大学物理第二版第十章

I
dx
1
i
0 I
2b

0 I
2b
1 0 i 2
i
B1 B3 0
B2 0 i
磁屏蔽
(1)
(2)
(3)
2.载流圆线圈的磁场 求轴线上一点P的磁感应强度
dB
Idl
Baidu Nhomakorabea
R 0 I
r
x

P
dB
0 Idl
4 r
2

Idl 4 ( R 2 x 2 )
0
dB
0 I sin B dB dl 2 4 l r l
2
I
以 夹角α（如图所示）为中间变量， 以上问题便可迎刃而解：


2

r a sec
dl a sec d
2
2
Idl r a 2
1
1
r2
l a tan
代入积分式得：
r1
P
说明
(1) B 是描述磁场中各点的强弱和方向的物理量 (2) 一般情况， B B( x , y , z )

(3) 在SI制中，磁感应强度B的单位为：T （特斯拉）
1T 104 G
（G：高斯，工程技术中常用的B的单位）
§10.2 比奥－萨伐尔定律及其应用
10.2.1 稳恒电流的磁场
最后，求得 B Bx i B y j Bz k
§10.3 磁通量 磁场中的高斯定律
10.3.1 磁感应线（磁力线） 规定 1) 方向：磁力线切线方向为磁感应强度 B 的方向 2) 大小：垂直B 的单位面积上穿过的磁力线条数 为磁感应强度 B 的大小
典型稳恒磁场的磁力线
0 0 Id l r dB 4 r2
说明
dB
(1) 电流元Idl产生的磁场的B的大小 0 Idl P dB sin 2 4 r 0 4 107 N / A 2 (真空中的磁导率)
I
r

Idl
(2) 电流元Idl产生的磁场的B的方向 r 垂直 Idl 与 组成的平面，满足右手法则
Idl
电流元模型
Idl
大小：Idl 方向：电流的方向
Idl
I
B dB
基本思路： I
!
dB
比奥－萨伐尔定律
任一电流元Idl在空间某点P产生的磁感应 0 强度的大小与电流元Idl的大小成正比，与电 0 Id l r 流元和由电流元到点P的矢量r之间的夹角的 dB 2 4 r 正弦成正比，与电流元到点P的距离的平方成 反比；磁感应强度dB的方向垂直于Idl和r所组 成的平面，其指向满足右手螺旋关系．
10.1.2 磁感应强度 描述静电场 描述恒定磁场 引入试验电荷q0 引入运动电荷q0
H.A Lorenz
运动电荷q0在磁场中的受力称为洛伦兹力 洛伦兹力的试验结果确定B： v // B F 0
定义：磁感应强度的方向
F 0
Fmax
当v B
时,
Fmax q0 v
0dI
2r

2by sec
O b
0 I dx

r
x
BP Bx dBx 2 dB cos
2
x ytan
b 2 0
dx 2by sec2
0 I
I
dx
1
dx y sec2 d
1 arctan
b 2y
BP
0 I
b

θ1 0
b d arctan b 2y
dN B dS
磁力线的特点：
1) 无头无尾的闭合曲线 2) 与电流相互套连，服 从右手螺旋定则
（直导线）
（螺线管）
3) 磁力线不相交
10.3.2 磁通量 定义 穿过磁场中任一曲面的磁感应线条数，称为 穿过该曲面的磁通量。——φm 磁通量的计算 对一微小曲面
dS
B
dN B dS
n
S
I
3. 载流螺线管轴线上的磁场
已知螺线管半径为R
1
l
r
dl
单位长度上有n 匝
dI ' Indl
dB

R
P
dB
2
0 R 2dI
2( R 2 l 2 )3 / 2
2 2

0 R 2 Indl
2( R 2 l 2 )3 / 2
I
dB
l R cot
第10章 稳恒磁场
第10章
本章内容
稳恒磁场
§10.1 磁感应强度
§10.2 比奥－萨伐尔定律及其应用
§10.3 磁通量 磁场中的高斯定律 §10.4 安培环路定律
§10.5 磁场对载流导线的作用 §10.6 磁场对运动电荷的作用
§10.7 磁介质
§10.1 磁感应强度
10.1.1 磁现象
自然界中的现象：
例：
P
dB
P
dB
Idl
dB 0
P
dB Idl
P
dB
Idl
Idl
P'
(3) 对任意一段有限电流，其产生的磁感应强度
0 0 Idl r B dB 4 r2
Bx dBx
B y dB y
Bz dBz
原则上根据上式可求任意电流系统产生磁场的 B
“分子电流假设” （1822年，安培） pm
i
S
(A.M.Ampere)
① 一切磁现象都起源于电流，任何物质的分子中都存在 着环形电流（分子电流），每个分子电流就相当于一个基元 磁体，当这些分子电流作规则排列时，宏观上便显示出磁性。
②近代分子电流的概念：
轨道圆电流＋自旋圆电流＝分子电流
上述现象都深刻地说明了： 磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系。
0 I
分析：
(1)
b Bp arctan b 2y
b b arctan 2y 2y
0 I
dB dBx dB
y
P

O
y b
BP
r
0 Ib
2 yb

0 I
2y
(无限长载流直导线) b
x
(2)
y b
BP
b arctan 2y 2
无限大板
B
0 I asec 2cosd B 4 a 2sec 2 0 I 0 I cosd (sin 2 sin 1 ) 4a 4a
1 2 1
(3) 无限长载流平板 解
Idx dI b
dB x
dB
dB
y P
dB
(4)稳恒电流总是闭合的，不可能存在单独的电流元，因 此我们无法从实验中直接得到比奥－萨伐尔定律，但由它 计算出的载流导线在场点产生的磁场，和实验测量结果符 合得很好，从而间接证明了该定律的正确性。
1.载流直导线的磁场 求距离载流直导线为a 处 一点P 的磁感应强度 B 解
dB
I
Idl
10.2.2 运动电荷的磁场 0 0 Idl r 根据 dB 2
4 r
I
P 来分析。
Idl
r
dQ n Sdl q nSqv dt dt 0 0 ( nSqv )dl r dB 4 r2
S
电流元内总电荷数
dN nSdl
0 0 dN qv r dB 4 r2 0 dB 0 qv r B dN 4 r 2
x
根据对称性
B 0
B dBx dB cos
cos
B
0 Idl
4 r
2
cos
R R 2 r ( R x 2 )1 / 2
0 IR 2
2( R 2 x 2 ) 3 / 2
方向满足右手定则
讨论
B
0 IR 2
2( R 2 x 2 ) 3 / 2
m B dS 0 (磁高斯定理) S
v
q
Idl + n
一个运动电荷产生的磁场
例 如图的导线，已知电荷线密度为，当绕O点以 转动时 求 O点的磁感应强度
解 线段1：
dq
1

b
dq dl bd
0 dq b dB1 4 b 2
0 d 4 1 0 B1 d 0 0 4 4 1 线段2： 同理 B2 0 4
例 求绕轴旋转的带电圆盘轴线上的磁场和圆盘的磁矩
解 (1)
q / R 2
dq 2rdr
r
dI
dq 2rdr rdr dt 2

q x
dB
0 r 2dI
2( r x )
2 2 3/ 2

0r 3dr
2( r 2 x 2 )3 / 2
讨论
B
I
0 I
4a
(cos 1 cos 2 )
2
B
(1) 无限长直导线 1 0
B
2
0 I
2a
方向：右螺旋法则
1
P
(2) 任意形状直导线
B1 0
π B2 (cos cos π) 4a 2
0 I
2 P

0 I
4a
r
a
I 1
B
另解
F Fmax Fmax B q0 v
F 0
定义：磁感应强度的大小
与电荷 q0运动方向及受力方向 满足右手法则的方向规定为B的方 向（与该点小磁针N极指向一致 ） 一般情况
Fmax
900
B v
F qv B
洛伦兹力公式
dF
B q0 v
0 q0 vB sin Fmax
d m B dS
dS
对于有限曲面 m B dS 对于闭合曲面 m B dS
S
规定： 单位：
磁力线穿入 m 0 磁力线穿出 m 0
Wb 韦伯
1Wb 1T m 2
10.3.3 磁场中的高斯定律 磁场线都是闭合曲线
方向沿 x 轴正向
应用毕奥-萨伐尔定律求电流的磁场的一般思路： （1）确定电流元； 否一致；
如果相同时，直接使用 B dB 来计算 B ； L 如果不相同，则先求出 dB 在各坐标轴上的投影，再分别求
Bx dBx，B y dB y，Bz dBz
（2）要确定载流导线中的各个电流元在给定点产生的 dB 方向是
(1)
x 0 载流圆线圈的圆心处
B
0 I
2R
I
0 I B N 如果由N匝圆线圈组成 2R
(2)一段圆弧在圆心处产生的磁场 B
(3)
x R ，则有
B
0 I
2 R 2

pm
0 IR
2x
3
2


0 IS
2x 3
pm ISn
磁矩
0 p m B 2 x 3
“磁石吸铁”
（公元前300年）
奥斯特
“指南针” “地磁”，“地磁偏角”（11世纪，北宋，沈括）
磁现象起源于运动电荷
电流的磁效应（电产生磁）
（1820年，奥斯特）
后来人们还发现磁电联系的例子有： 磁体对载流导线的作用；（1820年，安培） 通电螺线管与条形磁铁相似； （1820年，安培） 载流导线彼此间有磁相互作用；……
R l R csc
2 2
0
2
nI sin d
B
β1
β2
0
2
nI sin d
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI nI B 0 2
讨 论 (1) 无限长载流螺线管 1 2 0 (2) 半无限长载流螺线管 β1 2 , β2 0
v
d
4
O
a
3
2
线段3：
dq dr
r2
dB3
0 dr r
4
b
0 dr 4r
4
1

b
B3
a
0 0 b dr In 4r 4 a
O dB 3 a
2
v
0 b In 线段4： 同理 B4 4 a
b In 1 B B1 B2 B3 B4 (1 a )0 2
2 2
O
P
R
dB
0 IR 2
B dB
0 R 2 x
2
2 x 2 2 x R
B
2( R 2 x 2 ) 3 / 2
(2) 圆盘的磁矩
2 3 dpm r dIn r drn
pm dpm
R 0 4 R r 3dr 4
2
0 Idl sin
4 r2
l O
r2
r
a
B dB
0 Idl sin
4
1
B
P
根据几何关系：
a r sin
B

l acot acot
sind 4a
1
0 I
2
dl acsc d
2
0 I
4a
(cos 1 cos 2 )