5.3 代数系统的同态与同构
同构及同态在代数中的应用论文
同构及同态在代数中的应用论文同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。
在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。
关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A到A的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a和b是A的哪两个元，只要→→，b ba a就有a b a b→定义1：假如对于代数运算和来说，就有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。
定义2: 我们说，一个A与A间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a，b是A的哪两个元，只要→a a→，b b就有a b a b→1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算和来说，A与A同态。
那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。
定理2:假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。
那么，（1）若?，⊕适合第一分配律，?，⊕也适合第一分配律；(2)若?，⊕适合第二分配律，?，⊕也适合第二分配律。
2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3：给定群(),G 和群(),G ?称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=? 当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ?）；当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。
代数系统间的同构与同态
例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为 这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
定义2 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ( x1,x2,…,x n ) X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ①
则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。
❖ h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结 果的象等于元素象的运算结果。
❖ 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
2.2 代数系统间的同构关系
定义3 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个 同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式， 则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。 由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同 类型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对 相应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数， 并称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。
400浅谈代数系统上的同态与同构
400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算 和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算 及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若 适合结合律, 也适合结合律;（2）若 适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算 为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明 记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射. )()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群. 证明 因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射.定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明 设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明 首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b fa f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f''=''---.因此1-f 是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立. 性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明 假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1） 若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2） 若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /. 定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明 设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核. 定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明 设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类. 证明 因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R . 证明 设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A 对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ.事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Hom T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明 必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A Tentative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。
群环域论中的同态与同构
群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。
在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。
本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。
对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。
（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。
同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。
（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。
（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。
二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。
对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。
（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。
同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。
第5章 代数系统的基本概念(1)
→、 。
第5章
代数系统的基本概念
（4）AA={f | f：A→A}。“ (复合)”是AA上的二元
运算。
当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如
A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“ ” 的定义见表
5.1.1。
表 5.1.1
0
1
2
第5章
代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算 为 y (〈x,y〉)=x · (mod3)
第5章
代数系统的基本概念
【例5.1.7】
在实数集 R 中，对加法"+"运算，没有零元；
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元；
对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元；
对于全集E的子集的交“∩”运算， 是零元;
在命题集合中，对于吸取"∨"运算，重言式是零元；
在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是零元。
(2)若 x y(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。 (3)若 x y z(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，则称* 运算对 运算满足左分配律； 若 x y z(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x))， 则称*运算对 运算满足右分配律。 若二者均成立，则称*运算对 运算满足分配律。
有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不
是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对 加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。 乘法“
” 对加法“+” 运算满足分配律（对
“-” 也满足）。但加法“+” 对乘法“ ” 运算
同态与同构
离散结构同态与同构教学目标基本要求（1）掌握同态映射与同构映射的定义（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点（1）同态映射的证明同态映射定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) 如果f是单射，则称为单同态(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2，则称作自同态实例例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解：(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数实例例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n，f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令f: R→R*，f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射，f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a (x)=ax，f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态；为自同构；当a=±1时，称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
同态与同构
• (3)同构映射:
性质 • 性质1 设 A, A, A 是三个代数系统,并且
f : A A, g: A A
是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, gf : A A仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射)
• 性质2 设 f : A A 是一个同构. 那么， f 1 : A A 也是一个同构. • 证明: • (1) f 1是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 (a b) 和 A 的两个元,那么 (a) (b) 都有意 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
注: 同态映射简称为态射. • A ＝{所有整数}, A 的代数运算是普通加法. • A {1, 1} , A 的代数运算是普通乘法.
• 例1 证明 1 : a 1 ( a是 A 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 …… a 1 , • 例2 2 : 若是偶数 若是奇数 a 1 , • 证明: 2是一个 A 到 A 的满射的同态映射. 2 是 A 到 A 的满射.对于 A 的任意两 • 证明 : 显然 , • (2)若 a , b 都是奇数…… 个整数 a 和 b 来说,分三种情况: a b 也是偶数 • (3) (1)若a , b 都是偶数 ,那么 ,………. b 奇偶性相反 a和 2 (a) 1 , 2 (b) 1 , 2 (a b) 1 • • 所以, 2 (a b) 2 (a)2 (b)
同态 同构 同胚
同态同构同胚全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同态、同构、同胚是代数学中常见的概念，它们在不同的数学领域中有着广泛的应用。
本文将分别解释这三个概念的含义，并通过例子阐述它们之间的关系和区别。
同态（Homomorphism）是一种保持代数结构的映射。
具体来说，设有两个代数结构（如群、环、域等）G和H，一个从G到H的映射f 称为同态，如果对于G中的任意两元素a和b，都有f(a*b) = f(a)*f(b)。
这意味着同态将代数结构中的运算保持下来，即先运算再映射等价于先映射再运算。
考虑一个从整数环Z到模2加法群Z/2Z的映射f，定义为将偶数映射为0，奇数映射为1。
这个映射保持整数环的加法运算，因此是一个同态。
同态在代数结构的保持性质上有很多应用，比如在同态定理中，同态映射的核与像之间的关系能够帮助我们理解代数结构的结构和性质。
同构可以看作是一个更强的同态，因为它不仅保持代数结构的运算，还保持了元素之间的一一对应关系。
一个典型的例子是置换群S3和三阶对称群D3之间的同构：置换群S3包括所有的三元置换，而D3包括所有的三角形对称。
这两个群之间存在一个双射同态，它将S3中的置换映射到D3中的三角形对称，这就是它们之间的同构。
同胚（Homeomorphism）是拓扑空间之间的同构。
在拓扑学中，同胚是一种保持拓扑结构的双射映射，即在两个拓扑空间X和Y之间存在一个双射映射f，f及其逆映射f^-1都是连续函数。
同胚能够保持拓扑空间的开集、闭集、极限等性质，因此它们的拓扑结构是完全相同的。
考虑一个从实数轴R到开区间(0,1)的映射f，定义为f(x) =1/(1+e^-x)。
这个映射是一个双射，并且连续，因此是一个同胚，将实数轴上的开集映射为开区间上的开集，保持了拓扑结构上的同构。
同态、同构、同胚都是代数学和拓扑学中重要的概念，它们分别描述了代数结构和拓扑结构之间的关系。
同态是保持代数结构的映射，同构是保持代数结构的双射同态，同胚是保持拓扑结构的双射映射。
离散数学 ch5.3同态与同构
下面看看同构的两个代数系统运算表的相同性：
+4
0 1
2
3
S R A L
0 1 2 3
0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2
S S R R R A A A L L L S
A L S R
L S R A
+4
f N4 X 0 S 1 R 2 A 3 L
f是双射
下面是含有两个运算的代数系统的同构的性质的保持问 题。
定义：令(X,+,×）和（Y, ,）是含有两个运算的代数 系统，其中+、×、 、都是二元运算，如果存在双射 f:XY, 使得对任何x1 , x2∈X，满足 f(x1+x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：+与对应) f(x1×x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：×与对应) 则称这两个代数系统同构。 6. (保持分配律)如果运算+对×可分配, 则对也可分配。 证明：任取y1 ,y2 , y3 ∈Y 因 f :XY是满射,x1 ,x2 , x3∈X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1 ( y2 y3 )=f(x1)(f(x2)f(x3)) = f(x1) f(x2×x3) = f(x1+(x2×x3)) = f((x1+ x2)×(x1+ x3)) (因+对×可分配) = f(x1+x2) f(x1+x3) = (f(x1)f(x2)) (f(x1)f(x3)) = (y1y2) (y1y3) 所以对 也可分配。
例2：设有两个代数（{0，1}， ∨ ）,（{a,b}, ） 其运算表如下： 表1 代数系统 表2 代数系统
第5章 代数系统的基本概念
第5章 代数系统的基本概念 章
证明 因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el， 令其为e，有x*e=e*x=x 设另有一幺元为右幺元e′，那么 e=e*e′=e′ 故e对*是唯一的幺元。
第5章 代数系统的基本概念 章
【例5.1.6】 在实数集R中，对加法"+"运算，0是幺元； 在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元； 对于全集E的子集的并"∪"运算，是幺元； ∅ 对于全集E的子集的交"∩"运算，E是幺元; 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元； 在AA={f|f:A→A}中，对于复合"。"运算，IA是幺元。
第5章 代数系统的基本概念 章
证明 因为θr和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。令其为θ，有 x*θ=θ*x=θ 设另有一零元为右零元θ′，那么 θ=θ*θ′=θ′ 故θ对S中的*运算是唯一的零元。 证毕 同样，需强调零元是针对于哪个运算的。
第5章 代数系统的基本概念 章
定义5.1.4 设*是集合S中的一种二元运算，如果存 在θr∈S(θl∈S)且对任意元素 x∈S均有x*θr=θr(θl(x=θl)， 则称元素θr(θl)是S中关于运算*的右零元(左零元)。 定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr与θl分别是对于 *的右零元和左零元，则 θr=θl=θ,使对任意元素x∈S 有x*θ=θ*x=θ，称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且 x*θ=θ*x=θ θ S * (zero) 唯一。
离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构
0 0 1 0 0 1 −3, 0 1 0 = 2, 0 1 0 . 0 0 1 0 1 1
10
如果原来的两个代数系统分别含有代数常数 比如说 如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,比如说 1的 代数常数 比如说V 代数常数为a 的代数常数为a 就是积代数 代数常数为 1 , V2的代数常数为 2 ,<a1 , a2>就是积代数 V1×V2中的代数常数．例如 中的代数常数．例如,
x ⊕ y = (x + y)modn.
这里
Zn ={0,1,2,⋯, n −1 }.
令
则 ϕ 是从
ϕ : Z →Zn ,ϕ(x) = (x)modn ,
V1 到 V2 的同态． 同态．
解: 因为对任意x,y∈Z有 因为对任意x,y∈
ϕ(x + y) = (x + y)modn = (x)modn ⊕( y)modn = ϕ(x) ⊕ϕ( y).
1 0 0 V =< Z , +, 0 >,V2 =< M3(R),•, 0 1 0 >, 1 0 0 1
1 0 0 0, 0 1 0 0 0 1
那么积代数V 那么积代数V1 × V2 的代数常数就是 这时
1 0 0 V ×V2 = Z ×M3(R), , 0, 0 1 0 1 0 0 1
12
积代数的性质: 积代数的性质:
1)如果 1)如果 或幂等的)． 幂等的 2)如果 e 和 2)如果 1 就是积代数 中的二元运算都是可交换 可交换的 V 和 V2 中的二元运算都是可交换的(可结合的 1 或幂等的), 则积代数中相应的二元运算也是可交换的 (可结合的 幂等的 则积代数中相应的二元运算也是可交换 可交换的 可结合的
异质同构、同构性、代数系统的群同态与同构
异质同构、同构性、代数系统的群同态与同构“异质同构”是“格式塔”心理学的理论核心，这个学派的代表人物是美国现代心理学家鲁道夫·阿恩海姆。
重新建构艺术本体，用形式而不是用社会文化关系解释艺术，这是西方现代美学的一个重要倾向，但各个学派所用的方法又不相同，苏珊·朗格用的是生理学（生命科学），阿恩海姆用的是心理学。
格式塔心理学派认为在外部事物的存在形式、人的视知觉组织活动和人情感以及视觉艺术形式之间，有一种对应关系，一旦这几种不同领域的“力”的作用模式达到结构上的致时，就有可能激起审美经验，这就是“异质同构”。
正是在这种“异质同构”的作用下，人们才在外部事物和美术品的形式中直接感受到“活力”、“生命”、“运动”、“ 平衡”等性质。
阿恩海姆在其最重要的理论著作《艺术与视知觉》（1954）中，对视知觉结构做了大量的分析并以此作为分析造型艺术的基础，充分阐述了他的“异质同构”说。
“异质同构”说综合运用了现代科学的系统论、整体论、宇宙论、人类学、物理学场论和心理实验的方法，从一个新的视角来说明人的审美经验和解释美术的基本原理，有其可取之处。
它试图跨越西方传统美学上的主体与客体的对立、情感与外物的对立，在不同领域间建立一种“同构”。
但是，它无视或忽视了社会的历史因素和现实因素对人的情感活动和审美活动的影响和制约，无视或忽视了人类的社会实践与认识活动对人的心理以至生理发展的决定作用。
因此，它用单纯的心理学和人类学的方法去解释“人”和“艺术”这种复杂的人类精神现象，结果既不能说艺术和人的审美经验的关系，甚至把人降到了动物的原始地位，无法分清“人”与“非人”的区别，因为格式搭心理学家们不懂“五官感觉的形式是以往全部世界历史的产物”。
同构性世界上一切事物都具有相同的或者说是相类似的系统结构叫做事物的同构性。
举个最简单的例子，九大行星围绕太阳转动，电子围绕质子转动是这两个事物的同构性；群的同态与同构群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。
代数结构同态与同构
代数结构同态与同构代数结构同态与同构是抽象代数学中的两个重要概念。
它们描述了两个代数结构之间的关系，并在代数学的研究中发挥着重要作用。
本文将介绍代数结构同态与同构的概念、定义以及性质，并讨论它们的应用和意义。
一、代数结构同态的概念与性质1. 同态的定义在抽象代数学中，如果存在两个代数结构A和B，其中A的运算是由集合和运算规则所确定的，B也是类似的，那么我们称映射f：A → B为从A到B的同态，如果对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)，其中*表示A中的运算，*表示B中的运算，即f保持运算的性质。
2. 同态的性质同态具有以下性质：（1）同态保持单位元：即f(单位元A) = 单位元B；（2）同态保持逆元：即对于A中的任意元素x，有f(x的逆元A) = f(x)的逆元B；（3）同态保持运算：即对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)。
二、代数结构同构的概念与性质1. 同构的定义在抽象代数学中，如果从A到B的同态f：A → B是双射（即一一对应）且保持运算的性质，则称A与B是同构的，记作A ≅ B。
同构表示两个代数结构在结构上完全相同，可以通过一一对应的方式进行映射。
2. 同构的性质同构具有以下性质：（1）同构保持单位元；（2）同构保持逆元；（3）同构保持运算。
三、同态与同构的应用1. 结构的研究与刻画同态与同构可用于研究和刻画代数结构的结构和性质。
通过同态与同构的关系，我们可以将复杂的代数结构简化为更易于理解和研究的形式。
例如，通过同构关系，我们可以将一个群与一个矩阵代数的子群作为同构来描述，从而简化问题的分析和求解。
2. 等价关系的建立同态与同构也可用于建立代数结构之间的等价关系。
如果两个代数结构之间存在同构关系，则可以将它们看作是等价的。
这种等价关系在代数学中非常有用，可以帮助我们分类、比较甚至证明不同的代数结构。
3. 结构的构造与研究同态与同构的概念在代数结构的构造与研究中起着重要的作用。
同构及同态和环
定义6.5.3 设G是一个群，若σ是G到G上的同构映 射，则称σ为自同构映射。
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒 等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个 元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例 子。
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例6.5.6 设（Z，+）是整数加法群， 令σ：n-n，nZ，
证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN， B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。
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定理6.5.3 按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.
命σ：a→aN，则σ是G到 上G的一个同态映射,其核为N.
证明： 由σ引(a理)σ1，(bG)中=a乘Nb法N=封ab闭N ，映射σ使
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以上所述说明了:若σ是G到G′上的同态映射,则其 核N为一正规子群。反过来，我们要问： 设N是G的一个正规子群,是否有一个群G′以及一 个G到G′上的同态映射σ,使N为σ的核？
回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。
引理1 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则 AB也是N的陪集。
是的。
证：因 -1(H’)表示H’在G中全体原象集，故 在下再看象集必是H’。 (6)若H是G正规子群，则H’=(H)是G’正规子 群。 证：对任g’G’ 往证g’H’g’-1H’ 因为必有gG 使(g)=g’而 g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg1)=(H)=H’ 所以，H’正规子群。
则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+， σ（a·b）=log（a·b）=log a+log b
=σ（a）+σ（b）。 故σ是R+到R上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或
153代数系统的同态与同构
f(θ)是V2中零元，θ为V1中相应运算零元
f(a-1)是 f(a)的逆元
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几点说明
1. 满同态条件重要. 如果不是满同态，有关性质只能在同
态像中成立. 例如
V =< A,⋅ >
A
=
a 0
0 b
|
a,
b
∈
R,
f : A → A,
推论 代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质. 8
同态像是映到代数系统的子代数
定理1 设 V1 =< A,o1 ,o2 ,..., or > 与V2 =< B,o1', o2',..., or '>
是同类型的代数系统，对于 i=1,2,…,r，oi与oi′是ki 元运算, f:A→B是V1到V2的同态，则 f(A)关于V2中的运算构成代 数系统，且是V2的子代数，称为V1在 f 下的同态像.
oi (a 1 , a 2 ,..., a ki ) ∼ oi (b1 , b2 ,..., bki ) ∼关于oi运算具有置换性质，根据oi的任意性，定理得证. 19
实例
例2 V=<Z4,⊕>, fi : Z4→Z4, fi(x) = (ix) mod 4，i = 0,1,2,3
函数
f0(x)=0, x=0,1,2,3
统的下述性质：
交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元 消去律不一定保持
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同态的合成仍旧是同态
命题 若 f:V1→V2, g:V2→V3为同态映射，则 g∘f:V1→V3也 为同态映射.
证 根据集合论的定理，g∘f: V1→V3为映射. 任取V1,V2,V3中一组对应的运算 o1,o2,o3, 设为 k 元运算. ∀x1, x2, … , xk∈V1,
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授课时间十一周第 2 次课
更广泛的同态映射定义
定义设V1=<S1,∘, ∙ >和V2=<S2,*, ◊>是代数系统，其中∘和*是二元运算. f: S1→S2, 且∀x,y∈S1
f (x ∘y) = f(x) *f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊f(y)
则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.
设V1=<S1, ∘,∙, ∆>和V2=<S2,*, ◊, ∇>是代数系统，其中∘和*是二元运算. ∆ 和∇是一元运算，f: S1→S2, 且∀x,y∈S1
f (x∘y)=f(x)*f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x)
则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.
例V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令
f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n
则f 是V1到V2 的同态.
∀x, y∈Z有
f(x+y) = (x+y)mod n
= (x)mod n ⊕ (y)mod n
= f(x) ⊕ f(y)
例V1=<R,+>，V2=<R＋, ∙ >
f ：R → R＋, f(x)=ex
例题
例1 V=<R*,⋅>, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？
(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2
(4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1
解(2) , (5), (6) 不是自同态.
(1) 是同态，f(x⋅y) = |x⋅y| = |x| ⋅|y| = f(x) ⋅f(y)
(3) 是同态，f(x⋅y) = (x⋅y)2 = x2 ⋅y2 = f(x) ⋅f(y)
(4) 是同态，f(x⋅y) = 1/(x⋅y) =1/x ⋅1/y = f(x) ⋅f(y)
特殊同态映射的分类
f 为V1=<S1,∘>到V2=<S2,*>的同态，则
1. < f (S1),*>是V1在f下的同态像，
2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；
3.如果f是满射，则称为满同态，记作V1~V2；
4. 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1 同构于V2，记作V1≅V2 .
5. 对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.
类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.
同态映射的实例
例2 设V=<Z,+>，∀a∈Z，令
fa：Z→Z，fa(x)=ax
那么fa是V的自同态.
因为∀x,y∈Z，有
fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y)
当a = 0 时称f0为零同态；
当a=±1时，称fa为自同构；
除此之外其他的fa 都是单自同态.
例3 设V1=<Q,+>, V2= <Q*,⋅>，其中Q*= Q-{0}，令
f ：Q→Q*, f(x)=ex
那么f 是V1到V2的同态映射，因为∀x, y∈Q有
f(x+y) = ex+y = ex⋅ey = f(x) ⋅ f(y).
不难看出f 是单同态.
例4 V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令
f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n
则f 是V1到V2 的满同态. ∀x, y∈Z有
f(x+y) = (x+y)mod n
= (x)mod n ⊕ (y)mod n
= f(x) ⊕ f(y)
同态映射的实例（续）
例5 设V=<Zn,⊕>，可以证明恰有n 个G 的自同态，
fp：Zn→Zn,
fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1
例如n = 6, 那么
f0为零同态,同态像是<{ 0, ⊕} > ；
f1与f5为同构；
f2 与f4的同态像是<{ 0, 2, 4 }, ⊕ > ；
f3 的同态像是<{ 0, 3, ⊕} > .
定义：设V1=<S1,∘,k1>和V2=<S2,*,k2 >是代数系统，其中∘和*是二元运算. k1是S1的代数常数，k2是S2的代数常数，f: S1→S2, 如果满足
（1）∀x,y∈S1, f (x∘y) = f(x) *f( y),
（2）f(k1)＝k2
则称f 为V1到V2 的同态
例V1=<Z,+,0>，V2=<Zn,⊕,0 >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令
f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n
∀x, y∈Z有
f(x+y) = (x+y)mod n
= (x)mod n ⊕ (y)mod n
= f(x) ⊕ f(y)
同时，f(0)= 0
同态映射保持运算的算律
设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是
V2上对应的二元运算，如果f：V1→V2是同态，
那么
(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o’运算也是可交换的（可结合、幂等的）.
(2) 若o运算对∗运算是可分配的，则o’运算对∗’运算也是可分配的；若o 和∗运算是可吸收的，则o’和∗’运算也是可吸收的。
同态映射保持运算的特异元素
(3) 若e为o 运算的幺元，则f(e)为o’运算的幺元.
(4) 若θ为o 运算的零元，则f(θ) 为o’运算的零元.
(5) 设u∈V1，若u-1 是u 关于o运算的逆元，则f(u-1)
是f(u)关于o’运算的逆元。
同态映射的性质
例题
证假设 f 是V2 到V1 的同构，那么有f：V2→V1，
f(1)=0. 于是有
f(-1)+f(-1) = f((-1)(-1))= f(1)=0
从而f(-1)=0，又有f(1)=0，这与f 的单射性矛盾.
复习思考题、作业题：
设V=<Zn,⊕>，可以证明恰有n 个G 的自同态，
fp：Zn→Zn,
fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1。