与243的最大公约数为81. 135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27， 所以81与135的最大公约数为27. 所以三个数324,243,135的最大公约数为27.
知识点一 辗转相除法 1．辗转相除的算法思想
(1)辗转相除法是用于求两个正整数的__最__大__公__约__数__的一种算
法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又
叫欧__几__里__得__算法． (2)所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较_大___的数除
第二十一页，编辑于星期日：一点 三十二分。
2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )
A．3
B．9
C．17
D．51
解析：利用辗转相除法，得
459＝357×1＋102， 357＝102×3＋51， 102＝51×2＋0， 所以459和357的最大公约数是51. 答案：D
第二十二页，编辑于星期日：一点 三十二分。
第二十五页，编辑于星期日：一点 三十二分。
【解析】 解法一 (辗转相除法)： 324＝243×1＋81,243＝81×3＋0， 所以324与243的最大公约数为81. 又135＝81×1＋54,81＝54×1＋27,54＝27×2＝0， 所以81与135的最大公约数为27. 所以三个数324,243,135的最大公约数为27. 解法二(更相减损术)： 324－243＝81,243－81＝162,162－81＝81， 所以324与243的最大公约数为81. 135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27， 所以81与135的最大公约数为27. 所以三个数324,243,135的最大公约数为27.
知识点一 辗转相除法 1．辗转相除的算法思想
(1)辗转相除法是用于求两个正整数的__最__大__公__约__数__的一种算
法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又
叫欧__几__里__得__算法． (2)所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较_大___的数除
人教A版高中数学必修三课件1.3.3算法案例(三)——进位制
又 a {1, 2}, b {0,1}
故a=1，b=1.
4、阅读下面两个程序，并填空：
(2) 程序（2）中若输入
（1）程序（1）中若输入 a 78 ， k 9 ，
n 2，则输出的 b _７___１__ ；
a 78 ， k 9 ，
则输出的 b ８___６_ .
INPUT“a，k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=aMOD10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=aMOD10 i=i+1
【课内探究】
展示：
例1、（1）比较110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 四个数的大小；
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等，求 k的值.
例2、把89化为三进制数.
例1、（1）比较110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 四个数的大小； 方法：化为十进制再比较大小
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等，
求k的值. 拓展：若已知132(k) =30(7)呢？
解： 132(k) =30
1 k2 3 k1 2=30
即k2 3k 28=0
k=4或k= 7(舍去) 故，k的值为4.
除3取余法 你能看出它的规律吗？ 如
例2、把89化为三进制数
第第三四atiL步==步O=算第iaOa+,,bM判\法一P1=1OUb断步步0DN+i1aT骤,>输0iI·nLk如入是ii->1下a否,ni,=k:成i和+1立n. 的.若值是. ,则
b=b+t·ki-1
执行P第RI五NT步b;否则,返回第三步. EN第D二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1. i=i+1
故a=1，b=1.
4、阅读下面两个程序，并填空：
(2) 程序（2）中若输入
（1）程序（1）中若输入 a 78 ， k 9 ，
n 2，则输出的 b _７___１__ ；
a 78 ， k 9 ，
则输出的 b ８___６_ .
INPUT“a，k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=aMOD10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=aMOD10 i=i+1
【课内探究】
展示：
例1、（1）比较110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 四个数的大小；
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等，求 k的值.
例2、把89化为三进制数.
例1、（1）比较110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 四个数的大小； 方法：化为十进制再比较大小
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等，
求k的值. 拓展：若已知132(k) =30(7)呢？
解： 132(k) =30
1 k2 3 k1 2=30
即k2 3k 28=0
k=4或k= 7(舍去) 故，k的值为4.
除3取余法 你能看出它的规律吗？ 如
例2、把89化为三进制数
第第三四atiL步==步O=算第iaOa+,,bM判\法一P1=1OUb断步步0DN+i1aT骤,>输0iI·nLk如入是ii->1下a否,ni,=k:成i和+1立n. 的.若值是. ,则
b=b+t·ki-1
执行P第RI五NT步b;否则,返回第三步. EN第D二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1. i=i+1
高中数学必修3公开课课件 1.3.3算法案例--进位制
7
四、十进制数化成K进制数
例3 将89化为二进制数. 分析：89=44×2+1;
44=22×2+0; 22=11×2+0;
2
89
1
2
44
0
2 22 0
2 11 1
11=5×2+1. 5=2×2+1; 2=1×2+0.
25 1 220
所以上式可以表示为：1 011 001
211
即89 (10) =1 011 001 (2)
为了区别进制，我们就用 下标（k）表示k进制数 K进制数anan1 a3a2a1 (k ) 实际表示数为：
an kn1 an1 kn2 a3 k 2 a2 k a1
三、K进制数化成十进制数 例1 将二进制数110 011 (2)化成十进制数
解 根据k进制数的实际意义，我们可以这样来转换：
3
二、进位制的统一表示形式
十进制数
30457 3104 0103 4102 5101 7100
二进制数
10011(2) 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20
八进制数
36071(8) 384 683 082 781 180
·2007·
15
解:用表格来表示，则为：
除k取余法
被除数
计算过 程
商
120 120/16 7
余数 8
7 7/16 0
7
所以上表可以表示为： 78 即120 (10) =78 (16)
10
四、十进制数化成K进制数 练习2 将120化为八进制数.
用表格来表示，则为：
除k取余法
四、十进制数化成K进制数
例3 将89化为二进制数. 分析：89=44×2+1;
44=22×2+0; 22=11×2+0;
2
89
1
2
44
0
2 22 0
2 11 1
11=5×2+1. 5=2×2+1; 2=1×2+0.
25 1 220
所以上式可以表示为：1 011 001
211
即89 (10) =1 011 001 (2)
为了区别进制，我们就用 下标（k）表示k进制数 K进制数anan1 a3a2a1 (k ) 实际表示数为：
an kn1 an1 kn2 a3 k 2 a2 k a1
三、K进制数化成十进制数 例1 将二进制数110 011 (2)化成十进制数
解 根据k进制数的实际意义，我们可以这样来转换：
3
二、进位制的统一表示形式
十进制数
30457 3104 0103 4102 5101 7100
二进制数
10011(2) 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20
八进制数
36071(8) 384 683 082 781 180
·2007·
15
解:用表格来表示，则为：
除k取余法
被除数
计算过 程
商
120 120/16 7
余数 8
7 7/16 0
7
所以上表可以表示为： 78 即120 (10) =78 (16)
10
四、十进制数化成K进制数 练习2 将120化为八进制数.
用表格来表示，则为：
除k取余法
安徽省滁州市第二中学高中数学课件 必修3：1.3算法案例
,基数是10;
十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个 数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),
十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的
右下脚标明基数,.
如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
十进制数一般不标注基数.
第二十七页，编辑于星期日：八点 四十分。
第二页，编辑于星期日：八点 四十分。
第一节课
案例1
辗转相除法与更相减损术
安徽省滁州市第二中学高二数学备课组 2014年9月8日
第三页，编辑于星期日：八点 四十分。
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的 知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30
先用两个数公有的质因数连
数。
(12)
第十页，编辑于星期日：八点 四十分。
3.辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转 相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算
次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数 字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体 现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化 ,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算 和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次 加法运算,大大提高了运算效率.
第二十二页，编辑于星期日：八点 四十分。
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个 数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),
十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的
右下脚标明基数,.
如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
十进制数一般不标注基数.
第二十七页，编辑于星期日：八点 四十分。
第二页，编辑于星期日：八点 四十分。
第一节课
案例1
辗转相除法与更相减损术
安徽省滁州市第二中学高二数学备课组 2014年9月8日
第三页，编辑于星期日：八点 四十分。
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的 知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30
先用两个数公有的质因数连
数。
(12)
第十页，编辑于星期日：八点 四十分。
3.辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转 相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算
次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数 字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体 现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化 ,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算 和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次 加法运算,大大提高了运算效率.
第二十二页，编辑于星期日：八点 四十分。
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
人教版高中数学必修三《1.3.2秦九韶算法》ppt课件
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值. 解:原多项式先化为: f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0 列表 2 -5 0 -4 3 125 10 25 x=5 2 5 25 121 所以,当x=5时,多项式的值是15170.
v1=anx+an-1, v3=v2x+an-3, ……,
v2=v1x+an-2, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk若令v0=an,得 1的值.
v0=an, vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结 构来实现. [问题] 写出程序表示用秦九韶算法求5次多项式 f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实数)时的值的过程.
例3:用秦九韶算法求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-4=5×5-4=21 v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534 v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
高中数学人教A版必修3课件：1.3 算法案例
1.3 算法案例
题型1 辗转相除法与更相减损术
4．分别用辗转相除法和更相减损术求36和80的最大公约数．
解
辗转相除法：
80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2.
故36和80的最大公约数是4.
更相减损术：
80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，
20－8＝12，12－8＝4，8－4＝4.
解析
111÷2＝55……1，55÷2＝27……1，27÷2＝13……1，13÷2＝6……1， 6÷2＝3……0，3÷2＝1……1，1÷2＝0……1， 故111(10)＝1101111(2)．故选C.
1.3 算法案例
题型3 进位制
11．把十进制数189化为四进制数，则末位数字是( B )
A．0
B．1
1.3 算法案例
刷基础
题型3 进位制
13．十六进制数与十进制数的对应如下表：
十 六 进 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F 制 数 十 进 制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数
例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝F＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和
n(n 2
1)
次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计
算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算的
A．2
B．3
C．4
D．5
高中数学必修三1.3算法案例-辗转相除法
解：1）先求1734与816的最大公约数
1734=816×2＋102
816=102×8
2）再求102与1343的最大公约数
1343=102×13＋17
102=17×6
所以17为102与1343的最大公约数
所以17为1734、816、1343这三个数的最大公约数
板
书
设
计
第1.3节算法案例-----辗转相除法
............................... ................................... ...............
课后作业
P45练习：1.
P48习题1.3A组：1.
课
后
反
思
1.辗转相除法的思想2.辗转相除法算法框图3.例题讲解
................................ ................................... ...............
............................... ................................... ...............
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法求最大公约数的学习过程中体会我们常见的约分求公因式的方法，，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
PRINT m
END
课堂练习：1.求两数4081与20723的最大公约数.
1734=816×2＋102
816=102×8
2）再求102与1343的最大公约数
1343=102×13＋17
102=17×6
所以17为102与1343的最大公约数
所以17为1734、816、1343这三个数的最大公约数
板
书
设
计
第1.3节算法案例-----辗转相除法
............................... ................................... ...............
课后作业
P45练习：1.
P48习题1.3A组：1.
课
后
反
思
1.辗转相除法的思想2.辗转相除法算法框图3.例题讲解
................................ ................................... ...............
............................... ................................... ...............
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法求最大公约数的学习过程中体会我们常见的约分求公因式的方法，，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
PRINT m
END
课堂练习：1.求两数4081与20723的最大公约数.
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
高中数学人教版必修三《1.3.2秦九韶算法》课件
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算 4次的乘法运算,5次的加法运算
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
• 四级所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
• 五级
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
2023/9/16
4
单击此处编辑母版标题样式
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算
• 单击此处编辑x2母·x、版（文本x2样·x）式·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
2023/9/16
2
单击此处编辑母版标题样式
案例2、秦九韶算法
• 单击此秦处九编韶辑算母法版是文求本一样元式多项式的值的一种方法。
• 二级
•怎三样•级四求级多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法一• 五：级把5代入，运算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算x2·x、
• 单击此处课编堂辑母小版结文本：样式
• 二•级三级1、秦九韶算法的方法和步骤 • 2四、级• 五秦级九韶算法的流程图及程序
2023/9/16
14
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二1级.3.2 • 三级 谢谢大家 • 四级 • 五级
人教版 高中数学
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
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n 次乘法运算，n 次加法运算.
例1 已知一个5次多项式为
5 4 3
f ( x ) 4 x 2 x 3.5 x 2.6 x 1.7 x 0.8
2
用秦九韶算法求f(5)的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成 f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v0= 4； v1= 4×5+2= 22； v2= 22×5+3.5=113.5； v3= 113.5×5-2.6= 564.9； v4= 564.9×5+1.7= 2826.2； v5= 2826.2×5-0.8= 14130.2. 所以f(5)=14130.2.
[问题1]我们常见的数字都是十进制的, 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的 进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就 是十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1， 怎么样求f(5)的值呢？
思考2:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+„+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0 = „ =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0
+…+a1×k1+a0×k0 . 注意这是一 个n+1位数.
例1:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数字与2 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 规则计算出结果.
解:110011(2)
=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=1×32+1×16+1×2+1=51.
7
所以，98和63的最大公约数等于7。
开始 输入：a,b i=0 是
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
否 b>a? 是 否
t=a,a=b,b=t
a=a-b 否
a=b? 是 输出：a×2i
结束
程序： INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 i=i+1 WEND a=a/2,b=b/2 DO IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2^i END
案例2、秦九韶算法
秦九韶（约1202年－1261年）南 宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家。主要 成就:1247年完成了数学名著《数 书九章》，其中的大衍求一术、三 斜求积术和秦九韶算法是具有世界 意义的重要贡献。秦九韶算法就是 中国古代数学的一枝奇葩。直到今 天，这种算法仍是多项式求值比较 先进的算法 。 美国著名科学史家萨顿说过，秦九 韶是“他那个民族，他那个时代， 并且确实也是所有时代最伟大的数 学家之一”。
10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数: 106=1101010(2). ∴10221(3)=106= 1101010(2).
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
解：
225=135×1+90 135=90×1+45
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约 数，也就是8251和6105的最 大公约数
4 3 2
∴f(4)=709.
程序？
开始
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
i≥0？ 否 输出v 结束 输入ai
是
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
可使用数字符号的个数称为基数.基数 都是大于1的整数.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k)
k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
例、用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。 （98，63） =（63，35） 98-63=35
63-35=28 =（35，28）
35-28=7
28-7=21 21-7=14 14-7=7
=（28，7）
=（21，7） =（14，7） =（7，7） =
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字 与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . 再按照十进制数的运算规则计算出结果.
301 例：10231（4）=________
235（7）
124 =________
案例1、
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 12 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6
短除法
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
辗转相除法（欧几里得算法） 例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看出计 算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除除法的程序框图与程序 开始 INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
例3:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
[问题4]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数:
输入m,n
r=mMODn
m=n
n=r 否
r=0？ 是 输出m
结束
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减 损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2 约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并 以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个 等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。
f ( x ) 3 x 2 x 9 x 11x 1 ,求f(4)的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成 f(x)=(((3x+2)x-9)x-11)x+1 v 0= 3 ； v1= 3×4+2= 14； v2= 14×4-9= 47； v3= 47×4-11= 177； v4= 177×4+1= 709；
十进制数转化为k进制数的方法
例2:把89化为二进制的数.
例2:把89化为二进制的数. 余数 1 0 0 1 1 0 1
解： 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
2 89 2 44 2 22 2 11 2 5 2 2 21 0
把算式中各步所得的余数 从下到上排列,得到 89=1011001(2).