图论第二次作业

第四章
3(1).有欧拉闭迹和H圈
(2).有欧拉闭迹但没有H圈
(3).有H圈无欧拉闭迹
(4).无欧拉闭迹且没有H圈
4：证：若G不是H图，由chvatal定理知，G度弱于某个图，故：
=
这与题目已知条件相矛盾，故G是H图。

8：证：不失一般性，设G是连通图，是G的2k个奇点，连接，得到，则得到图，则是欧拉图，设C是中的欧拉闭迹，删除C中的，即可得到k条边不重复的迹，使得
.
10(1)若G不是二连通图，那么G不连通或者有割点u，则w，故G是
非H图。

(2). 若G是具有二分类的偶图，且，若假设则，故G是非H图。

11：设R是G中的H路，则对于每个真子集S，有w，又：
w w，故w.
12：设u是G外一点，将u和G中的每个点连接得到图，则G的度序列为
，故有题意知，不存在小于的正整数m，使得
，故由Chvatal定理知，图是H图，则G有H路。

15：(1)由图的闭包定义可知，构作一个图的闭包，可以通过不断在度和大于等于n的非邻接顶点加边得到。

故图的闭包算法如下：
第一步：令；
第二步：在中求顶点，使得：
第三步：如果,则转到第四步；否则，停止，则可得到G 的闭包。

第四步：令，转到第二步。

复杂性分析：由其算法我们可得出其总运算量为：
故该算法能够在多项式时间内被解决，故该算法是一个好算法。

(2).设计算法如下：
第一步：在闭包构造中，将加入的边依次加入次序记为
，在中任意取出一个H圈，令k=N;
第二步：若不在中，令；否则转到第三步。

第三步：设，令；求中两个相邻点u和v使得，u，v依序排列在上，且有：，令：
第四步：若k=1，转到第五步；否则，令k=k-1,转第二步；
第五步：停止。

为G的H圈。

算法的复杂性分析：因为该算法进行了N次循环，每次循环中找到满足要求的邻接顶点u和v至多需要n-3次判断，所以总的运算量：N(n-3)。

是一个好算法。

第五章
1：(1)证：k方体有2k个顶点，每个顶点可以用长度为k的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。

若划分k方体的2k个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。

显然，X中顶点互不邻接，Y中顶点也如此。

所以k方体是偶图。

又k方体的每个顶点度数为k,所以k方体是k正则偶图。

所以由推论可知：k方体存在完美匹配。

(2).解K
2n 的任意一个顶点有2n-1中不同的方法被匹配。

所以K
2n
的不同完美匹
配个数等于(2n-1)K
2n-2,如此推下去，可以归纳出K
2n
的不同完美匹配个数为：
(2n-1)!!。

同理，K
n, n
的不同完美匹配个数为：(n)!。

2：若不然，设M
1与M
2
是树T的两个不同的完美匹配，那么M
1
ΔM
2
≠Φ,且T[M
1
ΔM
2
]
每个顶点度数为2，即它存在圈，于是推出T中有圈，矛盾。

故一棵树中最多只有一个完美匹配。

7：解：设
作如下四条路：
故其四个生成圈如下：
8：证明：K
6n-2
= K
2(3n-1)
, 所以，可以分解为6n-3个边不重的1因子之和。

而任
意3个1因子可以并成一个3因子。

所以，共可以并成2n-1个3因子。

即K6n-2可以分解为2n-1个3因子的和。

10：证明：因δ(G)≥n/2+1 ,由狄拉克定理：n阶图G有H圈C .又因n为偶数，
所以C为偶圈。

于是由C可得到G的两个1因子。

设其中一个为F
1。

设G
1
=G-F
1。

则δ(G
1
)≥n/2。

于是G
1
中有H圈C
1
.作H=C
1
∪F
1。

显然H是G的一个3因子。

19:证明：K
4n+1
= K
2(2n)+1
, 所以，可以分解为2n个边不重的2因子之和。

而任意
2个2因子可以并成一个4因子。

所以，共可以并成n个4因子。

即K
4n+1
可以分解为n个4因子的和。