数学竞赛选讲不等式证明

§14不等式的证明

不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：

不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>

（4）*).(,0N n b a b a b a n

n n

n ∈>

>⇒>>

对两个以上不等式进行运算的性质.

（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d

b

c a c

d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：

（1）.)0(||2

2

a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||2

2

a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||

b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.

（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ

证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函

数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更

为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.

例题讲解

1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++

2．0,,>c b a ，求证：.)

(3

c b a c

b a ab

c c b a ++≥

3．：.222,,,3

33222222ab

c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤

++∈+

求证

4．设*

21,,,N a a a n ∈Λ，且各不相同，

求证：.321312112

23221n a a a a n n ++++≤+

+++ΛΛ.

5．利用基本不等式证明.2

22ca bc ab c b a ++≥++

6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8

14

4

≥

+b a

7．利用排序不等式证明n n A G ≤

8．证明：对于任意正整数R ，有.)1

11()11(1+++<+n n n n

9．n 为正整数，证明：.)1(1

31211]1)1[(11

1

----<++++<-+n n

n n n n

n n Λ

课后练习

1.选择题

(1)方程x 2-y 2

=105的正整数解有( ). （A ）一组 （B ）二组 （C ）三组 （D ）四组

(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（ ）. （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 2．填空题

(1)的个位数分别为_________及_________. (2)满足不

等式104

≤A≤105

的整数A 的个数是x×104

+1，则x 的值________.

(3)已知整数y 被7除余数为5,那么y 3

被7除时余数为________. (4)求出任何一组满足方程x 2

-51y 2

=1的自然数解x 和y_________.

3.求三个正整数x 、y 、z 满足.

4．在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不

是9的倍数的数组共有多少组？

5．求的整数解.

6．求证可被37整除.

7．求满足条件的整数x，y的所有可能的值. 8．已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n 均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.

9.如果p、q 、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.

课后练习答案

1.D.C.

2.(1)9及1. (2)9. (3)4.

(4)原方程可变形为x 2

=(7y+1)2

+2y(y-7),令y=7可得x=50.

3.不妨设x≤y≤z,则,故x≤3.又有故x≥2.若x=2,则,故

y≤6.又有

,故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z 无整数解.若x=3,

类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z 都不能是整数. 4.可仿例2解.

5. 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．

的方法. 略解：ca a c bc c b ab b a 2,2,22

2

3

2

2

2

≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.

如

n n

x x x x x x x

x x +++≥+++ΛΛ211

2322221，可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++Λ

再如证)0,,(256)())(1)(1(3

2

2

3

3

>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不等式.

（2）基本不等式有各种变式 如2

)2(2

22b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.

6.8888≡8(mod37),∴8888

2222

≡82

(mod37).

7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222

+7777

3333

≡(82+73

)(mod37),而

82+73

=407,37|407,∴37|N.

7.简解:原方程变形为3x 2

-(3y+7)x+3y 2

-7y=0由关于x 的二次方程有解的条件△≥0及y 为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).

8.∵l 2

+m 2

=n 2

,∴l 2

=(n+m)(n-m).∵l 为质数,且n+m ＞n-m ＞0,∴n+m=l 2

,n-m=1.于是l 2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l 2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l 2+2l+1=(l+1)2

.即2(l+m+1)是完全平方数.

9.易知p≠q,不妨设p ＞q.令

=n,则m ＞n 由此可得不定方程

(4-mn)p=m+2,解此方程可得p 、q 之值.