同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
特征值与特征向量的求解方法
注意事项
在求解过程中，需要注意特征多项式f(λ)的根可能为重根，此时需要验证 是否满足定义中的条件。
在求解特征向量时，需要注意齐次线性方程组的基础解系的求法。
特征值与特征向量的应用举例
01
应用一
判断矩阵是否可对角化。若矩阵A有n个线性无关的特征向 量，则A可对角化。
02
图像处理
在图像处理中，经常需要对图像进行旋转、缩放等操作，这些操作可以通过矩阵对角化来实现。例如，将一个图像矩 阵与一个旋转矩阵相乘，就可以实现图像的旋转。
数据分析
在数据分析中，经常需要对数据进行降维处理，以提取数据的主要特征。通过对数据的协方差矩阵进行对角化，可以 得到数据的主成分，从而实现数据的降维。
REPORTING
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个重要分支，主 要研究向量空间、线性变换及其性质 。
本课程将系统介绍线性代数的基本概 念、理论和方法，包括向量空间、矩 阵、线性方程组、特征值与特征向量 、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程等领域的 基础课程，对于培养学生的抽象思维 、逻辑推理和问题解决能力具有重要 作用。
工具。
2023
PART 04
线性方程组与高斯消元法
REPORTING
线性方程组概念及解法
线性方程组定义
由n个未知数和m个线性方程组成的方程组，形如Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数 列向量，b为常数列向量。
解的存在性与唯一性
当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，且等于未知数个数n时，方程组有唯一解；当 秩小于n时，方程组有无穷多解；当秩大于n时，方程组无解。
要作用。
向量空间与子空间
同济大学线性代数电子教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解线性代数的基本概念，包括向量、线性空间、线性变换等。
2. 掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、克拉默法则等。
3. 理解矩阵的基本性质和运算，包括矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等。
4. 能够运用线性代数的知识解决实际问题。
教学重点：1. 线性方程组的解法。
2. 矩阵的基本性质和运算。
3. 特征值和特征向量的概念及计算方法。
教学难点：1. 线性方程组的解法在高维空间中的应用。
2. 特征值和特征向量的物理意义及其在工程中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 引入线性代数的概念，介绍线性代数在工程中的应用。
2. 简述线性代数的研究对象，如线性空间、线性变换和线性方程组。
二、教学内容1. 向量空间- 向量的概念及其运算。
- 线性空间的基本性质。
- 子空间的概念及其性质。
2. 线性变换- 线性变换的定义及其表示。
- 线性变换的运算。
- 线性变换的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示线性代数在工程中的应用，如电路分析、信号处理等。
2. 分析实例中的线性方程组，介绍高斯消元法及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
第二课时一、复习上节课内容1. 回顾向量空间、线性变换等概念。
2. 回顾高斯消元法及其应用。
二、教学内容1. 矩阵- 矩阵的定义及其运算。
- 矩阵的基本性质。
- 矩阵的秩及其计算。
2. 线性方程组- 克拉默法则及其应用。
- 线性方程组的解的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示矩阵在工程中的应用，如矩阵分解、矩阵求逆等。
2. 分析实例中的矩阵运算，介绍矩阵的逆及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
《线性代数》第1章线性方程组与矩阵
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。
1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。
1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。
1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。
第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。
2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。
2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。
2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。
第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。
3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。
3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。
第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。
4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。
4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。
4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。
第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。
5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。
5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版一、教案概述本教案以同济版《线性代数》教材为基础，共十个章节。
本教案的主要目标是帮助学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性方程组等。
2. 掌握线性代数的基本运算，如矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
3. 学会解线性方程组，并能运用高斯消元法进行计算。
4. 理解线性空间、线性变换和特征值、特征向量的概念。
5. 学会运用线性代数的方法解决实际问题。
三、教学内容1. 向量：向量的概念、向量的运算、向量空间。
2. 矩阵：矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的逆。
3. 线性方程组：线性方程组的解法、高斯消元法。
4. 线性空间与线性变换：线性空间的概念、线性变换的概念、特征值与特征向量。
5. 应用举例：线性方程组的应用、线性变换的应用。
四、教学方法1. 讲授法：通过讲解，使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
2. 实践法：通过例题和习题，使学生熟悉线性代数的运算和应用。
3. 问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探讨，培养学生的解决问题的能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的表现。
2. 作业与测验：检查学生完成作业和测验的情况，评估学生的理解和掌握程度。
3. 课程报告：评估学生完成课程报告的质量，考察学生的独立研究和解决问题的能力。
六、教案内容第六章：向量空间与线性变换教学目标1. 理解向量空间的概念，包括基、维数、张量等。
2. 学习线性变换的定义和性质，包括线性变换的矩阵表示。
3. 掌握特征值和特征向量的概念，并学会求解线性变换的特征值和特征向量。
教学内容1. 向量空间：定义、基、维数、张量。
2. 线性变换：定义、性质、矩阵表示。
3. 特征值和特征向量：定义、求解方法、应用。
教学方法1. 讲授法：介绍向量空间和线性变换的基本概念。
2. 案例分析法：通过具体例子讲解特征值和特征向量的求解。
线性代数教案-线性方程组与矩阵
第一章线性方程组与矩阵
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 矩阵的概念及运算 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 矩阵的定义、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩 阵的转置 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合 矩阵的乘法、矩阵的转置
kaij
.
mn
4. 矩阵的数乘运算满足的运算规律：
(1) k A B kA kB ；
(2) (k l) A kA lA ；
(3) (kl) A k(lA) l(kA) ；
(4) 1A A ；
(5) 1 A A ；
(6) 0 A Omn .
三、矩阵乘法：
1. 矩阵乘法的定义：设矩阵 A (aij ) 是一个 m p 矩阵，矩阵 B (bij ) 是一个 p n 矩阵，定义矩阵 A 与 B
的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中矩阵 C (cij ) 的第 i 行第 j 列元素 cij 是由矩阵 A 的第 i 行元素
ai1, ai2, , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素 b1j , b2 j , , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj . k 1
a12 a22
a1n a2n
x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
.
am1
am2
amn xn
am1 x1
am2
x2
amn xn
再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax .
线性代数-教案1章
案
2014 ～ 2015 学年第一学学 2013 级化学工程本科班 姜翠翠 助教 李振东 李金林 编《线性代数》
教研室 (实验室 ) 授 课 班 级 主 讲 教 师 职 称
使 用 教 材
六盘水师范学院教务处制
二○一五 年 三月
教
课 名 课 类 任 教 授 对
N ( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
称为行列式的一般项．
当 n=2、3 时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1 中用对 角线法则定义的是一致的．当 n=1 时，一阶行列为|a11|= a11．如
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a 42 a13 a14 a 23 a 24 a33 a34 a 43 a 44
其中元素 aij 的第一个下标 i 表示这个元素位于第 i 行，称为行 标，第二个下标 j 表示此元素位于第 j 列，称为列标． 我们可以从中发现以下规律： (1) 二阶行列式是 2！项的代数和，三阶行列式是 3！项的代数 和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同 的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也 是取自不同的行和不同的列； (3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列 时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号． 作为二、三阶行列式的推广我们给出 n 阶行列式的定义． 定义 1 组成的符号
教 学 重 点 及 难 点
重点：要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵的秩的 定义和计算，会利用矩阵的初等变换求解方程组及逆矩阵，向量组的线 性相关性，利用正 交变换化对称矩阵为对角型矩阵等有关知识。
注：课程类别：公共必修课、专业基础课、专业必修课、专业选修课、集中实践环节、实验课、公共选修课
第一章线性方程组与矩阵.doc
线性代数文本教案第一章线性方程组与矩阵（6学时）1.本章引言解线性方程组是线性代数课程最主要的内容之一, 而矩阵则是线性代数的一个非常重要的基本概念和常用工具. 在科学研究、工程技术和经济管理各领域中, 许多问题都与求解线性方程组和矩阵及其运算有关.本章, 我们将首先从较为直观的解析几何角度来了解二元和三元线性方程组的解的几何意义. 然后, 在消元法解线性方程组的基础上, 引入矩阵、矩阵的初等变换以及矩阵秩的概念, 从而把用消元法解线性方程组, 转化为只需对方程组的增广矩阵施以初等行变换来解决. 接着再进一步讨论如何根据行阶梯形矩阵或行最简形矩阵的结构以及矩阵的秩的不同情况, 判别线性方程组有没有解, 有唯一解还是有无穷多解的基本方法. 最后, 通过举例介绍矩阵和线性方程组在相关方面的一些实际应用.2.教学内容：二元和三元线性方程组的解的几何意义；矩阵和增广矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩等概念；高斯消元法解线性方程组；应用矩阵的秩判断线性方程组的解的结构；矩阵和线性方程组的一些实际应用.3.教学目的与要求：1.了解二元和三元线性方程组的解的概念和解的几何意义.2.理解矩阵、增广矩阵、阶梯形矩阵以及矩阵的秩等概念；掌握矩阵的初等变换，会用矩阵的初等变换求矩阵的秩.3. 熟练掌握用初等变换求解线性方程组的高斯消元法；4. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件. 能熟练应用矩阵的秩判断线性方程组的解的结构及求线性方程组通解的方法.5.了解矩阵和线性方程组的一些实际应用.4.重点、难点：1.重点：矩阵的概念，矩阵的初等变换，矩阵的秩；线性方程组有解的充要条件.2.难点：应用矩阵的秩判断线性方程组的解的结构及求线性方程组通解.5.基本方法及技能：矩阵的初等变换法；用矩阵的初等变换求矩阵的秩，求线性方程组通解.6.教学建议及教法提示1.关于二元和三元线性方程组的解的概念和解的几何意义，教材处理的通俗易懂，形象直观，建议以学生自学为主，教师作适当点拨提示.2.建议按教材编排顺序通过线性方程组的消元法引进矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩等概念.教学中注意线性方程组与增广矩阵，线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换，阶梯形方程组与阶梯形矩阵的对照和对应关系.3.矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求矩阵的逆及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用，因此要求学生熟练掌握矩阵的初等变换。
(完整word版)线性代数教案
教案（2013-2014学年第2学期）课程名称：线性代数任课教师:教师职称：所在院系：教学教案设计（首页）教学教案设计（续页）第一 章 行列式 §1.1 n 阶行列式定义教学目的:使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点：n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授（一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22— b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2-a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0，方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1.2）容易验证（1.2）式是方程组（1。
1)的解。
称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式，它称为方程组（1。
1）的系数行列式，记为D .我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1。
2）式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1。
3) 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。
线性代数教案同济版
线性代数课 程 教 案学院、部 系、所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45学时 实验学时 教材名称年 月 日线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ；再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式 其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
由排列知识可知，D 中这样的乘积共有!n 项。
(2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12()n p p p 的逆序数，即当12n p p p 是偶排列时，对应的项取正号；当12n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。
第一章 线性方程组与矩阵 课程教案全套
第一章线性方程组与矩阵课程教案文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载第一章 线性方程组与矩阵 课程教案授课题目：第二节 矩阵概念与矩阵的初等变换 教学目的：1．掌握高斯消元法求解线性方程组．2．理解矩阵的概念、运算及其性质，掌握矩阵的初等行变换．教学重点：本章以课堂教学为主，使学生掌握矩阵的初等行变换，提高学生的逻辑思维能力和计算能力．教学难点： 初等行变换的运用． 课时安排：2学时．授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容：§1.2 矩阵概念与矩阵的初等变换1. 概念对线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mmn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212********* (1) 其系数可用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211表示． 定义1 m n ⨯个数排列成m 行（横向）、n 列（纵向）的矩形数表： 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵，简记为()ij m n A a ⨯=，其中ij a 为A 中第i 行第j 列的元素．如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5162120710903 是3行4列的矩阵．这里，3×4是个记号，表明矩阵有3行4列的事实而不能取乘积“12”．2. 一些特殊的矩阵1) 行矩阵——只有一行的矩阵． 例(125)A =．2) 列矩阵——只有一列的矩阵． 例312B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 3) 零矩阵——所有元素都等于0的矩阵．例000000C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．4) 同型矩阵——行数相同、列数也相同．例235176D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与C 同型． 5) 当m n =时称 ()ij n n A a ⨯=为n 阶方阵；1122,,,nn a a a 所在的对角线称为方阵的主对角线．6) 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵．例⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500230704为上三角阵；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5613035004为下三角阵． 7) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d D000021，简记为),,,(21n d d d diag D =．8) 数量阵——对角阵中(1)i d d i n =≤≤． 例300030003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 9) 单位阵——数量阵中1d =，记以I 或E ．例100010001E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 注 （1） 只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量．这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”．作为向量，常用小写黑体字母a 、b 、……等标记之，向量的元也称为分量，一个向量所含分量的个数称为维（是个数），如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-213是个3维列向量，其实就是由3个数组成的一个有序数组．n 维向量是n 个数的一个有序数组，亦即是个1n ⨯的列矩阵或1n ⨯的行矩阵． 列向量与行向量虽然只是写法上的不同，但我们还是与多数参考书一样约定：除非特别说明，说到向量一般均指列向量．行向量则被记作a T 或a ′ 等．（2）n n ⨯矩阵也称为n 阶方阵或n 阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数”（即“元”本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的．对n 阶矩阵，后面要讨论其行列式、是否为可逆阵、转置伴随阵、及特征值与对角化等种种问题等．（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用．对线性方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A 1111称为(1)的系数矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m mnm nb a a b a a A11111称为(1)的增广矩阵． 3. 矩阵的行(列)初等变换定义2 矩阵的行(列)初等变换：(1) 对换矩阵的两行（列），用()ij ij r c 表示对换,i j 两行（列）的行（列）初等变换，即i j r r ↔（i j c c ↔）；(2) 用非零数乘矩阵的某一行（列），用()(())i i r k c k 表示以0k ≠乘矩阵的第i 行（列）的行（列）初等变换，即()i i i i r kr c kc →→；(3) 将矩阵的某行(列)乘以数k 再加入另一行（列）中去，用()(())ij ij r k c k 表示k 乘矩阵的第i 行（列）后加到第j 行（列）的行（列）初等变换，即()j i j i r kr c kc ++．4. 矩阵的等价定义 将矩阵A 的行经有限次初等变换化为B ，称A 与B 等价，记作~A B ．5. 行阶梯形矩阵与最简形矩阵定义3 若矩阵A 的零行（元素全为零的行）位于A 的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称A 为行阶梯形矩阵．定义4 若行阶梯形矩阵A 的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称A 为最简形．6. 用初等变换线性方程组的解1) 将(1)的增广矩阵A 用行初等变换化为最简形； 2) 由最简形对应的方程组得到解．例1 求解下列齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ． 解 (1) 对系数矩阵实施行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~，即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ，故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x ．例2 求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施初等行变换，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201~，即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=z z z y z x 212，亦即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x ．参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月．2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月．3．同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月．作业和思考题：Page27：1—4．课后小结：1)能用矩阵的初等行变换并通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．2)熟练地能掌握用高斯消元法求解线性方程组的思想、方法和步骤．。
同济大学《线性代数》 PPT课件
01
线性方程组与矩阵
《线性代数》 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章 线性方程组与矩阵 2
1.1
矩阵的概念及运算
1.2 分块矩阵
1.3 线性方程组与矩阵的初等变换
1.4 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
目录/Contents
1.1
矩阵的概念及运算
一、矩阵的定义 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置
03
OPTION
a1
n 1 的矩阵
a2
M
an
称为列矩阵，也称为 n 维列向量.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 7
所有元素都是零的 m n 矩阵称为零矩阵，记为 Omn ，或简记为 O .
m n 矩阵
a11 a12 L
a21
a22
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
i 1, 2L, ,m ;j 1,L2, n，, 则称矩阵 A 和 B 相等，记为 A B.
二、矩阵的线性运算
第1章 线性方程组与矩阵 10
1. 矩阵的加法 定义3 设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A B ，规定：
ann
称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
一、矩阵的定义
类似地，有上三角矩阵
a11 a12 L
0
a22 L
M M
线性代数WORD同济大学教学设计
线性代数WORD同济大学教学设计1. 引言线性代数是大学数学中的一门重要课程，其内容包括向量、矩阵、线性变换等。
本文将从课程目标、教学方法、教学内容、教学评估等方面设计一份针对同济大学线性代数课程的教学计划。
2. 课程目标本课程旨在让学生掌握线性代数的基本概念和方法，理解矩阵、向量、线性变换等概念在现实生活和科学技术中的应用，培养学生具有独立思考和解决实际问题的能力。
3. 教学方法采用以学生为中心的教学方法，注重启发式教学和探究式学习，让学生具有自主学习和探究的能力。
在教学过程中，引入案例分析、仿真实验等多种形式，提高学生学习的兴趣和参与度。
4. 教学内容4.1 线性方程组的解法•高斯消元法•矩阵求逆法•LU分解法4.2 向量和矩阵的基本概念•向量的线性运算•矩阵的基本操作•行列式和矩阵的秩4.3 线性变换和特征值问题•向量空间和线性变换•特征值和特征向量•相似矩阵和对角化4.4 应用实例分析通过实例分析，让学生理解线性代数概念在实际问题中的应用，提高学生的实际问题解决能力。
5. 教学评估通过平时作业、期中考试和期末考试的形式，评估学生对于线性代数理论和实践应用的掌握和理解。
同时，采用小组讨论、课堂讲解等形式，评估学生的团队协作和独立思考能力。
6. 总结通过以上的教学设计，旨在让学生学有所获，掌握线性代数的基本概念和方法，在实际问题中具有解决问题的能力。
通过启发式教学和多种形式的教学方法，提高学生学习的兴趣和参与度。
希望同济大学广大学生能够在本课程中学有所得，为未来的职业发展打下坚实的基础。
线性代数(同济大学第五版)矩阵讲义、例题
第二章 矩阵矩阵及其运算是线性代数的核心,是后续各章的基础,本章主要讨论矩阵的概念、矩阵运算、初等矩阵、逆矩阵与伴随矩阵以及矩阵方程.§1 矩阵的概念定义1 由n m ⨯个数),,2,1;,2,1(n j m i a ij ==排成的m 行n 列的数表：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为m 行n 列矩阵,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素.矩阵可用大写字母 ,,B A 来表示,简记为n m A ⨯或n m ij a A ⨯=)(. 当n m =时, ()n a a a A 11211 =,则称A 称为m 阶方阵或m 阶矩阵；当1=m 时, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m a a a A ，则称A 称为行矩阵当1=n 时,A 称为列矩阵。
定义2 设n m A ⨯中每个元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为：n m O ⨯ 或O . 定义3 矩阵n m ij a ⨯-)(称为矩阵n m ij a A ⨯=)(的负矩阵,记作A -. 定义4 如果n m ij a A ⨯=)(与m xn ij b B )(=,有ij ij b a =),,2,1;,2,1(n j m i ==,那么称这两矩阵相等,记为B A =.几个特殊矩阵(1) 设方阵n n ij a A ⨯=)(中, ),,2,1,,(0n j i j i a ij =≠=,则称它为对角矩阵,记为：),,,(2211nn a a a diag ；特别地,当12211====nn a a a 时,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 A 时,称A 为n 阶单位矩阵,记作n E 或E .（2）设方阵nn ij a A ⨯=)(中,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 022211211时,当j i >时0=ij a ,称为上三角阵.（4）设方阵nn ij a A ⨯=)(中,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 21222111时,当j i <时0=ij a ,称为下三角阵.§2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义 5 设两个同型矩阵n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(,可以相加,其和是同型矩阵n m ij c C ⨯=)(,其元素是B A ,对应元素之和,称为矩阵B A ,之和,记为B AC +=.即 n m ij ij n m ij b a c ⨯⨯+=)()(由于矩阵的加法归结为两个数表对应元素相加,因而与数的加法有相同运算性质；;A O A =+ A B B A +=+ .)()(C B A C B A ++=++例1 已知.212111320112B A B A +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，求， 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++--+=+5322012312201111)1(2B A . 二、数与矩阵的乘法定义6：数k 与矩阵n m ij a A ⨯=)(相乘,即以数k 乘A 的每个元素,即n m j i ka kA ⨯=)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka 212222111211称为矩阵()nm ij a A ⨯=与数k 的数量乘积,记为kA .由此可知,若矩阵A 的所有元素有公因数,则公因数可提到矩阵A 外作为系数.矩阵=-⨯nm ij a )(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为矩阵A 的负矩阵,记为A -显然有O A A =-+)( 数量乘积满足以下规律：A kl lA k )()(=;OA =0;AA =1;lAkA A l k +=+)(;kB kA B A k +=+)(三、矩阵的乘法定义7设矩阵s m ik a A ⨯=)(与矩阵n s kj b B ⨯=)(可以相乘,其积AB 是n m ⨯矩阵n m ij c C ⨯=)(,其元素ij c 是矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列元素对应乘积之和,即AB C =,其中∑==+++=SK kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211 ,),,2,1;,2,1(n j m i ==.单位矩阵E 与数k 相乘所得矩阵称为数量矩阵,简称数量阵.例2 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=213012A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=051231B ,则AB C =. 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==81570051231213012AB C如果n m ij a A ⨯=)(是一线性方程组的系数矩阵,而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21,分别是未知量和常数项所成的1⨯n 和1⨯m 矩阵,那么线性方程组可以写成矩阵形式,B AX =.矩阵乘法满足运算规律 （1）矩阵的乘法满足结合律,即)()(BC A C AB =（2）矩阵乘法和加法适合分配律,即BC AC C B A +=+)(,CB CA B A C +=+)(（3）矩阵的乘法不适合交换律,即：一般AB ≠BA例3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111B ,求.AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000011111111AB .而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222211111111BA （4）数乘矩阵与所有的n n ⨯矩阵相乘是可交换的.)()(kE A A kE kA ==对于矩阵的乘法,请特别注意：(1) 乘积AB 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵的行数时才有意义.同理,仅当A 为方阵时,2A 才有意义.(2) 矩阵乘法一般不满足交换律.实际上,AB 有意义时,BA 未必有意义,即使AB 与BA 都有意义,二者也未必相等.当BA AB =时,称B A ,相乘是可交换的.特别地,当E AB =时,E BA =也成立.(3)矩阵乘法与数的乘法不同,有O AB =不能得出B A ,至少有一个为O 的结论,由此又得AY AX =及O A ≠不能得出Y X =的结论,这又使得在解矩阵方程时不能像解通常代数方程那样约去非零的因子.四、方阵的幂(1)设A 为n 阶方阵,定义A 的幂为,1A A =,,2 AA A = .1A A A k k -=对于正整数l k ,成立kl l K l k l k A A A A A ==+)(;对于0≠A 时,定义,0E A =,)(1k kA A --=则这两个运算公式可推广于任何整数l k ,.(2) 对任何正整数k ,求方阵的幂kA ,往往需要一定的技巧,常用的几种方法：① 用乘法算出,,32A A 以此观察或通过递推得出kA 的结构,写出一般表达式.必要时用数学归纳法证明.例4 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,(1)求);2(E A A -(2)求).2(21≥--n A A n n解 (1) =-)2(E A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000101101020101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000000(2) =--12n nAA =--)2(1E A A n O E A A An =--)2(2例5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101001A ,证明E A A A n n -+=-22)3(≥n ,并由此计算100A.证明 利用数学归纳法,当3=n 时,由于,1010110010101010010101010012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A,0111020010101010011011110013⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A可直接验证E A A A -+=23成立. 设k n =时,E A AA k k-+=-22成立,则对于1+=k n 时：A E A A A A A k k k )(221-+==-+AA A k -+=-31A E A A A k --++=-)(21E A A k -+=-21即对于1+=k n 等式也成立,故对于一切3≥n 成立.利用已经证明的等式计算100A,可得：E A A A -+=298100E A E A A -+-+=2296)()(2296E A A -+= )(3294E A A -+= =)(4922E A A -+=E A 49502-=故.105001500011000100014910101100150100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A② 利用结合律,若方阵的各行对应成比例，则矩阵可写成T αβ的形式,由于αβT是一个数，所以将矩阵的幂归结为数的幂与矩阵之积.例6 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=963321642A ,求nA .解 因为矩阵A 的各行对应成比例，设矩阵TA αβ=,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=312α(1,2,3)=Tβ(1,2,3)312(1,2,3)312(1,2,3)312(1,2,3)312963321642⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= nn A)(1,2,3)312(1,2,3)312(1,2,3)312((1,2,3)312⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (1,2,3)313121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n (1,2,3)312311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n.311A n -=③ 若矩阵A 是数量矩阵与幂零矩阵之和,即B E A +=λ,且存在l,使0=l B ,则利用公式kn n k n n k n k n k B C B E C B E C E C B E ++++=+---11110)()()()(λλλλ例7设,000000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b c a A 求).,3,2( =n A n解,000000000000000000002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab b c a b c a A,0000000000000000000000023⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==b c a ab A A A于是,000000002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab A O A n =).3(≥n注 若存在正整数k 使O A k=,则称A 为幂零矩阵,本题中的A 是3阶幂零矩阵,一般主对角线及其下方元素全为0的n 阶矩阵是n 阶幂零矩阵,对一切n k ≥,O A k=.例8 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求).,3,2( =n A n 解 令,000100010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 则B E A +=λ,而B 是幂零矩阵.,0000001000001000100001000102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O B k =).3(≥k于是n n B E A )(+=λkn n k n n k n k n B C B E C B E C E C ++++=---11110)()()(λλλB n n B n E n n n 212)1(---++=λλλ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---nn nn n n n n n n λλλλλλ0002)1(121.④ 当矩阵Q P A Λ=,且E PQ =时，求矩阵A 的幂问题.例9设,110111121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P ,11121133031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ066,Q P A Λ=求n A .解：E QP =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=10001000111011112111121133031QP Q QP P A n ΛΛΛ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111211330310661*********n ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112113303106611011112111n n .211121112622⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-n五、矩阵的转置定义8设矩阵n m A ⨯的第),2,1(m i i =行写成第i 列,也将第),,2,1(n j j =列写成第j 行当⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nm n nm m T a a a a a a a a a A 212221212111. 注 n m ⨯矩阵转置所得到的矩阵是m n ⨯矩阵 满足条件A A T=的矩阵A 称为对称矩阵. 满足条件A A T -=的矩阵A 称为反对称矩阵. 矩阵的转置规律 (1) A A TT =)((2) TTTB A B A +=+)( (3)TTTA B AB =)((4) T T kA kA =)((k 为实数)证明(3)：设s m ij a A ⨯=)( n s ij b B ⨯=)( 则AB 中),(j i 的元素为∑=sk kj ik b a 1所以TAB )(中),(j i 的元素为∑=Sk kijk b a1 （1）其次,TB 中),(k i 的元素为ki b TA 中),(j k 的元素为jk a 故TTA B 中),(j i 的元素即为：∑∑===sk ki jk sk jk kib a a b11（2）比较（1）,（2）即得（3）例10设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=102324171B ,求T AB )(. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013173140102324171231102AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213012TA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131027241T BT T T AB A B )(1031314170213012131027241=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=六、方阵的行列式n 阶方阵A 的2n 个元素按原来的相对位置所成的n 阶行列式称为A 的行列式,记为A 或)det(A .特别需要注意,矩阵与行列式的区别(1) 矩阵A 是2n 个元素按某个规律排成的数表,而行列式A 则是这2n 个元素按某种规则运算所得的数.(2) 两个矩阵当且仅当它们同型且对应元素相等时才相等,而两个行列式相等是指它们经计算所得的值相等,并不要求对应元素相等,甚至阶数都可以不同.(3) 两个同型矩阵相加是对应元素相加,而两个行列式相加必须求得它们的值而后相加,一般不能归结为对应元素之间的运算.(4) 对于矩阵一般不满足A A T=,而行列式A AT=却成立.(5) 当n 阶矩阵A 的每个元素都乘以同一个数l 时,得到的是lA ,而组成行列式A 的每个元素都乘以同一个数l 时,得到的却是A l n .(6) 一般而言BA AB ≠,但却有A B B A AB ==. 例11 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足E B BA 2+=,则求B .分析 化简方程乘积形式,两边再取行列式.解：由E B BA 2+=,得E E A B 2)(=-,两边取行列式,得42==-E E A B又,21111=-=-E A 因此2=B . §3 逆矩阵一、逆矩阵定义定义9 对于n 阶矩阵A ,若存在矩阵B ,使,E BA AB ==则称矩阵A 是可逆矩阵或者称A 为非奇异矩阵,矩阵B 为A 的逆矩阵,记为1-=A B .于是E AA A A ==--11.在矩阵运算中,可根据不同情况将单位矩阵E 写成A A 1-或1-AA 是常用的有效技巧.二、逆矩阵的性质① 对于可逆矩阵A ,逆矩阵1-A 是唯一的.证明：假设矩阵C B ,都是矩阵A 的逆矩阵,则有.,E AC E BA ==C EC BAC AC B BE B =====∴)(所以可逆矩阵A 的逆矩阵是唯一的.② 可逆矩阵乘以非零常数为可逆矩阵,可逆矩阵的乘积是可逆矩阵,但可逆矩阵之和未必是可逆矩阵.③ 逆矩阵的运算性质设矩阵B A ,都是可逆矩阵,k 为不为零的常数,则;)(11A A =--111)(---=A B AB ;111)(--=A kkA ;;)()(11T T A A --=.11AA =- 三、伴随矩阵定义10 设ij A 是矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211中元素ij a 的代数余子式,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*称为A 的伴随矩阵。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源与发展介绍线性代数的概念、起源和发展历程。
强调线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域的应用。
1.2 为什么要学习线性代数解释线性代数的重要性，包括解决实际问题和理论研究。
引导学生理解线性代数与其他数学分支的关系。
1.3 线性代数的基本概念介绍向量、向量空间、线性相关与线性无关等基本概念。
解释向量的几何表示和坐标表示。
1.4 线性方程组介绍线性方程组的定义和基本性质。
解释线性方程组的解法和求解过程。
第二章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义与基本性质介绍矩阵的概念和矩阵的元素。
解释矩阵的运算规则和矩阵的转置。
2.2 矩阵的运算教授矩阵的加法、减法、乘法、除法等基本运算。
给出矩阵运算的例子和练习题。
2.3 逆矩阵介绍逆矩阵的概念和性质。
教授逆矩阵的求法和应用。
2.4 矩阵的特殊类型介绍单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等特殊类型的矩阵。
解释特殊矩阵的性质和应用。
第三章线性方程组的求解3.1 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤。
给出高斯消元法的例题和练习题。
3.2 克莱姆法则介绍克莱姆法则的原理和条件。
解释克莱姆法则的应用和求解过程。
3.3 矩阵的秩介绍矩阵秩的概念和性质。
教授矩阵秩的求法和应用。
3.4 线性方程组的解的结构解释线性方程组解的性质和结构。
给出线性方程组解的例子和练习题。
第四章向量空间与线性变换4.1 向量空间的概念与性质介绍向量空间的概念和向量空间的性质。
解释向量空间的基本运算和向量空间的基。
4.2 线性变换的概念与性质介绍线性变换的定义和性质。
解释线性变换的矩阵表示和线性变换的域。
4.3 线性变换的运算教授线性变换的加法、减法和乘法等运算。
给出线性变换的例子和练习题。
4.4 特征值与特征向量介绍特征值和特征向量的概念和性质。
教授特征值和特征向量的求法和应用。
第五章特征值与特征向量5.1 特征值和特征向量的概念与性质介绍特征值和特征向量的定义和性质。
《线性代数》(Linear Algebra)课程教学大纲
《线性代数》(Linear Algebra)课程教学大纲40学时 2.5学分一、课程的性质、目的及任务本课程是讨论数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性及逻辑性，是高等院校理工科、经济管理各专业的一门重要基础课。
由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，且某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。
尤其在计算机日益普及的今天，本课程的地位与作用更显得重要。
通过教学，使学生掌握本课程的基本理论与方法，初步培养抽象思维与逻辑推理能力，了解数值计算方法，为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
对于非数学专业的大学生而言，学习《线性代数》其意义不仅仅是学习一种专业的工具，事实上，在提高大学生的学习能力、培养科学素质和创新能力等方面，《线性代数》都发挥着重要作用。
二、适应专业理工科各专业、经济管理各专业三、先修课程初等数学四、课程的基本要求（一）线性方程组1、理解矩阵的初等变换，熟练掌握利用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行最简阶梯形矩阵的方法；2、熟练掌握求解线性方程组的初等变换法。
（二）矩阵1. 掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置运算及运算律；3. 理解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的初等变换法；理解矩阵可逆的充分必要条件；4. 了解分块矩阵及其运算。
（三）行列式及其应用1、掌握行列式的递推定义；2、了解行列式的性质；3、掌握二，三阶及n阶行列式的基本计算方法：降阶法和化三角形法；4、掌握利用行列式判断矩阵的可逆性，掌握克莱姆（Gramer）法则及应用。
（四）向量空间1. 理解n元向量概念；2. 理解向量组的线性相关、线性无关的定义；3. 掌握向量组的极大无关组与向量组的秩的概念；4. 理解矩阵的秩的概念、并掌握矩阵求秩的方法；5. 了解n维向量空间R n、子空间、基底、维数、坐标等概念；6. 掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；7. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解概念；8. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解概念；（五）特征值与特征向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数教学教案
第一章线性方程组与矩阵
授课序号01
),2,
,;1,2,,m j n = 排成的m 11121212221
2
n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为称为元素ij a 的行标，j 称为元素,
B 或字母,,,
αβγ表示矩阵，例如a =. ),n a .
2
n a ⎪⎪⎪⎭
.
1212221
2
n n n n nn a a a a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭
. 112122
12000n n nn a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭与上三角矩阵122200
n n nn a a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭
. 20000
n a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭，或记为),,n diag a .
阶单位矩阵1000
100
1⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
E . 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵如果两个同型矩阵()ij m a =A ,2,
,;1,2,,m j n =，则称矩阵负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ⨯=A ，称矩阵二、矩阵的线性运算：
矩阵的加（减）法：设()ij m n a ⨯=A 和B 121222222122
n n n m m m mn mn a a a b a b a b +⎛+⎪
⎪⎪
+++⎭
，
,ip a 与矩阵,pj b 乘积之和，即22.i j ip pj a b a b +
+矩阵乘法满足的运算规律（假设运算都是可行的）结合律：()AB )=+B C AC
12122
212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，转置矩阵112
22212.m m n
n
nm a a a a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭
矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）(2) ()T
T T +=+A B A B ；
(4) ()T
T
k k =A A .
),2,,n .
阶方阵()ij a =A 如果满足),2,
,n ，且),n .
24⎫⎪⎭，⎛= ⎝B ，求+A B 和11-⎫0⎫
⎪
12222222n n n n m mn n a x a x x a x b +++
+=12122
212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭称为该线性方程组的系数矩阵. 令2
n x ⎪⎪⎪⎭x ，2m b ⎪=⎪⎪⎭
β，有：
1111112212122
2221122221
21122n n n n n n m m mn n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a a a x a x a x a x +++⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪
++
+⎪⎪ ⎪
=⎪⎪ ⎪⎪⎪
⎪++
+⎭⎝⎭⎝⎭
. 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
010⎫⎪
⎪⎪⎭
，求2A 和3A .
11-⎛⎫
授课序号02
1212221
2
t t s s st ⎫⎪⎪⎪⎪⎭A A A A A ，121
2221
2
t t s s st ⎫⎪ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
B B B B B B ， 的行数相同、列数相同，则有
111112121121212222221
22
t t t t s s s st st ±±±⎛⎫
⎪
±±± ⎪
±= ⎪⎪
±±±⎭
A B A B A B A B A B A B A B B A B A B . 矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块1112121
2221
2
t t s s st ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A A A A A A A A A A ，都有 121
2221
2
t t s s st k k k k ⎫
⎪⎪
⎪⎪⎭
A A A A A .
1212221
2
k k t t tk ⎫⎪⎪⎪⎪⎭A A A A A ，121
22212
u u k k ku ⎫⎪ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
B B B B B B ， ,ik A 的列数分别等于12,,
,j j kj B B B 的行数，则
111212122212
u u t t tu ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
C C C C C C AB C C C ， 1122i j i j ik kj ++
+A B A B A B 121
2221
2
k k t t tk ⎫⎪
⎪⎪
⎪⎭A A A A A ，则T
T T 11
211
T T T T 12
22
2T
T
T 12t t k
k
tk ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
A A A A
A A A A A A 阶方阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，即
1
2t ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪⎪⎭
A O O O A O A O
O
A ， ),2,,t 都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.
)T
,0,1,0,
,0为第i 个分量为)12,
,
,n e e e . 将矩阵A 按列分块为),n A ，个列向量，则有
)(122,,,
,
,n ===A A AE A e e Ae 2,
,)n Ae ,
易知T
k l e Ae 都有=A O α
授课序号03
r
B表示矩阵
c
B表示矩阵等价.
用矩阵的初等行变换解线性方程组：元非齐次线性方程组的增广矩阵A；
实施初等行变换，化为行最简形矩阵
写出以R为增广矩阵的线性方程组；。