力学_6(质点力学习题课)

B
由 角动量守恒定律，得：
0 = − Rm (u − v ) + Rmv
∴ v= 1u 2
7. 下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势能、
功中与参考系的选取有关的物理量是
。
动量、动能、功 （不考虑相对论效应）
8. 如图所示。一斜面固定在卡车上，一物体置于该斜 面上。在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜 面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块的冲量。
y: N − mg cosα − F sinα = 0
代入 μ = tgε , mg⋅ tg(α − ε ) < F < mg⋅ tg(α + ε )
守恒定律部分
1. 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径 为 r 的 小 圆 盘 ， 两 圆 盘 中 心 O 和 O′ 相 距 为 d ， 且 （d + r）< R 。
牛顿运动定律
F = dp dt
动量定理及守恒定律（力的时间积累）
∫t f
ti
Fdt
= Pf
− Pi
∑ F = 0, P = 常矢量
角动量定理和角动量守恒定律：
M = r × F = dL dt
L=r×p M = 0, L = 恒矢量
动能定理（力的空间积累）
Lp
∫ AAB =
B A
F
⋅ dr
=
1 2
mvB2
(a ) 位置矢量可能和加速度 垂直，速度不可能和加 速度垂直。
(b) 位置矢量不可能和加速 度垂直，速度可能和加 速度垂直。
(c) 位置矢量和速度都可能 与加速度垂直。
(d) 位置矢量和速度都不可 能与加速度垂直。
( ) 解: r = 2ti + 4 − t 2 j
欲判断 r , υ , a是否可能互相垂直，只要判断他们
彼此的标量积是否可能为零即可。
⎜⎛ A ⋅ B = AB cos θ .当A ⋅ B = 0时， θ = π .即A⊥B ⎟⎞
⎝
2
⎠
∴υ = dr = 2i − 2tj 而 a = dυ = −2 j
dt
dt
[ ] ( ) ( ) r ⋅υ = 2ti + 4 − t2 j ⋅ 2i − 2tj ∵i ⋅ j = 0
v0
oθ
y m ϕ v2
v1
x
v2 = v12 + 4v02 cos2 θ
ϕ = tg −1
v1
2v0 cos θ
解：爆炸过程动量守恒。
mv最高点
=
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎠⎞v1
+
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎠⎞v2
分量式
mv0
cosθ
=
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎠⎞v2
cosϕ
0
=
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎞(−
⎠
v1
)
+
⎜⎛ ⎝
m 2
解： 选系统（人、重物）
o
R
外力矩： B :
mgR
方向 ⊗
AB
A : mgR 方向 •
其他外力对o轴不产生力矩。 系统对o轴的角动量守恒。
设: 重物B相对地面上升速度为v , 角动量
LB = R m v, 方向⊙
o
R
人A相对地面速度为(u-v), 角动量
LA = R m (u-v), 方向⊗
A
取角动量方向向外为正方向
( ) ( ) = 4t − 2t 4 − t 2 = 2t t 2 − 2
r ⋅ υ = (2t t 2 − 2)
在t > 0的时间内，当 t = 2时， r ⋅ υ = 0
[ ] ( ) ( ) ( ) r ⋅ a = 2ti + 4 − t 2 j ⋅ − 2 j = −2 4 − t 2
在 t > 0的时间内，当 t = 2时， r ⋅ a = 0
r = a cos ω ti + b sin ω tj a = −ω 2 a cos ω ti − ω 2 b sin ω tj
M = r × F = r × ma
( ) ( ) = m acosωti + bsinωtj ×− ω 2acosωti − ω 2bsinωtj ( ) = m (−abω 2 sinωt cosωtk − −abω2 sinωt cosωtk )
该质点对原点的角动量 L =
。
解： ∵ r = a cos ω ti + b sin ω tj
∴ v = dr = −ωa sin ωti + ωb cos ωtj dt
a = dv = −ω 2 a cos ω ti − ω 2 b sin ω tj dt
(1) F = ma M = r × F = r × ma
m θ
选(D)
（A） 水平向前。 （B）只可能沿斜面向上。 （C）只可能沿斜面向下。 （D）沿斜面向上或向下均有可能。
9、 倔强系数为K的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹 簧伸长X0时，重物在O处达到平衡。现取重物在O处时各种 势能均为零，则当 m 偏离O点x时，系统的重力势能为多 少？系统的弹性势能为多少？系统的总势能为多少？
解：重力势能为：
o′ X 0 o x P
以o点为重力势能零点
v = v1 + v2
2
（ D ） 运动物体速率不变时，速度可以变化。
选(D)
6. 河宽为 d ,靠岸处水流速度为零，中流的速度最快为 vo 。
从岸边到中流，流速按正比增大。某人以不变的划速 u
垂直于水流方向离岸划出，求船划过中流之前相对于岸
的运动轨迹。
y (水流)
解： υ船，岸 = ui + vj v = V0 x
(A ) μ ≥ 1 (B) μ ≥ 1 (C) μ ≥2 3 (D) μ ≥ 3
2
3
解：受力分析如图：
F
300
F
N
G
fG
2
F
300
f
y
列方程
N
N − F cos 300 = 0
F sin300 − f − G = 0
G
f ≤ μN
得出：μ ≥ F sin 300 − G
F cos 300
由于 F >>G
我国长征系列火箭升空
质点力学 习题课
重要知识点
位移矢量 Δr ≠ Δr
速度和加速度 v = dr dt
圆周运动
a
=
dv dt
=
d 2r dt 2
a = an + at
an
=
Rω2
=
v2 R
at
=
dv dt
= αR
伽利略变换 Δ r = Δ r ′ + Δ r0
v = v′ + u a = a′ + a0
ϕ
u
m
ϕ
m
u 解： 以车厢为参考系
系统(小球与地球 )机械能守恒 .
mgl (1 − cos ϕ ) = 1 mv′2
2
v ′是小球相对车厢的速度
∴ v ′ = 2 gl (1 − cos ϕ )
小球第一次到达最低位置时，相对于地面的速率为
v = v′ − u = 2gl(1 − cosϕ ) − u
dt
(b). dr = υ
dt
(c).ds=υ
dt
(d). dυ
dt
= at
答案： (c )
3. 质点沿半径为 R 的圆周按规律: S = bt − ct 2 2 运动，其中 b,c 是正常数，且 ⎜⎝⎛ b2 c ⎟⎠⎞ < R, 则在切向加速度与法向加速度数值相等以前所经历 的时间是多少？
1
解：S = bt − ct 2
以地面为参考系，对系统（小球与地球）应用功能原 理，则摆线对小球作的总功为
A
=
⎜⎛ ⎝
1 2
mv
2
⎟⎞ ⎠
−
⎡ ⎢⎣
1 2
mu
2
+ mgl (1 − cosϕ )⎥⎦⎤
= −mu 2gl(1 − cosϕ )
注意
动量、能量、功均与参照系的选取有 关，且其守恒定律只能应用于惯性系！
4
6. 一轻绳绕过一轻滑轮，质量为m的人抓住了绳的一端 A，绳的另一端B系了一个与人等重的重物。设人从静 止开始上爬，如不计摩擦，求当人相对于绳以匀速u向 上爬时，B端重物上升的速度等于多少？
⎟⎠⎞v2
sinϕ
4.有一质量为 m 的静止质点，受一方向 不变的外力作用，
力与时间的关系： F = ct，(c为常数 )。
证明：此力对质点作的 功与时间的关系为
W = c2 t4 8m
证明： 质点的加速度为 F = ma = ct
a = dv = ct
dt m
∫ 积分：
v=
ct dt m
=
ct 2 2m
=0
i
jΒιβλιοθήκη Baidu
k
acosωt
bsinωt 0
−ω2acosωt −ω2bsinωt 0
3
r = a cos ω ti + b sin ω tj
v = −ωa sin ωti + ωb cos ωtj
(2) L = r × m v
( ) ( ) = acosωti + bsinωtj × − mωasinωti + mωbcosωtj
+
v0
=
ct 2 2m
由动能定理得： W
=
1 mv 2 2
−
1 2
mv
2 0
=
c2 t4 8m
5.如图所示，车厢在水平 轨道上以恒定的速度 u向右行驶， 车厢内有一摆线长为 l,小球质量为 m的单摆。开始时摆线 与竖直方向夹角为 ϕ，摆球在图示位置相对 车厢静止，而 后自由摆下，那么摆球 第一次到达最低位置时 相对地面的 速率为多少？相对于地 面，在这一下摆过程中 摆线对小球 所作总功是多少？
υ = ds = b − ct
2
dt
( ) at
=
dυ dt
=
−c,
at = an ⇒ − c
an
= υ2 R
=
(b − ct)2 R
= (b − ct )2
R
∴ c 2t 2 − 2bct + b2 − Rc = 0
∴t = b ± c
R c
∵⎜⎝⎛ b2 c ⎟⎠⎞ < R,
∴t = b + c
d
∫t
x = udt = ut 0
2
∫ ∫ y =
t
vdt
0
=
t 0
V0 d
xdt
2
∫=
t V0 utdt 0d
2
= V0 ut 2 d
o x (划船)
∴ y = V0 x2 ud
( ) 7 . 已知质点的运动方程为 r = 2 ti + 4 − t 2 j
在t > 0的时间内，质点的运动 状况是（ ）。
求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。y 解：由对称性分析，
质心C应在 x 轴上。
R
用挖补法 1) 先将挖去的部分补上
C
x· c O
O′ x
r
计算总的质心位置
xC总 = 0
d
2) 再计算挖去的部分的质心位置
xC挖 = d
y
m总xC总 = m挖 xC挖
+ m剩xC剩
3) 则剩余部分的质心位置
R
C
x· c O
(A) 0. (B) 5m. (C ) 2m.
(D) − 2m. (E) − 5m.
解：
v(m s )
Δx = v − t曲线下的面积
2
1
2.5 4.5
0
−1
12
34
5 t(s)
∴ Δx = 2m
2.质点作曲线运动， r 表位矢， S表路程，
a 表切向加速度。下列表 达式正确的是： t
(a). dυ = a
O′
r
x
d
xC剩
=
−d ⋅σ ⋅π r2 + 0 σ ⋅π R2 −σ ⋅πr2
=
−
(R
/
d
r )2
−1
2.一质量为 m的质点沿着一条空间曲 线运动，
该曲线在直角坐标系下的定义式为:
r = a cos ω ti + b sin ω tj 其中a b ω皆为常数，
则此质点所受的对原点 的力矩 M =
；
( ) ( ) υ ⋅ a = 2i − 2tj ⋅ − 2 j = 4t
所以，在 t > 0的时间内， υ ⋅ a ≠ 0.
选（a）
牛顿定律部分
1.如图所示，用一斜向上的力F (与水平成300角)，将一重为G
的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F都不能使
木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数μ的大小为：
R c
4. 以下五种运动形式中， a 保持不变的运动是：
（A） 单摆的运动; （B） 匀速率圆周运动;
（C） 行星的椭圆轨道运动; （D）抛体运动;（E）
圆锥摆运动。
选(D)
5. 下列说法哪一条正确？ （ A ） 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变;
（ B ）平均速率等于平均速度的大小;
（C ）不管加速度如何，平均速率 表达式总可以写成
x
则 μ ≥ F sin300 = 1
F cos300 3
选(B)
2.设有水平力 F作用于斜面上的质点 m.为了使 物体不滑动，对 F的大小有何限制？
⎜⎜⎝⎛已μ 为知质斜点面与倾斜角面α间，的且摩μ擦=
tgε , ε为斜面的摩擦角。
系数。
N
⎟⎟⎠⎞
m
yF
F
α
x
mg
f
α
解：研究 m 受力分析图：
列方程: x: mg sinα − F cosα + f = 0 − μN < f < μN
−
1 2
mvA2
θr
质点系动能定理
dEK = dA外 + dA内
质点系功能原理 dE = dA外 + dA耗内
机械能守恒定律 dA外 + dA耗内 = 0
dE = 0
补充完善
质点运动学部分
1. 一质点沿 X轴作直线运动，其 v − t曲线
如图所示。当 t = 0时，质点位于坐标原点 ，
则t = 4.5s时，质点在 X轴上的位置为：
( ) = mωab cos2 ωtk − − m ω ab sin 2 ω tk
= m ω ab k
i
jk
acosωt
bsinωt 0
−ωasinωt ωbcosωt 0
3.已知炮弹初速 V0 ,以仰角 θ发射，到达最高点爆炸 成质量
相等的两块。其中一块 以V1垂直下落 (不计阻力 )，求另一 块的速度大小和方向。(与水平方向夹角标定方 向)