层次分析法研究报告
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合权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该 层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组合 权重，这个过程称为层次总排序。
层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进 行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方 案优先次序的相对权重。
一般来说，对于最高层之下的第二层次单排序 即 层 A为i(为 次1≤总 单i≤排 排k)对序 序应。已的假完本设成层上，次一得元层到素所的为权有B重元1,为素B2Aa,1…1,，BAm单2，排a…2,序…A结ak的k,果与
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大， CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根 ，然后取平均值得λ，于是得到
RI=
路漫漫其悠远
对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数 RI 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 1.5
路漫漫其悠远
和积法 （1）将判断矩阵B每一列正规化； （2）每列正规化的判断矩阵按行相加； （3）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要 求的特征向量W； （4）计算判断矩阵B的量大特征值λ*
中（BW）i表示向量BW的第i个元素。
路漫漫其悠远
路漫漫其悠远
Leabharlann Baidu
其中若Bj与Ai无关，,我们有如下层次排序表
层次A
A1
A2
…
AK
B层次总排
层次B
a1
a2
…
aK
序
B1
…
B2
…
路漫漫其悠远
Bm
…
其中B层m个元素相对总体目标组合排序权重向量即为 显然 即层次总排序是一正规化向量。
路漫漫其悠远
五、一致性检验 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需
要计算与层次单排序类似的检验量，记 CI——层次总排序的一致性指标 RI——层次总排序随机一致性指标 CR——层次总排序随机一致性比例
8024215924
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形 式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称 为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜0.10 时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整 判断矩阵。
路漫漫其悠远
四、层次总排序 为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组
显高
明显
7
Bi比Bj重要性明显 二者间判断差异强
多
烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可
能范围的下限度
2，4，6，8 表示相邻判断的中 用于需要达成妥协
间值
场合
路漫漫其悠远
上述各值的 倒数
相应的反比较，即 Bi和Bj比较其相对 重要性用上述之一 值进行标度，则Bj 和Bi比较以该值的
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和 分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵 的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求
显然判断矩阵B= （bij）有关系式
bij＞0，bii=1，bji=
，i,j=1，…，m
因此对于m阶判断矩阵，我们仅需要对m（m-1） /2个元素给出标度即可。
标度值
意义
说明
路漫漫其悠远
1
Bi与Bj同样重要 Bi，Bj对一个目
标贡献相同
3
Bi比Bj重要性稍 二者间判断差异
高一些
轻微
5
Bi比Bj重要性明 二者间判断差异
BU=λU 的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特 征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
路漫漫其悠远
在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且 λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余 的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合 理，于是我们可用
CI= 作为检验B的一致性的指标。
路漫漫其悠远
路漫漫其悠远
二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定了
。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系， 构造如下的判断矩阵：
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
路漫漫其悠远
其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度 。通常按下表的方式定义。
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要 条件是它的最大特征值λ*=m。
路漫漫其悠远
三、层次单排序 利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，
本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权 向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可 以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题 ，即对于判断矩阵B，求解满足
层次分析法研究报告
路漫漫其悠远 2020/3/27
一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按 各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为 一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的 目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或 根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节） 和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排 列起来形成一个层次结构图（图4.1）。在这个层次 结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层 次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次 的某个元素。
其中
CIi为Ai对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。
路漫漫其悠远
RIi为Ai对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。
当CR≤0.10时，则认为层次总排序计算结果的一致性 可以接受。
由上面的五个步骤可以看出，层次分析法计算的主要 问题是如何计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向 量。这里我们介绍在精度要求不高的情况下，简化计算的 两种近似方法——和积法和根法。
层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进 行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方 案优先次序的相对权重。
一般来说，对于最高层之下的第二层次单排序 即 层 A为i(为 次1≤总 单i≤排 排k)对序 序应。已的假完本设成层上，次一得元层到素所的为权有B重元1,为素B2Aa,1…1,，BAm单2，排a…2,序…A结ak的k,果与
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大， CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根 ，然后取平均值得λ，于是得到
RI=
路漫漫其悠远
对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数 RI 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 1.5
路漫漫其悠远
和积法 （1）将判断矩阵B每一列正规化； （2）每列正规化的判断矩阵按行相加； （3）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要 求的特征向量W； （4）计算判断矩阵B的量大特征值λ*
中（BW）i表示向量BW的第i个元素。
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路漫漫其悠远
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其中若Bj与Ai无关，,我们有如下层次排序表
层次A
A1
A2
…
AK
B层次总排
层次B
a1
a2
…
aK
序
B1
…
B2
…
路漫漫其悠远
Bm
…
其中B层m个元素相对总体目标组合排序权重向量即为 显然 即层次总排序是一正规化向量。
路漫漫其悠远
五、一致性检验 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需
要计算与层次单排序类似的检验量，记 CI——层次总排序的一致性指标 RI——层次总排序随机一致性指标 CR——层次总排序随机一致性比例
8024215924
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形 式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称 为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜0.10 时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整 判断矩阵。
路漫漫其悠远
四、层次总排序 为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组
显高
明显
7
Bi比Bj重要性明显 二者间判断差异强
多
烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可
能范围的下限度
2，4，6，8 表示相邻判断的中 用于需要达成妥协
间值
场合
路漫漫其悠远
上述各值的 倒数
相应的反比较，即 Bi和Bj比较其相对 重要性用上述之一 值进行标度，则Bj 和Bi比较以该值的
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和 分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵 的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求
显然判断矩阵B= （bij）有关系式
bij＞0，bii=1，bji=
，i,j=1，…，m
因此对于m阶判断矩阵，我们仅需要对m（m-1） /2个元素给出标度即可。
标度值
意义
说明
路漫漫其悠远
1
Bi与Bj同样重要 Bi，Bj对一个目
标贡献相同
3
Bi比Bj重要性稍 二者间判断差异
高一些
轻微
5
Bi比Bj重要性明 二者间判断差异
BU=λU 的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特 征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
路漫漫其悠远
在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且 λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余 的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合 理，于是我们可用
CI= 作为检验B的一致性的指标。
路漫漫其悠远
路漫漫其悠远
二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定了
。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系， 构造如下的判断矩阵：
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
路漫漫其悠远
其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度 。通常按下表的方式定义。
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要 条件是它的最大特征值λ*=m。
路漫漫其悠远
三、层次单排序 利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，
本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权 向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可 以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题 ，即对于判断矩阵B，求解满足
层次分析法研究报告
路漫漫其悠远 2020/3/27
一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按 各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为 一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的 目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或 根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节） 和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排 列起来形成一个层次结构图（图4.1）。在这个层次 结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层 次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次 的某个元素。
其中
CIi为Ai对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。
路漫漫其悠远
RIi为Ai对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。
当CR≤0.10时，则认为层次总排序计算结果的一致性 可以接受。
由上面的五个步骤可以看出，层次分析法计算的主要 问题是如何计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向 量。这里我们介绍在精度要求不高的情况下，简化计算的 两种近似方法——和积法和根法。