2009考研数一真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.

(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2

ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则

()

(A)11,6a b ==-.(B)11,6a b ==

.(C)1

1,6

a b =-=-.

(D)1

1,6

a b =-=.

(2)如图,正方形

(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分

为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k

k D I y xdxdy =⎰⎰,

则{}14

max k k I ≤≤=

(

)

(A)1I .(B)2I .(C)3I .

(D)4I .

(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-

上的图形为

则函数()()0

x

F x f t dt =

⎰的图形为

()

(A)

(B)

-1

-1

1

1

x

y

1D 2

D 3

D 4

D

(C)

(D)

(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞

=,则

(

)

(A)当

1n

n b

∞

=∑收敛时,

1n n

n a b

∞

=∑收敛.(B)当

1n

n b

∞

=∑发散时,

1n n

n a b

∞

=∑发散.

(C)当

1

n

n b

∞=∑收敛时,

221

n n

n a b

∞=∑收敛.

(D)当

1

n

n b

∞=∑发散时,

221

n n

n a b

∞=∑发散.

(5)设123,,ααα是3维向量空间3

R 的一组基,则由基12311,,2

3

αα到基

122331,,αααααα+++的过渡矩阵为

()

(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.

(B)120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.

(C)1112461

112461112

4

6⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪

-

⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

.(D)1112221114441116

6

6⎛⎫- ⎪ ⎪

⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

.(6)设,A B 均为2阶矩阵,*

*

,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵

O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为()

(A)**

32O B A O ⎛⎫

⎪⎝⎭.(B)**

23O B A O ⎛⎫

⎪⎝⎭.(C)**

32O A B

O ⎛⎫

⎪⎝⎭

.(D)**

23O A B

O ⎛⎫

⎪⎝⎭

.

(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫

=Φ+Φ

⎪⎝⎭

,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX =(

)

(A)0.(B)0.3.

(C)0.7.

(D)1.

(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为

{}{}1

012

P Y P Y ====

.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为(

)

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z

x y

∂=

∂∂.

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x

y C C x e =+,则非齐

次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y =.

(11)已知曲线(2

:0L y x x =≤≤,则L

xds =

⎰.

(12)设(){}

2

22,,1x y z x

y z Ω=

++≤,则2z dxdydz Ω

=

⎰⎰⎰.

(13)若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为

.

(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2

S 分别为样本

均值和样本方差.若2

X kS +为2

np 的无偏估计量,则k =

.

三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)

求二元函数()2

2

(,)2ln f x y x y y y =++的极值.

(16)(本题满分9分)

设n a 为曲线n

y x =与()11,2,n y x

n +== 所围成区域的面积,记11

,

n n S a ∞

==∑2211

n n S a ∞

-==∑,求1S 与2S 的值.