与三角形有关的线段
专题9.1 与三角形有关的线段【八大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题9.1与三角形有关的线段【八大题型】【华东师大版】【题型1三角形的分类】 (1)【题型2判断三角形的个数】 (3)【题型3三角形三边关系的应用】 (5)【题型4三角形的稳定性】 (6)【题型5三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】 (8)【题型6三角形的中线与面积问题】 (10)【题型7三角形的中线与周长问题】 (13)【题型8证明三角形中线段不等关系】 (16)【例1】（2021秋•漳平市期中）下列说法正确的有（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；③根据等腰三角形的定义进行解答；④根据三角形按角分类情况可得答案．【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，∴等腰三角形不一定是等边三角形，∴①错误；②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，∴②错误；③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，∴③正确；④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，∴④正确．故选：C．【变式1-1】（2021秋•威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A．甲、乙两种分法均正确B．甲分法正确，乙分法错误C．甲分法错误，乙分法正确D．甲、乙两种分法均错误【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确．【解答】解：甲正确的分类应该为，乙分法正确；故选：C．【变式1-2】（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．【解答】解：三角形根据边分类如下：三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形；故选：B．【变式1-3】（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【分析】根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确；B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；故选：B．【题型2判断三角形的个数】【例2】（2021•蒙阴县校级开学）如图中三角形的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】结合图形写出所有的三角形，得到答案．【解答】解：图中有△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△CED共5个，故选：C．【变式2-1】（2022春•建邺区校级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．【解答】解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，故选：D．【变式2-2】（2021秋•安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）A．3B．4或5C．6或7D．8【分析】根据三角形的定义，先得出三角形的个数．再根据三角形的分类，得出锐角三角形的个数．【解答】解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时，∴共有33÷3＝11个三角形；又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形；故还有11﹣5﹣3＝3个锐角三角形．故选：A．【变式2-3】（2022秋•饶平县校级期末）观察图形规律：（1）图①中一共有个三角形，图②中共有个三角形，图③中共有个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有个三角形．【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．故答案为：3，6，10；（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，∴第n个图形共有：1+2+3+…+（n+1）=(r1)(r2)2．故答案为：(r1)(r2)．【题型3三角形三边关系的应用】【例3】（2022•平桂区二模）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（）个不同的三角形木架．A．1B．2C．6D．10【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，判断即可．【解答】解：设从10cm的小木棍上裁剪的线段长度为xcm，则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，∴整数x的值为5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm，∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架，故选：C．【变式3-1】（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（）A．7B．10C．11D．14【分析】分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．【解答】解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，故选：B．【变式3-2】（2022•襄州区模拟）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】首先设三角形第三边长为x，根据三角形的三边关系可得9﹣5＜x＜5+9，解不等式可得x的取值范围，再根据周长是偶数确定x的值，进而可得答案．【解答】解：设三角形第三边长为x，由题意得：9﹣5＜x＜5+9，解得：4＜x＜14，∵周长是偶数，∴x＝6，8，10，12，共4个．故选：B．【变式3-3】（2021秋•祁阳县期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形的个数为（）A．6个B．8个C．10个D．12个【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案．【解答】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，列举法：当4是最大边时，有（1，4，4），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，4），（3，4，4）．当4是中间的边时，有（2，4，5），（3，4，5），（3，4，6）．共8个，故选：B．【题型4三角形的稳定性】【例4】（2021春•左权县月考）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是．【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【解答】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【变式4-1】（2021秋•云梦县月考）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（）A．B．C．D．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故C符合题意；A、B、D不是三角形，故选项不符合题意．故选：C．【变式4-2】（2021秋•龙岩期末）下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【解答】解：A、不具有稳定性，故此选项符合题意；B、具有稳定性，故此选项不符合题意；C、具有稳定性，故此选项不合题意；D、具有稳定性，故此选项不符合题意；故选：A．【变式4-3】（2021秋•岚皋县校级月考）要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要钉上木条的根数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线，所以至少要钉上3根木条．故选：C．交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（）A．AD是△ABE的角平分线B．BE是△ABD边AD上的中线C．CH为△ACD边AD上的高D．AH为△ABC的角平分线【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；B、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；C、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．故选：C．【变式5-1】（2021春•镇江期中）如图，△ABC的角平分线AD与中线BE相交于点O，有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线：②DE是△ADC的中线，其中（）A．只有①正确B．只有②正确C．①和②都正确D．①和②都不正确【分析】易得∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．【解答】解：∵△ABC的角平分线AD与中线BE相交于点O，∴∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，①在△ABE中，∠BAD＝∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；②在△ADC中，AE＝CE，∴DE是△ADC的中线，故②正确；故选：C．【变式5-2】（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内B．三角形的三条中线交于三角形内一点C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．故选：A．【变式5-3】（2021秋•茶陵县期末）下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1个．故选：A．【题型6三角形的中线与面积问题】【例6】（2022春•广州期中）如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．9B．9.5C．10.5D．10【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积=12×△ABE的面积=14×△ABD的面积=18×△ABC的面积＝3，△AEG的面积＝3，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=14×△BCE的面积＝3，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积=12×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积=12×△ABE的面积=14×△ABD的面积=18×△ABC的面积=18×24＝3，△AEG的面积＝3，△BCE的面积=12×△ABC的面积＝12，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积=14×△BCE的面积=14×12＝3，∴△AFG的面积是3×3＝9，故选：A．【变式6-1】（2022春•邗江区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中＝2cm2，则S△ABC＝（）点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCFA．3B．6C．8D．12＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD 三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．＝S△ACD＝2cm2，【解答】解：如图，∵EF＝2BF，S△BCF＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，∴S△BEC∵D是BD的中点，＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，∴S△BDE∵E是AD的中点，＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，∴S△ABD＝2S△ABD＝12cm2，∴S△ABC∴△ABC的面积为12cm2，故选：D．【变式6-2】（2021秋•潮安区期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．4B．2C．6D．8【分析】根据AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，得出三角形EDC的面积+三角形AEB的面积与三角形ABC的面积的关系即可．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，＝S△ACD=12S△ABC，∴S△ABD∵点E是AD的中点，＝S△BDE=12S△ABD，∴S△ABES△EDC＝S△CAE=12S△ACD，=14S△ABC，S△CDE=14S△ABC，∴S△ABE+S△CDE=14S△ABC+14S△ABC=12S△ABC=12×8=4，∴S△ABE故选：A．【变式6-3】（2022春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：连接CD，如图所示：∵点D是AG的中点，=12S△ABG，S△ACD=12S△AGC，∴S△ABD+S△ACD=12S△ABC＝24，∴S△ABD=12S△ABC＝24，∴S△BCD∵点E是BD的中点，=12S△BCD＝12，∴S△CDE∵点F是CE的中点，=12S△CDE＝6．∴S△DEF故答案为：6．【题型7三角形的中线与周长问题】【例7】（2021秋•乳山市校级月考）在△ABC中，∠B＜∠C，AD为BC边的中线，△ABD 的周长与△ADC的周长相差3，AB＝8，则AC＝．【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ADC的周长差，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：如图：∵AD为BC边的中线，∴BD＝CD，∵△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，∠B＜∠C，﹣C△ADC＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝8﹣AC＝3，∴C△ABD解得AC＝5．故答案为：5．【变式7-1】（2021秋•涧西区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC 的周长比△ABD的周长多2，AB+AC＝8，则AC的长为．【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式得到AC﹣AB ＝2，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝2，整理得，AC﹣AB＝2，则A−A=2A+A=8，解得，A=5A=3，故答案为：5．【变式7-2】（2021春•芙蓉区校级月考）△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC 的周长分成40和60两部分，求BC的长．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即BC＝2x＝24，AB＝28，AC＝4x＝48，∵BC+AB＝24+28＝52＞AC，∴此时符合三角形三边关系定理；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，∵AC+BC＝32+16＝48＜AB，∴此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：BC＝24．【变式7-3】（2022秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长．（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+12DE的值．【分析】（1）设AE＝xcm，根据三角形BDE与四边形ACDE的周长相等列方程，解方程即可；（2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案．【解答】解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，∵BD＝DC，∴BE＝AE+AC，设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，由题意得，10﹣x＝x+6．解得，x＝2，∴AE＝2cm；（2）图中共有8条线段，它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，∴BC+12DE=272（cm）．【题型8证明三角形中线段不等关系】【例8】（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．【解答】证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．【变式8-1】（2021春•嵩县期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解．【解答】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．【变式8-2】（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分线的定义求出∠CBD+∠BCD＝55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，∠ACD＝∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12（∠ABC+∠ACB）=12×110°＝55°，∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；（2）DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC），理由如下：在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①，同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，∴DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC）．【变式8-3】（2021秋•饶平县校级期中）在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P 为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．【分析】在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM＝MC，且AB＞AC，根据在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，得出∠AMB＞∠AMC．而∠AMB+∠AMC＝180°，则∠AMC＜90°．由于P为锐角△AMC内一点，过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．【解答】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM＝MC，且AB＞AC，∴∠AMB＞∠AMC，∴∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM＝MC＞HC．所以PB＞PC．。
与三角形有关的线段
与三角形有关的线段
三角形是最简单的几何图形之一，在这种多边形中，有许多与之相关的线段：
1. 三角形的腰线：它是三角形中心点到其任意顶点所确定的线段，也就是两条腰线将三角形分割成两部分。
2. 三角形的角线：它是三角形的内角所对应的三条边的线段，可以用来计算三角形的内角度数。
3. 三角形的直径线：它是三角形的三角边连线的半径线，可以用它来计算三角形的面积。
4. 三角形的三边线：它们连接三角形的三个顶点，是三角形的基本元素。
5. 三角形的角平分线：它从三角形的内角出发，连接该角的对边点，可以用它将三角形分割为两个等边三角形。
6. 三角形的外心线：它是三角形三条内角线所连接的线段，用来确定三角形的外心位置。
7. 三角形的垂直线：它是三角形内接圆的半径线，可以使用它来求出三角形的外接圆半径。
8. 三角形的对边线：用来连接三角形的两条对边，可以用它来求出三角形的内角边长。
9. 三角形的角边线：用来连接三角形的三角边，可以用它来求出三角形的内角度数。
以上就是与三角形有关的线段。
通过弄清楚这些线段及其特征，我们就能够推导出更多三角形的性质，从而更好地描述三角形。
初中数学知识点——与三角形有关的线段(知识讲解与巩固练习)
一、与三角形有关的线段（基础篇）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点1、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.要点2、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系.要点3、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD＝BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.21注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD ＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点4、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．21【典型例题】类型1、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E 再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型2、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ， 在△ODC 中有OD+OC ＞CD ， 在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA 即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ， 即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．59c <<类型3、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF ⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A、△ABC中，AD是BC边上的高正确，故本选项错误；B、△GBC中，CF是BG边上的高正确，故本选项错误；C、△ABC中，GC是BC边上的高错误，故本选项正确；D、△GBC中，GC是BC边上的高正确，故本选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3． 【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且，4ABC S △则为________．【答案】1.类型4、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB 、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】 解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．S阴影与三角形有关的线段（基础篇）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A．6B．7 C．8D．94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM 的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm 和7cm ，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，则∠______＝∠______＝∠_______；BE 是△ABC 的中线，则_____＝_____＝____ ；CF 是△ABC 的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB ．13. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和中线，已知AD ＝5cm ，CE ＝6cm ，则△ABE 和△ABC 的面积分别为________________．14. （2015春•焦作校级期中）AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD 的取值范围是_____________. 三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (1)5cm ，5cm ，a cm(0＜a ＜10)； (2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠CAD ，AE ＝CE ，AG ⊥BC ，AD 与BE 相交于点F ，试指出AD 、AF 分别是哪两个三角形的角平分线，BE 、DE 分别是哪两1212个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17. （2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图二、与三角形有关的线段(提高篇)巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为( )A．2个B．4个C．6个D．8个3．（2016春•成安县期末）下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是( ) A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高5．（2015春•南长区期中）有4根小木棒，长度分别为3cm、5cm、7cm、9cm 任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个 D．5个6．给出下列图形：其中具有稳定性的是( )A ．①B ．③C ．②③D ．②③④7．如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分? ( )A ．11B ．12C ．13D ．148.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?( )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根二、填空题9．（2014春•渝北区期末）对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1A=2CA，顺次214连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1（如图所示），记其面积为S 1．现再分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2，则S 2= ．10．三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．11．（2016春•丹阳市校级期中）如图，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形有 个．12.在数学活动中，小明为了求…的值(结果用n 表示)，设计了如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求…＝________．13．请你观察下图的变化过程，说明四边形的四条边一定时，其面积________确定．(填“能”或“不能”)23411112222++++12n +23411112222++++12n+14．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．三、解答题15．草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由．16．取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图①，再沿着直角边上的中线AD按图②所示折叠，则AB与DC相交于点G．试问：△AGC和△BGD的面积哪个大?为什么?17. 已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．18. （2014春•西城区期末）阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P 是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：BD=PM+PN．他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即AC•BD=AB•PM+AC•PN．由AB=AC，可得BD=PM+PN．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN﹣PM．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵S△ABC=S△APC﹣，∴AC•BD=AC•﹣AB•．∵AB=AC，∴BD=PN﹣PM．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B ；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足. 2. 【答案】B ；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以 3. 【答案】B ；【解析】①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误． 4. 【答案】C ；【解析】三角形高的定义. 5. 【答案】B ；【解析】解：可搭出不同的三角形为：3cm 、5cm 、7cm ；3cm 、5cm 、9cm ；3cm 、7cm 、9cm ；5cm 、7cm 、9cm 共4个，其中3cm 、5cm 、9cm 不能组成三角形，故选B ． 6. 【答案】C ；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性. 7. 【答案】B ；【解析】设每个小正方形的边长为a ，则有16a 2－4 a ×2 a ÷2－3 a ×2 a ÷2－4 a ×a ÷2＝，解得a 2＝，而整个方格纸的面积为16a 2＝12（平方公分）. 8. 【答案】B ； 二、填空题 9. 【答案】361；21434【解析】解：连接A 1C ，根据A 1B=2AB ，得到：AB ：A 1A=1：3，因而若过点B ，A 1作△ABC 与△AA 1C 的AC 边上的高，则高线的比是1：3， 因而面积的比是1：3，则△A 1BC 的面积是△ABC 的面积的2倍， 设△ABC 的面积是a ，则△A 1BC 的面积是2a ，同理可以得到△A 1B 1C 的面积是△A 1BC 面积的2倍，是4a ， 则△A 1B 1B 的面积是6a ，同理△B 1C 1C 和△A 1C 1A 的面积都是6a ， △A 1B 1C 1的面积是19a ，即△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的19倍， 同理△A 2B 2C 2的面积是△A 1B 1C 1的面积的19倍， ∴S 2=19×19×1=361． 故答案为：361．10.【答案】29cm ； 11.【答案】6； 12．【答案】； 【答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，…表示组成面积为1的大三角形的n个小三角形的面积之112n -23411112222++++12n +和，因此…＝．13.【答案】不能；【解析】因为四边形的高不能确定． 14.【答案】90°， 48 cm 2； 三、解答题 15.【解析】解：维修站应建在四边形两对角线AC 、BD 的交点H 处，理由如下：取不同于H 的F 点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FB ＞HD+HB ，FC+FA ＞HC+HA ．所以：FD+FB+FC+FA ＞HD+HB+HC+HA ， 即HD+HB+HC+HA 为最小． 16.【解析】解：∵ BD ＝CD ，∴ ． ∴ ． ∴ ． 17.【解析】解：（1）当高AD 在△ABC 的内部时(如图(1))．因为∠BAD ＝70°，∠CAD ＝20°，所以∠BAC ＝∠BAD+∠CAD ＝70°+20°＝90°．当高AD 在△ABC 的外部时(如图(2))．23411112222++++12n +112n -ABD ACD S S =△△ABD ADG ACD ADG S S S S -=-△△△△ADG BGD S S =△△因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．18.【解析】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC=S△APC﹣S△APB，∴AC•BD=AC•PN﹣AB•PM．∵AB=AC，∴BD=PN﹣PM．（2）①BD=PM+PN+PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC∴AC•BD=AC•PN+AB•PM+BC•PQ，∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PN+PQ；②BD=PM+PQ﹣PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC=S△APB+S△BPC﹣S△APC．∵AC•BD=AB•PM+BC•PQ﹣AC•PN，∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PQ﹣PN．。
人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
三角形的表示： 三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4
《与三角形有关的线段》优质教案教学设计
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
2.1.2 与三角形有关的线段预设目标1、掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，2、会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法。
让学生从实践中得到三角形的三条中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部。
教学重难点 1．重点：三角形角平分线、中线、高的概念及其画法。
2．难点：钝角三角形高的画法。
教具准备三角尺、纸片教法学法讲授、讨论、练习教学过程一、复习提问1．什么叫角平分线?如何画一个角的平分线?2．已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B 画直线l的垂线。
·B·lA二、新授今天我们要学习三角形中的三种重要线段——中线、角平分线和高。
1．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。
如图，点D是BC边的中点，即AD是△ABC的中线。
AB D C问：三角形有几条中线?若已知AD是三角形的中线，你可得到什么结论?2．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，∠1=∠2，那么CE是△ABC的角平分线。
AE ∠2B C∠1问：三角形有几条角平分线?三角形的角平分线和角平分线有什么不同?3．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。
2020年中考数学教案人教版专题复习：与三角形有关的线段
2020年中考数学人教版专题复习：与三角形有关的线段一、学习目标：1. 了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）；2. 理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．3. 会画出任意三角形的高、中线、角平分线．4. 了解三角形的稳定性．二、重点、难点：重点：三角形的有关概念和性质． 难点：三角形两边的和大于第三边．三、考点分析：本讲内容在中考中非常重要，但难度不大，要求理解三角形、三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握三边关系及按边分类，认识三角形的稳定性并能灵活应用于实际，主要以填空题、选择题、计算题的形式出现． 知识梳理1. 三角形的边（1）三角形的概念和表示方法由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的图形叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形有六个元素：三条边和三个角．ABCabc（2）三角形的分类三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎨⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形AB C AB C AB C（3）三角形三边之间的关系：三角形两边的和大于第三边． 2. 三角形的高、中线和角平分线 （1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．画三角形的高时，只需向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高；三角形的高是线段；三角形的高线（高所在的直线）交于一点．ABC DEF ABC D EFA BCD EF(1)(2)(3)（2）三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．一个三角形有三条中线，且都在三角形的内部，并相交于一点．三角形的中线是一条线段．（3）三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点．三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．3. 三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状，四边形等其他的多边形不具有稳定性．典例精析知识点一：三角形的有关概念例1. 如图所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于H ，下列判断正确的有（ ）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 边AD 上的中线；③CH 是△ACD 边AD 上的高．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A BCDEFGH12思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高、中线和角平分线定义的理解．解题思路：由∠1＝∠2知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 内的线段，所以①错；同理，BE 经过△ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 中的线段，故②不正确；③符合三角形的高的定义，是正确的． 解答过程：B解题后的思考：解答本题的关键是正确理解三角形的高、中线和角平分线的定义，三角形的高、中线和角平分线是线段，是三角形的一个顶点与这个顶点对边上某点所连的线段．例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 、CE 是△ABC 的两条高，且BC ＝5cm ，AD ＝3cm ，CE ＝4cm ，求AB 的长．A BCE思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高的定义的理解．解题思路：在解答时，首先要弄清三角形的边与边上的高的对应关系，然后利用三角形面积公式建立等式求解即可．解答过程：在△ABC 中，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，所以S △ABC ＝12AB ·CE ＝12BC ·AD ， 即12AB ×4＝12×5×3，AB ＝154（cm ）．解题后的思考：利用面积相等来求线段的长度是一种特殊方法，这种方法可用于已知三角形的两边和这两边上的高（四条线段中的三条）求第四条线段的长度．例3. 如图，是一个正五边形木架，那么至少需要加钉几根木条才能固定该正五边形木架？思路分析：题意分析：此题考查三角形稳定性的应用．解题思路：这是一个五边形，要把它的各边都分割到三角形中才能将其固定，这样的木条至少需要2根．解答过程：至少需要加钉2根木条．解题后的思考：由于三角形具有稳定性，而其他图形不具有稳定性．因此要确定至少需要几根木条才能固定多边形木架，只需确定该多边形至少能分割成几个互不重叠的三角形．例4. 解答下列问题：（1）△ABC 的中线AD ，把△ABC 分成△ABD 和△ACD ，这两个三角形的面积有什么关系？证明你的结论．（2）你能把一块三角形的土地分成面积相等的四部分分别种西红柿、黄瓜、茄子和土豆吗？画出你的设计图． 思路分析：题意分析：本题考查三角形中线的性质．解题思路：被中线AD 分成的两个三角形△ABD 和△ACD 的边BD ＝DC ，且这两个三角形中，BD 、DC 边上的高相同，所以这两个三角形面积相等．应用这一结论可将一个三角形分成面积相等的四部分，但应注意分法可能有多种． 解答过程：（1）如图所示，因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ．过点A 作AE ⊥BC 于E ， 则AE 是△ABD 的高，也是△ADC 的高． 所以S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ． 所以S △ABD ＝S △ADC ．ABCD E（2）方法不唯一，如下图所示．在图①中BE ＝DE ＝DF ＝FC ；在图②中BD ＝DC ，AE ＝BE ，AF ＝FC ；在图③中BD ＝DC ，AE ＝DE ．还有一些其他分法，原理是一样的．AAABBBC C CD D D EFEFE①②③解题后的思考：三角形的中线把一边平分，并且把这个三角形的面积平分．我们常用这个结论来说明两个三角形面积相等．小结：在三角形的有关概念中，应重点掌握三角形的角平分线、中线和高的定义与性质．如：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，三角形的边与该边上的高的积相等．知识点二：三角形的三边关系例5.已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（）A．6个B．5个C．4个D．3个思路分析：题意分析：本题考查三角形的三边关系．解题思路：x的取值不能太大，因为有3＋8＞x，即x＜11．x的取值也不能太小，因为有3＋x＞8，即x＞5，在这个范围内的偶数有6、8、10，共3个．解答过程：D解题后的思考：解答这个问题要注意两点：①对于x的取值要保证3、8、x能组成三角形，也就是要满足任意两边之和大于第三边．②x的值为偶数．学了不等式的知识后解答本题会更容易一些．例6.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成三角形？（1）6cm，8cm，10cm；（2）3cm，8cm，11cm；（3）3cm，4cm，10cm；（4）三条线段之比为4∶6∶7．思路分析：题意分析：前三个小题所给线段长度是确定的数值，容易进行决断，第（4）小题的三条线段是比例关系，可以设其长度分别为4x、6x、7x，其中x是任意大于0的常数，再进行判断.解题思路：要构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边，在运用时，习惯于检查较小的两边之和是否大于第三边．解答过程：（1）因为6cm＋8cm＞10cm，所以6cm、8cm、10cm能构成三角形．（2）因为3cm＋8cm＝11cm，所以3cm、8cm、11cm不能构成三角形．（3）因为3cm＋4cm＜10cm，所以3cm、4cm、10cm不能构成三角形．（4）设三条线段之比为4x、6x、7x，因为：4x＋6x＞7x，所以三条线段之比为4∶6∶7时，此三条线段能构成三角形．解题后的思考：判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：（1）判断出较长的一边；（2）看较短的两边之和是否大于较长的一边，若是，则能构成三角形，若不是，则不能构成三角形．例7. 在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形的各边长． 思路分析：题意分析：△ABC 是一个等腰三角形，它的周长被BD 分成AB ＋AD 和BC ＋DC 两部分，这两部分的长度分别12cm 和15cm ．解题思路：因为中线BD 的端点D 是AC 边的中点，所以AD ＝CD ，造成两部分周长不等的原因是BC 边与AB 、AC 边不等，故应分类讨论．ABCDABC D(1)(2)① ②解答过程：如图①所示，设AB ＝x ，AD ＝CD ＝12x ．（1）若AB ＋AD ＝12，即x ＋12x ＝12，所以x ＝8， 即AB ＝AC ＝8，则CD ＝4． 故BC ＝15－4＝11．此时AB ＋AC ＞BC ，所以三边长为8、8、11．（2）如图②所示，若AB ＋AD ＝15，即x ＋12x ＝15，所以x ＝10． 即AB ＝AC ＝10，则CD ＝5． 故BC ＝12－5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10、10、7．综上所述，此三角形的三边长分别为8、8、11或10、10、7．解题后的思考：由于等腰三角形的腰和底边的长度不相等，所以在求其边长或周长的时候，常要分类讨论．例8. 如图所示，草原上有四口油井，位于四边形ABCD 的四个顶点，现要建一个维修站O ，为了使维修站到四口油井的距离之和最小，试问这个维修站O 建在AC 、BD 的交点处的理由是什么？ABC DO思路分析：题意分析：本题中到A 、B 、C 、D 四个点的距离之和的最小的位置已经给出，要求说出理由． 解题思路：说明这个维修站O 建在AC 、BD 的交点处的理由，就是说明交点O 到A 、B 、C 、D 四点的距离之和最小．可以用举反例的方法说明，取不同于点O 的任意一点O’，说明O’到四个点的距离之和不是最小的就可以了．解答过程：取异于点O 的点O’，根据三角形的两边之和大于第三边有：O’D ＋O’B ＞OD ＋OB ，O’A ＋O’C ＞OA ＋OC ． 所以O’D ＋O’B ＋O’A ＋O’C ＞OD ＋OB ＋OA ＋OC ． 即OD ＋OB ＋OA ＋OC 为最小．ABC DOO'解题后的思考：解答实际应用问题的关键是如何将其转化成所学的数学问题．另外，本题还可从另外一个角度思考，因为两点之间，线段最短，所以对于点A 和点C 来说，只有点O 在线段AC 上时，OA ＋OC 才是最小的，同理，点O 也必须在线段BD 上，所以维修站O 一定要建在AC 和BD 的交点处．小结：三角形的三边关系是三角形的重要性质，也是构成三角形的必要条件，它与不等式的知识是紧密联系在一起的，以后学不等式的时候，同学们要注意记得将它们进行综合学习．提分技巧1.在运用“三角形任意两边的和大于第三边”时，一般情况下，找出较短的两边和最长的边，只判断较短两边的和大于最长的边就可以了，不必一一验证．2.对于三角形的角平分线、中线和高，我们探究出了一些重要性质．如三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形中如果有两条高，在求高或边长时常用等积法．。
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
11.1与三角形有关的线段(重难点同步特训)教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示三角形特殊线段的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们能够围绕三角形在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，我也发现部分学生表达不够清晰，逻辑思维能力有待提高。因此，在今后的教学中，我将更加注重培养学生的表达能力和逻辑思维。
另外，今天的课堂氛围较为活跃，学生们积极参与，教学效果较好。但我也注意到，在课堂纪律方面还需加强管理，确保教学活动有序进行。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形的基本概念、三边关系、内角和定理以及特殊线段的性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：给出具体的三边长度，让学生判断是否可以构成一个三角形。
专题01 与三角形有关的线段
专题01 与三角形有关的线段【思维导图】◎题型1：三角形的有关概念三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．备注：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．例．（2022·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．V没有公共边的三角形是( )变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，与ABCA ．CDEV B ．BCE V C ．ABE V D ．BCDV 【答案】A【解析】【分析】直接找两个三角形的公共边即可．【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边．A ，两个三角形没有公共边；B ，两个三角形的公共边为BC ；C ，两个三角形的公共边为AB ；D ，两个三角形的公共边为BC ．故选A ．【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据三角形的定义判断即可．【详解】三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形的定义考查，准确理解是解题的关键．变式3．（2022·全国·七年级）如图，在34´的正方形网格中，能画出与“格点ABC V ”面积相等的“格点正方形”有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】求出ABC V 的面积为4，然后作出面积为4的格点正方形即可．【详解】解：12442ABC S V =´´=，则可画出的格点正方形如图：共有6个，故选：C．【点睛】本题考查了格点图形的面积计算，掌握基本图形的性质是解题的关键．◎题型2：三角形的个数问题例．（2021·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（）A．10B．15C．21D．28【答案】C【解析】【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；第②个图中三角形的个数为3=1+2；第③个图中三角形的个数为6=1+2+3；…，故第n个图中三角形的个数为(1) 1232n nn++++⋅⋅⋅+=，故第⑥个图形中三角形的个数为：()661=212´+，故选：C．【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．变式1．（2021·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【解析】【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意；D、拿掉AD，AG，GD后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．变式2．（2021·重庆南开中学七年级期中）如图，图①中有3个以MN为高的三角形，图②中有10个以MN为高的三角形．图③中有MN为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以MN为高的三角形的个数为（）A．55B．78C．96D．105【答案】B【解析】【分析】结合图形探索三角形个数的规律，从而求解．【详解】解：第①个图形中有1+2=3个三角形；第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；…第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键．变式3．（2018·浙江·温州育英学校八年级阶段练习）图中，三角形的个数为（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【详解】解：图中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5个．故选A．【点睛】此题考查三角形，解题关键在于掌握其性质.◎题型3：三角形的分类(1)按角分类：备注：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：备注：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.例．（2022·重庆市第七中学校七年级期中）在ABC V 中，85A Ð=°，B Ð比A Ð小20°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法判断【答案】C【解析】【分析】根据85A Ð=°，B Ð比A Ð小20°，求出B Ð和C Ð的度数，作出选择即可．【详解】解：∵ABC V 中，85A Ð=°，B Ð比A Ð小20°，∴20852065B A Ð=Ð-°=°-°=°，∴180180658530C B A Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴ABC V 是锐角三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了角度的计算，三角形内角和定理，掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的角的特征是解答本题的关键．变式1．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）ìïìííïîî直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【答案】B【解析】【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．变式2．（2021·宁夏·固原市原州区三营中学八年级阶段练习）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理求出三角形的内角即可判断．【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，∴这个三角形的内角分别为118030123´=++o o，218060123´=++o o，318090123´=++o o,∴这个三角形是直角三角形，故选A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识．变式3．（2021·全国·七年级课时练习）锐角ABC V 中，12B C Ð=Ð，则B Ð的范围是（ ）A ．1020B °<Ð<°B ．2030B °<Ð<°C ．3045B °<Ð<°D ．4560B °<Ð<°【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形的定义：三个角都小于90度的三角形和三角形内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵∠A +∠B +∠C =180°，∠C =2∠B ，∠A ＜90°，∠B ＜90°，∠C ＜90°，∴∠A +3∠B =180°，2∠B ＜90°，∴∠A =180°-3∠B ＜90°，∠B <45°，∴30°＜∠B ＜45°，故选C ．【点睛】本题主要考查了锐角三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．◎题型4：三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 备注：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．例．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．变式1．（2022·重庆巴南·八年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可．【详解】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；故选：B．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．变式2．（2022··八年级期末）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性D．三角形的任意两边之和大于第三边【答案】C【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．变式3．（2020·陕西渭南·八年级期中）下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．高架桥的三角形结构D．伸缩晾衣架【答案】D【解析】【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【详解】解：由四边形组成的伸缩衣架是利用了四边形的不稳定性，而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选D．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．◎题型5：三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.备注：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.例．（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）下列三条线段，首尾顺次相连不能围成三角形的是（）A．2、4、5B．10、10、10C．3、3、6D．7、24、25【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．【详解】解：A、425+>，故能构成三角形，故此选项不符合题意；B、101010+>，故能构成三角形，故此选项不符合题意；+=，不能构成三角形，故此选项符合题意；C、336D、72425+>，故能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．变式1．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，在ABC V 中，若D ，E 分别为,AB AC 的中点，若2,3DE CE ==，则AB 的取值范围（ ）A ．15AB <<B ．17AB <<C ．28AB <<D ．210AB <<【答案】D【解析】【分析】根据线段中点和三角形中位线定理求出AC 、BC 的长，即可利用三角形三边的关系求出AB 的取值范围．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE =2，CE =3，∴DE 是△ABC 的中位线，AC =2CE =6，∴BC =2DE =4，∵AC -BC ＜AB ＜AC +BC ，∴2＜AB ＜10，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边的关系，正确求出AC 、BC 的长是解题的关键．变式2．（2022·四川达州·七年级期末）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜32B ．0＜x ＜16C ．8＜x ＜16D ．8＜x ＜32【答案】C【解析】【分析】先用含x 的代数式表示出底边的长度，再根据三角形三边关系得到关于x 的不等式组，求解即可．【详解】解：Q 等腰三角形的周长为32，腰长为x ，\ 底边长为(322)x -，根据三角形三边关系，得322322x x x x x x+>-ìí-<-î 解得816x <<故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的定义，不等式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．变式3．（2022·山东泰安·七年级期末）在ABC V 中，A Ð、B Ð、C Ð的对边分别是a 、b 、c ，则下列条件不能判定ABC V 是直角三角形的是（ ）A ．C AB Ð=Ð-ÐB ．::5:2:3A B C ÐÐÐ=C ．35a c =，45b c =D ．::2:2:4a b c =【答案】D【解析】【分析】根据三角形的内角和，三角形两边之和大于第三边，勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：A 、∠C =∠A −∠B ，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，则∠A ＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，则∠A ＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、由35a c =，45b c =，得a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；故此选项不符合题意；D 、a :b :c =2:2:4，设a =2k ，b =2k ，c =4k ，a +b =c ，不能构成三角形，故此选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理逆定理，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握这些知识点．◎题型6：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；备注：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.例．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是V ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是V ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是V ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是V ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵ 线段CD 是V ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∵ 线段CD 是V ABC 的AB边上的高线，∴B 正确，符合题意；∵ 线段AD 是V ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∵线段AD 是V ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．变式1．（2022·陕西师大附中三模）如图，AD 是ABC V 的高，BE 是ABC V 的角平分线，40,80а=°Ð=BAD BEC ，则DAC Ð的大小是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线和三角形内角和定理求出BAD Ð的度数，再利用角平分线的定义求出ABE Ð的度数，然后由三角形内角和定理求出C Ð的度数，最后用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵AD 是ABC V 的高，∴90ADB ADC Ð=Ð=°．∵40BAD Ð=°，∴180180904050ABD ADB BAD Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．∵BE 是ABC V 的角平分线，∴11502522ABE CBE ABD Ð=Ð=Ð=´°=°．∵80BEC Ð=°，∴180180258075C EBC BEC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．∵90ADC Ð=°，∴180180907515DAC ADC C Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高线和角平分线的定义，三角形内角和定理．求出C Ð的度数是解答关键．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线．则下列结论错误的是（ ）A ．BF ＝CFB ．∠BAF ＝∠CAFC ．∠B ＋∠BAD ＝90°D ．2ABC ABFS S =△△【答案】B【解析】【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的概念进行判断即可．【详解】Q AF 是中线12BF CF BC \== 故A 选项正确，不符合题意；,ABC ABF D D Q 同高2ABC ABFS S \=△△故D 选项正确，不符合题意；Q AE 是角平分线\ ∠BAE ＝∠CAE故B 选项错误，符合题意；Q AD 是高90ADC \Ð=°\ ∠B ＋∠BAD ＝90°故C 选项正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握这些概念是解题的关键．变式3．（2021·山东·乳山市教学研究中心二模）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心．【问题解决】如图，在ABC V 中，40ABC Ð=°，62ACB Ð=°，H 为ABC V 的垂心，则BHC Ð的度数为（ ）A ．120°B ．115°C ．102°D ．108°【答案】C【解析】【分析】如图，延长,,BH CH 分别交,AC AB 于,,K M 证明90,AMC AKB Ð=Ð=°再利用三角形的内角和定理求解,A Ð 再利用四边形的内角和定理可得答案.【详解】解：如图，延长,,BH CH 分别交,AC AB 于,,K MH Q 为ABC V 的垂心，,,BK AC CM AB \^^90,AMC AKB \Ð=Ð=°40,62,ABC ACB Ð=°Ð=°Q180406278,BAC \Ð=°-°-°=°360102MHK AMC AKB A \Ð=°-Ð-Ð-Ð=°，∴∠BHC =102°．故选：.C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，垂心的定义，正确理解垂心的定义构建需要的四边形是解题的关键.◎题型7：三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC.备注：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.例．（2022·山东省济南实验初级中学七年级期中）如图，在ABC V 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，则ABD △的周长为（ ）A ．17B ．23C ．25D ．28【答案】A 21【解析】【分析】根据三角形中线的性质可得AD BD =，进而根据三角形周长可得12BD AD +=，进而即可求解．【详解】解：∵在ABC V 中，BD 为AC 边上的中线，∴AD CD =,Q 8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，20812BD AD \+=-=,\ABD △的周长为51217AB BD AD ++=+=．故选A【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．变式1．（2022·河北保定·三模）下列尺规作图，能确定AD 是ABC V 的中线的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案．【详解】解：A ． AD 为BC 边的中线，所以A 选项符合题意；B ．点D 为AB 的垂直平分线与BC 的交点，则DA =DB ，所以B 选项不符合题意；C．AD为∠BAC的平分线，所以C选项不符合题意；D．AD为BC边的高，所以D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分线、中线和高．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ）A．角平分线B．高C．中线D．不能确定【答案】B【解析】【分析】根据垂线段最短解答．【详解】∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，∴最短的是高线．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，理解垂线段最短是解题的关键．V中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，变式3．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在ABCV的面积为（）CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则ABCA．8平方厘米B．12平方厘米C．16平方厘米D．18平方厘米【答案】C【解析】【分析】本题利用中线平分面积这一结论，由F 为CE 的中点，可以得到△AEC 的面积为8，因为D 是AC 的中点，可以得到△ADE 的面积，同理，得到△ABE 和△BEC 的面积，问题即可解决．【详解】解：∵F 为CE 的中点，∴EF =CF ，∵阴影部分图形面积等于4平方厘米，∴S △AEC =2S △AEF =8平方厘米，∵D 是AC 的中点，∴AD =CD ，∴S △AED =S △CED =4平方厘米，∵E 为BD 的中点，∴S △AEB =S △AED =4平方厘米，同理，S △BEC =S △CED =4平方厘米，∴△ABC 的面积为：S △ABE +S △BEC +S △AEC =4+4+8=16（平方厘米），故选：C ．【点睛】本题考查了中线平分三角形的面积这一结论的应用，利用题目中的中点条件，将面积进行转化是解决本题的关键．◎题型8：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .备注：（1）三角形的角平分线是线段； 21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.例．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线【答案】D【解析】【分析】Ð=Ð，作出选择即可．根据折叠的性质可得CAD BAD【详解】解：如图，Ð=Ð，∵由折叠的性质可知CAD BAD∴AD是BACÐ的角平分线，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．变式1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）下列说法正确的是（）A．三角形的三条高都在三角形的内部B．等边三角形一角的平分线是一条射线C．三个角对应相等的三角形全等D．两直角边对应相等的两个直角三角形全等．【答案】D【解析】【分析】由三角形的高的含义可判断A，由三角形的角平分线的含义可判断B，由全等三角形的判定可判断C，由SAS公理可判断两个三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】三角形的三条高都在三角形的内部，表述错误，直角三角形与钝角三角形都不满足，故A不符合题意；等边三角形一角的平分线是一条线段，故原表述错误，故B不符合题意；三个角对应相等的三角形不一定全等，故原表述错误，故C不符合题意；两直角边对应相等的两个直角三角形全等．加上两个直角对应相等，符号SAS公理，表述正确，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，三角形的角平分线的含义，三角形全等的判定，掌握“三角形全等的判定方法”是解本题的关键.变式2．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD，②BC边上的角平分线AE，③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【解析】【分析】根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意；折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．变式3．（2022·浙江杭州·八年级期末）在ABC V 中，线段AP ，AQ ，AR 分别是BC 边上的高线，中线和角平分线，则（ ）A ．AP AQ£B ．AQ AR £C ．AP AR >D ．AP AQ >【答案】A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵线段AP 是BC 边上在的高线，∴根据垂线段最短得：PA ≤AQ ，P A ≤AR ，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的高、中线和角平分线、垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解答的关键．。
11.1与三角形有关的线段
与三角形有关的线段相关知识链接1.线段的中点：如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，那么点M 叫做线段AB 的中点。
2.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
3.角的平分线：从一个角的顶点引一条射线，如果把这个角分为两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。
知识点1 三角形的有关概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形。
有关概念及其表示方法：(1) 如图所示，线段AB,AC,BC 叫做△ABC 的三条边。
(2) 点A,B,C 叫做三角形ABC 的三个顶点。
(3) 顶点式A ，B ，C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”。
数三角形个数的方法：(1) 按图形形成的过程(2) 按大小顺序(3) 可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数(4) 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数知识点2 三角形的分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫作等边三角形，即三边都相等的三角形叫做等边三角形。
按边的相等关系分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形 分类示意图如图：按角的大小分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形锐角三角形直角三角形知识点3 三角形的三边关系三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系。
三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形。
已知三角形两边长，求第三边的取值范围。
知识点4 三角形的高、中线、角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的高的几何表达形式：如图1所示，AD 是△ABC 的BC 边上高，或AD 是△ABC 的高，或AD ⊥BC 于点D ，或∠BDA=∠CDA=90°。
专题11 三角形(解析版)
专题11 三角形知识点1：与三角形有关的线段1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
知识点2：与三角形有关的角1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°2.有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点3：多边形与内角和1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°8.多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
9.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n边形共有23)-n(n条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知识点很难，所以要有方法和策略。
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.三角形的定义：三条线段首尾顺次连接组成的图形。
2.三角形的分类：①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。
等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。
3.三角形的中线、高线、角平分线：①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。
平分三角形的面积。
②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。
得到两个直角三角形。
③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。
4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
专项练习题1．（2022•大庆）下列说法不正确的是（）A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形概念可判断A，C，由等腰三角形，等边三角形定义可判断B，D．【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；故选：A．2．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，故选：A．5．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，故选：D．6．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD 的面积是．【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC 的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．7．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【解答】解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C．8．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项A符合题意，故选：A．9．（2022•南通）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．10．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，．解得＜a＜3．所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集．∴a只能取2．故选：B．11．（2022•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．10 D．11【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，∴6﹣4＜a＜6+4，∴2＜a＜10，∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．12．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．13．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．14．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．15．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，故选：A．。
与三角形有关的线段说课稿
与三角形有关的线段各位评委老师：大家好！我是××号考生，今天我抽到的题目是初中数学人教版八年级上册第十一章第11.1节《与三角形有关的线段》。
下面我将从说教材、说教法、说学法、说教学过程、板书设计、教学反思六个方面来进行我的说课展示。
一、说教材1、本节教材的地位和作用与三角形有关的线段是初中数学图形与几何的内容，在此之前，学生已经学习了角、线段、相交线、平行线等知识，为本节课的学习做了良好的铺垫；另一方面，本节课的学习可以加深学生对三角形的认识，对后续学习其他几何图形奠定了基础。
因此，本节课起着承上启下的作用。
2、学情分析从学生的认知基础看，学生在此之前已经对三角形有了初步认识。
希望通过本节课对三角形的进一步学习，引导学生通过观察和比较的方法来思考和解决问题，培养学生的归纳概括能力。
3、教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计如下教学目标：①知识与技能目标：认识三角形，能用符号语言表示三角形，理解三角形的概念及三角形的分类。
②过程与方法目标：通过经历三角形三边不等关系的探究过程，理解三角形的三边不等关系，培养学生的归纳概括能力。
③情感态度价值观目标：通过自主探究、合作交流等方式培养学生的探究精神和团队意识。
4、教学重点和难点通过以上综合分析，我确定本节课的——教学重点：理解三角形的概念，能用符号语言表示三角形，理解三角形的三边不等关系。
教学难点：对三角形三边不等关系的应用。
二、说教法基于我对研究性学习，“启发式”教学模式和新课程改革理论的认识，本节课我主要采用小组合作、诱思探究、生成体验的教学方法来完成本节课教学。
为了实现教学目标，在教学过程中，注重多媒体课件的直观展示，通过观察比较等方法，加深学生对新知识的感知和理解。
三、说学法学生是学习的主体，教师的教要紧紧围绕学生的学。
因此，在课堂教学中，我注重师生互动、学生相互交流等方式，并综合运用多媒体技术服务教学；在学生合作探究过程中，注重学生的主动评价，通过小组展示，培养学生的归纳总结能力。
第11章 三角形 11.1 与三角形有关的线段(简答题)(老师版)
第11章三角形11.1与三角形有关的线段（简答题专练）1．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为21厘米和12厘米两部分，求△ABC 各边的长．【答案】△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系即可求解三角形三边的长，注意不符合题意的要舍去.【详解】如图，设AB ＝AC ＝2x cm ，BC ＝y cm∵BD 是中线∴AD ＝CD ＝x cm若AB +AD ＝21 cm ，BC +CD ＝12 cm即22112x x x y +=⎧⎨+=⎩解得：=7x ，5y =此时，AB ＝AC ＝14 cm ，BC ＝5 cm若AB +AD ＝12 cm ，BC +CD ＝21 cm即21221x x x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：=4x ，17y =∵此时AB ＝AC ＝8 cm ，BC ＝17 cm ，AB +AC ＜BC∴=4x ，17y =不合题意，舍去综上所述，△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解决等腰三角形的相关问题时，由于等腰三角形的特殊性，一般情况下是需要对其进行分类讨论，才能得解，因此熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键.2．已知 a 、b 、c 分别表示∆ABC 的三条边长，且∆ABC 的周长为 48 .（1）若c 是三边中最长的边，则c 的最小值是 ；（2）若c = 3a ，求证： 6 < a < 8 ；（3）若 a - c = 10 ，求c 的取值范围；（4）若 a 、b 均为整数，c=16，则这样的三角形共有 个.【答案】（1）16；（2）见解析（3）7 < c < 14 ；（4）8【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；（2）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（3）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（4）依次数出可能的三角形的三边，即可判断.【详解】（1）当∆ABC 为等边三角形时，c 取最小值为48÷3=16； （2）∵c = 3a ，a+b+c=48,∴b=48-4a,∵c+a＞b，c-a＜b即a+3a＞48-4a，3a-a＜48-4a,解得6 <a< 8 ；（3）∵a -c= 10，a+b+c=48,∴a=c+10，b=38-2c,∵a+c＞b，a-c＜b即c+10+c＞38-2c，c+10-c＜38-2c,解得7 <c< 14 ；（4）根据c=16,a+b+c=48,故所以的情况如下：16,16,16；15,16,17；14,16,18；13,16,19；12,16,20；11,16,21；10,16,22；9,16,23；故为8个.,【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+5）cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．【答案】3＜x≤10．【解析】【分析】根据三角形的三边关系以及周长不超过37cm列出不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵一个三角形的三边长分别是xcm，（x+2）cm，（x+5）cm，它的周长不超过37cm，∴252537 x x xx x x+++⎧⎨++++≤⎩＞，解得：3＜x≤10．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和不等式组的应用，解题的关键是正确列出不等式组.4．如图，已知ABC ∆，按要求作图．（1）过点A 作BC 的垂线段AD ；（2）过C 作AB 、AC 的垂线分别交AB 于点E 、F ；（3）15AB =，7BC =，20AC =，12AD =，求点C 到线段AB 的距离．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点C 到线段AB 的距离为285． 【解析】【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；（3）利用三角形面积公式得到1122AB CE BC AD =，然后把15AB =，7BC =，12AD =代入计算可求出CE ．【详解】解：（1）如图，AD 为所作；（2）如图，CE 、CF 为所作；（3）1122ABC S AB CE BC AD ∆==， 71228155BC AD CE AB ⨯∴===， 即点C 到线段AB 的距离为285． 【点睛】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.5．已知a 、b 、c 为三角形的三边，||||||P a b c b a c a b c =+----+-+．（1）化简P ；（2）计算()P a b c -+．【答案】（1）a b c +-；（2）2222a b c bc --+.【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系即可得到a+b ＞c ，a+c ＞b ，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，从而化简．（2）将P 值代入进行计算即可.【详解】解：（1）由三角形三边关系知a b c +>，a c b +>，故0a b c +->，0b a c --<，0a b c -+>，||||||P a b c b a c a b c ∴=+----+-+a b c b a c a b c =+-+--+-+a b c =+-，（2）()P a b c -+()()a b c a b c =+--+222a ab ac ab b bc ac bc c =-++-+-+-2222a b c bc=--+．【点睛】此题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，绝对值，解题关键在于灵活运用各计算法则. 6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的长；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为125cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴12AB•AC＝12BC•AD，∴AD＝341255AB ACBC⨯==（cm），即AD的长为125cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.7．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm2.（1）求△ABD与△BEC的面积；（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？【答案】（1）10，10；（2）相等，理由，见解析【解析】【分析】（1）要计算△ABE与△BCE的面积，可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12 BD·h，S△ACD=12CD·h；再根据中点的定义得BD=CD，然后利用等量代换即可得到S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，再结合△ABC的面积即可解决；（2）结合上面的推理可得S△ABE=S△ABD，再根据图形可知S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，【详解】（1）可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12BD·h，S△ACD=12CD·h，∵点D是BC边的中点，∴BD=CD.∴S△ABD=S△ACD，同理S △ABE =S △BCE ，∴S △ABD =S △BCE =12S △ABC =12×20=10（cm 2）. （2）△AOE 与△BOD 的面积相等，理由如下.根据（1）可得：S △ABE =S △ABD ，∵S △ABE =S △ABO +S △AOE ，S △ABD =S △ABO +S △BOD ，∴S △AOE =S △BOD .【点睛】此题考查中点的定义和三角形面积的计算方法，掌握定义及公式是解题的关键；8．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且-+--a b c a b c += 10，求b 的值【答案】b=5【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b ＞c ，a−b ＜c ，再去绝对值即可.【详解】解：∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a+b ＞c ，a−b ＜c ， ∴-+--()210a b c a b c a b c a b c a b c a b c b +=+----=+--++==，∴b=5.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．9．在△ABC 中，AB ﹦9，BC ﹦2，并且AC 为奇数，那么△ABC 的周长为多少？【答案】20【解析】【分析】根据三角形三边关系,找到AC 的取值范围,由AC 为奇数求出AC 长度,即可求出三角形周长.【详解】解：∵AB﹣BC＜AC＜AB﹢BC，（三角形三边关系）∴9﹣2＜AC＜9﹢2，即7＜AC＜11又A C为奇数，∴A C﹦9∴△ABC的周长﹦9+9+2﹦20【点睛】本题考查了三角形的三边关系,三角形的周长,属于简单题,熟悉三边关系是解题关键. 10．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【解析】【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.【详解】(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．11．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4=24°，根据图形填空：(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)(2)是∠AOD 的12的角有_________个； (3)射线OC 是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?【答案】(1)∠A0E 、∠BOC ；(2) 4个；(3)OC 是∠AOE 的3等分线，是∠AOB 的4等分线.【解析】【分析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的3倍的角可以解题；（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD 的12, （3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC 是哪个角的三等分线、四等分线.【详解】解：（1）1234∠=∠=∠=∠12332AOE ∴∠=∠+∠+∠=∠同理：42332BOC ∴∠=∠+∠+∠=∠（2）4个；（3）∵∠1=∠2=∠3，∴OC 是∠AOE 的三等分线．同理：OC 是∠AOB 的四等分线.【点睛】本题考查了角的度数的计算，考查了角平分线和三等分线的定义，本题中不要漏解是解题的关键．12．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．【答案】（1）∠MON=90°；（2）∠MON=90°；（3）∠MON=90°.【解析】【分析】(1)由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（2）同理由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（3）由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠AOC=∠BOD=90°+α，∠MOC=∠BON=45°+α可得∠MON 的度数：【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=35°，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°+α，∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质及角度间的计算.13．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?【答案】答案见解析【解析】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．试题解析：（1）8个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE；（2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF；（3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE；（4）△ABF，△BDF，△AEF．【点睛】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．14．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD 两个木条，这是根据数学上什么原理？【答案】三角形的稳定性【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．15．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．【答案】小明的做法正确，理由见解析.【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．。
与三角形有关的线段
11.1与三角形有关的线段一、三角形 (1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)构成：如图所示，三角形 ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边． ②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点． (3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形 ABC 用符号表示为△ABC. 注：顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示． (4)分类： ①三角形按角分类如下： ②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形， 即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形． 1、 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角． 解：图中有三个三角形，分别是： △ABC 的三边是： △ABD 的三边是： △ADC 的三边是： ，三个内角分别是： ，三个内角分别是： ，三个内角分别是：1 题图12 题图2、如图中有个 三角形,用符号表示这些三角形为:________ _____________；_____；其中以 AD 为边的三角形有_____________ADE 是_______________________ ______的一个内角.二、三角形的三边关系 (1)三边关系： (2)三角形三边关系的运用主要有两方面， 一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围； 二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形． 解技巧 三角形三边关系的应用 ①当线段 a，b，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这 两边之和，来确定第三条线段的取值范围． 1、下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A．1cm，2 cm，3cm C．4cm，6 cm，8cm )B．2cm，3 cm，6 cm D．5cm，6 cm，12cm2、已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:4:6;③3:3:6;④6:6:10;⑤3:4:5.其中可构成三角 形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 C.4 个3、有四根长度分别为 6cm,5cm,4cm,1cm 的木棒，选择其中的三根组成三角形，则可选择 的种数有（ A. 4 ） B.3 C.2 D.14、以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？ (1)6 cm,8 cm,10 cm； (2)三条线段长之比为 4∶5∶6； (3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)． 5、 三角形的两边长分别为 5 cm 和 8 cm， 则此三角形的第三边的长 x 的取值范围是________ 6、一个三角形的三条边长分别为 1、2、x，则 x 的取值范围是（ A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3 ）7、一个三角形的两 边长分别为 3cm 和 7cm,则此三角形第三边长可能是（ ） A．3cm B.4 cm C. 7 cm D.11cm ）8、如果三角形的两边长分别为 3 和 5，则周长 L 的取值范围是（ A. 6＜L＜15 B. 6＜L＜16 C.11＜L＜13 D.10＜L＜169、一个三角形的两边长分别为 3 和 5,第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）2A．2B.3C.4D.810、若三角形 的两边长分别是 2 和 7,则第三边长 c 的取值范围是__________；当周长为 奇数时,第三边长为 三、三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高,如图（1） ____ ；当周长是 5 的倍数时,第三边长为 .(1)(2)(2)性质特点： ①高是通过作垂线得出的， 因而有高一定有垂直和直角． 常用关系式为： AD 是 BC 边上的高， ∠ADB＝∠ADC＝90°点在三角形 点在三角形 破疑点AD BC②“三角形的三条高不相交但三角形的三条高所在直线交于一点”， 当是锐角三角形时， 这 ；当是直角三角形时，这点在三角形 上；当是钝角三角形时，这三角形的高线的理解 三角形的高是线段， 不是直线， 它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上． 1、 三角形的三条高在( A．三角形的内部 C．三角形的边上 四．三角形的中线 (1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线如图（2） (2)性质特点： ①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如图(2)， )． B．三角形的外部 D．三角形的内部、外部或边上 AD 是 BC 边上的中线 BD＝CD(或 BD＝2BC，DC＝2BC)．②一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐 角三角形 、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点． 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段， 它是一个顶点和对边中点的连 1 1线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．31、如图，AE 是△ABC 的中线，EC＝6，DE＝2，则 BD 的长为1 题图 五、三角形的角平分线（3）(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线． (2)性质特点： ①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如图（3） ， AD 是△ABC 的角平分线1 ∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC，或∠BAC=2∠1=2∠2)． 2②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、 直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部一点． 破疑点 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段， 角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上． 1、下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线、高和角平分线； ④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．③④ B．③ C．②③ D．①④ )． B．三角形的高是一条垂线 D．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部2、下列说法正确的是(A．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线相交于一点3、如图, ABC 中, AE 是中线, AD 是角平分线, AF 是高,填空: (1) BE ________ 1 __________； 2 (3) AFB _________ 90 ； (2) BAD _____ ___ 1 _________； 2 (4) SABC _________________. ,4 、如图 , ABC 中 , ACB 90 , AB 6, CD 为中线 , CE 平分 ACB , 则 DB ACE _______________43 题图4 题图5、如图，△ABC 的角平分线 AD、中线 BE 相交于点 O，则①AO 是△ABE 的角平分线； ②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确 的有_________5 题图6 题图6、△ABC 中，AD⊥ BC，AE 平分∠ BAC 交 BC 于点 E,∠ B= 30°，∠ C=70°，求∠ EAD六、三角形的稳定性 (1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这 个性质叫做三角形的稳定性． (2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后 它的内角度数、边长不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是 用三角形做支架的． 1、在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条 EF 固定矩形门框 ABCD 的情形．这种做 法根据( )．1 题图 A．两点之间线段最短52 题图 B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角 ）2、 用八根木条钉成如图所示的八边形木架， 要使它不变形， 至少要钉上木条的根数是 （ A．3 根 B．4 根 C．5 根 D．6 根 3、下列图中具有稳定性的是（ ）4、 下 列 图 形 中 ， 不 具 有 稳 定 性 的 是 （）A．B．C．D．5、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 （ ） B．垂线段最短 D．两直线平行，内错角相等 ） C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条A．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 6、不是利用三角形稳定性的是（ A．自行车的三角形车架B．三角形房架7、 人 站 在 晃 动 的 公 共 汽 车 上 ． 若 你 分 开 两 腿 站 立 ， 则 需 伸 出 一 只 手 去 抓 栏 杆 才 能站稳，这是利用了 .8、 空 调 安 装 在 墙 上 时 ， 一 般 都 会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上 ， 这 种 方 法 应 用 的数学知识是 .9 题图10 题图9 、如 图 所 示 ，建 高 楼 常 需 要 用 塔 吊 来 吊 建 筑 材 料 ，而 塔 吊 的 上 部 是 三 角 形 结 构 ， 这是应用了三角形的哪个性质？答： ． （填“稳定性”或“不稳定性”）610、如图，是边长为25cm 的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的．七、三角形的高、中线、角平分线 三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常 用到，是必须掌握的基本技能． 高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对 边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．1.三角形的角平分线、中线、高线都是（ A.线段 B.射线 C.直线） D.以上都有可能 ） D.都有可能2.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 ）3. 不一定在三角形内部的线段是（ A．三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高 ）D.三角形的中位线4．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ A．三角形的高 B．三角形的角平分线C．三角形的中线 D．无法确定 ） ④三6． 在 三 角 形 中 ， 交 点 一 定 在 三 角 形 内 部 的 有 （ ①三角形的三条高线 角形的外角平分线．7②三角形的三条中线③三角形的三条角平分线A．①②③④B．①②③C．①④D．②③ ）7.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 （ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 八、三角形高的应用 D.不能确定高的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是 求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直 角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向． 解技巧 巧证直角背景下两锐角相等 图形中含有高时， 经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律． 1、如图,在△ABC 中，∠ACB=900,CD 是 AB 边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, 求(1) △ABC 的面积；(2)CD 的长. CADB2、如图，CM 是的 AB 边上的中线， （1）作出△AMC 的边 AM 上的高；若△AMC 的面积 为 1 2，且边 AM 上的高为 4，求 AB 的长。
专题01 与三角形有关的线段(九大题型)(解析版)
专题01 与三角形有关的线段（九大题型）【题型1 三角形的分类】【题型2 判断三角形的个数】【题型3 三角形的三边关系】【题型4三角形的稳定性】【题型5三角形的平分线、中线和高的概念辨别】【题型6 三角形中线与面积问题】【题型7 三角形中线与周长问题】【题型8 证明三角形中线段不等关系】【题型9 根据三角形的三边关系化简】【题型1 三角形的分类】1．（2022秋•颍泉区期中）如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部分，则这个三角形为（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】D【解答】解：从图中，只能看出三角形的一个角是锐角，剩余的两个角可能都是锐角或有一个钝角，或有一个直角，故选：D．2．（2022秋•文峰区月考）有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．故选：C．3．（2022秋•民权县月考）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）A．甲、乙两种分法均正确B．甲、乙两种分法均错误C．甲的分法错误，乙的分法正确D．甲的分法正确，乙的分法错误【答案】D【解答】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：，故选：D．4．（2021春•宛城区期末）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；B、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；C、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；D、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；故选：B．5．（2022秋•惠州月考）三角形按边可分为（ ）A．等腰三角形，直角三角形，锐角三角形B．直角三角形，不等边三角形C．等腰三角形，不等边三角形D．等腰三角形，等边三角形【解答】解：三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形．故选C．6．（2022春•馆陶县期末）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）A．①对，②不对B．②对，①不对C．①、②都不对D．①、②都对【答案】B【解答】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．故选：B．7．（2022春•鼓楼区校级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【解答】解：三角形根据边分类如下：三角形；故选：B．8．（2021秋•威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）A．甲、乙两种分法均正确B．甲分法正确，乙分法错误C．甲分法错误，乙分法正确D．甲、乙两种分法均错误【答案】C【解答】解：甲正确的分类应该为，乙分法正确；故选：C．【题型2 判断三角形的个数】9．（2022春•本溪县期末）如图，图中三角形的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：图中三角形有△AEB，△BEC，△ABC，△DEC，△BDC，故选：C．10．（2022秋•玉州区期中）如图所示的图形中，三角形共有（ ）A．5个B．6个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：三角形的个数有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，共5个，故选：A．11．（2022春•建邺区校级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，故选：D．12．（2021秋•高阳县期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 4 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．13．（2022秋•宜都市期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，则图中共有三角形 6 个．【答案】见试题解答内容【解答】解：图中三角形有：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC，共6个，故答案为：6．【题型3 三角形的三边关系】14．（2023春•常州期末）用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（ ）A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cmC．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm【答案】C【解答】解：A．1+2＝3，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B．2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C．2+3＞4，4+3＞2，2+4＞3，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项符合题意；D．2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．15．（2023春•青岛期末）小亮想用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为2cm和9cm，如果第三根木棒的长度为奇数，则小亮所搭的三角形的周长为（ ）A．18cm B．20cm C．22cm D．24cm【答案】B【解答】解：根据三角形的三边关系，得9﹣2＜第三根木棒＜9+2，即7＜第三根木棒＜11．又∵第三根木棒的长度为奇数，∴第三根木棒的长度为9cm，∴小亮所搭的三角形的周长为9+9+2＝20（cm）．故选：B．16．（2022秋•启东市校级期末）已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（ ）A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm 【答案】D【解答】解：∵三条线段长分别为3cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，∴4﹣3＜a＜3+4，即a的取值范围是：1cm＜a＜7cm．故选：D．17．（2023春•高明区月考）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（ ）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，∴2＜x＜8．故选：D．18．（2023春•盐城月考）已知某三角形三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值的个数是（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：∵三角形三边长分别为4，x，11，∴11﹣4＜x＜11+4，∴7＜x＜15，∵x为正整数，∴x的值是8、9、10、11、12、13、14，∴满足条件的x值的个数是7．故选：B．19．（2023春•南京期中）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（ ）A．4种B．3种C．2种D．1种【答案】B【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是1时，不成立；当最短的边是2时，三边长是：2，5，5；当最短的边是3时，三边长是：3，4，5；当最短的边是4时，三边长是：4，4，4；最短的边一定不能大于4．综上，有3种不同的三角形．故选：B．【题型4三角形的稳定性】20．（2023•裕华区二模）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（ ）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．三角形具有稳定性【答案】D【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：D．21．（2023•山阴县模拟）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（ ）A．三角形具有稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．三角形的两边之和大于第三边【答案】A【解答】解：桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．故选：A．22．（2023春•睢宁县期中）下列图形中，具有稳定性的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、B、C选项中都有四边形，只有C选项中只有三角形，根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：C选项的图形具有稳定性．故选：C．23．（2023•滨湖区一模）王师傅用6根木条钉成一个六边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（ ）A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】D【解答】解：如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上3个木条，故选：D．【题型5三角形的平分线、中线和高的概念辨别】24．（2023•佛山模拟）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】C【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；D、能确定C正确，故错误．故选：C．25．（2023春•高明区月考）下列说法正确的个数有（ ）①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；②直角三角形只有一条高；③三角形的高至少有一条在三角形内；④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；②直角三角形有三条高，故错误；③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；故选：A．26．（2022秋•磁县期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形【答案】B【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．27．（2023•衡山县二模）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．28．（2023春•巴州区月考）如图，△ABC的边BC上的高是（ ）A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE【答案】A【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF．故选：A．29．（2023•丰润区模拟）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（ ）A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线C．AF是△ACE的高线D．AE是△DAF的中线【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线，故选：B．30．（2022秋•荣昌区期末）下列说法中正确的是（ ）A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线C．钝角三角形的三条高都在三角形外D．三角形的三条中线总在三角形内【答案】D【解答】解：A、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；故选：D ．31．（2023•梁山县二模）如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）A ．AB ＝2BFB ．∠ACE ＝∠ACBC ．AE ＝BED ．CD ⊥BE【答案】C 【解答】解：∵CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，∴CD ⊥BE ，∠ACE ＝∠ACB ，AB ＝2BF ，无法确定AE ＝BE ．故选：C ．【题型6 三角形中线与面积问题】32．（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点．若△ABC 的面积等于8，则△BDE 的面积等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解答】解：∵点D 是边BC 的中点，△ABC 的面积等于8，∴S △ABD ＝S △ABC ＝4，∵E 是AB 的中点，∴S △BDE ＝S △ABD ＝4＝2，故选：A ．33．（2022秋•张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则阴影部分的面积为 1 cm 2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵D 为BC 中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S △ABD ＝S △ACD ＝S △ABC ＝×4＝2（cm 2），同理S △BDE ＝S △CDE ＝S △BCE ＝×2＝1（cm 2），∴S △BCE ＝2（cm 2），∵F 为EC 中点，∴S △BEF ＝S △BCE ＝×2＝1（cm 2）．故答案为1．34．（2023春•常州期末）如图，AD 是△ABC 的中线，，F 是EC 的中点．若 S △BEF ＝10，则S △ABC ＝ 30 ．【答案】30．【解答】解：∵F 是EC 的中点，S △BEF ＝10，∴S △BEC ＝2 S △BEF ＝20，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点，∴S △BED ＝S △DEC ＝S △BEC ＝10，∵，AE +ED ＝AD ，∴AE ＝ED ，∴S △ABE ＝S △BED ＝5，∴S △ABD ＝S △ABE +S △BED ＝5+10＝15，∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝30．故答案为：30．35．（2023春•灌云县期中）如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE ＝2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是 14.4 ．【答案】14.4．【解答】解：连接BF ，如图所示．设S △BDF ＝a ，则S △BEF ＝6﹣a ，∵CD 为AB 边上中线，∴S △ADF ＝S △BDF ＝a ，S △BDC ＝S △ABC ．∵BE ＝2CE ，∴S △CEF ＝S △BEF ＝（6﹣a ），S △ABE ＝S △ABC ．∴S △ABC ＝2S △BDC ＝2[a +（6﹣a ）+（6﹣a ）]＝8﹣a ，S △ABC ＝S △ABE ＝（2a +6﹣a ）＝a +9．即18﹣a ＝a +9．解得：a ＝3.6．∴S △ABC ＝18﹣a ＝18﹣3.6＝14.4．故答案为：14.4．36．（2023春•济南期末）如图，AD 是△ABC 的中线，M 是AC 边上的中点，连接DM ，若△ABC 的面积为12cm 2，则△ADM 的面积为 3 cm 2．【答案】3．【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，△ABC 的面积为12cm 2，∴S △ACD ＝S △ABC ＝6cm 2，∵M 是AC 边上的中点，∴S △ADM ＝S △ACD ＝3cm 2．故答案为：3．37．（2023春•于洪区期中）如图，CD ，BE 是△ABC 的中线，它们相交于点O ．若△ABC 的面积是12，则图中阴影部分的面积为 4 ．【答案】4．【解答】解：连接AO ，∵CD 是△ABC 的中线，∴，S △AOD ＝S △BOD ，∵BE 是△ABC 的中线，∴，S △AOE ＝S △COE ，∵S △BOD ＝S △BDC ﹣S △BOC ＝6﹣S △BOC ，S △COE ＝S △CEB ﹣S △BOC ＝6﹣S △BOC ，∴S △BOD ＝S △COE ，∵S 四边形ADOE ＝S △AEB ﹣S △BOD ＝6﹣S △BOD ，S △BOC ＝S △BDC ﹣S △BOD ＝6﹣S △BOD ，∴S 四边形ADOE ＝S △BOC ，∴S 阴影＝S △BOD +S △COE＝S △AOD +S △AOE＝S 四边形ADOE ，∴，故答案为：4．38．（2023•德兴市一模）如图，BD 是△ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若△AEF 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积是 12 cm 2．【答案】12．【解答】解：∵F 是CE 的中点，，∴，∵E 是BD 的中点，∴S △ADE ＝S △ABE ，S △CDE ＝S △BCE ，∴，∴△ABC 的面积＝12cm 2．故答案为：12．39．（2023春•香坊区校级期中）如图，在△ABC 中，已知BD 为△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BD 分别交BD 、BC 于点F 、E ，连接CF ，若DF ＝2，AF ＝6，BE ：EC ＝3：1，则S △ABC ＝ 84 ．【答案】84．【解答】解：∵AE ⊥BD ，DF ＝2，AF ＝6，∴S △ADF ＝＝6，∵BD 为△ABC 的中线，∴S △CDF ＝S △ADF ＝6，S △ABD ＝S △BCD ，∴S △ABF ＝S △BCF ，∵BE ：EC ＝3：1，∴3S △CEF ＝S △BEF ，4S △ACE ＝S △ABC ，∴S △ABF ＝S △BCF ＝4S △CEF ，∵S △ABC ＝S △ABF +S △BCF +S △ACF ，∴4S △ACE ＝S △ABF +S △BCF +S △ACF ，4（12+S △CEF ）＝4S △CEF +4S △CEF +12，解得：S △CEF ＝9，∴S △ACE ＝9+12＝21，∴S △ABC ＝4×21＝84．故答案为：84．40．（2023春•大渡口区校级期中）如图，在△ABC 中，已知D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积等于8cm 2，则阴影部分面积为 1cm 2 ．【答案】1cm2．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴，∵点E是AD的中点，∴，∵点F是CE的中点，∴，阴影部分面积为1cm2．故答案为：1cm2．【题型7 三角形中线与周长问题】41．（2023春•二七区校级期中）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC 的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，则，解得，，故选：D．42．（2023春•良庆区校级期末）如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）A．20B．24C．26D．28【答案】B【解答】解：∵BD是AC边上的中线，∴CD＝AD，∵△ABD的周长为30，∴AB+AD+BD＝30，∴16+CD+BD＝30，∴CD+BD＝14，∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝14+10＝24，故选：B．43．（2023春•工业园区期中）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM 的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，∴AM＝BM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故选：C．44．（2023•鲤城区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6．若△ACD的周长为16，则△ABD周长为 18 ．【答案】18．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ACD的周长为16，∴AC+AD+CD＝16，∵AC＝6，∴AD+CD＝16﹣6＝10，∴AD+BD＝10，∴△ABD周长为：AB+BD+AD＝10+8＝18，故答案为：18．45．（2023春•崂山区校级期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是 22 ．【答案】22．【解答】解：∵△ACE的周长是25，∴AC+AE+CE＝25，∵AC＝10，∴AE+CE＝15，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+CE+AE＝7+15＝22，故答案为：22．46．（2023春•碑林区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，AB＞AC，则AB﹣AC为 5 ．【答案】5．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC．∵△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝23﹣18＝5，即AB﹣AC＝5．故答案为：5【题型8 证明三角形中线段不等关系】47．（2022春•南靖县校级月考）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞（AB+AC）．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．∵AD是BC边上的中线，BD＝CD，∴AD+BD＞（AB+AC）．48．（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．49．（2022秋•富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．【答案】见试题解答内容【解答】证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分别相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．50．（2022秋•海淀区校级期中）已知：如图，AC和BD相交于点O，说明：AC+BD＞AB+CD．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AO+BO＞AB，DO+CO＞CD，∴AO+BO+DO+CO＞AB+CD，即AC+BD＞AB+CD．51．（2022秋•固始县期中）AM是△ABC的中线，求证：AM＜．【答案】见试题解答内容【解答】证明：延长AM到点D，使MD＝AM，连接BD，易证△AMC与△BMD全等，∴BD＝AC，在△ABD中，AD＜AB+BD，∴2AM＜AB+BD，∴2AM＜AB+AC，∴AM＜．52．（2022春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．连接AD，试说明DA+DB+DC与的大小关系．【答案】DA+DB+DC＞，理由见解析．【解答】解：DA+DB+DC＞，理由：在△ABD中，AD+BD＞AB．在△BCD中，BD+CD＞BC．在△ACD中，AD+CD＞AC．∴AD+BD+BD+CD+AD+CD＞AB+BC+AC．∴．【题型9 根据三角形的三边关系化简】53．（2022秋•游仙区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边．化简|﹣a﹣b+c|+2|a+c ﹣b|﹣|b﹣a﹣c|．【答案】2a．【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边，∴a+b＞c，即﹣a﹣b+c＜0，a+c＞b，即a+c﹣b＞0，b﹣a﹣c＜0，则|﹣a﹣b+c|+2|a+c﹣b|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c+2（a﹣b+c）+b﹣a﹣c＝a+b﹣c+2a﹣2b+2c+b﹣a﹣c＝2a．54．（2022春•莲湖区期末）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣6|．【答案】5﹣a．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1、4、a，∴4﹣1＜a＜4+1，解得：3＜a＜5，∴a﹣2＞0，a﹣1＞0，a﹣6＜0，原式＝a﹣2﹣（a﹣1）+6﹣a＝5﹣a．55．（2023春•丰泽区校级期中）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝ 2a ．（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．【答案】（1）2a；（2）10．【解答】解：（1）由题意得：a+b＞c，a+c＞b，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c+（﹣b+a+c）＝a+b﹣c﹣b+a+c＝2a．故答案为：2a；（2）设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，①当3x＝15，且x+y＝6，解得，x＝5，y＝1，∴三边长分别为10，10，1；②当x+y＝15且3x＝6时，解得，x＝2，y＝13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13，故这种情况不存在．∴△ABC的腰长AB为10．56．（2023春•邗江区月考）已知△ABC的三边长是a，b，c．（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．【答案】（1）c＝4或6；（2）2a+2b﹣2c．【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，∵三角形的周长是小于18的偶数，∴2＜c＜8，∴c＝4或6；（2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c﹣c+a+b＝2a+2b﹣2c．。
(完整版)初中数学三角形有关的线段讲解及习题
11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】 如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】 下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】 下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。
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解：设底边长为X厘米，则腰长为2X厘米
X+2X+2X=18 解得X=3.6 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2 厘米。
解：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底 边，所以需要分情况讨论。 （1）如果4厘米长为底边，设腰长为X厘米， 则4+2X=18，解得X=7. （2）如果4厘米长为腰，设底边长为X厘米， 则2X4+X=18,解得X=10. 因为4+4＜10，出现两边和小于第三边的 情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角 形。 由以上结论可知，可以围成底边长是4厘 米的等腰三角形。
读一读 课本2页，并回答以下问题：
什么样的图形叫三角形？ 什么是三角形的边，顶点，内角? 如何用符号语言表示一个三角形?
你认识三角形了吗？
(一）三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组 成的图形，叫做三角形。
注意点： （1）三条线段（2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接
路线1:由点B到点C 路线2:由点B到点A，再由点A到点C。
C
B
两条路线长分别是BC,AB+AC.
由“两点之间，线段最短” 可以得到AB+AC>BC 同理可得:AC+BC>AB,AB+BC>AC
结 三角形的三边有这样的关系： 论 三角形两边的和大于第三边
尝试练习（二）
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3 , 4, 8 (2)5 , 6 , 11 (3)5 , 6, 10 解： （ (1) 3）不能组成三角形，因为 ）能组成三角形，因为任意两条线段的和都大 不能组成三角形，因为3+4<8, 即两条线段的和 （ 2 5+6=11 即两条线段的和 于第三条线段。 小于第三条线段，所以不能组成三角形 等于第三条直线，所以不能组成三角形
畅谈收获
你有什么收获？
这节课你印象最深的是什么？
你还有什么疑问吗？
堂堂清
已知等腰三角形的一边等于7，一边
等于8，求它的周长。 已知等腰三角形的一边等于6，一边 等于13，求它的周长。
作业： P8. 1、 2、 6、 7.
除此△ ABC还可记作△BCA, △ CAB,
△ ACB等
A
B
C
尝试练习（一）
ΔABEΔABC E 1.图中有几个三角 ΔBECΔBCD 形？用符号表示这 ΔECD B C 些三角形。 2.以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE 3.以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE
相等的两条边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫 做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
顶 角 腰 腰
底角
底
底角
小结三角形的分类
直角三角形
按角分
锐角三角形 钝角三角形
按边分
不等边三角形
底边和腰不相等的 等腰三角形 等腰三角形 等边三角形
议一议
A
如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出 发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以 选择？各条路线的长一样吗？
A
D
4.说出其中ΔBCD的三个角 ∠BCD 、CBD 、∠D
（二）三角形的分类
想一想 三角形按照三个角的大小都有哪些三角形呢？ （独立思考） （锐角三角形 直角三角形 钝角三角形） 三角形按照三条边长的大小关系又有哪些三角形 呢？（独立思考） （等边三角形 等腰三角形 不等边三角形） 说出等腰三角形的各部分。 思考：等腰三角形与等边三角形的关系是什么？
第七章
三角形
看一看
三角形建筑
看一看
看一看
水分子结构示意图
从古埃及的金字塔到现代的 飞机，从宏伟的建筑物到微 小的分子结构，都有什么样 的形象？ 在我们的生活中有没有 这样的形象？能举举例子吗？学习目标 认识角形，了解三角形的定义，认识三角
形的边，内角，顶点，能用符号语言表示三 角形。 能从不同角度对三角形进行分类。 掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角 形三边的不等关系解决生活实际问题。
思 考
判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你 刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？
做一做
用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三
角形。 （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长 是多少？ （2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角 形吗？为什么？
A c B b C
1.线段AB、BC、CA叫做三角形的边 2.点A、B、C 叫做三角形的顶点
3.∠ A、 ∠ B、 ∠ C叫做三角形的 内角，简称三角形的角。
三角形ABC的三边,有时也用a、b、c来 表示.
一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所 对的边记作b,顶点C所对的边记作c
三角形用符号“△”表示 记作“△ ABC”读作“三角形ABC”