微分概念及其计算

x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d
f (x0 ) dx
a， d y dx
x x0
a.
已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f
(x0 )
y x
f
(x0 )
( lim 0 ) x0
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
当 f (x0 ) 0 时 , lim y lim y x0 dy x0 f (x0 )x
1 lim y 1 f (x0 ) x0 x
所以 x 0 时 与 是等价无穷小, 故当
很小时, 有近似公式
例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
3 (1 1 2 )
5 243
3.0048
内容小结
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u) f (u) d u
( u 是自变量或中间变量 )
3. 微分在近似计算中的应用
设 u(x) , v(x) 均可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3．复合函数的微分法则
的微分为
分别可微 , 则复合函数
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
例1
求
解法1：
微分形式不变性
2xex2 1 ex2
dx
解法2： 利用“微分形式不变性”
四、微分在近似计算中的应用
故 y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
线性主部
一、微分的定义
定义 若函数
在点 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微, 而
称为
的微分, 记作
即
dy Ax
注意 1.微分是 △x 的线性函数； 2.微分与 △y 之差是△x 的高阶无穷小量.
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
x x0x (x)2
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 的微分
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
“充分性” 已知
从而
导数也叫作微商
二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 dy
y y f (x)
y
o
x0
x
x0 x
dy f (x0 )x tan x 当 很小时,
几何意义：用切线的改变量近似地代替函数的改变量.
三、基本的微分公式与微分运算法则
1．基本初等函数的微分公式 (参看课本)
2．函数和、差、积、商的微分法则
例4 求
的近似值 .
解: 设 f (x) sin x ,
取
则 dx
180
sin 29 sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
例5 计算
的近似值 .
1
解:
(243 2)5
35 243
3(1
2
1
)5
243
(1 x) 1 x
y f (x0)x o(x) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx