北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
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选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1
b
，x >y .
求证：
x
x ＋a >
y
y ＋b
.
证明：∵
x
x ＋a －
y
y ＋b
＝
bx －ay
x ＋a y ＋b
，
又1a >1
b
，且a 、b 均为正实数，
∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴
bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y
y ＋b
.
2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2
＋(1a ＋1b ＋1c
)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．
证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得
a 2＋
b 2＋
c 2
≥3(abc )23
，①
1
a ＋1
b ＋1
c
≥3(abc )1
3-，②
所以(1
a ＋1
b ＋1c
)2
≥9(abc ) 2
3-.
故a 2
＋b 2
＋c 2
＋(1a ＋1b ＋1
c
)2
≥3(abc ) 23
＋
9(abc )
23
-
.
又3(abc ) 23
＋9(abc ) 23
-≥227＝63，③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23
＝9(abc )
23
-
时，③式
等号成立．
即当且仅当a ＝b ＝c ＝314
时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
同理1
a2＋
1
b2
＋
1
c2
≥
1
ab
＋
1
bc
＋
1
ac
，②
故a2＋b2＋c2＋(1
a
＋
1
b
＋
1
c
)2≥ab＋bc＋ac＋
3
1
ab
＋3
1
bc
＋3
1
ac
≥6 3.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝31
4时，原式等号成立．
3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1
x2－2xy＋y2
≥2y ＋3.
解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
2x＋
1
x2－2xy＋y2
－2y＝2(x－y)＋
1
x－y2
＝(x－y)＋(x－y)＋
1
x－y2
≥33
x－y2
1
x－y2
＝3，
所以2x＋
1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3.
4．已知正实数a，b，c满足
1
a
＋
2
b
＋
3
c
＝1，求证：a＋
b
2
＋
c
3
≥9.证明：因为a，b，c均为正实数，
所以
1
a
＋
2
b
＋
3
c
≥3
31
a
·
2
b
·
3
c
.同理可证：
a＋
b
2
＋
c
3
≥3
3
a·
b
2
·
c
3
.
所以(a＋
b
2
＋
c
3
)(
1
a
＋
2
b
＋
3
c
)≥
3
3
a·
b
2
·
c
3
·3
31
a
·
2
b
·
3
c
＝9.
因为
1
a
＋
2
b
＋
3
c
＝1，所以a＋
b
2
＋
c
3
≥9，
当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．