高数上册内容总结
高等数学(上册)重点总结
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高数上册知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x y 1=（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
高等数学(上)总结
高等数学(上)总结.doc高等数学（上）知识点总结第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：函数是定义域到值域的一种对应关系。
性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
1.2 极限定义：极限描述了函数在某一点或无穷远处的行为。
运算法则：加、减、乘、除、复合等。
1.3 无穷小与无穷大无穷小：函数值趋于零的量。
无穷大：函数值趋于无穷的量。
1.4 连续性定义：函数在某一点的极限等于函数值。
性质：连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续的。
间断点：第一类间断点和第二类间断点。
第二章：导数与微分2.1 导数定义：导数是函数在某一点处的切线斜率。
几何意义：曲线在某点的切线斜率。
物理意义：速度、加速度。
2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于研究函数的凹凸性。
2.4 微分定义：函数在某一点处的线性主部。
几何意义：局部线性逼近。
第三章：积分3.1 不定积分定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。
基本积分表：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
3.2 定积分定义：在区间上函数平均值的极限。
几何意义：曲线与x轴围成的面积。
3.3 积分技巧分部积分法、换元积分法、有理函数积分等。
第四章：级数4.1 数项级数收敛性：正项级数、交错级数、比值判别法等。
4.2 幂级数泰勒级数：函数在某点的幂级数展开。
4.3 函数项级数一致收敛性：函数序列的极限。
第五章：多元函数微分学5.1 偏导数定义：函数对某一变量的局部变化率。
5.2 全微分定义：函数在多元变量上的微分。
5.3 隐函数微分法定义：隐函数的导数和微分。
5.4 多元函数的极值拉格朗日乘数法：求解多元函数的条件极值。
高等数学上册总结
第二类换元法常见类型:
1 )f(x ,na b x )d x , 令tnaxb
2)f(x,nc ax x d b)dx,
令
t n
a xb c xd
第
四
3 )f(x, a 2 x 2)d x, 令 xasitn或 x 节aco t s
讲
4 )f(x, a 2 x 2)d x,令 xatatn 或 xasth
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
最值定理，介值定理
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值种等价形式； 复合函数求导公式； 隐函数求导，参数方程求导，高阶导数；
1. 导数的实质: 增量比的极限;
换元积分： 分部积分：
常1 2 ))用的ff((几a xx n 种) x配b n )1 元ddx形x 式1a :1n
f
(ax b) d(axb) f (xn) d x n
3) f(xn)1dx1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
万 能
4 )f(sinx)co sxdxf
(sinx)dsinx
n1x1~1n x , ln1(x)~x
1. f (x) 在点 x 0 连续的等价形式
xl ixm 0f(x)f(x0)
lx i0 [fm (x 0 x ) f(x 0 ) ] 0 f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 )
左连续 右连续
2. f (x) 在点 x 0 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
凑 幂
5 )f(co sx)sinxdx f(coxs) dcos法x
(完整版)高等数学上册知识点
高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高数上知识点总结
高数上知识点总结(zǒngjié)高数上知识点总结(zǒngjié)高等数学(shùxué)是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比拟(bǐnǐ)多。
主要包括8方面(fāngmiàn)内容。
1、函数、极限与连续。
主要考查分段函数极限或极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比拟;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数微分学。
主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法那么求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3、一元函数积分学。
主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4、向量代数和空间解析几何。
主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。
5、多元函数微分学。
主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
6、多元函数的积分学。
这局部是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。
7、无穷级数。
(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
高数(上)重要内容总结复习笔记
A−a 叫做 a 的相对误差 a
如果 A − a ≤ δ A ，那么 δ A 叫做测量Ａ的绝对误差限，而
δA 叫做测量Ａ的相对误差限． a
（3） lim
f ′( x) f ( x) f ′( x) 存在（或为无穷大） ，那么 lim ． = lim x → ∞ F ′( x ) x →∞ F ( x ) x →∞ F ′( x )
如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间 (a, b) 内具有直到(n+1)阶的倒数，则对任一
泰勒(Taylor)中值定理
高阶导数：
(cot x)′ = − csc 2 x (a x )′ = a x ln a (arccos x)′ = − 1 1 − x2
(arcsin x)′ =
1
(sec x)′ = sec x tan x 1 (log a x)′ = x ln a 1 (arctan x)′ = 1+ x2
1 (ch x)′ = sh x (th x)′ = 2 ch x 1 (arch x)′ = 1 x 2 − 1 (arth x)′ = 1 − x2
f ′′(0) f ( n ) (0) f ( n+1) (θx) n +1 x +…+ x+ x 2! n! (n + 1)!
(0 < θ < 1)
另带有佩亚诺余项的麦克劳林公式从略． 定义
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< ，那么称 f ( x) 在 2 2 x +x f ( x1 ) + f ( x2 ) I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有 f ( 1 2 ) > ，那么称 f ( x) 在 I 上的图形是(向上) 2 2
高数上册归纳公式篇(完整)
精心整理公式篇目录一、函数与极限1.常用双曲函数2.常用等价无穷小3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式2.n阶导数公式3.4.参数方程求导公式5.微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理2.高阶中值定理3.部分函数使用麦克劳林公式展开4.曲率四、定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、不定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数3.牛顿-4.三角相关定积分5.6.1.2.3.七、微分方程1.可降阶方程2.变系数线性微分方程3.常系数齐次线性方程的通解4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式5.特殊形式方程(选)一、函数与极限1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))2.常用等价无穷小(x→0时)3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式(凡是“余”求导都带负号)2.n 阶导数公式特别地,若n =λ3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身4.参数方程求导公式5.微分近似计算(x ∆很小时)(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:(三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导)罗尔定理(端点值相等()(f a f =拉格朗日中值定理柯西中值定理(0)('≠x g ≠0)2.)n R 为余项(ξ在x 和0x 之间)令00=x ,得到麦克劳林公式3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)4.曲率四、不定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数推广得3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)(2)积分中值定理函数)a上可积[bf在],(x,a上的平均值f在][b(xf称为))(ξ4.三角相关定积分三角函数系的正交性5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分推论1(2)瑕积分(无界函数的反常积分)推论2Convergence:收敛,Divergence:发散6.Γ函数(选)(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)六、定积分的应用1.平面图形面积(1)直角坐标:由曲线0ax==,y及x)(≥=xf(2)极坐标:ρ=有曲线(φ2.体积(1)绕x(2)平行截面(与x轴垂直)面积为)(xA3.弧微分公式(1)直角坐标:(2)极坐标:七、微分方程1.可降阶方程(1))()(x f y n =型n 次积分得(2))',("y x f y =型作换元'y p =得),('p x f p =得通解),(1C x p ϕ=则21),(C dx C x y +=⎰ϕ(3))',("y y f y =型作换元'y p =,),(,"p y f dxdp p dx dp p dx dp y ===得通解dx dy C y p ==),(1ϕ 则21),(C x C y dy +=⎰ϕ 2.变系数线性微分方程(1)一阶线性微分方程:)()('x Q y x P y =+对应齐次方程:0)('=+y x P y 原方程)()('x Q y x P y =+的通解为(2)0)(')(1=+++-y x P y x P n n若(),(21x y x y n 个线性无关解)()()(22x y C x y C x n n +++若)(*x y 为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为)(*)(x y x Y y +=3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程0"=++q py y特征方程为02=++q pr r①0>∆,两个不等实根a b r a b r 2,221∆+-=∆--=通解为x r x r e C e C y 2121+=②0=∆,两个相等实根221p r r -== 通解为x r e x C C y 1)(21+=③0<∆,一对共轭复根2,2,,21∆-=-=-=+=βαβαβαp i r i r通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=(2)高阶方程0'1)1(1)(=++++--y p y p y p y n n n n 特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r 对于其中的根r 的对应项①实根r一个单实根:rx Ce一个k 重实根:rx k k C x C C (121-+++②复根i r βα±=2,1一对单复根:cos (21C x C e x βα+一对k 重复根]sin )(cos )1211x x D x D D x x C k k k k ββ--+++++ 4.)的特解形式 '"qy py y =++02=++q pr r (1))()(x P e x f m x λ=)(x P m 为x 的m 次多项式 特解形式为x m k e x Q x y λ)(*=)(x Q m 是x 的m 次多项式(2)]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=)(),()2()1(x P x P n l 分别为x 的n l ,次多项式 特解形式为x m m k e x x R x x Q x y λωω]sin )(cos )([*+= },max{n l m =,)(),(x R x Q m m 为x 的m 次多项式记i z ωλ+=5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程n y x Q y x P dxdy )()(=+(1,0≠n ) 令n y z -=1,dxdy y n dx dz n--=)1( 得通解),(C x z ϕ=(2)欧拉方程作变换t e x =或x t ln =,记dtd D = 将上各式代入原方程得到此为常系数线性微分方程 可得通解),,,,(21n C C C t y ϕ= 即可得原方程通解),,,,(21n C C C x y Φ=。
高数(上)期末复习重点
高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。
〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。
(完整版)高数知识点总结(上册)
xfdy)('
)('xfdxdy
xffxf)0()0()(' xnxn111
xxsin（x用弧度） xxtan（x用弧度）
xe12 xx)1ln(
)(xf满足下列条件
（1）在闭区间ba,上连续
（2）在开区间ba,内具有导数
（3）在端点处函数值相等，即)()(bfaf，则在ba,内至少有一点，使0)('f
x处有定义
（2）当
xx时，)(xf的极限)(lim
xfxx存在
（3）极限值等于函数)(xf在点
x处的函数值)(0xf
如果函数)(xf在点
x处连续，由连续定义可知，当0xx时，)(xf的极限一定存在，反
分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)
定理：如果函数)(xf、)(gx在点
如果 （1）ax时，)(xf与)(x都趋于无穷大
（2）在点a的某领域（点a可除外）内，)('xf与)('x都存在且0)('x
（3）)()(lim''xxfax存在（或为） ，则则极限)()(limxxfax存在（或为），且)()(limxxfax
)()(lim''xxfax
2、x情形
x处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在
x也连续
定理：如果函数)(xfy在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数
(yx
定理：设函数)(xf在闭区间ba,上连续，则函数)(xf在闭区间ba,上必有最大值和最小
推论：如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，则)(xf在ba,上有界
结论：如果函数)(xf在某区间上连续，则在这个区间上)(xf必有原函数
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
高等数学教材上册知识总结
高等数学教材上册知识总结高等数学是学习数学的一门重要课程，作为理工科学生必备的核心基础课之一，它包含了许多重要的知识点和概念。
下面是对高等数学教材上册内容的一些知识总结。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数是一种关系，通常表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 极限的概念与性质：极限是函数在某一点或无穷远处的趋势，常用极限运算法则进行计算，包括极限存在准则、夹逼定理、极限的四则运算等。
二、导数与微分1. 导数的定义与求法：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，可以通过极限的方式进行求解，常见的导数求法包括基本求导公式、常用导数公式、隐函数求导等。
2. 微分的概念与应用：微分是函数在某一点的线性近似，可以用于求极值、判凹凸性等问题，同时也有微分中值定理、泰勒展开式等应用。
三、积分与不定积分1. 积分的定义与计算：积分是导数的逆运算，常见积分计算方法有换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等。
2. 不定积分与定积分：不定积分表示函数的一类原函数，定积分是用于计算曲线下面的面积，同时有积分中值定理、变限积分等相关概念和应用。
四、级数与数项级数1. 级数的概念和性质：级数是数列的和，包括等差数列、等比数列等各种类型，常见级数有几何级数、调和级数等。
2. 数项级数的敛散性判定：敛散性判定是判断数项级数和的收敛或发散，常用方法有比较判别法、比值判别法、积分判别法等。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，包括一阶常微分方程和二阶常微分方程等。
2. 常微分方程的解法：常微分方程的解法包括分离变量法、齐次方程解法、一阶线性常微分方程解法等。
六、空间解析几何1. 空间直线与平面：空间直线的向量方程、参数方程及点线距离等相关内容，平面的一般方程及点法式方程等。
2. 空间曲线与曲面：空间曲线的参数方程、一般方程，曲面的一般方程、球面、圆锥面等的方程及性质。
高数重要知识点汇总
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比拟设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim〔1〕l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x)= 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
〔2〕l ≠0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
〔3〕l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1−cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x +~ x ，1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准那么准那么1．单调有界数列极限一定存在准那么2．〔夹逼定理〕设g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) 放缩求极限假设A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，那么A x f =)(lim2．两个重要公式 公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法那么定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件：〔1〕0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达〔H L 'ospital 〕法那么.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“00〞型不定式，于是由洛必达法那么，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解该极限属于“0〞型不定式，于是由洛必达法那么，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注假设(),()f x g x ''仍满足定理的条件，那么可以继续应用洛必达法那么，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件： 〔1〕∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→注：上述关于0x x →时未定式∞∞时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法那么，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法那么时必须注意以下几点： 〔1〕洛必达法那么只能适用于“00〞和“∞∞〞型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0〞或“∞∞〞型才能运用该法那么； 〔2〕只要条件具备，可以连续应用洛必达法那么；〔3〕洛必达法那么的条件是充分的，但不必要．因此，在该法那么失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限根本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在〕8．利用定积分定义求极限根本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n 〔如果存在〕三．函数的连续点的分类函数的连续点分为两类： （1）第一类连续点设0x 是函数y = f (x )的连续点。
高数上册知识点总结
高数上册知识点总结高等数学是大多数理工科学生在大学学习的重要课程之一。
高等数学上册主要涵盖了一元函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理、不定积分等内容。
本文将对高等数学上册的主要知识点进行总结与归纳，希望对学习该课程的同学提供一些帮助。
一、一元函数一元函数是高等数学的基础，它是一种将输入的实数映射为输出实数的数学关系。
在高等数学上册中，我们主要关注函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、反函数以及函数图像等方面的内容。
在学习一元函数时，需要掌握常见函数的性质和图像，比如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
二、极限与连续极限是高等数学的核心概念之一。
在学习极限时，需要了解数列极限与函数极限的定义，熟练掌握极限的计算方法，掌握常用极限的性质和相关定理。
在极限的概念基础上，我们可以进一步学习函数的连续性和间断点的分类，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。
三、导数与微分导数是描述函数变化率的重要工具，也是微分学的基础。
在学习导数与微分时，需要掌握导数的定义、导数的计算、导数的性质以及常用函数的导数。
此外，需要了解微分的概念和微分中值定理，以及利用导数求函数的单调性、极值和凹凸性等相关内容。
四、微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它是导数与函数的关系的基本结论。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
在学习微分中值定理时，需要理解定理的假设条件，掌握定理的几何和物理意义，并能熟练运用定理解决相关问题。
五、不定积分不定积分是微积分中的重要内容，它是定积分的逆运算。
在学习不定积分时，需要了解不定积分的定义和性质，熟练掌握不同类型函数的不定积分计算方法，包括基本初等函数的不定积分、换元积分法和分部积分法等。
此外，还需要掌握不定积分求解定积分和求解微分方程等应用。
六、小结高等数学上册涵盖了一元函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理、不定积分等重要内容。
在学习这些知识点时，需要掌握其基本定义和性质，熟练掌握计算方法和相关定理，并能够灵活运用于解决实际问题。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高数上第一章知识点总结
⾼数上第⼀章知识点总结第⼀章函数与极限1.1 函数及其性质1.1.1 集合集合：具有某种特定性质事物的全体称为集合。
元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素。
集合与元素的关系：属于∈，不属于∉。
集合的表⽰⽅法：枚举法，描述法。
1.1.2 集合的运算基本运算：并、交、差。
全集\基本集：研究的问题所限定的⼤集合。
余集\补集：I - A或者A C 。
运算规律：交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。
1.1.3 区间与领域有限区间：开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。
b-a：区间长度⽆限区间：开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]邻域：以点x0为中⼼的任何开区间称为点x0的邻域，记作U(x0)。
若δ是某⼀正数，则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的⼀个邻域，记作U(x0,δ)。
去⼼邻域：将点x0去掉后的x0的邻域，记作U(x0,δ)。
左邻域：(x0-δ,x0)右邻域：(x0,x0+δ)1.1.4 映射X，Y是两个⾮空集合，存在⼀个法则f，使得对X中的每个元素x，按法则f在Y中有唯⼀确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的⼀个映射。
定义域D(f)，值域R(f)或f(X)。
满射：R(f) = Y 单射：f(x1) ≠ f(x2) ⼀⼀映射：满射+单射泛函、变换、函数逆映射：g:R(f) -> X (f是单射，y = f(x)，则 x = g(y))复合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。
1.1.5 函数D是实数集，称f:D->R为定义在D上的函数。
y = f(x),x∈D。
y是因变量，x是⾃变量，D称为定义域。
1.1.6 函数的特性（1）函数的有界性X包含于D，若存在M使得f(x) <= M，则称f(x)在X上有上界，类似可得下界的定义。
数M使得|f(x)| <= M（x∈X），则称f(x)在X上有界。
高等数学上知识点汇总
x x0
4、函数为无穷大则必定无界。
1
5、无穷大与无穷小的关系：在 x 的某趋限过程中，①若f(x )是无穷大，则
是无穷小。②若f(x )是
f（x）
1
无穷小，且f(x )不等于 0，则
是无穷大。
f（x）
6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未 必是无穷大。
≠0，那末在(a，b)内至少有一点 c，使
3.1.1 微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们 用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
3.1.2 函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0 及 x0+△x 在这区间内，若函数的增量可表
示为
，其中 A 是不依赖于△x 的常数， 是△x 的高阶无穷小，则称函数
3.1.3 基本初等函数的微分公式
由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可
得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式
对比一下：(部分公式)
导数公式
微分公式
6 / 27
微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微
数是否为同一函数。 4、 函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。 5、 几 个 特 殊 的 分 段 函 数 ： 符 号 函 数 y=sgnx 、 取 整 函 数 y=[x] 、 最 值 函 数
y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。
高数上册内容总结
第三章内容小结：
一、微分中值定理：
罗尔(Rolle)中值定理： 若 f ( x ) 在 [a , b ] 上 连 续 ， 在 ( a , b ) 内 可 导 ， 且 f (a ) = f (b)，则在 (a , b ) 内至少存在一点 ξ(a < ξ < b )， 使得： f ′(ξ ) = 0
2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。
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4、高阶导数
(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ′( x + Δ x ) − f ′( x ) 二阶导数 f ′′( x ) = lim , Δx → 0 Δx 一般地 , 函数 f ( x ) 的 n − 1 阶导数的导数称为函数 f ( x ) 的 n 阶导数 , 记作
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3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u( x ), v = v ( x ) 可导，则 （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）( cu)′ = cu′ ( c 是常数),
′ ′ （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0). v v
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv d (Cu) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
微分形式的不变性
无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数 y = f ( x ) 的微分形式总是 dy = f ′( x )dx
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arcsin x ~ x ， arctan x ~ x ，
1 2 1 − cos x ~ x , a x − 1 ~ x ln x 2 (1 + x )α − 1 ~ αx ,
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二 、连续性
1 定义： lim f ( x ) = f ( x0 )； lim Δy = 0 。
x → x0
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方 法求出导数. 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )v ( x ) 的情形 .
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(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (6) 参变量函数的求导法则
⎧ x = ϕ (t ) 若参数方程 ⎨ 确定 y与x间的函数关系, ⎩ y = ψ (t ) dy dy dt ψ ′( t ) d 2 y ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) = = ; . = 2 3 dx dx ϕ ′( t ) dx ϕ ′ (t ) dt 注意：1、熟记求导公式；
莱布尼兹公式.
(n)
n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x ), y , n 或 . n dx dx
n( n − 1) ( n− 2 ) v′ + u v′′ ( u ⋅ v ) = u v + nu 2! n( n − 1)"( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + " + uv ( n ) k!
(4) ( xα )( n ) = α (α − 1)"(α − n + 1) xα − n
π
( e x )( n ) = e x
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5、微分的定义
定义 设函数 y = f ( x )在某区间内有定义 , x0及x0 + Δx
在这区间内, 如果
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A ⋅ Δ x + 返回
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3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u( x ), v = v ( x ) 可导，则 （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）( cu)′ = cu′ ( c 是常数),
′ ′ （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0). v v
1、导数的定义
Δy f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) y′ x = x0 = lim . = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx
f −′ ( x0 ) = lim−
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) = lim− ; 0 Δ x → x − x0 Δx
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2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 ′ (log a x ) = x ln a 1 ′ (arcsin x ) = 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2
f ( n+1) (ξ ) 其中 Rn ( x ) = ( x − x0 )n+1 (ξ 在 x0 与 x 之间 ) ( n + 1)!
或
Rn ( x ) = o(( x − x0 )n )
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麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x + "+ x 2! n! f ( n+1) (θx ) n+1 + x (0 < θ < 1) (n + 1)!
Δx →0
2 性质： （1）初等函数在其定义域内是连续的。 （2）连续等价与左右连续且相等。 3 间断点的类型： （1）第一类间断点； （2）第二类间断点。
4 闭区间上连续函数的性质： （1） 零点存在定理； （2） 介值定理； （3） 最大值，最小值定理；
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第二章主要内容
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基本初等函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x μ ) = μx μ −1dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec2 xdx d (cot x ) = − csc2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
g ′( x ) 在( a , b ) 内每一点处均不为零，则在 ( a , b ) 内至少 f ( b ) − f ( a ) f ′(ξ ) 有一点 ξ(a < ξ < b )，使得： = 。 g ( b ) − g ( a ) g ′(ξ )
二、洛比达法则：注意应用的条件
三、泰勒公式：
f ′′( x 0 ) ( x − x0 )2 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) + 2! f ( n ) ( x0 ) +"+ ( x − x 0 ) n + Rn ( x ) n!
(2) 反函数的求导法则
如果函数 x = ϕ ( y ) 的反函数为 y = f ( x ) , 则有 1 f ′( x ) = . ϕ ′( y )
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(3) 复合函数的求导法则
设 y = f ( u) , 而 u = ϕ ( x ) 则复合函数 y = f [ϕ ( x )] 的 dy dy du = ⋅ 导数为 或 y′( x ) = f ′( u) ⋅ ϕ ′( x ). dx du dx
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6、导数与微分的关系
定理
函数 f ( x ) 在点 x0 可微的充要条件是函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 , 且 A = f ′( x0 ) .
7、 微分的求法
dy = f ′( x )dx
求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.
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8、 微分的基本法则
成立 (其中 A是与Δx无关的常数 ), 则称函数 y = f ( x ) 在点x0可微 , 并且称 A ⋅ Δx为函数 y = f ( x )在点x0 相应 于自变量增量 Δx的微分 , 记作dy x = x0 或df ( x0 ),即
dy x = x0 = A ⋅ Δx .
微分 dy 叫做函数增量 Δy 的线性主部 . (微分的实质)
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv d (Cu) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
微分形式的不变性
无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数 y = f ( x ) 的微分形式总是 dy = f ′( x )dx
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9、导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法 (5) 高阶导数的求法 对数微分法
转化
极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式.
f +′ ( x0 ) = lim+
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) = lim+ ; 0 Δ x → x − x0 Δx
函数 f ( x )在点 x 0 处可导 ⇔ 左导数 f −′ ( x 0 ) 和右 导数 f +′ ( x 0 )都存在且相等.
第一章主要内容
一 、极限
1 2 3 定义： 运算法则： （1）四则运算（2）复合函数 性质： （1）有界性 （2）唯一性 （3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （5） lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ) ， 其中 limα ( x ) = 0 。 4 无穷小量的阶：
拉格朗日(Lagrange)中值定理： 若 f ( x )在[a , b]上连续， 在(a , b ) 内可导， 则在 (a , b ) 内 f (b) − f (a ) 至少存在一点 ξ( a < ξ < b )，使得： f ′(ξ ) = b−a
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柯西(Cauchy)中值定理： 设 f ( x )和 g ( x ) 在[a , b]上连续，在 ( a , b ) 内可导，且
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第三章内容小结：
一、微分中值定理：