高数上册内容总结

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3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u( x ), v = v ( x ) 可导，则 （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）( cu)′ = cu′ ( c 是常数),
′ ′ （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0). v v
成立 (其中 A是与Δx无关的常数 ), 则称函数 y = f ( x ) 在点x0可微 , 并且称 A ⋅ Δx为函数 y = f ( x )在点x0 相应 于自变量增量 Δx的微分 , 记作dy x = x0 或df ( x0 ),即
dy x = x0 = A ⋅ Δx .
微分 dy 叫做函数增量 Δy 的线性主部 . (微分的实质)
(n) ( n −1 ) k ( n− k ) ( k ) = ∑ Cn u v k =0
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n
常用的 高阶导数公式
(1) (a )
x (n)
= a ⋅ ln a (a > 0)
x n ( n) n
= k sin( kx + n ⋅ ) 2 π (n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ⋅ ) 2 ( 2) (sin kx ) ( x n )( n ) = n! 1 (n) n −1 ( n − 1)! (n) n n! (ln x ) = ( −1) (5) ( ) = ( −1) n+1 n x x x 1 (n) n! 1 ( n) n! n ( ) = ) = ( −1) ( n +1 1− x (1 − x )n+1 x±1 ( x ± 1)
1、导数的定义
Δy f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) y′ x = x0 = lim . = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx
f −′ ( x0 ) = lim−
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) = lim− ; 0 Δ x → Biblioteka Baidu − x0 Δx
拉格朗日(Lagrange)中值定理： 若 f ( x )在[a , b]上连续， 在(a , b ) 内可导， 则在 (a , b ) 内 f (b) − f (a ) 至少存在一点 ξ( a < ξ < b )，使得： f ′(ξ ) = b−a
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柯西(Cauchy)中值定理： 设 f ( x )和 g ( x ) 在[a , b]上连续，在 ( a , b ) 内可导，且
第一章主要内容
一 、极限
1 2 3 定义： 运算法则： （1）四则运算（2）复合函数 性质： （1）有界性 （2）唯一性 （3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （5） lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ) ， 其中 limα ( x ) = 0 。 4 无穷小量的阶：
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第三章内容小结：
一、微分中值定理：
罗尔(Rolle)中值定理： 若 f ( x ) 在 [a , b ] 上 连 续 ， 在 ( a , b ) 内 可 导 ， 且 f (a ) = f (b)，则在 (a , b ) 内至少存在一点 ξ(a < ξ < b )， 使得： f ′(ξ ) = 0
g ′( x ) 在( a , b ) 内每一点处均不为零，则在 ( a , b ) 内至少 f ( b ) − f ( a ) f ′(ξ ) 有一点 ξ(a < ξ < b )，使得： = 。 g ( b ) − g ( a ) g ′(ξ )
二、洛比达法则：注意应用的条件
三、泰勒公式：
f ′′( x 0 ) ( x − x0 )2 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) + 2! f ( n ) ( x0 ) +"+ ( x − x 0 ) n + Rn ( x ) n!
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv d (Cu) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
微分形式的不变性
无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数 y = f ( x ) 的微分形式总是 dy = f ′( x )dx
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基本初等函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x μ ) = μx μ −1dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec2 xdx d (cot x ) = − csc2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
( x μ )′ = μx μ −1 (cos x )′ = − sin x (cot x )′ = − csc 2 x (csc x )′ = − csc xctgx (e x )′ = e x (ln x )′ = 1 x
1 (arccos x )′ = − 1 − x2 1 (arccot x )′ = − 1 + x2
(2) 反函数的求导法则
如果函数 x = ϕ ( y ) 的反函数为 y = f ( x ) , 则有 1 f ′( x ) = . ϕ ′( y )
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(3) 复合函数的求导法则
设 y = f ( u) , 而 u = ϕ ( x ) 则复合函数 y = f [ϕ ( x )] 的 dy dy du = ⋅ 导数为 或 y′( x ) = f ′( u) ⋅ ϕ ′( x ). dx du dx
x→0
1 x
1 x lim (1 + ) = e x→∞ x
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(6) (7)
利用等价无穷小代换； 罗必达法则（注意应用条件）;
当 x → 0时 ,
（8） 利用泰勒公式。
常用的等价无穷小量：
sin x ~ x ，
tan x ~ x ，
ln(1 + x ) ~ x e x − 1 ~ x,
f ( n+1) (ξ ) 其中 Rn ( x ) = ( x − x0 )n+1 (ξ 在 x0 与 x 之间 ) ( n + 1)!
或
Rn ( x ) = o(( x − x0 )n )
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麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x + "+ x 2! n! f ( n+1) (θx ) n+1 + x (0 < θ < 1) (n + 1)!
arcsin x ~ x ， arctan x ~ x ，
1 2 1 − cos x ~ x , a x − 1 ~ x ln x 2 (1 + x )α − 1 ~ αx ,
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二 、连续性
1 定义： lim f ( x ) = f ( x0 )； lim Δy = 0 。
x → x0
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9、导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法 (5) 高阶导数的求法 对数微分法
转化
极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式.
f +′ ( x0 ) = lim+
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) = lim+ ; 0 Δ x → x − x0 Δx
函数 f ( x )在点 x 0 处可导 ⇔ 左导数 f −′ ( x 0 ) 和右 导数 f +′ ( x 0 )都存在且相等.
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = 2 dx 1+ x d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = − dx 2 1− x 1 d (arc cot x ) = − 2 dx 1+ x
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6、导数与微分的关系
定理
函数 f ( x ) 在点 x0 可微的充要条件是函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 , 且 A = f ′( x0 ) .
7、 微分的求法
dy = f ′( x )dx
求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.
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8、 微分的基本法则
莱布尼兹公式.
(n)
n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x ), y , n 或 . n dx dx
n( n − 1) ( n− 2 ) v′ + u v′′ ( u ⋅ v ) = u v + nu 2! n( n − 1)"( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + " + uv ( n ) k!
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2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 ′ (log a x ) = x ln a 1 ′ (arcsin x ) = 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2
(4) ( xα )( n ) = α (α − 1)"(α − n + 1) xα − n
π
( e x )( n ) = e x
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5、微分的定义
定义 设函数 y = f ( x )在某区间内有定义 , x0及x0 + Δx
在这区间内, 如果
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A ⋅ Δ x + o( Δ x )
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方 法求出导数. 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )v ( x ) 的情形 .
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(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (6) 参变量函数的求导法则
⎧ x = ϕ (t ) 若参数方程 ⎨ 确定 y与x间的函数关系, ⎩ y = ψ (t ) dy dy dt ψ ′( t ) d 2 y ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) = = ; . = 2 3 dx dx ϕ ′( t ) dx ϕ ′ (t ) dt 注意：1、熟记求导公式；
2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。
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4、高阶导数
(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ′( x + Δ x ) − f ′( x ) 二阶导数 f ′′( x ) = lim , Δx → 0 Δx 一般地 , 函数 f ( x ) 的 n − 1 阶导数的导数称为函数 f ( x ) 的 n 阶导数 , 记作
Δx →0
2 性质： （1）初等函数在其定义域内是连续的。 （2）连续等价与左右连续且相等。 3 间断点的类型： （1）第一类间断点； （2）第二类间断点。
4 闭区间上连续函数的性质： （1） 零点存在定理； （2） 介值定理； （3） 最大值，最小值定理；
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第二章主要内容
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5
求极限的方法：
(1) 定义，运算法则及性质; (2) 夹逼定理； (3) 单调有界原理（求数列极限） ； (4) 单侧极限与极限的关系； (5) 两个重要极限：
sin x lim =1 x→0 x
1 n lim (1 + ) = e n→ ∞ n
lim(1 + x ) = e