圆的有关证明及计算

2015圆的有关证明及计算1.如图，直线AB与O O相切于点A，弦CD // AB,E,F为圆上的两点，且/ CDE= / ADF .若O 0的半径为2j2 , CD=4.求弦EF的长.2.如图，直线I与半径为4的O 0相切于点A, P是O 0上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB丄I，垂足为B，连接PA.设PA=x, PB=y.求(X- y)的最大值.3.如图，已知AB为O 0的直径，AB=2, AD和BE是圆0的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O 0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,求AM的长.4.如图，O O的直径AB为10cm,弦BC为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O 0, AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.(1)求AC、AD的长;(2)试判断直线PC与O 0的位置关系，并说明理由.P5.如图，点D在O O的直径AB的延长线上，点C在O O上，AC=CD , / ACD=120 °(1)求证：CD是O O的切线;(2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积.6.如图，O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE , 已知/ B=30 ° O O的半径为12,弧DE的长度为4 n求证：DE // BC;(2) 若AF=CE，求线段BC的长度.7.如图，在RtA ABC中，/ ACB=90 °以AC为直径作O O交AB于点D，连接CD .(1)求证：/ A=/ BCD ;(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O O相切？并说明理由.8.如图，AB 是O O 的直径，过点A 作O O 的切线并在其上取一点 C ,连接0C 交O O 于点(1)求证：△ CDEsA CAD ;(2)若 AB=2 , AC=2#2，求 AE 的长.9.如图的O 0中，AB 为直径，0C 丄AB ，弦CD 与0B 交于点F ,10.如图，在RtAABC 中，/ BAC=90 ° AB=4, AC=3，线段 AB 为半圆 0的直径，将RtAABC沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆 0相切于点G ,得△ DEF , DF 与BC 交于点H .(1)求BE 的长;(2)求RtAABC 与^ DEF 重叠(阴影)部分的面积.D ，BD 的延长线交 AC 于E ,连接AD . 切线交于点 G ,并与AB 延长线交于点E .(1)求证:(2)已知: 0F : 0B=1 : 3,0 0的半径为3，求AG 的长.过点D 、A 分别作O 0的E11如图，O O 是^ ABC 的外接圆，AC 是直径，过点0作OD 丄AB 于点D ，延长DO 交O O/ B=/A=30° BD=2/5 .(1)求证：AC 是O O 的切线;(2)求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积.(结果保留 n13.如图，E 是长方形 ABCD 的边AB 上的点，EF 丄DE 交BC 于点F (1)求证：△ ADE sA BEF ;(2)设H 是ED 上一点，以EH 为直径作O O , DF 与O O 相切于点求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,于点 P ,过点P 作PE 丄AC 于点E ,作射线DE 交BC 的延长线于若/ POC=60°, AC=12，求劣弧PC 的长；(结果保留 n(2) 求证: OD=OE ;求证: PF 是O O 的切线.12.如图，点 B 、C 、D 都在O O 上，过C 点作CA // BD 交OD 的延长线于点 A ,连接BC,FG ,若 DH=OH=3,CF14.如图，O 01与O 02外切与点D，直线I与两圆分别相切于点相交于点M，且tan / AM01= 3 , MD=W3.(1)求O 02的半径；A、B,与直线01、02(2)求△ ADB内切圆的面积;15.如图，在半径为6cm的O 0中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且/ D=30 °求证：① 0A 丄BC;② BC=6站5;3sin/ A0B=^;2④四边形AB0C是菱形.16.如图，在O 0中，半径0C与弦AB垂直，垂足为E,以0C为直径的圆与弦AB的一个交点为F, D是CF延长线与O 0的交点.若0E=4, 0F=6，求O 0的半径和CD的长.17.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 °以AC 为直径的O O 与AB 边交于点 D ，过点D 作O O 的切线，交BC 于E . (2)求证：BC 2=BD^BA ;(3)当以点0、D 、E 、C 为顶点的四边形是正方形时,求证：△ ABC 是等腰直角三角形.18如图，半径为6cm 的O 0中，C 、D 为直径AB 的三等分点，点 E 、F 分别在AB 两侧的半圆上，/ BCE = / BDF=60°,连接AE 、BF ，求图中两个阴影部分的面积.(1)求证：点E 是边BC 的中点;19.如图，在正方形 ABCD 中，AD=2, E 是AB 的中点，将 △ BEC 绕点B 逆时针旋转90后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处•再将线段AF绕点F 顺时针旋转90。

得线段FG ,连接EF , CG . (1)求证：EF // CG ;(2)求点C ,点A 在旋转过程中形成的 EE ,竄与线段CG 所围成的阴影部分的面积.BC20.如图，AB 是O O 的直径，AF 是O O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为 E ,过点C 作DA 的平行线与 AF 相交于点F ，CD= 仏，BE=2 .求证： (1) 四边形FADC 是菱形； (2) FC 是O O 的切线.Rt △ ABC 中，/ ACB=90 °点D 是AB 边上一点，以 BD 为直径的O O 与边 E ,连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点 F .A BD=BF ;(2)若 CF=1 , cosB=-，求O O 的半径.521.如图，已知 △ ABC 是O O 的内接三角形，AB=AC ，点P 是AB 的中点, PC .(1)如图①， (2)如图②， 若/ BPC=60 ° 求证：AC=d^AP ; 若曲BPC嗤，求曲PAB的值.22.如图，在 AC 相切于点 (1)求证： PA , PB ,23.已知直线PD垂直平分O O的半径OA于点B, PD交O O于点C、D, PE是O O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F.(1)若O O的半径为8,求CD的长；(2)证明：P E=PF;(3)若PF=13, sinA=JL，求EF 的长.1324.如图，OC平分/ MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的O A与OM 相切与点B,连接BA并延长交O A于点D，交ON于点E.(1)求证：ON是O A的切线；(2)若/ MON=60 °求图中阴影部分的面积.(结果保留n)c25.如图，在RtAABC中，/ A=90 ° O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切9 D,与AC、BC 边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2 , AE=3 , tan/ BOD^. 于点3 求O O的半径OD ; 求证：AE是O O的切线；求图中两部分阴影面积的和.3.1. 解：连接0A ,并反向延长交 CD 于点H ，连接0C , •••直线AB 与O 0相切于点 A , ••• 0A 丄 AB ,•/弦 CD // AB ,••• AH 丄 CD ,••• CH = CD = >4=2,VO 0的半径为，••• 0A=0C=, ••OH=j0C2 -C H 2=，•• AH = 0A+0H=+=4,••A C =J AH 5CH 2=2任. .•/ CDE= / ADF ,•••亦=亦, •••亦扳,••• EF=AC=2V^. 故选B .2.作直径AC ,连接CP ，得出"PC~ PBA ，利用詈墙，得出咒X 2,所以x -y =x1 21 2 1 2 -一x=--x+x=--(X -4) +2,当 x=4 时，X - y 有最大值是 2.8 8 8 解：连接0M , 0C ,• • OB=OC ，且/ ABC=30°••/ BCO= / ABC=30°,•••/ AOC 为^ BOC 的外角,•••/ AOC=2 / ABC=60° ,••• MA , MC 分别为圆O 的切线,••• MA=MC ，且/ MAO = / MCO=90°在 RtAAOM 和 RtA COM 中,HA=]™COM=om••• Rt AAOM 也 RtA COM ( HL ),•••/ AOM= / COM = / AOC=30° ,在 RtAAOM 中，OA=AB=1 , / AOM =30°tan30°=—，即迪=塑,DCFA B解：(1)①如图，连接BD ,解得：AM =^ .3故答案为：並30 EOA 3 14.解•••/ ACB= / ADB=90° ,在 RTA ABC 中,AC=J AB 2 -B C TE - 6 3②••• CD 平分/ ACB ,••• AD=BD ,答: •/ AB 是直径,••• RtA ABD 是直角等腰三角形, ••• AD=^AB=^x 10=5V^cm ；2 2(2)直线PC 与O O 相切,•/ OC=OA , •••/ CAO= / OCA , •/ PC=PE , •••/ PCE= / PEC, •// PEC= / CAE+Z ACE, •/ CD 平分Z ACB ,ACE= Z ECB,P CB= Z ACO,OCP= Z OCB+ Z PCB= Z ACO+ Z OCB= Z ACB=90°, OC 丄 PC ,•/ AC=CD , Z ACD=120° , • Z A=Z D=30°.•/ OA=OC , • Z 2= Z A=30° .• Z OCD=90° .•••Z A CB=90°,5.解答: •••直线PC 与O O 相切.(1)证明：连接OC .•••△ ODE 是等边三角形,••• CD 是O O 的切线.•••/ 1=2 / A=60° .• S兀 X 2^ 2兀…S 扇形BOC= ---------------------- 二 --- . 3603 在 Rg OCD 中，•••浩tan60•沐呦为ex CD 詁X 2X275二2毎 •••图中阴影部分的面积为 2血-空.3••• OD 丄 AB , •/ ODA =90° , 又•.•弧DE 的长度为4n •…n^X12• • n =60 ,•••/ B=/ EDA, ••• DE // BC.6.解 解：（1）证明：连接 OD 、OE ,答:••• OD 是O O 的切(2)连接FD,•••/ DEF=90° ,••• FD是O 0的直径,由(1)得：/ EFD=30° , FD=24,••• EF= 12^5,又因为/ EDA=30° DE=12,••• AE^/S,又••• AF=CE,.・. AE=CF,••• CA=AE+EF + CF=20V^,又••• tanZABC二tan30° 二器gp D G O••• BC=60.7. (1)证明：••• AC为直径, •••/ ADC =90° ,•••/ A+ / DCA=90° ,•// ACB=90° ,•••/ DCB+Z ACD=90° , •••/ DCB=/ A;(2)当MC = MD (或点M是BC的中点)时，直线DM与O O 相切;解：连接DO ,•/ DO = CO,•/ DM=CM , • / 4= / 3,•// 2+ / 4=90° ,•••/ 1+ / 3=90° ,•••直线DM与O O相切.C8.解答：（1）证明：••• AB是O O的直径, •••/ ADB =90° ,•••/ B+ / BAD=90° , •••AC为O O的切线, ••• BA 丄AC, •••/BAC=90° ,即/ BAD + / DAE=90° ,•••/ B= / CAD , •/ OB=OD, •••/ B= / ODB ,而/ ODB = / CDE ,而/ ECD=/ DCA,•••/ B= / CDE ,•••/ CAD=/ CDE ,•••/ C+ / 3=90° ,•••/ 2= / 3,(2)解：••• AB=2 ,••• OA=1,在 RtAAOC 中，AC=^2,• OC =&"+肿=3， ••• CD=OC — 0D=3— 1=2 , •/△ CDE CAD ,即丑,CE 2•••DE 为O O 的切线,••• OD 丄 DE ,•••/ ODE=9O ° 即/ 2+/ ODC=9O ° •/ OC=OD ,•••/ C= / ODC ,•••/ 2+ / C=90° ,而 OCX OB ,• / 1 = / 3,9. 解答：（1） 证明：连结OD , 如图,(2)解：••• OF: OB=1: 3,0 O 的半径为••• OF=1 ,•// 1 = / 2,••• EF=ED,在RtA ODE 中，OD=3, DE=x，贝U EF=x,2 2 2••• OD +DE =OE ,••• 32+t2= (t+1) 2，解得t=4,• - DE=4, OE=5,••• AG为O O的切线,••• AG 丄AE,•••/ GAE=90° ,而/ OED= / GEA,••• Rt A EODs RtA EGA,•.理=更，即JL=,AG AE AG 3+5••• AG=6.10.解解：（1）连结OG，如图,答：•// BAC=90° AB =4, AC=3 ,•- B C=VAB%c2=5,••• RtAABC沿射线AB方向平移，使斜边与半3,OE=1 + x ,E••• CO=6,圆 O 相切于点G ,得△ DEF ,••• AD=BE , DF=AC=3, EF=BC=5, / EDF=/ BAC=90°••• EF 与半圆O 相切于点 G , ••• OG 丄 EF ,••• AB=4，线段AB 为半圆O 的直径, ••• OB=OG=2 ,•// GEO= / DEF ,••• Rt A EOGs RtA EFD ,•••匹=卫5，即 燮=2，解得OE=^, EF DF 5 33••• BE=OE - OB 』-2=星;3 34 8(2) BD=DE - BE=4--=-.3 3•/ DF // AC ,J-PH 二 BD 即世375访 石肓，解得：DH=2 •• S 阴影=S -BD 煜BD”H 气冷艺， 解答： （1）解：••• AC=12,••• PC 丄 EF , (2)证明：••• PE 丄AC , OD 丄AB ,/ PEA=90° / ADO=90° 在^ ADO 和△PEO 中,^Z ADO =Z PEO■ ZAOD=ZPOE , .0A=0C•••△ POE N AOD ( AAS ),由(1 得 OD=EO , •••/ ODE = / OED ,又•••/ AOP= / EOD ,•••/ OPA=/ ODE , ••• AP // DF , •/ AC 是直径, •••/ APC=90° , •••/ PQE=90°又••• DP // BF ,•••/ ODE = / EFC ,•// OED = / CEF ,••• OD = EO•••/ OAP = / OPA, PC ,•••/ CEF = / EFC , ••• CE = CF, •••PC为EF的中垂线, •••/ EPQ = / QPF ,•••/ EPQ = / EAP, •••/ QPF=/ EAP,•••/ QPF=/ OPA,•// OPA+/ OPC=90° , • / QPF+ /OPC=90° ,••• OP 丄PF ,••• PF是O O的切线.解答：（1）证明：连接OC,交BD于E,•// B=30° / B=r / COD ,2•••/ COD =60° ,•••/ A=30° , • / OCA=90° , 即OC丄AC,••• AC是O O的切线;(2)解：••• AC// BD , / OCA=9O°,•••/ OED = / OCA=90° , •••DE=i BD=d5,2•/ sin / COD=^,OD在RtAACO 中，tan/ COA仝,OC••• OD=2,••• AC=2V5，2•S阴影4 5-驾汁會号13.解 (1)证明：•••四边形ABCD是矩形,答: •••/ A= / B=90° .•/ EF 丄DE,•••/ AED=90° -/ BEF= / EFB .•// A= / B,/ AED= / EFB ,:.△ ADE S' BEF .(2)解：••• DF与O O相切于点G,•••OG 丄DG.• / DGO =90° .•/ DH =OH=OG,nr••• sin / ODG =—CD•••/ ODG =30° .• / GOE=120° .需32• S扇形OEG=120360在Rt' DGO 中,cosZ ODGDO 6 2• DG=3V5 •在RtA DEF 中,tanZ EDF=^=翌迟•DE 9 3•EF=3j^ ••S^DEF=DE?EF=X9 X3j5=空至,2S A DGO=DG?GO=•乙• S 阴影=S A DEF—S A DGO— S扇形OEG27^3 価3= -- -- -- - —3 n2 2=.^1 — 3 n〜9 X 1.733 >3.14=6.15•••图中阴影部分的面积约为6214.解解：(1)连结01A、02B，如图，设Q O1的半径为r, O 02的半径为R, 答：VO 01 与O 02外切与点D ,•直线0102过点D,•M02=MD+02D=4 VS+R,V直线I与两圆分别相切于点A、B,•01A 丄AB , 02B 丄AB ,VtanZAM01= 3 ,•/ AMO1=30 ,在RtA MB02 中，MO2=O2B=2R ,•^3+R=2R，解得R=^3,即Q O2的半径为W 3;(2)vZ AM02=30 , ：•/ MO2B=60 , 而 O2B=O2D ,•:△ O2BD 为等边三角形， •: BD=O2B=^3，/ DBO2=60 , ：•/ ABD=30 , vZ AM01=30 , :•/ MO1A=60 , 而 O1A=O1D ,:.Z O1AD= Z O1DA ,:.Z O1AD= 2Z MO1A=3° , :.Z DAB=60 ,:.Z ADB=180 - 30° - 60° =90° ,在 RtA ABD 中，AD=I 5.解解：•••点A 是劣弧BC 的中点，OA 过圆心, 答： :.OAI BC,故①正确；vZ D=30° ,:.Z ABC=Z D=30° , :.Z AOB=60 ,v 点A 是点A 是劣弧BC 的中点， :.BC=2CE v OA=OB :.OB=OB=AB=6cm:.BE=ABCos30 °6X ^=3^3 cm, •: BC=2BE=^cm,故 B 正确； vZ AOB=60 ,•: sin / AOB=sin60° 23 BD=4, AB=2AD=8 ,AD+BD - AB 4+4^3 - 8=2^^ - 2,2 = 2?(^3 — 2) 2= (16 — ^3) n;:.△ ADB 内切圆的半径:.△ ADB 内切圆的面积 =n D故③正确；•••Z AOB=60, ••• AB=OB•••点A 是劣弧奁的中点,••• AC=OC••• AB=BO=OC=CA•••四边形ABOd 菱形， 故④正确.16.解答: • Z OEF=90° , •/ 0C 为小圆的直径, • Z OFC=90° ,而/ EOF = / FOC ,••• RtA OEF S Rt△ OFC , ••• OE : OF = OF : OC ,即卩 4: 6=6: OC , •••O O 的半径 OC=9 ;在 RtA OCF 中，OF=6, OC=9, • CF=J OC 2 - 0^2=3^"^, •/ OF 丄 CD ,••• CF=DF , ••• CD=2CF=^5 •17.证明：（1）如图，连接 OD.T DE 为切线，•/ EDC + / ODC=90 ° •// ACB=90° •••/ ECD + Z OCD=90° .又T OD=OC ，• / ODC=/ OCD , •••/ EDC= / ECD ,••• ED=EC;T AC 为直径，•••/ ADC=90° , • Z BDE+ Z EDC=90° Z B+Z ECD=90° Z -Z B= Z BDE , •• ED=DB.解：••• 0E 丄 AB••• EB=EC，即点E为边BC的中点;(2)v AC 为直径，•/ ADC=/ACB=90° 又：L B= / B •••△ ABCsA CDB，•理县，••• BC2_BD?BA；BC BD(3)当四边形ODEC为正方形时，/ OCD=45° •/ AC为直径,•••/ADC_90° , •/ CAD_ / ADC -/ OCD_90° - 45° 45°••• RtA ABC为等腰直角三角形.18.解答:解：如图作△ DBF的轴对称图形△ HAG，作AM丄CG , ON丄CE,•/△ DBF的轴对称图形△ HAG,•••/ ACG_/ BDF _60° , •••/ ECB_60° ,••• G、C、E三点共线, •/ AM 丄CG , ON 丄CE, ••• AM // ON ,ON OC I在RTAONC 中，/ OCN_60° ,••• ON_sin/ OCN?OC_•/ OC^OA_2,••• ON W S ,••• AM _^3,•/ ON 丄GE, ••• NE=GN=iGE,2连接OE,19.解答: 在RTAONE 中，NE=&E2-QN33,••• GE=2NE=2 负,••• AGE=3G E?AM=1 X2V3=^L1,2 2•••图中两个阴影部分的面积为6届,故答案为6伍•(1 )证明：在正方形ABCD 中，AB=BC=AD=2 , / ABC=90° ,•••△ BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ ABF ,•••△ ABF ◎△ CBE,•••/ FAB= / ECB，/ ABF= / CBE=90 , AF=EC ,•••/ AFB+ / FAB=90 ,•••线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,•••/ AFB+ / CFG= / AFG=90 ,•••/ CFG= / FAB= / ECB ,••• EC // FG ,•/ AF=EC , AF=FG ,••• EC=FG ,•••四边形EFGC是平行四边形，••• EF // CG ;(2)解：••• AD=2 , E 是AB 的中点，_! \:.FE=BE= 2A B=2X2=1 ,由平行四边形的性质，△ FEC◎△ CGF ,••• £△ FEC=SA CGF ,••• S 阴影=S 扇形BAC+S △ ABF+S △ FGC - S 扇形FAG ,90•兀-CV E)21360 +2x2 X1 +㊁X( 1+2)5 KX1-36020.解答:证明：(1)连接OC,•/ AB是O O的直径，CD丄AB ,丄\••• CE=DE= 2C D= 2 W^=2V5,设OC=x,•/ BE=2 ,••• OE=x - 2,OC2=OE2+CE2 , 在Rt△ OCE 中,:.x2= (x -2)解得：••• OA=OC=4 ,OE=2 ,••• AE=6 ,x=4,在Rt△ AED 中，A D XE+DEJM^,••• AD=CD ,•/ AF是O O切线，••• AF 丄AB ,•/ CD 丄AB ,••• AF // CD ,•/ CF // AD ,•••四边形FADC是平行四边形,••• ? FADC是菱形；(2)连接OF,•••四边形FADC是菱形,••• FA=FC ,在^ AFO和^ CFO中,FA=FC；0F=0Fwoe,•••△ AFOCFO (SSS),•••/ FCO= / FAO=90 ,即OC丄FC,•••点C在O O上，••• FC是O O的切线.解：(1 )•••/ BPC=60° ,21.解答:•••/ BAC=60 ,•/ AB=AC ,:.△ ABC为等边三角形，•••/ ACB= / ABC=60 ,•••/ APC= / ABC=60 ,而点P是AB的中点,•••/ ACP= 2/ACB=30 ,•••/ PAC=90 ,PA 並••• tan/ PCA= AC=tan30 °= 3 ,AC W S PA；(2)过A点作AD丄BC交BC于D，连结0P交AB于E,如图,•/ AB=AC ,••• AD 平分BC ,•••点0在AD上，连结0B,则/ BOD= / BAC ,•// BPC= / BAC ,24 BD• sin / BOD=sin / BPC= 25=OB,设OB=25x，则BD=24x ,••• 0D^^^-BD<7x,在Rt△ ABD 中，AD=25x+7x=32x , BD=24x ,AB= V A D^+BD 2=40x ,•.•点p是AB的中点,• OP垂直平分AB ,2• AE= 2A B=20X，/ AEP= / AEO=90 ,在Rt△ AEO 中，O E R A O^— A国"=15x ,••• PE=0P- 0D=25x - 15x=10x ,PE IQx 1在Rt△ APE 中，tan/ PAE=AE=20X=2,2即tan/ PAB的值为2.(1)证明：连接0E,••• AC与圆0相切，••• 0E 丄AC ,•/ BC 丄AC ,••• 0E // BC ,22.解答:••• OE=2BF ,又••• 0为DB的中点，• E为DF的中点，即0E为^DBF的中位线,••• CD=2BD=8 養;••• CD=2BD=8 養;1又••• OE =E BD , 贝U BF=BD ;(2) 解：设BC=3x ，根据题意得：AB=5x ,又••• CF=1 ,•• BF=3x+1 , (1)得：BD=BF , •• BD=3x+1 ,•/ OE // BF ,•••/ AOE= / B ,OE 3••• cos /AOE=cosB ，即 02 5,J解得：x=^,3K +1 5则圆O 的半径为 2 =2解：（1）连接OD ,•••直线PD 垂直平分O O 的半径OA 于点B,O O 的半径为8,••• 0B= 2O A=4 , BC=BD= 2cD , •••在 Rt △ OBD 中，BD=U 。