高中数学之计数原理

计数原理（讲义）

➢ 知识点睛

一、两个计数原理

1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，

A (1)(2)21n n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯=L ！

即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示．

A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-，

规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质

C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n

-+=+． ➢ 精讲精练

1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地

到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．

A ．3+2+4=9

B ．1

C ．3×2×4=24

D ．1+1+1=3

2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争

夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ）

A ．(34，34)

B ．(43，34)

C ．(34，43)

D ．3344(A A )，

3. 填空：

（1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种．

（2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种．

（3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种．

（4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）．

4. 填空：

（1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数．

（2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．

（3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．

5.4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：

（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？

（2）女生互不相邻的坐法有多少种？

（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？

（4）男女生相间的坐法有多少种？

（5）女生顺序已定的坐法有多少种？

6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的情况共有（）种．

A．144B．120C．72D．24

7.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2

个连续空座位的候车方式共有（）种．

A．48B．54C．72D．84

8.填空：

（1）有形状大小相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，则不同的排列方法共有________种．

（2）宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄灭其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法共有________种．

9.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

（1）共有几种放法？

（2）恰有1个空盒，有几种放法？

（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？

【参考答案】

1．C

2．C

3．（1）75；（2）74；（3）350；（4）120

4．（1）2296；（2）216；（3）84

5．（1）576；（2）1440；（3）288；（4）144；（5）840

6．D

7．C

8．（1）56；（2）20

9．（1）256；（2）144；（3）84

计数原理（随堂测试）

10.7名同学排队照相．

（1）若排成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

（2）若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

（3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？

【参考答案】

（1）5040；（2）1440；（3）720；（4）1440

计数原理（习题）

➢例题示范

例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？

思路分析：

可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．

第一步，把3名司机安排到3辆车中，有3

A=6种安排方法；

3

第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有3

A=6种安排方法．

3

故搭配方案共有3333

A A ⋅=36种．

例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（ ）

A ．480种

B ．240种

C ．120种

D ．96种

思路分析： 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．

第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，

有44A 种方法．

由乘法原理，共有2454C A ⋅=240种方法，故选B ．

➢ 巩固练习

1. （1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．

（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．

2. 已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同

的圆．

3. 满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（ ）

A ．14个

B ．13个

C ．12个

D ．10个

4. 某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环

赛，共需进行比赛的场数是（ ）