配方法化二次型为标准型

例2
:
设二次型f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
x2 2
8x 2 3
4x x 13
4x2x3,
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形;
2. f (x1, x2, x3) 1是什么曲面?
1. f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 8x32 4x1x3 4x2x3 ( x1 2x3 )2 ( x2 2x3 )2 y12 y22.
2
3
柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
情形1 二次型中含有平方项，如含有 x12，此时先集中含有 x1 的项， 对 x1 配成完全平方，再集中含有 x2 的项，对 x2 配成完全平方，如 此继续下去，直到化为标准形。
配方法化二次型为标准形
例1: 用配方法化二次型为标准形,并求可逆变换矩阵。
f (x , x , x ) x 2 2x 2 5x 2 2x x 4x x .
解:
f
123
(x1, x2, x3)
1
x
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2
1
2x2 22
3
5x
2
3
12
2x1x2
23
4x2 x3
（x 2 2x x ）2x 2 5x 2 4x x
情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性 变换
xi yi y j, x j yi y j , xk yk , k i, j.
将二次型化为含平方项的二次型，再按情形1中介绍的方法做。
1
12
2
3
23
（x1 x2）2 x22 5x32 4x2 x3
（yx21xy2）22（yx22 2x3）2 x32
1
2
3
y1 x1 x2 ,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 y2 2 y3,
1 1 2
x2 y2 2y3,
C 0 1 2.
x3 y3.
0 0 1
y1 x1 2x3,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x3 y3.
1 0 2
C
0 0
1 0
12 .
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1,3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y 2 9y 2 1. 为椭圆