数学能力

数学能力

何晓頔

数学能力浅谈

第一部分能力

一、能力的含义

所谓能力是指人顺利完成某种活动的一种个性心理特征。对于能力的理解，主要的是在以下几个方面：

1．能力是在心理活动中表现出来的。例如，人们在思维活动中表现出思维能力水平，人们在想象活动中表现出想象能力，等等。

2．能力是在从事某种活动中表现出来的。例如，人们在从事社会活动中，表现出组织能力，人们在音乐活动中，表现出音乐能力，等等。

3．能力是一种个性心理特征。个性心理特征包括气质、性格、能力等，说明能力是个性心理特征中的一种。因此能力是一种个性心理特征，但个性心理特征不一定是能力。

4．能力是由多种形式构成的。例如，能力有思维能力，观察能力，记忆能力，等等。

不同的能力在不同的活动中起着不同的作用。有时，从事一种实际活动需要多种能力的综合作用。例如，在数学解题活动中，不仅需要观察能力，还需要思维力、记忆力等。

二、能力与智力的关系

能力作为人的个性心理特征，它与智力的关系最为密切。正因为如此，有时把能力与智力统称为“智能”。

能力与智力既有区别，又有联系。

能力与智力相似之点是：它们都属于人的个性心理特征。思维既是智力的核心，又是能力的核心。智力有观察力、注意力、记忆力、思维力、想象力等，能力也有这些方面。

能力与智力的不同点表现为以下几方面：

1．能力作为个性心理特征，它偏重于保证实际活动的顺利完成方面；而智力作为个性心理特征，它却偏重于认识方面，即它是保证人有效地进行认识活动。作为智力，它表现出个体认识活动的性质(如，观察的目的性、持久性、精确性、概括性；记忆的速度、广度、准确度、巩固性；想象的有意性、创造性；思维的敏捷性、深刻性、灵活性、创新性、批判性；注意的集中性、稳定性、持久性)，但它不是认识活动的本身，即它不是认识活动的具体过程。

2．智力有遗传的因素，而能力则主要是由后天培养成的。遗传对智力具有影响作用，它是由遗传基因决定的。但是智力的发展还要靠后天的教育与培养。

三、能力与思维的关系

数学的各方面能力几乎都以思维的因素为基础。逻辑思维能力中，思维作为核心自不必说，观察能力也同样要有思维参与。这就是说能力与思维密不可分。

四、能力与知识、技能的关系

能力是对个体已有的知识的应用。能力是技能训练中形成的一种个体稳定性的个性心理

特征。知识、技能是能力的源泉与基础。能力的形成与发展是在掌握和选用知识、技能的过程中实现的。反过来，一定的能力是进一步获取知识和形成技能的前提。今天，我们既要重视知识学习、技能训练，又要重视能力的培养。只有把两者的学习与培养统一起来，才能使我们的学习达到最佳效果。

第二部分数学能力

一、数学能力

数学能力是保证数学活动顺利进行的个性心理特征。

曹才翰先生在《中学数学教学概论》中提出数学能力有两种不同层次或两种不同类型：学习数学的数学能力和“创造性”的数学能力。“所谓学习数学的数学能力就是在学习(学会、掌握)数学(数学课程的数学)的过程中，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力；所谓“创造性”的数学能力是在数学科学活动中的能力，这种能力产生具有社会价值的新成果或新成就。”他在介绍了这两种能力的不同观点后指出：“这两种能力都是在创造性的数学活动中形成和发展起来的，因此它们具有相同的本质。但是由于形成这两种数学能力的实际活动分别属于不同的层次，因此它们也有区别。同时，在一定条件下，学习数学的能力可以发展成为创造性的数学能力，而且要具备创造性数学能力，必须首先具备较强的学习数学能力。”

从上述的观点来看，数学能力有数学学习的数学能力与创造性的数学能力。它们之间又有联系，又有区别。学习数学的数学能力是创造性的数学能力的第一阶段，而创造性数学能力是数学学习的数学能力的发展。两种数学能力只是水平与程度上的不同，而没有质的差异性。

在数学学习中，大部分应是数学学习的数学能力，只有少部分算得上创造性的数学能力。所以在数学学习中所培养起来的数学能力是为创造性的数学能力打下基础。可以认为，数学学习中，我们主要是培养数学学习的数学能力。

周学海在他著的《数学教育学概论》（1996东北师范大学出版社）一书中给数学能力下的定义为：所谓数学能力，就是一个人迅速、成功地完成数学活动的一种个性特征。此定义显然把心理学中能力的定义特殊化了。

克鲁捷茨基在他的权威著作《中小学数学能力心理学》（1968年在莫斯科出版）中从一般能力出发来研究数学能力。他“从两个方面来看待数学能力的概念：（1）看作创造性的能力——科学的数学活动方面的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会作出有价值的贡献。（2）看作一般学习能力——学习数学的能力，迅速而顺利地掌握适当的知识和技能的能力。

数学能力，众说纷纭。根据目前的研究成果，可以认为是在学习数学知识，掌握数学方法，运用数学技能，解决数学问题的本事大小，称为数学能力，它是数学素质的重要表现。具体有以下几种说法：

我国传统提法，数学能力包括：逻辑思维能力、基本运算能力、空间想象能力、应用数学知识分析解决实际问题能力及建立数学模型的能力。

二、数学能力的形成

生理成熟、遗传和环境、教育对数学能力形成与发展所起的作用。我们对这一问题的看法是，生理成熟、遗传是学生数学能力形成与发展的物质基础（生物前提），它们提供了学

生发展的可能性；而环境、教育则把这种可能性变成了现实性，它们在学生数学能力的形成与发展过程中起决定作用。尤其是教育占有主导地位，因为它决定着学生发展的方向、水平、速度、范围，甚至会影响与改造学生智力发展的遗传素质。

三、数学能力结构

这里我们认为以下三种数学能力结构理论是可资参考的：

1．克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》中提出数学能力的组成有下列几个因素：(1)使数学材料形式化的能力，即从内容中抽出形式，从具体的数量关系和空间形式中进行

抽象，以及运用形式结构即关系和联系的结构进行运算的能力；

(2)概括数学材料的能力，即从不相关的材料中抽出最重要的东西，以及从外表不同的材料

中看出共同点的能力；

(3)运用数学和其它符号进行运算的能力；

(4)“连续而有节奏的逻辑推理”的能力，这和具体化与演绎化的需要有关；

(5)缩短推理过程的能力，即用缩短了的结构进行思维的能力；

(6)逆转心理过程的能力(从正方向思维转到逆方向思维)；

(7)思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种心理运算的能力，从平凡而陈腐的影响束

缚下解脱出来的能力。这种思维品质对数学家的创造性活动是很重要的；

(8)数学记忆。它和数学科学的特点有关。主要是指对概括内容、形式化结构和逻辑模式的记忆；

(9)空间概念的能力。这与数学的一些分支如几何(尤其是立体几何)有着直接关系。

克鲁捷茨基关于数学能力结构的表述，到目前为止是比较详尽的一种。它对数学能力的观点是从数学的具体实际出发，具有很好的参考价值。

2．李镜流在《教育心理学新论》中对数学能力结构提出了以下结构模式：在图6-1中，数学学习能力结构表述为：

(1)认知。包括对数的概念、符号、图形、数量关系以及空间关系的认知。其中，数的概念，包括基本数量关系(自然数、整数、有理数)；数群概念、序列概念等数学基本概念；符号，包括数字、字母、数值大小、相等、正负运算符号、单位符号等数学符号意义及应用的认知。图形，指平面图形(包括坐标图)、立体图形的认知。数量关系，指函数关系；空间关系，指空间图形与数量关系、空间部分与整体关系。

(2)操作。包括解题思路、解题程序及表达、逆运算。其中，解题思路：解题过程能分析和综合各种数量关系与联系；能比较数量间的属性；根据公式、定律去演绎推理解决具体问题，或从具体问题中归纳、还原出公式、定律。程序和表达：解题过程的推理能力和运用数学语言把推理过程表达出来。逆运算：加与减、乘与除、乘方与开方。

(3)策略。包括解题直觉、解题方式方法、速度和准确性、创造性、自我检查、评定等。其中，解题直觉：把眼前的问题情境迅速纳入人脑的认知结构中，根据已有的认知结构模式(即