振动分析基础 第二章 (2.01-2.10)

已经知道，该系统运动微分方程为：
m&x&(t) cx&(t) kx(t) F(t)
(2.1)
对 F(t) 0 的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研 究 F(t) 0 时的情况，即运动微分方程(2.1)的特解情况。
首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。
为此，可令外力 F(t) 具有如下的形式：
第二章
单自由度线性系统的强Байду номын сангаас振动
2.1 概 述
振动力学中，一个非常重要的课题就是研究系统对于外部激 励的响应。外部激励可以表现为初始位移、初始速度或二者兼有。 当只存在初始激励时，系统将自由的进行振动。这样的运动被称 为是“自由振动”。
此外，激励还存在着另外一种形式，即力在一段时间内持续 存在的，而由此而产生的振动被称为“强迫振动”。
后面将会看到，引入复矢量的表示方法，将使得响应的推导 以及对振动问题的进一步深入研究都具有重要的意义。
为此，首先简单回顾“欧拉公式”：
eit cost isint
指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，但在复 数域中却可以将它们相互转化，能够被一个非常简单的关系式联 系在一起，这就是上面的欧拉公式。
下面将欧拉公式在复平面上表达出来，如下图2－2：
Im
sint
e it
t
Re
cost
图2－2. 欧拉公式在复平面上的表达
复矢量 eit 可以看作是一个在复平面内，以角速度 逆时
针转动的单位复矢量。那么显然，该单位复矢量在实轴上的投影
就是它的实部 cost，而在虚轴上的投影就是它的虚部 sint 。
可将稳态响应(解)(2.7)写成如下的简洁形式：
x(t) Xcost
(2.8)
其中：
X
A
1
2
n
2
2
n2
tan1 2 n
1 n2
分别为稳态响应的“振幅”和“相角(相位)”。
(2.9) (2.10)
2.3 复频率响应
本节，我们引入复矢量的概念，将上节中谐波激励的表达形 式进行推广。即用复矢量来表示谐波形式的外部激励。
n2 2C1 2 nC2 0
(2.5)
2 nC1 n2 2C2 An2
联立求解代数方程组(2.5)，得到系数 C1 、C2 为：
C1
An2 2 n
2 n
2
2
2
n2
1
2 n
n22 2
n
2
A
(2.6)
C2
An2
2 n
2
2 n
2
2
2
n
2
1
1 n2 n22 2
n
2
A
将系数 C1 和 C2 代入前面假设的响应解(2.4)中，即可得到
x (t) C1sint C2 cost
(2.4)
其中， C1 、C2 为待定常数。将方程(2.4)代入运动微分方程
(2.3)，即可写出：
2 n
2
C1sint
C2cost
2
nC1cost
C2sint
An2cost
整理上式，并通过令方程两端的 sint 项和 cost 项前面的
系数相等，可得到两个代数方程：
② 非齐次方程的解，称为“特解”。即由谐波激励所引
起的系统的强迫振动，它在长时间内不会消失。所以，
称之为“稳态解”或“稳态响应”。
因为这时的激励力为谐波形式，所以，需要求解的稳态响应
也必然是谐波形式。并且，应该具有相同的频率 。
再者， 运动方程(2.3)的左端包含有未知响应 x(t) 的奇次和
偶次的时间导数。所以，可假设解 x(t) 具有如下形式：
这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。
系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于 激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍：
① 谐波激励： 谐波激励具有着广泛的实际意义，并且是研究其它类型激 励的基础。所以对谐波激励将进行比较详尽的讨论；
② 周期性的激励： 周期性激励可应用标准的傅立叶级数将其看作是许多谐波 激励的迭加。从而可利用谐波激励的结果进行分析；
F(t) k f (t) k Asint Imk Aeit
符号 Im 表示了取复矢量 eit 的虚部。
所以，综合上面两式，可将正弦形式和余弦形式的谐波激励 统一的用复矢量表示为：
F(t) k f (t) k Aeit
(2.11)
由复矢量形式的激励所求得的响应，如果真实激励为余弦形 式，则取响应的实部。如果是正弦形式，则取响应的虚部。
③ 非周期性的激励(任意激励)： 对于非周期的任意激励，将介绍脉冲响应和卷积积分。最 后，可由傅立叶变换和拉普拉斯变换来得到系统响应。
2.2 对谐波激励的响应
仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：
x(t)
x(t)
k
F (t )
Fs (t)
m
m
F (t )
Fd (t)
c
图2－1. 二阶线性阻尼系统
首先，将方程(2.2)表示的谐波激励代入系统的运动微分方
程(2.1)中，并用质量 m 除方程两端，则运动微分方程变为：
&x&(t
)
2
n
x&(t
)
2 n
x(t
)
An2
cost
(2.3)
显然，上式为非齐次线性微分方程。其解将包括两个部分：
① 运动微分方程所对应的齐次方程的解，称为“通解”
(即自由振动的解)。它将随着时间的延续而消逝，所 以这时的解也称为“瞬态解”或“瞬态响应”；
F(t) k f (t) kAcost
(2.2)
式中，称为“激励频率(或驱动频率)”，而 f (t) 和 A 将
具有位移的单位。
可以看到，这里方程(2.2)中，人为引进了函数 f (t) 的。后
面将看到，通过这样的表达方式，我们可以导出响应与激励的 “无量纲比”。而“无量纲比”的概念往往能把对特殊情况的分 析结果推广到其它不同的情形，从而推广分析结果的应用范围。
单自由度阻尼系统承受谐波激励的稳态响应：
x(t)
A
1 n22 2 n2
2 n
sin
t
1
n2
cost
(2.7)
x(t)
A
1 n22 2 n2
2 n
sin
t
1
n2
cost
(2.7)
这时，引入如下表达：
2 n
sin
1
n
2
2
2
n2
1 n2
cos
1 n222 n2
现在，重新考虑单自由度阻尼系统的运动微分方程(2.1)，
并应用复矢量的形式来表示方程右端的谐波激励 F (t) ：
F(t) k f (t) k Acost Re k Aeit
其中，符号 Re 表示取复矢量 eit 的实部。显然，上式表达
的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：