3-2-1 向量组的线性相关性
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向量组的线性相关性(3)
(iv) +()=0
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
3-2向量组的线性关系
19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
向量组的线性相关性
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有只有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩<=向量的个数 m ．．
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性资料
e1,e2,…,en线性表示.
a (a1,a2, ,an )T , e1 (1,0, ,0)T ,
e2 (0,1, ,0)T , ,en (0,0, ,1)T
a1 1 0
a2
a1
0
a2
1
an
注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得 o
（2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ( ) o
（3） 0 0; (1) ; 0 0. （4）如果 0, 则 0或 0
n 维向量的实际意义
k11 k22 kmm 0
11k1 21k 2
齐次线性方程组
12k
1
22
k
2
1nk1 2nk 2
有非零解
m1k m 0, m2k m 0,
mnk m 0,
定理1 设有n个n维向量i (ai1, ai2 , ain ), (i 1,
10 2
1 2 4 0
15 7
故向量组线性相关.
例4 已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2,
b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关.
证 设有k1, k2, k3使
k1b1 k2b2 k3b3 0
即 k（1 1 2） k2 (2 3) k3(3 1) 0,
整理得线性方程组
a11k1 a21k2 am1 km 0,
3-2向量组的线性相关与线性无关
的线性组合 解 设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得
β = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4
即
1 1 1 1 1 2 1 1 −1 =x +x −1 + x3 + x4 1 2 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
亦即（ x1 + x 3 )α 1 + ( x1 + x 2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0, 线性无关， 因 α 1，α 2，α 3 线性无关，故有
x 1 + x 3 = 0, x 1 + x 2 = 0, x + x = 0. 2 3
1 0 1 由于 1 1 0 = 2 ≠ 0 0 1 1
全为零的数 k1 , k 2 ,L , k m 使 r r r r k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 是线性相关的，否则称它线性无关． 1. α 1 , α 2 , L , α n 线性无关 ⇔ 只有当 k1 = L = k n = 0时 ,
才有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线 性无关就是线性相关 .
3.向量组只包含一个向量α 时, 若α = 0 则 α 线性相关, 若α ≠ 0, 则 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例 .
3-2向量的线性相关性
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
1 2 s
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
3-1 向量组的线性相关性
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例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
3-2向量的线性相关性
称为n维基本单位向量组, 讨论其线性相关性 . 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵.由E 1 0
故此向量组是线性无关的.
例 3 判断向量组
1 (1, 1, 2)T ,
是否线性相关?
2 (2, 1, 3)T , 3 (3, 1, 1)T
------------ X (c1,c2,L ,cn)T 为方程组的一个解向量。方程组的所有解（或
解向量）组成的集合，称为该方程组的解集。
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
线性方程组
a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
任给一组 n 维向量1,2 ,L ,s 及 ,如何判断向量
是否能由向量组1,2 ,L ,s 线性表出呢？设
a1 j
j
a2
j
,
M
j 1, 2,L
, s;
anj
上面已验证，向量组关系式
b1
b2
,
M
bn
x11 x22 L xss
（3.16）
与方程组关系式
a11x1 a12 x2 L a1s xs b1,
向量数乘
k (ka1 , ka2 , , kan )T .
可以根据向量加法定义向量 与 的差: ( ) ,
即 (a1 b1, a2 b2 , , an bn )T .
这两种运算满足以下八条运算规律:
设 , , 是向量, k, l是常数, 则
(ⅰ) ; (ⅱ) ( ) ( ) ; (ⅲ) 0 ; (ⅳ) ( ) 0 ; (ⅴ) 1 ; (ⅵ) k(l ) (kl) ; (ⅶ) k( ) k k ; (ⅷ) (k l) k l .
E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵.由E 1 0
故此向量组是线性无关的.
例 3 判断向量组
1 (1, 1, 2)T ,
是否线性相关?
2 (2, 1, 3)T , 3 (3, 1, 1)T
------------ X (c1,c2,L ,cn)T 为方程组的一个解向量。方程组的所有解（或
解向量）组成的集合，称为该方程组的解集。
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
线性方程组
a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
任给一组 n 维向量1,2 ,L ,s 及 ,如何判断向量
是否能由向量组1,2 ,L ,s 线性表出呢？设
a1 j
j
a2
j
,
M
j 1, 2,L
, s;
anj
上面已验证，向量组关系式
b1
b2
,
M
bn
x11 x22 L xss
（3.16）
与方程组关系式
a11x1 a12 x2 L a1s xs b1,
向量数乘
k (ka1 , ka2 , , kan )T .
可以根据向量加法定义向量 与 的差: ( ) ,
即 (a1 b1, a2 b2 , , an bn )T .
这两种运算满足以下八条运算规律:
设 , , 是向量, k, l是常数, 则
(ⅰ) ; (ⅱ) ( ) ( ) ; (ⅲ) 0 ; (ⅳ) ( ) 0 ; (ⅴ) 1 ; (ⅵ) k(l ) (kl) ; (ⅶ) k( ) k k ; (ⅷ) (k l) k l .
3-2 向量组的线性相关性
回
一、解的判定定理 二、方程组的求解
顾
Henan Agricultural University
结束
第二节 向量组的线性相关性
• • • • 一、n 维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质
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即
x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0. 因为a1, a2, a3线性无关, 故有
x1+ x3 =0 x1+ x2 =0 . x2 + x3 =0
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1 2 4 1 2 4 r 1 0 2 r r 0 −5 −5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 , ~0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0 0 所以R(a1, a2, b1)=R(a1, α2), 从而方程组有解, 即b1可由a1, a2线 性表示, 且存在x1=2, x2=1, 使2a1+a2=b1. 定理1 定理 向量b能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am)与矩阵B=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am, b)的秩相等, 即R(A)=R(B). 1 2 4 2 −1 3 T T T (a1 , a2 , b ) = 1 −1 1 −1 3 1 11
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关, b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证向量组b1, b2, b3线性无关. 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
一、解的判定定理 二、方程组的求解
顾
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结束
第二节 向量组的线性相关性
• • • • 一、n 维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质
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即
x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0. 因为a1, a2, a3线性无关, 故有
x1+ x3 =0 x1+ x2 =0 . x2 + x3 =0
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1 2 4 1 2 4 r 1 0 2 r r 0 −5 −5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 , ~0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0 0 所以R(a1, a2, b1)=R(a1, α2), 从而方程组有解, 即b1可由a1, a2线 性表示, 且存在x1=2, x2=1, 使2a1+a2=b1. 定理1 定理 向量b能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am)与矩阵B=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am, b)的秩相等, 即R(A)=R(B). 1 2 4 2 −1 3 T T T (a1 , a2 , b ) = 1 −1 1 −1 3 1 11
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关, b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证向量组b1, b2, b3线性无关. 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
{ } L = x = λ1a1 + λ2a2 +L + λmam λ1, λ2 ,L, λm ∈ R
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。
向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。
文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。
同时给出了线性相关性的一些应用。
关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量空间中向量之间的关系。
在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。
所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。
特别地,零向量是任一向量组的线性组合。
于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组12,,s ααα线性无关 。
即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为线性无关。
定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得1122s s k k k ααα++=β则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合二． 关于线性相关性的几种判定1.利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用的一种方法。
具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数;⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。
3-2向量组间的线性关系
α1i α 2i i =12,L m βi = M i =12,L m , , , , αri α r+1,i
x β1 + x2β2 + x3β3 =θ 1 x (α +α2) + x2(α2 +α3) + x3(α3 +α ) =θ 1 1 1
x +x =0 1 2 x2 +x3 =0
x 1
+x3 =0 1 0 1 1 0 1
1 1 0= 0 1 − = 2 1 0 1 1 0 1 1 x = x2 = x3 =0 1
第二节 向量的线性相关性
第三章
一、线性相关与线性无关的概念 二、向量组的线性相关性的判别 三、线性组合与线性表示 四、向量的等价 五、向量组的最大线性无关组
1
一、线性相关与线性无关的概念
, 定义1 定义1 设 A:α1,α2 ,Lαm
如果存在一组不全为 如果存在一组不全为0的数 存在一组不全为0
为n元向量组， 元向量组
线性无关。 β , β , β线性无关。
1 2 3
22
方程组只有零解， 从而 方程组只有零解，
证明二: 证明二:
1 0 1 β , β2, β3 ) =(α ,α2,α3 ) 1 1 0 ( 1 1 0 1 1 记 做 B= A C
从而 R（B）= R（A）， （ ） （ ），
+2x4 =0 x 1 x +2x =0 得同解方程组 2 4 x3 −x4 =0 2x x =− 4 1 方程组的解 为任意实数） 2x x2 =− 4 令 x4 = k （k 为任意实数） x =x 3 4
3.1 3.2向量及向量组的线性相关性
, 2
a22
,, s
a2s
ar1
ar2
ars
则 k11 k22 kss k11 k22 kss
k11
k2 2
ks s
a11
k1
a21
a12
k2
a22
a1s
ks
a2s
k1a11 k1a21
k2a12 ksa1s
k2a22 ksa2s
ars
k1ar1
k2ar 2
ksa1s 0
ksa2s
0
ksars
0
ksa2s 0
ksa1s
0
ksars
0
a11
a12
a1s
1
a21
,
2
a22
, s
a2s
,
ar1
ar2
ars
ka11
ka12
ka1s
1
a21
通常用希腊字母α, β, γ等表示.
说明
①行向量也是1×n的行矩阵，列向量也是n×1的列矩阵； ②行向量可看作是列向量的转置； ③为统一起见，以后所讨论的向量均指列向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作θ ---读作“西塔”
二、向量的运算
如: (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T 定义2. 若向量 和 对应的分量分别相等，即ai=bi ，i=1,2,…,n
a22
,
a1s
s
a2
s
,
a11
a21
a12
a22
a1s
a2s
ar1
ar
3-1向量组的线性相关性
~
1 0 2 0 1 1 0 0 0
因为r ( A) r ( Ab) 2, 所以方程组有解(且解唯一). 故 b 可由1， 2 线性表示. 21 2 b
问 若向量以行向量的形式出现，该如何处理？
定义 称 n 阶单位矩阵 I 的行向量组
例3 ( 2001年华农)
当k 为何值时，向量 (1， k )T 可由1 ( 2,1,1)T 2，
2 ( 1,2,7 )T , 3 (1,1,4)T , 4 (1,4,11)T
线性表示，并写出其线 性表达式.
1 1 ( t1 6t 2 4)1 ( 3t1 7t 2 3) 2 t1 3 t 2 4 5 5 t1 , t 2 为任意常数. 4 3 ( k1 6k2 )1 ( 3k1 7k2 ) 2 5k1 3 5 5 5k2 4 k1 , k2 为任意常数.
则 可由1 , 2 ,, s 线性表示且表示法唯一 .
证 (反证法)
例 设 t1 , t 2 ,, t r 是互不相同的数 ( r n).
证明向量组1 (1, t1 , t12 ,, t1n1 ), 2 n 1 2 n 1 2 (1, t 2 , t 2 ,, t 2 ),, r (1, t r , t r ,, t r )
2 当 r<n 时 令 1 (1, t1 , t12 ,, t1r 1 ),
2 (1, t 2 , t ,, t
2 2
r 1 2
),
r (1, t r , t r2 ,, t rr 1 ).
由 1)的证明知 1 , 2 ,, r 线性无关，
而1， 2 ,, r 是 1 , 2 ,, r 添加分量所得， 所以1， 2 ,, r 线性无关.
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
![线性代数__2[1].2向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/b9fe1714a2161479171128c3.png)
k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm
可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合
3-2向量组的线性相关性
α1,α2, ,αm , β 线性相关，则向量 β 可由向量组 α1,α2 , ,αm 线性表示且表示法唯一.
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证明 存在性 ∵ α1,α2, ,αm, β线性相关
∴ 存在不全为 0的k1, k2 , , km , k, 使得 k1α 1+k2α 2+ + kmα m+kβ = 0
3
推论1： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若向量组A 能由向量组B线性表示, 且 r > s,则向量组 A必线性相关. (如果个数多的向量组能由个数少的向 向量组线性表示，则个数多的向量组必线性相关)
推论2： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若此两个向量组等价且皆线性无关，则 r = s . (等价的线性无关向量组所含向量个数相同)
⎪⎩ x2 + x3 = 0
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0
011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，
所以
向量Байду номын сангаасβ1
,
β
2
,
β
线性无关
3
.
注 若向量组坐标没给出，则用定义做.
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二、向量组线性相关性的判定
P67例5
定理1（判别法一）
n个n维向量所组成的向量组 α1,α 2,
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣−5⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
解： 因为向量个数等于向量维数，
1 0 −1 1 0 0 ∴ −2 2 1 = −2 2 −1 = 5 ≠ 0
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证明 存在性 ∵ α1,α2, ,αm, β线性相关
∴ 存在不全为 0的k1, k2 , , km , k, 使得 k1α 1+k2α 2+ + kmα m+kβ = 0
3
推论1： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若向量组A 能由向量组B线性表示, 且 r > s,则向量组 A必线性相关. (如果个数多的向量组能由个数少的向 向量组线性表示，则个数多的向量组必线性相关)
推论2： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若此两个向量组等价且皆线性无关，则 r = s . (等价的线性无关向量组所含向量个数相同)
⎪⎩ x2 + x3 = 0
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0
011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，
所以
向量Байду номын сангаасβ1
,
β
2
,
β
线性无关
3
.
注 若向量组坐标没给出，则用定义做.
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二、向量组线性相关性的判定
P67例5
定理1（判别法一）
n个n维向量所组成的向量组 α1,α 2,
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣−5⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
解： 因为向量个数等于向量维数，
1 0 −1 1 0 0 ∴ −2 2 1 = −2 2 −1 = 5 ≠ 0
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第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
（2）对 任 意 的n维 向 量 a1 , a2 ,, an ，
向 量 组1 , 2 ,, m ,线 性 相 关 。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
于是c1
c2
cn
0,因此
1
,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
注意
1.
若
1
,
2
,,
线
m
性
无
关,
则
只
有
当
c1 c2 cm 0时, 才 有
c11 c2 2 cm m 0 成 立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
称n维 向 量 组
1 1，0，，0 2 0,1，，0
n 0，0，，1
为n维 单 位 向 量 组
例1 试 证:（1） n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn
n
m
x x x b 1
1
2
2
n
n
Ax b
x x x b 1 1 2 2 n n
未知数 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
注意：i是列向量(i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
相关性判定定理
定理2.1 向量组1,2 ,,m m 2线性相关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由其余m 1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
2
,,
线性相关。
n
2 显然存在不全为零的数a1 , a2 ,, an和 1使得 a11 a2 2 an n (1) 0
因此1, 2 ,, n , 线性相关。
例2 讨 论 下 列 向 量 组 线 性 相关 性
（1）1 1，2，0， 2 2,1,1 （2）1 1， 1，1， 2 2,1,1, 3 1,4, p
分 组(即 由 该 向 量 组 的 一 部 分向 量 所 组 成 的 集 合)线 性 相 关 ， 则 该 向 量 组 也线 性 相 关 。
定理2.2' 若n维向量组1, 2 ,, m m 2线性无
关，则其任意部分组也线性无关。
定 理2.3 若n维 向 量 组1 , 2 ,, m线 性 无 关 ，
而 向 量 组1 , 2 ,,m , 线 性 相 关 ， 则能 由
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定理2.1' 向量组1,2 ,,m m 2线性无关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 的 任 何 向 量 都 不 能
由其余m 1个向量线性表示。
定理2.2 若n维向量组1,2 ,,m m 2有一个部
因向量组
1
,
2
,
线性无关，故有
3
x1 x3 0
x1
x2
0
x2
x3
0
由于系数行列式
101
1 1 0 20
011
因此齐次方程组*只有零解x1 x2 x3 0,所以
向
量
组1
,
2
,
线
3
性
无
关
。
注意
1. 如果一个向量组只包含一个零向量，则该
向量组是线性相关。 2. 如果一个向量组只包含一个非零向量，则
该向量组是线性无关。
3. 如果一个向量组包含一个零向量，则该向 量组是线性相关。
4.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组,它 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 两 向 量 的 分量 对 应 成 比 例 ， 几 何 意义 是 两 向 量 共 线 ； 三 个 向量 相 关 的 几 何 意 义 是 三向 量 共 面.
m
总之，一个含有有限个向量的向量组可构成一个 矩阵。反之，一个矩阵可以看成是有限个行向量所 构成所构成的向量组，也可以看成是有限个列向量 所构成所构成的向量组。矩阵与向量组在形式上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量组的有关问题。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
成 的 矩 阵, i 称 为 矩 阵A的 第i个 行 向 量 。
一个含有有限个向量的向量组，总可以看成 是由一个矩阵的全体行向量所构成。
m n矩阵A有m个n维行向量，同时又有n个 m维列向量
a1 j
j
a2 j
amj
从 而A可 记 为
j 1,2,, n
1
A
2
或
A 1, 2,, n
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
（2）对 任 意 的n维 向 量 a1 , a2 ,, an ，
向 量 组1 , 2 ,, m ,线 性 相 关 。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
于是c1
c2
cn
0,因此
1
,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
注意
1.
若
1
,
2
,,
线
m
性
无
关,
则
只
有
当
c1 c2 cm 0时, 才 有
c11 c2 2 cm m 0 成 立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
称n维 向 量 组
1 1，0，，0 2 0,1，，0
n 0，0，，1
为n维 单 位 向 量 组
例1 试 证:（1） n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn
n
m
x x x b 1
1
2
2
n
n
Ax b
x x x b 1 1 2 2 n n
未知数 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
注意：i是列向量(i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
相关性判定定理
定理2.1 向量组1,2 ,,m m 2线性相关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由其余m 1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
2
,,
线性相关。
n
2 显然存在不全为零的数a1 , a2 ,, an和 1使得 a11 a2 2 an n (1) 0
因此1, 2 ,, n , 线性相关。
例2 讨 论 下 列 向 量 组 线 性 相关 性
（1）1 1，2，0， 2 2,1,1 （2）1 1， 1，1， 2 2,1,1, 3 1,4, p
分 组(即 由 该 向 量 组 的 一 部 分向 量 所 组 成 的 集 合)线 性 相 关 ， 则 该 向 量 组 也线 性 相 关 。
定理2.2' 若n维向量组1, 2 ,, m m 2线性无
关，则其任意部分组也线性无关。
定 理2.3 若n维 向 量 组1 , 2 ,, m线 性 无 关 ，
而 向 量 组1 , 2 ,,m , 线 性 相 关 ， 则能 由
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定理2.1' 向量组1,2 ,,m m 2线性无关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 的 任 何 向 量 都 不 能
由其余m 1个向量线性表示。
定理2.2 若n维向量组1,2 ,,m m 2有一个部
因向量组
1
,
2
,
线性无关，故有
3
x1 x3 0
x1
x2
0
x2
x3
0
由于系数行列式
101
1 1 0 20
011
因此齐次方程组*只有零解x1 x2 x3 0,所以
向
量
组1
,
2
,
线
3
性
无
关
。
注意
1. 如果一个向量组只包含一个零向量，则该
向量组是线性相关。 2. 如果一个向量组只包含一个非零向量，则
该向量组是线性无关。
3. 如果一个向量组包含一个零向量，则该向 量组是线性相关。
4.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组,它 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 两 向 量 的 分量 对 应 成 比 例 ， 几 何 意义 是 两 向 量 共 线 ； 三 个 向量 相 关 的 几 何 意 义 是 三向 量 共 面.
m
总之，一个含有有限个向量的向量组可构成一个 矩阵。反之，一个矩阵可以看成是有限个行向量所 构成所构成的向量组，也可以看成是有限个列向量 所构成所构成的向量组。矩阵与向量组在形式上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量组的有关问题。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
成 的 矩 阵, i 称 为 矩 阵A的 第i个 行 向 量 。
一个含有有限个向量的向量组，总可以看成 是由一个矩阵的全体行向量所构成。
m n矩阵A有m个n维行向量，同时又有n个 m维列向量
a1 j
j
a2 j
amj
从 而A可 记 为
j 1,2,, n
1
A
2
或
A 1, 2,, n