微积分概述

微积分概述

一、微积分的来历

早在公元前三世纪，在古希腊就出现了微积分的雏形。阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积等问题中，就隐含了近代积分的思想。到了十七世纪，有许多科学问题亟需解决，第一类是瞬时速度问题；第二类是求任意曲线的切线问题；第三类是最值问题；第四类是求曲线长、曲线所围面积等问题。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决以上问题做了大量的研究工作，例如费马、笛卡尔、巴罗、开普勒、伽利略等等。

十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立研究和完成了微积分的创立工作。他们最大的功绩就是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题，一个是求积问题。

二、微积分的主要内容

众所周知，微积分由微分、积分组成，微分与积分互为逆运算，但是很多学生学完整本微积分，仍然对于微积分没有一个清晰的了解。下面我们通过一个例子来具体地了解微积分的主要问题。

引例：路程函数()()S S t v v t ==与速度函数，我们首先考虑匀速的情况；

上述两个图像表达的都是一个速度恒为1的匀速直线运动。我们可以根据图（1）画出图（2），也可以根据图（2）画出图（1）。这就说明一个运动的路程函数与速度函数有内在的联系。

然后，我们来考虑变速的情况：

请大家根据图（3）得出图（4）并解释运动的具体情况。

通过图（1）画出图（2）以及通过图（3）画出图（4），这个过程就是微分，即由路程函数微分可得速度函数。通过图（2）画出图（1）以及通过图（4）画出图（3）这个过程就是积分，即由速度函数积分可得路程函数。

类似的例子还有很多，通过这个例子，大家应该清楚微积分其实就是事物内部的某种规律。例如，一个运动的路程函数与速度函数的关系；一个物体体积与表面积的关系等。

所以，我们研究微积分其实就是帮助我们更好地了解世界中某些事物内部的规律变化。

三、微积分的应用

微积分在工程学、经济学、天文学、力学等许多领域都有着广泛的应用。实际上，只要有变量的问题，微积分就有其具体的应用。所以我们在大学期间要学习微积分这门课程。通过学习掌握好微积分的基本方法以后，我们在许多自然科学里能找到许多的基础应用。这是我们学习专业知识的基础。

四、微积分的基本构架

函数→极限→微分→应用

↓

积分→应用