3-2-1 向量组的线性相关性
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（2）对 任 意 的n维 向 量 a1 , a2 ,, an ，
向 量 组1 , 2 ,, m ,线 性 相 关 。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
于是c1
c2
cn
0,因此
1
,
相关性判定定理
定理2.1 向量组1,2 ,,m m 2线性相关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由其余m 1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21
a
m1
a12 a22
am2
a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
成 的 矩 阵, i 称 为 矩 阵A的 第i个 行 向 量 。
一个含有有限个向量的向量组，总可以看成 是由一个矩阵的全体行向量所构成。
m n矩阵A有m个n维行向量，同时又有n个 m维列向量
a1 j
j
a2 j
amj
从 而A可 记 为
j 1,2,, n
1
A
2
或
A 1, 2,, n
该向量组是线性无关。
3. 如果一个向量组包含一个零向量，则该向 量组是线性相关。
4.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组,它 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 两 向 量 的 分量 对 应 成 比 例 ， 几 何 意义 是 两 向 量 共 线 ； 三 个 向量 相 关 的 几 何 意 义 是 三向 量 共 面.
2
,,
线性相关。
n
2 显然存在不全为零的数a1 , a2 ,, an和 1使得 a11 a2 2 an n (1) 0
因此1, 2 ,, n , 线性相关。
例2 讨 论 下 列 向 量 组 线 性 相关 性
（1）1 1，2，0， 2 2,1,1 （2）1 1， 1，1， 2 2,1,1, 3 1,4, p
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn
n
m
x x x b 1
1
2
2
n
n
Ax b
x x x b 1 1 2 2 n n
未知数 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
注意：i是列向量(i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定理2.1' 向量组1,2 ,,m m 2线性无关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 的 任 何 向 量 都 不 能
由其余m 1个向量线性表示。
定理2.2 若n维向量组1,2 ,,m m 2有一个部
注意
1.
若
1
,
2
,,
线
m
性
无
关,
则
只
有
当
c1 c2 cm 0时, 才 有
Байду номын сангаас
c11 c2 2 cm m 0 成 立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
称n维 向 量 组
1 1，0，，0 2 0,1，，0
n 0，0，，1
为n维 单 位 向 量 组
例1 试 证:（1） n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
m
总之，一个含有有限个向量的向量组可构成一个 矩阵。反之，一个矩阵可以看成是有限个行向量所 构成所构成的向量组，也可以看成是有限个列向量 所构成所构成的向量组。矩阵与向量组在形式上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量组的有关问题。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
分 组(即 由 该 向 量 组 的 一 部 分向 量 所 组 成 的 集 合)线 性 相 关 ， 则 该 向 量 组 也线 性 相 关 。
定理2.2' 若n维向量组1, 2 ,, m m 2线性无
关，则其任意部分组也线性无关。
定 理2.3 若n维 向 量 组1 , 2 ,, m线 性 无 关 ，
而 向 量 组1 , 2 ,,m , 线 性 相 关 ， 则能 由
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
因向量组
1
,
2
,
线性无关，故有
3
x1 x3 0
x1
x2
0
x2
x3
0
由于系数行列式
101
1 1 0 20
011
因此齐次方程组*只有零解x1 x2 x3 0,所以
向
量
组1
,
2
,
线
3
性
无
关
。
注意
1. 如果一个向量组只包含一个零向量，则该
向量组是线性相关。 2. 如果一个向量组只包含一个非零向量，则
向 量 组1 , 2 ,, m ,线 性 相 关 。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
于是c1
c2
cn
0,因此
1
,
相关性判定定理
定理2.1 向量组1,2 ,,m m 2线性相关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由其余m 1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21
a
m1
a12 a22
am2
a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
成 的 矩 阵, i 称 为 矩 阵A的 第i个 行 向 量 。
一个含有有限个向量的向量组，总可以看成 是由一个矩阵的全体行向量所构成。
m n矩阵A有m个n维行向量，同时又有n个 m维列向量
a1 j
j
a2 j
amj
从 而A可 记 为
j 1,2,, n
1
A
2
或
A 1, 2,, n
该向量组是线性无关。
3. 如果一个向量组包含一个零向量，则该向 量组是线性相关。
4.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组,它 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 两 向 量 的 分量 对 应 成 比 例 ， 几 何 意义 是 两 向 量 共 线 ； 三 个 向量 相 关 的 几 何 意 义 是 三向 量 共 面.
2
,,
线性相关。
n
2 显然存在不全为零的数a1 , a2 ,, an和 1使得 a11 a2 2 an n (1) 0
因此1, 2 ,, n , 线性相关。
例2 讨 论 下 列 向 量 组 线 性 相关 性
（1）1 1，2，0， 2 2,1,1 （2）1 1， 1，1， 2 2,1,1, 3 1,4, p
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn
n
m
x x x b 1
1
2
2
n
n
Ax b
x x x b 1 1 2 2 n n
未知数 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
注意：i是列向量(i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定理2.1' 向量组1,2 ,,m m 2线性无关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 的 任 何 向 量 都 不 能
由其余m 1个向量线性表示。
定理2.2 若n维向量组1,2 ,,m m 2有一个部
注意
1.
若
1
,
2
,,
线
m
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无
关,
则
只
有
当
c1 c2 cm 0时, 才 有
Байду номын сангаас
c11 c2 2 cm m 0 成 立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
称n维 向 量 组
1 1，0，，0 2 0,1，，0
n 0，0，，1
为n维 单 位 向 量 组
例1 试 证:（1） n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
m
总之，一个含有有限个向量的向量组可构成一个 矩阵。反之，一个矩阵可以看成是有限个行向量所 构成所构成的向量组，也可以看成是有限个列向量 所构成所构成的向量组。矩阵与向量组在形式上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量组的有关问题。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
分 组(即 由 该 向 量 组 的 一 部 分向 量 所 组 成 的 集 合)线 性 相 关 ， 则 该 向 量 组 也线 性 相 关 。
定理2.2' 若n维向量组1, 2 ,, m m 2线性无
关，则其任意部分组也线性无关。
定 理2.3 若n维 向 量 组1 , 2 ,, m线 性 无 关 ，
而 向 量 组1 , 2 ,,m , 线 性 相 关 ， 则能 由
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
因向量组
1
,
2
,
线性无关，故有
3
x1 x3 0
x1
x2
0
x2
x3
0
由于系数行列式
101
1 1 0 20
011
因此齐次方程组*只有零解x1 x2 x3 0,所以
向
量
组1
,
2
,
线
3
性
无
关
。
注意
1. 如果一个向量组只包含一个零向量，则该
向量组是线性相关。 2. 如果一个向量组只包含一个非零向量，则