高考数学函数零点专题

专题2.函数的零点

高考解读

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理

1．函数的零点与方程的根

(1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破

考点一 函数的零点判断

例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．1

2

-

B ．13

C ．12

D ．1

【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋1

2

x －2的零点所在的区间是( )

A. )2

1

,0( B.)1,2

1( C ．(1,2) D ．(2,3)

(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 2x ，x >0，－1x

，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【方法技巧】函数零点的求法

(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且

f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少

个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．

【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 考点二、二次函数的零点

例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .

(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；

(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．

【方法技巧】

解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．

【变式探究】

已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．

考点三 函数零点的应用

例3、【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，

函数g (x )＝b －f (2－x )，其中

b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A.),47(+∞

B.)47,(-∞

C. )47,0(

D.)2,4

7(

【方法规律】

函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

【变式探究】

对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎨⎧

－m 2

＋2mn －1m ≤n ，

n 2－mn m >n ，

设f (x )＝(2x

－1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．

考点四、分段函数的模型

例4、【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，

则满足1

()()12f x f x +->的

x 的取值范围是_________.

【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千

件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件