n阶行列式的定义及性质
第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
第一章n阶行列式的定义
an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
特殊行列式：
a 11
(1) 主对角行列式：
a 22
a a a
11 22
nn
(2) 副对角行列式：
a nn a 1n
a 2 n1
a n1
n n1
(1) 2 a a
a
1n 2 n1
n1
a11
(3)
下三角行列式：
a21
a22
a11a22 ann
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每一项的三个元素，行标标准、列标非标准．
a1 p1a2 p2a3 p3
(其中
p 1
p 2
p 3
是由123组成的所有三级排列
)
（4）每一项的符号由列标的逆序数确定，列标
偶数取正，列标奇数取负。
(1)t a a a 1 p1 2 p2 3 p3
a11 a12 a13
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
关于行列式的一般定义及计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值一样。
即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式的值变号.322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==〔1如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行〔或两列〕完全一样，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
〔第i 行乘以k ，记作r i k ⨯〕推论1：一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
n阶行列式及行列式性质
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
上页 下页 返回
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
a11 a12 a1n
kai1 kai 2 kain k ai1 ai 2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann 上页 下页 返回
证 左边＝
(1) (ｊ1 ,ｊ2 ,L ,ｊn ) a1ｊ1 L（ｋaｉｊｉ）L anｊn
第二节 n阶行列式
一、全排列及其逆序 二、n阶行列式的定义 三、小结
上页 下页 返回
一 、全排列及其逆序
1. 概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
上页 下页 返回
2. 定义
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
故 x3 的系数为 1.
上页 下页 返回
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法.
4 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要 而定义的.
5 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同行、 不同列的 个元n 素的乘积,正负号由下标排列的
的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
2.3 新n阶行列式的定义和性质
i
1
0 ab 0
a (n 1)b 0 0 a b
0 0
i 2,3, ,n
00 0
ab
第二章 行列式 克拉默法则
1b b
b
r r
0 ab 0
0
i
1
i 2, 3, , n a (n 1)b 0 0 a b
0
00 0
ab
a (n 1)b(a b)n1.
第二章 行列式 克拉默法则
典型行列式，典型方法
个元素的乘积; 4. 可以定义一阶行列式|a|=a, 它不同于绝对值的记号|a|;
5.
代数和中一般项
a 1
p1
a 2
p2
anpn 的符号为
1
p1 p2
. pn
6.行列式可简记为 D det aij A 或 det A
第二章 行列式 克拉默法则
二、n 阶行列式的定义(续)
定理1 n 阶行列式也可定义为
13 21 32
a31 a32 a33
说明：
a a a a a a a a a
13 22 31
11 23 32
12 21 33
（1）三阶行列式共有 6 项，即所有的三级排列 3! ；
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，
可写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 ;
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排
第二章 行列式 克拉默法则
三、n 阶行列式的计算举例
例3 证明对角行列式
1 2
;
12
n
n
1
2
nn1
1 2 .
12
n
n
n 阶行列式及性质
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ann
注：⑴ n 阶行列式共有 n2个元素，排成 n 行 n 列；
⑵从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从
右上角到左下角的对角线称为次（副）对角线；
⑶主对角线上的元素 aii (i 1,2,, n) 称为主对
角元；
⑷取正号的项与取负号的项各占一半，即为 n! 项； ⑸每项中同一行或一列的元素不可能乘在一起2； ⑹行列式常用大写字母D表示或 aij ，特别规定一阶
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r4 r3 0 2 1 5 0 0 1 1
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 216
85
75
78
0 32 0 32
注：（1）此法也可与行列式的其它5条性质结合使用.
例5：计算下列行列式.
70 40
①
1 D
0
5
2
3 1 1 6
80 50
3 1 1 2
② D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解： ①
70 40 10 52 D 3 1 1 6 80 50
按第2
(1) A32
ci c j 表示将行列式的第i列与第j列互换
推论1：若行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式的值为零. 即：
性质3：把行列式某一行（列）的所有元素都乘以 k， 等于用数 k 乘此行列式.
行列式定义
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0
a22
a2n
1
t431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
a11a23a35a43a56a64
1.1.2 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1) p1 p2 pn a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
an1
1
a a τnn121 1n 2,n1
an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例7 设
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
123a11a22a33 1 132 11 23 32
a31 a32 a33 1 213 a12a21a33 1 231 a12a23a31
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
新的列下标排列的逆序数为
，
1
则
1 ( p1... pj ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排
列的逆序数1与原列下标排列的逆序数 的奇
偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： (1)1 (1) (1) (1)r1 (1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn (1)1r a1 p1 ...a jpj ...aipi ...anpn
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
an1 an2 ... ann
简记为det(aij )。数aij称为行列式det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
称为 n 阶行列式，记作
a11 a12 ... a1n
的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
奇偶性相同，且有
(1) a1 p1a2 p2 ...aipi ...anpn (1)s aq1 a1 q2 2 ...aqj j ...aqnn
又若 pi j，则q j i(即aipi aij aqj j )，由此可见
排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
行列式
行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。
一共有n!项，一半带负号，一半带正号。
其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。
我们知道n级排列一共有n!种。
行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。
这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。
通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。
如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。
由性质1知，。
性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。
也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。
性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。
性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。
例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。
【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。
线性代数-行列式(完整版).
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。 考虑元素 i j (i 1,2 n), 如果比 i j大，且排在
i
前面的元素有
j
t
j个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
2
返 回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
3 4 2
解:由主对角线法，有
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推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
anpn
k
p1 p2
(1) ( p1 p2
pn
pn )
a1 p1
ai 1 pi1 aipi ai 1 pi1
anpn
kD
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
2 1 1 2 1 1 0 1 1 8 0 1 1 8 2 16 24 16 8 3 2 1
a ain ain i1 ann
an1 an 2
性质1.5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然 后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.
a11
a1i
a1 j
a1n
a 21 a 2 i a 2 j a 2 n k a n1 a ni
(321) 3
7
定理1.1
对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列 变成偶排列，偶排列变成奇排列.
定理 1.2
在全部n级排列中(n≥2)，奇偶排列各占一半.
定理1.3
任意一个
n 级排列可经过一系列对换变成自然排列，
并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同.
三、ｎ阶行列式定义
引：三阶行列式的定义的另一种表示：
2、把该项的元素按行 标自然顺序排列，然 后求列标的逆序数
(1)
2
d1d 2 d n
14
用定义计算
a11 D 0 0 0
0 a22 a32 0
0 a23 0 a43
0 0 a34 a44
15
a11a22a34a43 a11a23a32a44
用定义计算
a11
a12
a13 a23 0 0 0
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
(p p3 ) a a a a11 a22 a33 a 1p 2a 12 a 23 31 13 21 32
p1 p 13 2 p3 22 31
1 a a a a
1 2 3 a a a a a 12 21 33 11 23 32
a1 p a2 p a3 p
• 左边是一个三行三列的“数表”， • 每项均为不同行不同列的三个元素的乘积； • 右边共含6项，包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合；
问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律 ？？
9
三、ｎ阶行列式定义
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
a11a22
三、ｎ阶行列式定义
当行列式中的零元素相当多时，可以用定义计算其值
•特别对于象对角行列式、三角行列式；
例
d1 0 0
0 0 dn
0 0
0 0 d1d 2 d n
1、所有n!项中，只 有1项不等于零！
d2
dn
0 d2 0
d1 0 (1) [ n( n1)21] d d d 1 2 n n( n 1) 0
a11 ci kc j
a nj
a nn
a1n ann
25
(a1i ka1 j ) a1 j
a 21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (a ni kanj ) anj
a11a23a34a42
a12a23a34a41
(1342 ) 2 , (2341 )3
11
例 证明n阶行列式
a11 0 0 0 a12 a 22 0 0 a13 a 23 a 33 0 a1n a 2n a 3n a11 a 22 a 33 a nn a nn
故只需考虑 已取
乘积中因子不出现零的项. 对于上三角行列式，第n行中当
pn 1 n 1 或 pn 1 n这两种情形. 但是 pn n，并且 pn 1 pn，因此只有 pn 1 n 1
ann可能不为零，而 (12 n) 0
结论得证
依次类推，可知在n阶行列式的展开式中只有唯一的一项
p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn
p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a p11a p2 2 a pnn
说明
• 等式右端的求和是对所有的n级排列求和，
• 右端的展开式中共含 n! 项，各项均为左端 的不同行不同列的元素乘积； • 上述n阶行列式可简记为 det(aij ) • 一个数也可看为一阶行列式
又如
(135(2n 1)246(2n))
(n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
练一练： (135264 )
(462531 )
＝4 ＝11
5
思考： 解：
n(n 1)(n 2)...21 是奇排列还是偶排列？？
n(n 1) (n(n 1)( n 2)...21) 1 2 (n 1) 2
(31254）=3，所以31254是奇排列
.例如，自然数1，2，3的排列共有六个： 1 2 3， 3 1 2， 2 3 1， 1 3 2， 2 1 3， 3 2 1.
偶排列: 逆序数为偶 数的排列
奇排列：
逆序数为偶 数的排列
(312) 2,
n! 结论：一个ｎ级排列中奇偶排列各占一半，即 2
,n
DT
b11 b21
b12 b22
b1n b2 n bnn
bn1 bn 2
p1 p2
(1) ( p1 p2
( p1 p2
pn )
pn
b1 p1 b2 p2
bnpn
a pn n
D
p1 p2
(1)
pn
pn )
a p11a p2 2
性质1.2 互换行列式的两行(列)，行列式变号.
.例如
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
1
1 1 2
2
0 1 3 1
2
注意：第i行(列)与第j行(列)交换记为:
ri rj (ci c j )
推论 ： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
20
性质1.3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式.
DT ，
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
T
T D 即 D 是这样得到的：把D中第i行作为 的第i列，这就是说
D T 的第i行第j列处的元素为D的第j行第i列处的元素. 称D
为行列式D的转置行列式.
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. ， ) bij a ji , i , j 1, 2, 证 记 D det(aij 则由行列式的定义式(1.8)与(1.9)可得
a a
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32
11
21
a a
12 22
a11a22 a12 a21
a13a21a32
a13 a 23 a33
a11a22 a33 a12 a23a31
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1
第一章 行列式
这种主对角线(从左上角到右下角的对角线)以下(上
)的元素都是0的行列式，称为上(下)三角行列式.
pn n
证 由于n阶行列式的展开式中每一项的一般形式是(Βιβλιοθήκη ) ( p1 p2pn )
a1 p1 a2 p2
anpn
其中只要有一个元素等于零，乘积就是零，所以只需计算
pn n 时， anpn 0，故只需考虑 pn n 的项即可. 又因 为在第 n 1行中，当 pn 1 n 1, n 时，an1, pn1 0