二十六个优美的不等式问题
高中不等式例题(超全超经典)
技巧一：凑项例1：已知 ，求函数 的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
技巧三：分离例3.求 的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数 的最大和最小值；
(2)设 ，函数 .
若 ，求 的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若 ，则 的取值范围是__________（答： 或 ）；
（2）解不等式
（答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
不等式问题集及答案[1-650]
![不等式问题集及答案[1-650]](https://img.taocdn.com/s3/m/0a5028164431b90d6c85c757.png)
本题说明：正的真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大；正的假分数的分子 和分母加上同一个正数，其值变小。
【0010】 、求证： x 2 + 3 > 3 x
( x ∈ R)
3 3 3 3 证明： ( x 2 + 3) − 3 x = x 2 − 3 x + ( ) 2 + = ( x − ) 2 + > 0 ，∴ x 2 + 3 > 3 x 2 4 2 4
a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2
1 1 1 9 证明 1：由于 (a + b + c) （由【0016】 ） + + ≥ ， a+b b+c c+a 2
c a b a b c 3 9 ，即 +1+ + + ≥ +1+ ≥ a+b b+c c+a 2 b+c c+a a+b 2 a b c b c a 证明 2：令 P = ，Q = ， + + + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b c a b ，则 Q + R = + + =3 R= + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b
a 5 + b5 ≥ a 2b 2 ( a + b) ，
a 3 b3 + ≥ a + b (a, b > 0) b2 a 2
不等式典型题目归纳1
教学内容：第三章：不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20axbx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++> ()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R 20ax bx c ++< ()0a >{}12x xx x <<∅∅5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．10、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 11、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．12、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥． 13、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．14、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．一、一元二次不等式解法 1、 直接按步骤解2320x x -+->2、 分式不等式转化为整式不等式，右边不为0要移项通分，注意x 前面系数为正 还要注意，最后取值分母不为0（1）21031x x -≥+ （2）213xx -≥+3、高次不等式用穿根法：奇穿偶不穿（奇次方穿过x 轴，偶次方不穿过）解不等式：2223056x x x x --≤-+-二、解含参不等式：讨论根的大小，参数为0等情况 1、因式分解类讨论解不等式：223()0()x a a x a a R -++>∈2、直接讨论解不等式：(2)(2)0()x ax a R -->∈3、 分式含参不等式：先转化为整式不等式，再讨论 解不等式：(1)1(0)2a x a x ->>-4、 含参绝对值不等式：主要是零点分段题目 解不等式：（1）311x x --+< （2） 143 2+1-2 x x a a x x a a -+-<∅-≥（）的解集为，的取值范围（）使得恒成立，的取值范围三、一元二次不等式与韦达定理1、2+8+28<0,{-7<<-1}mx mx x x m 若一元二次不等式的解集为，求实数的值2、(1)已知不等式22++>0{<<},(>>0),++<0ax bx c x x cx bx a αββα的解集为求的解集(2) 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是x ＜1或x ＞3，则满足不等式cx 2+bx+a ＞0的x的取值范围是___________针对练习：若不等式ax 2-bx+c ＞0的解集是{x|-2＜x ＜3}，求不等式cx 2+bx+a ＞0的解集四、恒成立问题1、22(1)(1)10a a x a x R ----<当为何值时候，不等式的解集为2、22-8+20=>0+2(+1)+9+4x x y x m mx m m 对任意实数恒成立，求的取值范围变式练习：22++1y=0y +1x x x ≤恒成立，求的取值范围3、 二次函数恒成立2=++3 1,,(2)[-2,2]y x ax x R y a a x y a a ∈≥∈≥已知函数（）当恒成立求范围当，恒成立，求范围4、 分离变量法求恒成立问题：2-2+-2<0 1,()2m x mx x m x R m ∈≤不等式（）若对，恒成立求m 范围2对一切都成立，求范围均值不等式()22222+,2222a b a b a b a b ab ab a b R ++++⎛⎫≤≤⇔≤≤∈ ⎪⎝⎭只要注意和为定值用积，积为定值用和，注意条件：一正、二定、三相等（一定验算相等取值）首先遇到均值不等式题目，把上面公式列在草稿纸上 1、 积为定值若(93) (03)y y x x x =-<<求的最值2、 有根号的和为定值一般用到公式2222a b a b ++≤（1）、++b=1,)+4++4a a b R a b ∈已知（，求的最值（2）++b=1,)2+1+2+1a a b R a b ∈已知（，求的最值3、 利用1，或变为1（1）+111+b+c=1,,)++a a b c R a b c∈≥已知（，求9（2）+1119+b+c=1,,)++++c +2a abc R a b b c a ∈≥已知（，求（3）已知11+,+x y x y其中一个求另一个类型题目 +14,,+=1,+x y R x y x y∈已知且求最小值变式：（1）45++14141414+y+=10,++=+1=+=y y y y 1010y xx yx x y x x x x ⇒⨯⨯求，（）（）（2）14y 4+5++)14y y+=10,++=+1=+=y 1010x x x x y x y x y x y x ⇒⨯⨯（求（）（）4、 构造完全平方类型大于等于0，()222,a b ab a b R +≥∈，()2,a b ab a b R +≥∈ （1） 若222,,++>++a b c a b c ab bc ca 为不相等的实数，（2）,,++++bc ac ab a b c R a b c a b c+∈≥,求证5、 均值定理边形()222+2222222,2-2-2-c,2-,2-,2-cc a a b ab a b R a ab b a bba cb ba cb b a b b a c+≥∈⇒≥⇒≥≥≥≥≥同理可得： （1）设222,,++++c a b a b c R a b c a b c+∈≥,求证（2013新课标1）设,,a b c R +∈，且a+b+c=1。
高一数学不等式部分经典习题及答案
3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
二十六个优美的不等式问题
二十六个优美的不等式问题
笔者在阅读有关书籍、杂志时，思考并提出的如下26个优美的不等式，现编辑录出来，供有兴趣的读者去研讨.
1.设为正实数,且，求证：
2. 设为正实数，求证：
3. 若，求证：
4. 若，求证：
.
5. 设为正实数，且满足，求证：
6. 设为正实数，且满足，证明：
7. 设为正实数，且满足，证明：
8. 已知为正实数，且，证明或否定：
9. 已知为正实数，且n为正整数，证明或否定：
10. 设，求证：
11.设为正实数，则有不等式
12. 设为正实数，且满足，求证：
13. 设为正实数，且，求证：
14. 若，则
．
15. 设为正数，n为正整数，求证：
16. 若，求证：
17.已知为正实数，且，求证：
18. 设为正实数，且满足，求证：
19. 若为正数，，求证：
．
20. 设正实数满足关系，求证：
21. 若，求证：
22.在中，求证：
23. 在中，求证：
24.设的三边分别为a、b、c满足abc=1，求证
25.设的三边长为，面积为，则有不等式
26.设的三边长为，外接圆和内接圆的半径分别为，求证：。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
高中不等式例题(超全超经典)
一． 不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
不等式解法15个典型例题
2010年高三数学典例突破系列 ——不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高中不等式15种典型例题 -回复
高中数学作为数学教育中的重要一环，其内容涵盖了许多重要的知识点和技巧。
其中，不等式作为数学中的重要内容之一，其在高中数学中占据着重要的地位。
不等式是数学中一个非常重要的概念，它是指两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等关系。
在高中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，也是考试中经常出现的题型之一。
今天，我们将就高中数学中的不等式问题进行一些讨论。
本文将围绕高中数学中不等式的15种典型例题展开讨论，帮助大家更好地理解和掌握高中数学中的不等式知识。
1. 一元一次不等式我们来讨论一元一次不等式的解法。
一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
类似于$x+3>5$这样的不等式就是一元一次不等式的典型例子。
解一元一次不等式的方法和解一元一次方程类似，不过在不等式中除了要进行加减乘除的运算外，还要注意不等式方向的改变。
在解一元一次不等式时，可以运用逆向思维法，即将原不等式中的未知数移到一边，常数移到一边，且改变不等式的方向。
对于不等式$x+3>5$，我们可以将3移到不等式的右边，得到$x>5-3$，即$x>2$。
这样就得到了不等式$x+3>5$的解$x>2$。
通过这种方法，我们可以解决许多简单的一元一次不等式问题。
2. 一元二次不等式我们来讨论一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的不等式。
类似于$x^2-4x+3>0$这样的不等式就是一元二次不等式的典型例子。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些。
一般来说，可以先将一元二次不等式化简成关于未知数的一元二次方程，然后通过求解二次方程的根的方法来解决不等式问题。
我们还可以通过画出一元二次函数的图像，来直观地了解不等式的解集。
对于不等式$x^2-4x+3>0$，我们可以先将其化简为$(x-1)(x-3)>0$，然后通过求解二次方程$(x-1)(x-3)=0$得到不等式的解集，再通过画出函数$y=x^2-4x+3$的图像，来进一步确认不等式的解集。
解不等式的例题及答案
解不等式的例题及答案1. 不等式的基本概念在数学中，不等式是代数学中的一个重要概念。
不等式用于描述变量之间的大小关系，将不等式与等式相对比，可以理解为等式描述了变量之间的相等关系，而不等式则描述了变量之间的不等关系。
不等式的解集就是使得不等式成立的所有满足条件的变量的集合。
在解不等式的过程中，需要运用不等式的性质和一些常用的解不等式的方法。
2. 一元一次不等式的例题及答案例题：解不等式2x−5>7。
解答：首先我们将不等式进行移项得到2x>7+5，即2x>12。
接下来我们将不等式两边都除以2得到 $x > \\frac{12}{2}$，即x>6。
因此，不等式2x−5>7的解集为x>6。
3. 一元二次不等式的例题及答案例题：解不等式x2−4x>0。
解答：首先将不等式x2−4x>0化简为x(x−4)>0。
接下来需要研究不等式的零点，即x和x−4分别等于0时的取值情况。
令x=0，则不等式x(x−4)的值为0。
同理，令x−4=0，则不等式x(x−4)的值也为0。
由此可知，当x=0或x=4时，不等式x(x−4)的值为0。
接下来我们将数轴分成三个区间：$(-\\infty,0)$，(0,4)和 $(4,+\\infty)$。
在每一个区间内，我们都可以选择一个测试点来代入不等式进行验证，以确定不等式的取值情况。
在区间 $(-\\infty,0)$ 中，我们选择一个测试点x=−1，代入不等式x(x−4)可得(−1)(−1−4)=5>0。
在区间(0,4)中，我们选择一个测试点x=1，代入不等式x(x−4)可得(1)(1−4)=−3<0。
在区间 $(4,+\\infty)$ 中，我们选择一个测试点x=5，代入不等式x(x−4)可得(5)(5−4)=5>0。
根据测试点的结果，我们可以得出结论：•在区间 $(-\\infty,0)$ 和 $(4,+\\infty)$ 中，不等式x(x−4)的解为大于0的实数。
23个经典的不等式
23个经典的不等式专题1. 证明： (2)221111+223n+++<；2. 若：33a b 2+=，求证：a b 2+≤ ；3. 若：n N +∈，求证：...111112n 1n 22n≤+++<++； 4. 若：,a b 0>，且ab a b 3=++，求：a b +的取值范围 ； 5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：a b c1a 1b 1c+>+++ ； 6. 当n 2≥时，求证：...22211111112n 1n 23n-<+++<-+ ； 7. 若x R ∈，求y =的值域 ； 8.求函数cos y 2θθ=-的最大值和最小值 ；9. 若,,a b c 0>，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10.若,,a b c R ∈，且222a b c 25++=，试求：a 2b 2c -+的取值范围； 11.若,,a b c R ∈，且2a b 2c 6--=，求222a b c ++的最小值；12.若,,a b c R ∈，且()()()222a 1b 2c 311654-+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13.若,,a b c 0>，,,x y z 0>，且满足222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=，求：a b cx y z++++的值；14.求证：n2k 1153k=<∑； 15.当n 2≥时，求证：()n 1213n<+<；16.求证：...()......()1131351352n 12242462462n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 17.求证：)...)2111<+++< ；18.已知：x 0>,求证：ln()x1x x 1x<+<+ ；19.已知：n N +∈，求证：...ln()...111111n 123n 12n+++<+<++++ ； 20.已知：n 2≥，求证：()n 2n n 1>- ； 21.已知：n N +∈，求证：...n 111n123212++++>- ； 22.设：...n S =+，求证：()()2n n n 12S n 1+<<+ ； 23.已知：n N +∈，求证： (111)12n 1n 23n 1<+++<+++ .23个经典的不等式专题解析1. 证明： (2)221111+223n+++< ；[证明] ⑴ 放缩法()nnnn22k 1k 2k 2k 2111111111112k k 1k 1k n k k ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑. 从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”.⑵ 积分法构建函数：()1f x 2x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.于是：()nnnn22211k 1k 2111111111dx 1122x n 1n kk x===+<+=-=--=-<∑∑⎰ 从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1,]n ； 积分项小于求和项时，积分限为[2,1]n +. 此法称为“积分法”.⑶ 加强版 求证： (2)221117412n +++<[证明] 放缩法...+ (2)222222111111112n12131n 1+++<+++--- (111111)11221213131n 1n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111122131n n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦111122131⎛⎫<++ ⎪--⎝⎭ 11371112244⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭2. 若：33a b 2+=，求证：a b 2+≤ [证明] ⑴ 公式法()()()3322a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()ab a b 2+≤则：()3ab a b 6+≤，()33a b 3ab a b 8+++≤，即：()3a b 8+≤，即：a b 2+≤. 立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”.⑵ 琴生不等式构建函数：()3f x x =，则在在x R +∈区间为单调递增函数，且是下凸函数. 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即：()()...()...()f x f x f x x x x 12n 12nf nn++++++≥对于本题：()()()f a f b a b f 22++≥ 即：333a b a b 22++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即：333a b a b 21222++⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，即：a b 12+≤，即：a b 2+≤ 琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”.⑶ 权方和不等式若（a 0>，b 0>，m 0>或m 1<-）则：(...)...(...)m 1m 1m 1n 1n 1m m m 1n 1n a a a a b b b b +++++++≥++ 已知：33a b 2+=331+=33333a b 2()++≥=即：33a b 12()+≥，即：a b 2+≤. 此法称为“权方和不等式”.⑷ 幂均不等式由于幂均函数...()1r r r r12nr a a a M a n ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭随r 单调递增而得到幂均不等式： ()()13M a M a ≤，即：1333a b a b 22⎛⎫++≤⎪ ⎪⎝⎭即：==113333a b a b 21222⎛⎫++⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：a b 2+≤. 此法称为“幂均不等式”.3. 若：n N +∈，求证：...111112n 1n 22n≤+++<++ [解析] ⑴ 放缩法由：n n n k n +≥+> ,,...(),k 12n =得：1112n n k n≤<+ ， 则：nn nk 1k 1k 11112n n k n===≤<+∑∑∑， 即： ...n 111n 2n n 1n 2n n n ≤+++<+++ 故： (1111)12n 1n 22n≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和. 此法称为“放缩法”. ⑵ 性质法本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第k 项，均满足1112n n k n≤<+，当有n 项累加时， 不等式两个边界项乘以n 倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n 倍，小于最大值的n 倍.另外，...111n 1n 22n+++++的最大值是ln ....20693147≈，本题有些松. 4.若：,a b 0>，且ab a b 3=++，求：a b +的取值范围 ； [解析] ⑴ 解析法()()()222a b a b 2ab 4ab 4a b 34a b 12+=++≥=++=++，令：t a b =+，则上式为：2t 4t 120--≥，即： ()()t 6t 20-+≥ 故：t 6≥或t 2≤-（舍）.本题采用了均值不等式和二次不等式. ⑵ 基本不等式由ab a b 3=++得：ab a b 14--+=，即：()()a 1b 14--=. 两正数之积为定值时，两数相等时其和最小.故：当()()a 1b 12-=-=时，()()a 1b 1-+-为最小值. 即：()()a 1b 1224-+-≥+=，即：a b 6+≥. ⑶ 拉格朗日乘数法拉格朗日函数为：(,)()L a b a b ab a b 3λ=++--- 当拉氏函数取极值时，()L 1b 10a λ∂=+-=∂；()L 1a 10bλ∂=+-=∂ 即：11b 1a 1λ=-=---，即：b a = 则(,)L a b 取极值时，b a =，代入ab a b 3=++得：2a 2a 3=+ 即：2a 2a 30--=，即：()()a 3a 10-+=，即：a 3= 故：(,)L a b 取极值时，b a 3==，则：a b 6+=由于当a 2=时，代入ab a b 3=++得：2b b 5=+，即：b 5= 此时，a b 2576+=+=>. 则a b 6+=为最小值，故：a b 6+≥. 此法称为“拉格朗日乘数法” 5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：a b c 1a 1b 1c+>+++ [证明] ⑴ 单调性法构造函数()xf x 1x=+，则在x 0>时，()f x 为单调递增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +> 那么，对于增函数有：()()f a b f c +>，即：a b c1a b 1c+>+++ ①由放缩法得：a a 1a 1ab >+++，b b1b 1a b>+++由上式及①式得：a b a b a b c1a 1b 1a b 1a b 1a b 1c++>+=>+++++++++. 构造函数，利用函数单调性，此法称为“单调性法”.对于两边之和大于第三边的式子，其实是“设限法”或“设界法”. 6. 当n 2≥时，求证： (222111111)12n 1n 23n-<+++<-+ [证明] ⑴ 放缩法当n 2≥时，n 1n n 1-<<+，都扩大n 倍得：()()2n n 1n n n 1-<<+，取倒数得：()()2111n n 1n n 1n >>-+，裂项：211111n 1n n n 1n ->>--+，求和：()()n n n2k 2k 2k 211111k 1k k k 1k ===->>--+∑∑∑， 即： (222111111)1n 2n 123n->+++>-+ . 先放缩，裂项求和，再放缩. 此法为“放缩法”. ⑵ 积分法构建函数：()21f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.由面积关系得到：ABDE AGDE AEFC S S S >>()11k k 1dx f k dx k 1k 22x x +>>⎰⎰- 即：2k k 1111x x k k 1k+->>-- 即：21111111k kkk k->>--+本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同⑴. 此法称为“积分法” ⑶ 加强版由第1题的求证：...2221117114n n 112n +++<--+可得：...2211314n 2n++<-故加强版为：当n 2≥时，求证：...22211111312n 14n 23n-<+++<-+. 7. 若x R ∈，求y =的值域 [解析] ⑴ 向量法y ==设：1m x 22(,=+，1n x 22(,=-， 则：m x ⎛= n x ⎛=- m n 10(,)-=代入向量不等式：m n m n -≤-得：y m n m n 1=-≤-=，故：1y 1-≤≤. 当且仅当m n //时，不等式的等号成立. 因为m 与n 不平行，故：1y 1-<<. 这回用绝对值不等式.此法称为“向量法”.⑵ 极值法求函数y =的极值，从而得到不等式. 极值时导数为0：'y 0==则：x =±∞，故函数y =的极值出现在x =±∞. 函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在[,)x0∈+∞.y ==22===lim m x y 1→+∞==由于是奇函数，故在(,)x 0∈-∞，y ===lim (m x y 1→-∞==-故：(,)y 11∈-. 此法称为“极值法”. 8、求函数y = ；[解析] ⑴ 斜率法将函数稍作变形为：M Ny == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(,)M 20，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，k y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直N 点. 斜率k y 的范围为：[tan ,tan ]oo3030-即：[k y 33∈-而y 是k yk y =，故：1y 1-≤≤ . 即：y 的最大值是1，最小值是1-.原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 此法称为“斜率法”. ⑵ 辅助角法先变形：y =cos cos 2y y y θθθθ-==+；利用辅助角公式得：))2y θθθϕ=+=+；sin()θϕ=+，即：sin()11θϕ-≤=+≤；即：224y 13y ≤+，即：224y 3y ≤+，即：2y 1≤，即：1y 1-≤≤如果要计算，需要用到辅助角公式. 此法称为“辅助角法”. 9. 若,,a b c 0>，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ [证明]⑴ 柯西不等式 由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++⋅+++++≥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()21112a b c 39a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++⋅++≥= ⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭ 此法称为“柯西不等式”. ⑵ 排序不等式首先将不等式变形：a b c a b c a b c 9a b b c c a 2++++++++≥+++； 即：c a b 93a b b c c a 2+++≥+++，即：c a b 3a b b c c a 2++≥+++. 由于对称性，不妨设：a b c ≥≥，则：a b a c b c +≥+≥+； 即：111b c a c a b≥≥+++. 由排序不等式得： 正序和a b c a b cb c a c a b a c a b b c++≥++++++++乱序和； 正序和a b c a b cb c a c a b a b b c a c++≥++++++++乱序和；上两式相加得：a b c a b b c a c23b c a c a b a b b c a c +++⎛⎫++≥++= ⎪++++++⎝⎭即：c a b 3a b b c c a 2++≥+++ 证毕. 此法称为“排序不等式”. ⑶ 权方和不等式权方和不等式：若（a 0>，b 0>，m 0>或m 1<-）则：(...)...(...)m 1m 1m 1n 1n 1m m m 1n 1n a a a a b b b b +++++++≥++采用权方和不等式得：222222a b b c c a a b b c c a ++=++++++++9a b c ≥==++ 此法称为“权方和不等式”.10.若a b c R ,,∈，且222a b c 25++=，试求：a 2b 2c -+的取值范围. [解析] ⑴ 向量不等式设：m 122(,,)=-，n a b c (,,)=则：2m 13==，2n a 5=+==m n 122a b c a 2b 2c (,,)(,,)⋅=-⋅=-+m n 3515⋅=⨯=代入向量不等式m n m n ⋅≤得：a 2b 2c 15-+≤ 即：15a 2b 2c 15-≤-+≤ 此法称为“向量不等式” ⑵ 柯西不等式由柯西不等式得：()()()2222222122a b c a 2b 2c ⎡⎤+-+++≥-+⎢⎥⎣⎦即：()2925a 2b 2c ⨯≥-+，故：a 2b 2c 15-+≤ 所以：15a 2b 2c 15-≤-+≤此法称为“柯西不等式”.⑶ 拉格朗日乘数法 构建拉格朗日函数：2221L a b c a 2b 2c a b c 25(,,)()λ=-++++-由函数在极值点的导数为0得： L 2a 10a λ∂=+=∂，则：2a λ=-，即：a 2λ=-； L 2b 20a λ∂=-+=∂，则：b λ=，即：b λ=； L 2b 20a λ∂=+=∂，则：c λ=-，即：c λ=-. 代入222a b c 25++=得：229=54λ，即：103λ=± 极值点为：5a 23λ=-=，10b 3λ==±，10c 3λ=-= 则：y a 2b 2c 15m=-+=，即：15a 2b 2c 15-≤-+≤ 此法称为“拉格朗日乘数法”，简称“拉氏乘数法”. ⑷ 权方和不等式由权方和不等式：2222222222a 2b 2c a 2b 2c a 2b 2c 5= a b c 1441443()()()()()--+-+++=++≥=++ 即：()2925a 2b 2c ⨯≥-+，即: 15a 2b 2c 15-≤-+≤ 其中，2222a 2b 2c a 2b 2c 144144()()()()--+++≥++ 就是“权方和不等式”，也称“柯西-苏瓦茨不等式(推论)”.11.若a b c R ,,∈，且2a b 2c 6--=，求222a b c ++的最小值.[解析]⑴ 向量不等式设：m 212(,,)=--，n a b c (,,)=，则：2222m 2129()()=+-+-=；2222n a b c =++；m n 2a b 2c ⋅=--；代入向量不等式m n m n ≥⋅得：()()22229a b c 2a b 2c 36++≥--= 即：222a b c 4++≥，故：222a b c ++最小值为4.此法称为“向量法”.⑵ 柯西不等式由柯西不等式：2222222212a b c 2a b 2c [()()]()()+-+-++≥-- 即：222222222a b 2c 6a b c 49212()()[()()]--++≥==+-+- 故：222a b c ++最小值为4.此法称为“柯西不等式”.⑶ 拉格朗日乘数法构建拉氏函数：222L a b c a b c 2a b 2c 6(,,)()λ=+++---在极值点的导数为0，即：L 2a 20aλ∂=+=∂，即：a λ=-； L 2b 0bλ∂=-=∂，即：2b λ=； L 2c 20cλ∂=-=∂，即：c λ=. 代入2a b 2c 6--=得：43λ=-则：4a 3=，2b 3=-，4c 3=- 故：22222242436a b c 43339⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下，就像第4(3)题. 本题222a b c ++最小值为4.此法称为“拉格朗日乘数法”.⑷ 权方和不等式由权方和不等式得：222222222a b 2c 2a b 2c 6a b c 44144149()()()()--+++=++≥==++即：222a b c 4++≥，故：222a b c ++最小值为4.此法称为“权方和不等式”.12.若a b c R ,,∈，且222a 1b 2c 311654()()()-+-++=，求a b c ++的最大值和最小值. [解析]⑴ 柯西不等式由柯西不等式：()()()2222222a 1c 342a 1b 2c 342⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎡⎤++++≥-+++- ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即：()2251a b c 2⨯≥++-；故：5a b c 25()-≤++-≤.于是：()3a b c 7-≤++≤.此法称为“柯西不等式”.⑵ 三角换元法 有人说：222a 1b 2c 311654()()()-+-++=是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 它的三个半轴长分别为：A 4=，B =C 2=设：x a 1=-，y b 2=+，z c 3=-，则这个椭球的方程为：222222x y z 1A B C ++= ①现在来求a b c ++的最大值和最小值.采用三角换元法：令：x A sin cos θϕ=，y B sin sin θϕ=，z C cos θ=代入方程①检验，可知它满足方程.采用辅助角公式化简：f x y z A B C sin cos sin sin cos θϕθϕθ=++=++42sin cos sin cos θϕθϕθ=++2)cos θϕϕθ=++2)sin cos αϕθθ=++]θθ=+)θφ=+故：f x y z=++的峰值是：当21sin()αϕ+=时，mf5===即：5x y z5-≤++≤而x y z a1b2c3a b c2++=-+++-=++-，故：5a b c25-≤++-≤，即：3a b c7-≤++≤.此法称为“三角换元法”.⑶拉格朗日乘数法设拉格朗日函数为：222a1b2c3L a b c a b c11654()()()(,,)λ⎡⎤-+-=+++++-⎢⎥⎣⎦当拉式函数取极值时，有：La∂=∂，Lb∂=∂，Lc∂=∂. 则：L a110a8λ∂-=+⋅=∂，即：8a1λ=--或8a1λ-=-；L2b210b5()λ∂+=+⋅=∂，即：52b2()λ=-+或5b22λ+=-；L c310c2λ∂-=+⋅=∂，即：2c3λ=--或2c3λ-=-.则：5a1b2c38216542():():()::::-+-==设：a116k-=，则：b25k+=，c34k-=代入222a1b2c311654()()()-+-++=得：22216k5k4k1++=即：225k1=，即：5k1=±于是：a1b2c316k5k4k25k()()()-+++-=++=即：a b c55k25252[,]++=⨯+∈-++即：a b c37[,]++∈-拉格朗日乘数法求出的是极值，即a b c++的极小值是3-、极大值是7.这就是“拉格朗日乘数法”.⑷ 权方和不等式由权方和不等式得：2222a 1b 2c 3a 1b 2c 3116541654()()()()-+--+++-=++≥++ 即：22a b c 215()++-≤，即：22a b c 25()++-≤ 故：5a b c 25()-≤++-≤，即：3a b c 7-≤++≤.此法就是“权方和不等式”.13.若a b c 0,,>，x y z 0,,>，且满足222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=，求：a b c x y z++++的值. [解析]⑴ 柯西不等式由柯西不等式：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++ 当柯西不等式中等号成立时，有：a b c x y z λ===， 即：a x λ=，b y λ=，c z λ=，0λ>本题，将222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=代入得：2253630⨯≥，正是等号成立.则：2222222a b c x y z ()λ++=++； 即：2222222a b c 2536x y z λ++==++，即：56λ= 故：a b c a b c 5x y z x y z 6λ++=====++ . 此法称为“柯西不等式”.14.求证：n 2k 1153k =<∑. [证明]⑴ 放缩法n n n 222k 1k 2k 211411k k 4k ====+=+∑∑∑ n n 2k 2k 24111122k 12k 14k 1==⎛⎫<+=+- ⎪-+-⎝⎭∑∑ 1115121232n 133⎛⎫=+⨯-<+⨯= ⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是“放缩法”.⑵ 积分法 构建函数：21f x x ()=，则f x ()在x R +∈区间为单调递减函数. n n n 222k 1k 3k 311151144k k k ====++=+∑∑∑n n 2335151511dx 44x 4n 3x ⎛⎫≤+=-=-- ⎪⎝⎭⎰ 5115119543n 43123=+-<+=< 此法称为“积分法”.15.当n 2≥时，求证：n 1213n()<+<. [证明]⑴ 放缩法由二项式定理得：nn k 12n n n n n k 2n k 0111111C 1C C C n n n n n ...=⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭∑; 采用放缩法：当n 2≥时，12n 1n n n n 2n 11111C C C 1C 2n n n n...+⋅+⋅++⋅≥+⋅= 即：n112n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ ① 由二项式定理并采用放缩法得：n n k n k k 11111C n n =⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭∑nk k 1n 11k n k n !!()!==+⋅-∑n k k 11n 1k n k n !!()!==+-∑ n k 11n n 1n 2n k 11k n n n n ()()()...!=---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦∑ n n n k 1k 2k 21111112k k k !!!===<+=++=+∑∑∑nn k 2k 211122k k 1k 1k ()==⎛⎫<+=+- ⎪--⎝⎭∑∑1213n=+-< ② 本题由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：n 113n()+<. 此法为“放缩法”.⑵ 伯努利不等式由伯努利不等式得：n1111n 2n n ⎛⎫+≥+⋅= ⎪⎝⎭. ①式得证.⑶ 单调性法本题也可以利用函数的基本性质证明. 构建函数：x 1f x 1x ()⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在x 1≥时，函数为单调递增函数. 故：在x 2≥时，1f x f 1112()()()≥=+=利用指数不等式： x 1x e +< 则：()11y y y x 1f x 11y e e 3x ()()⎛⎫=+=+<=< ⎪⎝⎭. ②式得证.由于指数不等式也可以由函数单调性得到，故此法称为“单调性法”.16.求证：1131352n 12242462n ...()......()⋅⋅⋅⋅⋅-+++<⋅⋅⋅⋅⋅[证明] ⑴ 裂项相消法由放缩法得：()()222n 2n 12n 12n 1()()>-=-+ 故：2n 12n 2n 2n 1-<+ ① 令：n 132n 1S 242n ()...()-=⋅⋅⋅， n 242n T 352n 1()...()=⋅⋅⋅+ 由①得：n n S T < ② 即：2n n n 132n 1242n 1S S T 242n 352n 12n 1()()......()()⎡⎤⎡⎤-<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故：n S< ③由><<，代入③式得：n S <④ 因为12n 1131352n 1S S S =2242462n ...().........()⋅⋅⋅⋅⋅-++++++⋅⋅⋅⋅⋅所以待证式为：12n S S S ...+++< ⑤将④式代入12n S S S ...+++中采用裂项相消法得：n12n k 1S S S 1...=+++<=<∑⑤式得证.本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.此法称为“裂项相消法”，只不过更另类一些.17.求证：2111)...)<+++<.[证明]⑴ 裂项相消法由放缩法得：<即：2>= ① 由①式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 则：1++2...>++21)= ②由放缩法得：()()()2222228n 18n118n 8n 2->--=-即：()28n 1-> ③==代入③式得：28n 1->令：x 2n =，则上式可写为：22x 1->即：x x 1x x 11()()++--即：21>1>1>< ④ 由④式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 1++...<++1)< ⑤由②⑤，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法. 此法称“裂项相消法”. ⑵ 积分法设函数f x ()=，函数为递减函数.函数图象如图.其中，k x k 1=>，k 1x k 1-=-，k 1x k 1+=+则：k y =k 1y -=，k 1y +=于是，由面积关系得：kk 1k k dx dx +->>⎰⎰即：((k k 1k 1k +->>当k 1>时，上式即：22>>故：n k 12121))=+>>即：n k 211)=<<故：n k 21)=<.积分法可证明②式. 对⑤式，积分法松一些.18.已知：x 0>,求证：x 1x x 1x ln()<+<+. [证明](1) 单调性法构造函数：f x x 1x ()ln()=-+，则：f 00()=. 当x 0>时，函数的导数为：1f x 101x '()=->+， 即当x 0>时，函数f x ()为增函数. 即：f x f 00()()>=； 故：f x x 1x 0()ln()=-+>，即：ln()1x x +< ① 当x 0=时，1x x ln()+=. 构造函数：x g x 1x 1x ()ln()=+-+，则：g 00()=.当x 0>时，其导数为：()()2211x xg x 01x 1x 1x 1x '()⎡⎤⎢⎥=--=>++⎢⎥++⎣⎦.即当x 0>时，函数g x ()为增函数. 即：g x g 00()()>=； 故：x g x 1x 01x ()ln()=+->+，即：ln()x1x 1x<++ ② 当x 0=时，x1x 1xln()=++. 由①和②，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题. 当x 0≥时，x1x x 1xln()≤+≤+. 这是重要的不等式，简称为“对数不等式”. 此法称为“单调性法”. 19.已知：n N +∈，求证：111111n 123n 12n...ln()...+++<+<++++. [证明] ⑴ 积分法构造函数：1f x x()=，在函数图象上分别取三点A B C ,, 即：1A k k (,),1B k 1k 1(,)--,1C k 1k 1(,)++ 我们来看一下这几个图形的面积关系：AEFC AEFH AEDG AEDB S S S S <=<即：k 1kkk 111dx f k 1dx xx ()+-⋅<⋅<⋅⎰⎰即：k 1kkk 1x f k x ln ()ln +-<<即：1k 1k k k 1kln()ln ln ln()+-<<-- 左边不等式1k 1k kln()ln +-<求和： nnk 1k 1111k 1k 1k2n (ln()ln )...==+-<=+++∑∑即：ln() (11)n 112n+<+++ ① 右边不等式1k k 1kln ln()<--求和： ...ln()n 1k 21111n 1k 23n 1+==+++<++∑ ② 由①和②，本题证毕. 本题采用构造函数、利用函数的面积积分来证题. 此法称为“积分法”.20.已知：n 2≥，求证：n 2n n 1()>-. [证明] ⑴ 极值法A> 由于2211n n 1n n n 42()()-<-+=- 所以只要证明n 212n 2()>-即可.即：n 22122n 12()>-，即：n 2222n 1()+>- 即：n 2222n 1()ln ln()+>- 即：2n 22n 12ln ln ln()+>- ① B> 构建函数：2f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- ② 其中：x 2≥ 导函数：22f x 22x 1ln '()=-- ③ 我们求②式得最小值. C> 首先边界： 当x 2=时，2f 2222212ln ()ln ln()=⋅+-⋅-223430ln ln ln ln =-=-> ④ 当x =+∞时，2f x x 22x 12ln ()ln ln()=+--x 2222x 1ln ln ln()=+--x x 2222222x 12x 1lnln +⋅==-- 由于x 2x 2x 2222x x x 1222222x 12x 12(ln )limlim lim +++→+∞→+∞→+∞===+∞-- 所以x 2x 222x x 2202x 12x 1lim lnln lim ++→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+∞> ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ D> 由函数取极值时的导数为0得：0022f x 022x 1ln '()=-=- 即：042x 12ln -= ⑥ 即：042x 22ln ln +=⑦ E> 将⑥⑦代入②得到极值点得函数值0002f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- 242422222ln ln ln ln ln ln +⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭422424ln ln ln ln(ln )+=+-+ []1424244424ln ln ln ln(ln )=++-+ 4143224ln ln(ln )⎡⎤=-+⎣⎦ 4341e 224ln ln ln(ln )⎡⎤=-+⎣⎦ 443341e 2e 2422(ln )ln ln ln ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ⑧ 由于e 22718069318841ln ...≈⨯>而34216818e 2.ln =≈< 所以：034e 2f x 02ln ()ln=> ⑨F> 由函数的极值和边界值都大于0得：f x 0()>即： 2f x x 22x 102ln ()ln ln()=+--> 则：2n 22n 12ln ln ln()+>- ①式得证.本题采用放缩法得①式，采用极值法得⑨式. ⑵ 二项式定理由二项式定理的：nnnkn k 0211C ()==+=∑ ① 其中：knn C k n k !!()!=-当k 1n 1[,]∈-时，k nn C n k n k !!()!=≥- ②在k 1n 1[,]∈-范围，共有n 1()-项。
高一数学不等式部分经典习题及答案
高一数学不等式部分经典习题及答案一、不等式一、不等式的性质：1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。
例如：若a>b。
c>d，则a+c>b+d（若a>b。
cb-d），但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减。
2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。
例如：若a>b>0.c>d>0，则ac>bd（若a>b>0.0b/d）。
3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。
例如：若a>b>0，则a>b或a^n>b^n。
4.若ab>0，a>b，则a/b>1；若abb，则a/b<-1.例如：对于实数a,b,c，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若a<b<c，则a<b<ab；④若ab^2；⑤若a1；⑥若ab；⑦若c>a>b>d，则(c-a)/(c-a+b-d)>0；其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。
2）已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3）已知a>b>c，且a+b+c=1，则c的取值范围是[-2,-1)。
二、不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幂的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
例如：1）设a>1且a不等于1，t>0，比较(1+t)/loga和2loga(t)的大小。
当a>1时，(1+t)/loga=2loga(t)（t=1时取等号）。
2）设a>2，p=a+√a-2.q=2a-√a-2，比较p和q的大小。
精选不等式100题
A． (1, 1 ) 2
B． (, 1) (1 , ) 2
C． ( 1 ,1) 2
D． (, 1) (1, ) 2
34．圆 x2 y2 4x 2y 1 0 上存在两点关于直线 ax 2by 2 0a 0,b 0 对称，则 1 4 的最小值为
ab
A．8
B．9
C．16
D．18
35．若不等式
,
1
1 2
,
22．若
x＞2，则函数
y
x
x
4
2
的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
23．下列不等式中，正确的是
A．若 a b, c d ，则 a c b d
B．若 a b ，则 a c b c
C．若 a b, c d ，则 ac bd
D．若 a b, c d ，则 a b cd
A．①
B．②
C．③
D．①②③
40．若正数
a,b
满足
a+b=2,则
a
1
1
b
4
1
的最小值是
A．1
B． 9 4
C．9
D．16
41．已知关于 x 的不等式 ax2 2x 3a 0 在 0, 2 上有解，则实数 a 的取值范围是
A． ,
3 3
B．
,
4 7
C．
3 3
,+
42．当 > 0 时， ( ) = 22+1的最大值为（ A．12 C．2
B． ab a b 0
C． a b 0 ab
D． ab 0 a b
2．设
x
R
，则“
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总一、均值不等式：均值不等式是不等式理论中的重要分支，其中最基本的是算术平均数和几何平均数之间的关系。
1.算术均值不等式(AM-GM):对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn , 有以下不等式成立：(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n ≥ √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn)证明：令a = (x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n，其中x1, x2, x3,⋯, xn为非负实数。
令 b = √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn) ，则要证明的不等式即为 a ≥ b。
根据均值不等式的性质，两个算术均值之间有一个几何均值，即a≥b。
2. 加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式)：对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数，并且 w1 + w2 + w3 + ⋯ + wn = 1，有以下不等式成立：w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥ (x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯xn^wn)证明：将w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn 展开为 w1/x1 + w2/x2 +w3/x3 + ⋯ + wn/xn，利用 AM-GM 不等式即可证明。
即 w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥(x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯ xn^wn)二、特殊不等式：特殊不等式是指在一些特殊条件下成立的不等式，是数学中的一种重要类型。
1. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz):对于任意实数 a1, a2, a3,⋯, an 和 b1, b2, b3,⋯, bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ⋯ + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ⋯+ an^2)· (b1^2 + b2^2 + b3^2 + ⋯ + bn^2)证明：考虑函数 f(t) = (a1t + a2t + a3t + ⋯ + ant)^2 ，求导可证明。
不等式的典型练习题
不等式的典型练习题第一篇：不等式的典型练习题一、比较大小1、2a与a2、1+3a与1+2a3、a-4a+3与-4a+1二、性质3的应用b，求a ab2、关于x的不等式ax-3x〉b的解集是x〈，求a a-31、关于x的不等式ax〉b的解集为x〈3、关于x的不等式（m-1）x〈m-1的解集是x〉1，求m三、关于解集的问题1、关于x的不等式3x》a的解集为x》2，求a2、关于x的不等式2x-a〈1的解集是x〈1，求a四、关于最大整数解的问题1、4x-a《0的正整数解只有1、2、3，求a2、2x-a《0只有4个正整数解，求a3、3x-a《0的正整数解只有1、2，求a五、求数组的问题1、三个连续正偶数的和小于19，求符合题意的数组2、三个连续自然数的和小于15，求符合题意的数组六、不等式与方程的联系1、关于x的方程3x+a=x-7的解为负数，求a2、关于x的方程3x+a=x-7的根为不是负数，求a3、x≥3=3-6x，求x4、关于x的方程3（x-4）=a+x-14的解不小于3，且a为正整数，求a5、关于x的方程-x+m）=6、3m（x+1）+1=吗（3-x2、x-3≥2x-≤七、绝对值不等式的解法1、x≤3x≥3x≥6x≤6 233x+25+1的解为负数，求m 32）-5x的解为正数，求m第二篇：均值不等式练习题均值不等式求最值及不等式证明2013/11/23题型一、均值不等式求最值例题：1、凑系数：当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值。
2、凑项：已知x<51，求函数f(x)=4x-2+的最大值。
44x-5x2+7x+10(x≠-1)的值域。
3、分离：求y=x+14、整体代换：已知a>0，b>0，a+2b=1，求t=11+的最小值。
ab5、换元：求函数y=x+2的最大值。
2x+5152x-1+5-2x(<x<)的最大值。
226、取平方：求函数y=练习：1、若0<x<2，则y=2、函数y=x(6-3x)的最大值是1+x(x>3)的最小值是x-3x2+8(x>1)的最小值是3、函数y=x-1x4+4x2+54、函数y=的最小值是2x+25、f(x)=3+lgx+4（0＜x＜1）有最值等于lgx116x+2的最小值是xx+16、若x>0，则x+7、已知x为锐角，则sinx+cosx的最大值是8、函数sinxcosx的最大值是9、函数y=4249+的最小值是__________ 22cosxsinx11+=9，则x+y的最小值是 xyb10、已知x>0，y>0，且11、a,b∈R,且a+b=3则2+2的最小值是12、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则函数W3x 2y 的最值是1 a13、已知a>0,b>0且a+b=1,则（211-1-1)的最小值是)(a2b2y 214、已知x，y为正实数，且x＋＝1，则x1＋y的最大值215、已知a>b>0，则a+1的最小值是(a-b)⋅b16、若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是___________17、若a、b∈R，ab-(a+b)=1，则+a+b的最小值是________18、设实数x,y,m,n满足条件m+n=1，x2+y2=9，则mx+ny的最大值是19、若x,y>0，则(x+22121)+(y+)2的最小值是 2y2x11)(b+)的最小值是 ab220、若a,b>0,a+b=1，则(a+题型二、利用均值定理证明不等式例题：1、求证：（1）已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a+b2+c2>ab+bc+ca（2）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc（3）已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：4442222222、已知x,y,z>0，x+y+z≥xy+yz+zx≥xyz(x+y+z)+⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫-1⎪-1⎪-1⎪≥8 ⎝a⎭⎝b⎭⎝c⎭3、若a+b+c=<5第三篇：基本不等式练习题3.4基本不等式重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，不可能同时大于．当堂练习： 1.若，下列不等式恒成立的是（）A．2.若B．且C．D．，则下列四个数中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a 的最大值为（）Ｃ．的最小值是（）C.D.Ｄ．－13.设x>0,则Ａ．3Ｂ．4.设A.10B.5.若x, y是正数，且，则xy有（）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值 6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D． 8.a,b是正数，则Ａ．三个数的大小顺序是（）Ｂ．Ｃ．Ｄ．9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10.下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．Ｃ．11.函数Ｂ．Ｄ．的最大值为.12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.若x, y为非零实数，代数式15.已知：的值恒为正，对吗？答., 求mx+ny的最大值.16.已知．若、, 试比较与的大小，并加以证明.17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.18.设正整数n都成立..证明不等式对所有的参考答案：经典例题：【解析】证法一假设，同时大于，∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理，≥，.三个不等式相加得.，不可能，∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于证法二假设，同时成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即.（*）又∵ ≤，同理∴≤，≤≤，与（*）式矛盾，故当堂练习：不可能同时大于.1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.;12.3600;13.15．;14.对;16.【解析】．∵、，∴ ．当且仅当＝时，取“＝”号．当时，有．∴ ．．即．当时，有．即17.(1)(2)18．【解析】证明由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因因此不等式以及对所有的正整数n都成立.第四篇：不等式性质练习题﹤不等式性质一、选择题1、已知a<b<0，下列不等式恒成立的是（）A.a2<b2B.ab<1C.1111a<bD.a<b2、已知a<0,b<-1，下列不等式恒成立的是（）A.a>ab>abB.aaaaaab2>b>aC.b>b2>aD.b>a>b3、若a,b,c,d四个数满足条件：(1)d>c;(2)a+b=c+d;(3)a+d<b+c，则（）Ab.>c>d>aB.a>d>c> bC.d>b>a> cD.b>d>c> a4、如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则以下选项中不一定成立的是（）A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ab2D.ac(a-c)<05、下列命题中正确的是（）Aa.>b,k∈N*⇒ak>bkB.a<b,c>1⇒c-1c-1b<aC.a>b,c>d⇒(a-b)>(c-d)2D.a>b>0,c>d>0⇒abd>c6、如果a,b是满足ab<0的实数，则（）A.a+b>a-bB.a-<a bC.a-<a bD.a+b<a+b7、若a>0,b>0,则不等式-b<1x<a的解为（）A.-1b<x<0或0<x<1aB.-111111a<x<bC.x<-a或x>bD.x<-b或x>a二、填空题8、若m<0,n>0,m+n<0,则m,n,-m,-n的大小关系为9、若-1<a<b<1,-2<c<3,则(a-b)c的取值范围是10、若0<a<1,给出下列四个不等式，其中正确的是1○1log⎛1⎫⎛1⎫1+a1+1+1+a(1+a)<loga ⎝1+a⎪⎭○2loga(1+a)>loga a a⎝1+a⎪⎭○3a<a○4a<aa11、已知三个不等式：(1)ab>0(2)-ca<-db(3)bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成个正确的命题。
不等式的基本公式例题
不等式的基本公式例题在数学中，不等式是描述两个数之间大小关系的一种表示方法。
不等式可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）等符号的组合。
在解决问题时，使用不等式的基本公式例题可以帮助我们建立正确的思维方式和解题方法。
下面将提供一些关于不等式的基本公式例题，并以相应的格式进行解答。
例题一：求解不等式2x - 1 < 7。
解答：将不等式中的x项移到一边，并将常数项移到另一边，得到不等式形式为：2x < 7 + 12x < 8接下来，我们需要将不等式左边的系数变为1，因此两边同时除以2：x < 8/2x < 4所以，不等式2x - 1 < 7的解集为x < 4。
例题二：求解不等式3(x + 1) ≥ 4(x - 2) - 1。
解答：首先，我们需要将不等式中的括号展开，得到：3x + 3 ≥ 4x - 8 - 1然后，将相同项合并，得到：3x + 3 ≥ 4x - 9接下来，将变量项移到一边，并将常数项移到另一边，得到不等式形式为：3x - 4x ≥ -9 - 3-x ≥ -12注意，当乘以-1时，需要反转不等式的方向，即得到：x ≤ 12所以，不等式3(x + 1) ≥ 4(x - 2) - 1的解集为x ≤ 12。
例题三：求解不等式2x - 3 > x + 4。
解答：将不等式中的x项移到一边，并将常数项移到另一边，得到不等式形式为：2x - x > 4 + 3x > 7所以，不等式2x - 3 > x + 4的解集为x > 7。
通过以上例题的解答，我们可以看到不等式的基本公式在解决问题时起着重要的作用。
通过对不等式进行整理和计算，我们可以得出不等式的解集，从而得到数值范围的区间，这对于解决数学问题和实际应用具有重要意义。
总结：不等式的基本公式例题是理解和掌握不等式概念和解题方法的关键所在。
高一数学不等式部分经典习题及答案
3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二十六个优美的不等式问题
1.设为正实数,且，求证：
2. 设为正实数，求证：
3. 若，求证：
4. 若，求证：
.
5. 设为正实数，且满足，求证：
6. 设为正实数，且满足，证明：
7. 设为正实数，且满足，证明：
8. 已知为正实数，且，证明或否定：
9. 已知为正实数，且n为正整数，证明或否定：
10.设，求证：
11.设为正实数，则有不等式
12. 设为正实数，且满足，求证：
13. 设为正实数，且，求证：
14. 若，则
．
15. 设为正数，n为正整数，求证：
16. 若，求证：
17.已知为正实数，且，求证：
18. 设为正实数，且满足，求证：
19. 若为正数，，求证：．
20. 设正实数满足关系，求证：
21. 若，求证：
22.在中，求证：
23. 在中，求证：
24.设的三边分别为a、b、c满足abc=1，求证
25.设的三边长为，面积为，则有不等式
26.设的三边长为，外接圆和内接圆的半径分别为，求证：。