九年级数学一元二次方程(带答案)
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第二章 一元二次方程
第 1 讲 一元二次方程概念及解法
知识要点 】
. 知识结构网络
、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x 2
b b 0 或
2
x a 2
b 的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （ 3）令每个 一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次
项，右边为常 数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为 （x m ）2
n 的形式（ 5）如果右边是非
负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式 ax 2
bx c 0 ，确定 a 、 b 、 c 的值；
（2）计算
2 2 b b 2
4ac b 2
4ac 的值并判别其符号；（3）若b 2
4ac 0，则利用公式 x 求方程的解，若 2a
2 b 2
4ac 0，则方程无实数解。
典型例题】
2
解：(3x 1)( 2x 3) 0
，x 2
解： x
2
11
4
经典练习】
、直接开方法
二、配方法注： （1） 2x 2
2x 30 0 二、公式法
1. 用求根公式法解下列方程
2
（1）x 2
2x 2 0；
∴ 3x 1 0或 2x
2)3x 2
4x 1（用公式
法）
解：
3x
4x
4)
2
3×( 1)
28 0
( 4) 28 2 × 3 ±7 x
1
27 3 ，x 2 2 3 27 3
3）
2x 2
2x 30 用配方
法）
x 2
(x
2
x
2 22
4)
( 42)
2
4
15 ( 42)2
121 8 ∴
x 1
3 2，
x 2
5
2 2
1) (x 1)2
(1
2x)2
2)(x a)2
b
x 1
15
∴x
2
2)3x 2
4x 1
2
(2)2y2 8y 1 0 ；
解：
21
(3)2x2 3x 0 ；
8
解：
2
(4)3y2 2y 1；
解：
(5)2x2 5x 1 0；
解：
2
(6)x2 2 5x 3 0 ；
解：
2
(7)3x2 4x 5 0 ；
解： (7)方程无实数根；
(8)2x2 4 3x 2 2 0 ；
解：
2
(9)0.02x2 0.03x 0.35；
解： (9)先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根公式，
(10)(1 2 3)x x2 3(1 3)
解：。
三、因式分解
1. 用因式分解法解下列各方程：
(1)x2－5x－24＝0；
解：；
(2)12x2＋x－ 6＝0；解：；
3)x2－4x－165＝0
(4)2x 2
－23x ＋56＝0；
解：(2x 7)( x 8) 0，x 1 7
，x 2 8；
2
(5) 9x 2 24x 16 4x 12；
解： (6) 3(x 3) 3(3 x)2
；
解：
(7)
x 2
( 3 2)x 6 0
解： ； (8)
(x 2)2
5x 10
6；
解： （x －2）2
－5（x －2）＋6＝0，（x －2－ 2）（x －2－3）＝0，x 1＝4，x 2＝5； （ 9） t （t ＋ 3）＝28；
解： （9）t 2
＋3t －28＝0，（t ＋7）（t －4）＝0，t 1＝－7，t 2＝4； （ 10） （x ＋1）（x ＋3）＝ 15。
解： x 2
＋4x ＋3＝15，（x ＋6）（x －2）＝0，x 1＝－ 6，x 2＝2 2. 用因式分解法解下列方程： （1）（y －1）2
＋2y （y －1）＝0；
解：
（2）（3x ＋ 2）2
＝ 4（x － 3）2
；
解
：
[( 3x 2) 2(x 3)][( 3x 2) 2(x 3)] 0 (5x 4
4)( x 8) 0，x 1
， x 2
8
（3
）
9(2x ＋3)2－4(2x － 5)2＝0；
解[3(2x ＋ 3)＋ 2(2x －5)][3(2x ＋3)＝0，
1 19
(10x 1)( 2x 19) 0，x
1 110
，x 2 12
9
4）（2y ＋1）2
＋3（2y ＋1）＋2＝0。
解： ［（2y ＋ 1）＋ 1］［（2y ＋ 1）＋ 2］＝0， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）
A. 7x 2－x －1＝0
B. 9x 2
＝4（3x －1）