第二章 导数与微分(测试题)
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
第二章 导数与微分复习题(1)
（4）求 lim 2 x
sin 1
x
解：
原式
lim
x
2
arctan 1
x
lim
x
1 1 x2
1
x
x2
lim
x
1
x
2
x
2
1
（5）求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
解：
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
tan2 x 3x2
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim
x0
f '( x) x0 2 cos x 2 x x0 2 在 x 0 处的切线斜率为 2，法线斜率为 1
2 对应的切线方程为 y 2x ，
法线方程为 y 1 x 。 2
5. 已知曲线 y ax 3 bx 2 cx 上点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐
点，求 a, b, c 的值，并写出此曲线的方程。
9. 函数 y x3 3 x 的单调减少区间为 [1,1] ；
10. 函数 y x 4 的单调减少区间为 [2,0),(0,2] ； x
11. 设 y 2 x2 ax 3 在点 x 1取得极小值，则 a = -4 ；
12. 曲线 y x3 3 x2 x 的拐点坐标为 (1,3) ；
x0
x0
x
f ( x) 在 x 0 处连续。
在
x
0 处，
y
(0
x ) sin
1 0 x
0
sin
1
，
x
x
x
导数与微分(含答案)
第二单元 导数与微分一、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=，则()0y '=3、3sin y x =，则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =，则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+，则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++，则()10y = ；()12y =9、设()()22f x x y ef e =+，则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为 法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+，则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0z x ∂=∂ ；()1,0y f '=14、()zu xy =，则du = 15、2ln xz y=，则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的z ∆= ；dz = 17、设233z x xy y =-+，则22z x∂=∂ ；22z y ∂=∂ ；2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则x f '= ；y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的 条件； 连续是极限存在的 条件 极限存在是连续的 条件； 连续是可微可导的 条件20、多元函数可微、可导（偏导数存在）、连续之间关系：（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 条件 （3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续 是该两混合偏导相等的 条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+，求(0)y '3、()2sin 2x y x =，求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩，求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，求()2f '-，()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b10、设()2135f x x x -=++，求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 14、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dz dt16、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-，则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=，则()0y '=sin14、3sin y x =，则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =，则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=，则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++，则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ；()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+，则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的 充分 条件； 连续是极限存在的 充分 条件 极限存在是连续的 必要 条件； 连续是可微可导的必要 条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,01z x ∂=∂ ；()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+，则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=，则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+，则222z x∂=∂ ；226z y y ∂=∂ ；23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =，则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1212x f f xf y '''=+ ；1222y xf f yf y '''=--21、（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 充分 条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 必要 条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 必要 条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 充分 条件 （3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 充分条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的 充分 条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- ， 法平面方程：()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= ， 法线方程 ：230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y '【解】：()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+，求y ' 【解】：()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】：()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =，求y ' 【解】：()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】：1）()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2）等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dydx =【解】：1）0x =时0y =2）()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程：()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】：1）等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2）等式两边同时对x 求导数：()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx【解】：1）()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2）1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩，求t dy dx =【解】：1）0t =时，1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3）0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，求()2f '，()f x '【解】：1）()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2）()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=， ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点，且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--， ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b【解】：1）可导必连续，故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2）因为可导，故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++，求()f x '【解】：1）()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '【解】：()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂【解】：1）()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2）()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3）()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ，17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dzdt【解】：()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：1）()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2）2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+， 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =，求dy dx【解1】：()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】：1）()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2）()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz ==-【解】：1）(),,22xy z F x y z e z e -=+--， 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-， 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2）2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂ 【解】：1）()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2）()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。
《微积分》第2章 导数与微分 单元测试题
第二章 导数与微分 单元测试题考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题(每小题2分，共40分)1．两曲线21y y ax b x ==+，在点1(2)2，处相切，则（ ） A ．13164a b =-=， B ．11164a b ==，C ．912a b =-=，D ．712a b ==-，2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ）A ．201lim(1cos )h f h h →-存在 B ．01lim (1)h h f e h→-存在 C ．201lim (sin )h f h h h →-存在 D ．[]01lim (2)()h f h f h h→-存在3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ）A ．间断点B ．连续而不可导的点C ．可导的点，且(0)0f '=D ．可导的点，且(0)0f '≠4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0limx dy yy→-=（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．∞5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=，则()()n f x =（ ）A ．[]1()n n f x + B ．[]1!()n n f x + C ．[]1(1)()n n f x ++ D ．[]1(1)!()n n f x ++6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩+cos 在0x =处可导，则（ ）A ．22a b =-=，B ．22a b ==-，C ．11a b =-=，D ．11a b ==-，7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f不存在的最小正整数n 必为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x=的（ ）A ．无穷型间断点B ．可去间断点C ．连续点D ．振荡间断点 9．设周期函数()f x 在()-∞+∞，内可导，周期为4，又0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5(5))f ，处的切线的斜率为（ ）A ．12B ．0C ．1-D ．2- 10．设()f x 处处可导，则（ ）A ．当lim ()x f x →-∞=-∞时，必有lim ()x f x →-∞'=-∞B ．当lim ()x f x →-∞'=-∞时，必有lim ()x f x →-∞=-∞C ．当lim ()x f x →+∞=+∞时，必有lim ()x f x →+∞'=+∞D ．当lim ()x f x →+∞'=+∞时，必有lim ()x f x →+∞=+∞11．若()sin f x x x =，则（ ）A ．(0)f ''存在B ．(0)0f ''=C ．(0)f ''=∞D ．(0)f π''=12．若2()max{2},(04)f x x x x =∈，，，且知()f a '不存在，(04)a ∈，，则必有（ ）A ．1a =B ．2a =C ．3a =D ．12a =13．若函数sin 2 0() 10xx x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，， 则使()f x '在点0x =处（ ）A ．存在但不连续B ．不存在C ．不仅存在而且连续D ．无穷大14．设n1cos 0() 0 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则使()f x '在点0x =点处连续的最小自然数为（ ）A ．1n =B ．2n =C ．3n =D ．4n =15．若函数()f x 对任意实数x 1，x 2均满足关系式1212()()()f x x f x f x +=，且(0)2f '=，则必有（ ）A ．(0)0f =B ．(0)2f =C ．(0)1f =D ． (0)1f =- 16．若()f x 是在()-∞+∞，内可导的以l 为周期的周期函数，则()f ax b '+（0a a b≠，、为常数）的周期为（ ）A ．lB ．l b -C ．laD ． l a17．函数23()(2)f x x x x x =-- -不可导的点的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ． 018．设220()()0x x f x x g x x ⎧>= ≤⎩ 其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ ） A ．极限不存在 B ．极限存在但不连续 C ．连续但不可导 D ．可导 19．设()f x 在0x =的一个领域内有定义，且(0)0f =，若21cos 1lim()2(1)x x x f x x e →-=-，则()f x 在0x =处（ ）A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导且(0)0f '=D ．可导且(0)1f '=20．设()()()f x f x x =--∈-∞+∞，，，且在(0)+∞，内()0()0f x f x '''><，，则在(0)-∞，内（ ）A ．()0()0f x f x '''>>，B ．()0()0f x f x '''><，C ．()0()0f x f x '''<>，D ．()0()0f x f x '''<<，二、填空题（每小题3分，共60分）1．设 1() 1ax b x f x x x 2+≤⎧=⎨ >⎩ 在1x =处可导，则a ＝____________，b ＝____________。
导数与微分自测题及答案
2．设 x y 2 y, u x 2 x 2 ，则
3
二、选择题（共 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 分，每小题 3 分） 1．下列条件与 f ( x) 在 x x0 处可导的定义等价的是（ (A) lim
）
f x0 h f x0 h ； h 0 2h f x0 2h f x0 h (B) lim ； h 0 h f x0 f x0 h (C) lim ； h 0 2h 1 (D) lim n f ( x0 ) f ( x0 ) . h 0 n 2．设函数 g ( x) 可微， h( x) e1 g ( x ) , h(1) 1, g (1) 2 ，则 g (1) 等于（ ( A) ln 3 1 ；(B). ln 3 1 ； (C) ln 2 1 ； (D) ln 2 1 .
n 3n
，则 f ( x) 在 , 内（
）
( A)处处可导 ； (C) 恰好有两个不可导点
(B) 恰好有一个不可导点 ； ； (D)至少有三个不可导点.
lim f ( x) 5. 设 f ( x) 在 x x0 处连续，则 x x0 存在且等于 A 是 f ( x0 ) 存在且等于 A
xf ( x) f ( x) ; x0 2 x 九、 由导数定义 g ( x) 。 1 f (0); x0 2
4 , x 1 七、(10 分)设 f ( x) ，试确定 a 与 b ，使 f ( x) 在 x 1 可导。 x 2 ax bx c, x 1
八、(10 分). 试确定 A, B, C 的值，使 e 1 Bx Cx
x
2
导数与微分测试题
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分，共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式： 三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 ， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)
第2章 导数与微分 题目
第二章导数与微分一、考试大纲考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数。
当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 二、主要内容三、基础题１．如果()f x 为偶函数,且(0)f '存在,证明(0)0f '=． ２．求曲线cos y x =上点1(,)32π处的切线方程和法线方程．３．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：(1) |sin |y x = ； (2)21sin ,00,0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩． ４．已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求'()f x ．５．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．６．以初速度0v 竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是2012s v t gt =-，求： (1) 该物体的速度；(2) 该物体达到最高点的时刻．７．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数．８．设()f x 可导，求下列函数y 的导数dy dx： (1)2()y f x =； (2) 22(sin )(cos )y f x f x =+．９．若()f x ''存在，求下列函数y 的二阶导数22d ydx：(1) 2()y f x = (2) ln[()]y f x =．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数:dydx（1）+-=3330x y ax ； （2）=-1y y xe ． 11．求下列参数方程所确定的函数的导数：(1) 23x aty bt⎧=⎪⎨=⎪⎩； (2)2223131at x t at t ⎧=⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d ydx：(1)cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ (2)32t tx e y e-⎧=⎨=⎩ 13．求下列函数的微分:(1) =sin2y x x ； (2) 2ln (1)y x =-． 14．计算下列反三角函数值的近似值:：(1) arcsin 0.5002； (2) arccos 0.4995．四、提高题１．试从1dx dy y ='导出： (1) 223"(')d x y dy y =-； (2) 32353(")''''(')d x y y y dy y -=． ２．求下列函数所指定的阶的导数：(1) cos ,x y e x =求 (4)y ； (2) ,y xshx =求(100)y ；(3) 2sin 2,y x x =求 (50)y ． ３．求函数2sin y x =的n 阶导数的一般表达式．４．求曲线222333x y a +=在点)处的切线方程． ５．求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d ydx：(1) tan()y x y =+：(2)1yy xe =+．６．用对数求导法求下列函数的导数：(1);(2)1xx y y x ⎛⎫==⎪+⎝⎭７．求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33d ydx：(1) 231,;x t y t t ⎧=-⎨=-⎩ (2) 2ln(1),arctan .x t y t t ⎧=+⎨=-⎩ ８．溶液自水深18cm 顶直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1/min cm ，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？９．设3,0()||0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求复合函数()[()]x f f x Φ=的导数，并讨论'()x Φ的连续性．三、考研题１．(01，3分) 设=(0)0f ，则()f x 在点0x =可导的充要条件为(A) 201lim (1cosh)h f h→-存在. (B) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C) 201lim (1sinh)h f h→-存在. (D) 01lim [(2h)()]h f f h h →-存在.２．（04.4分）设函数()f x 连续，且'(0)0,f >则存在0δ>，使得（A ）()f x 在(,0)δ-内单调增加. (B) ()f x 在(0,)δ内单调减少.(C) 对任意的(0,)x δ∈有()(0).f x f > (D) 对任意的(,0)x δ∈-有()(0).f x f >３．(02.3分)已知函数()y y x =由方程2610y e x y x ++-=确定，则(0)y ''= ．４．（03.12分）设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0,()y x x y ≠=是()y y x =的反函数．(1) 试将()x x y =所满足的微分方程322(sin )0d xdx y x dy dy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,'(0)2y y ==的解． ５．(92.3分) 设22()3||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.６．（05.3分）设函数()lim n f x =()f x 在(,)-∞+∞内 （ ）（ A ）处处可导 ( B )恰有一个不可导点. ( C ) 恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点. ７．（06.3分）设函数()=y f x 具有二阶导数，且'''>>∆()0,()0,f x f x x 为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x ∆>，则 ( )（ A ）0.dy y <<∆ （ B ）0y dy <∆<. ( C )0y dy ∆<<. ( D ) 0.dy y <∆< ８．（98.3分）函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是（A ）3． （B ） 2 ( C ) 1 . ( D ) 0 ９．(97.3分) 对数螺旋线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为.10．(04.3分) 曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 .四、测试题１．填空题（1）．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++-=确定，由''=(0)y . （2.）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定,则0|x dy == .（3） 曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩,上对应于6t π=点处的法线方程是 .（4）. 设函数()y y x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定,则曲线()y f x =在点(1,0)处的法线方程为 .２．单项选择题（1）．设函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy a x∆∆=++且当0x ∆→时,a 是x ∆的高阶无穷小,(0),y π=则(1)y 等于(A) 442.().().().B C e D e πππππ（2）．()f x 在0x 处存在左、右导数，则()f x 在0x 点（ A ） 可导 ( B ) 连续. ( C ) 不可导. ( D ) 不连续.（3）．设''0lim ()lim ()x x f x f x a +-→→==,则(A) ()f x 在0x x =处必可导且'0().f x a = ( B ) ()f x 在0x x =处必连续,但未必可导. ( C ) ()f x 在0x x =处必E 有极限但未必连续. ( D ) 以上结论都不对. （4）．设()f x 可导，且满足 0(1)(1)lim 1,2x f f x x→=-=-则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率为： （ A ）2. ( B ) -2. (C )12. ( D ) -1.３．讨论2|2|,1(),1x x f x x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的可导性．４．求下列函数的导数：（1）0y a => （2） tan (tan )x x y x x =+（3）y =（4）|(3)|y x x x =-５．求下列隐函数的导数'y（1）y x x y = （2）2y x x y =６．求参数式函数的导数'y ：2arctan 25tx ty ty e =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ７．求下列函数的微分：（1）(0)x y x x =>（2）21ln(12sin ),(2y x x θθ=-+为常数）.８．设()f x 在[,)a +∞可导，lim ()x f x →+∞存在，→+∞'=lim ()x f x b ，求证：0b =.。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
第二章导数与微分习题
第二章-导数与微分习题第二章 导数与微分【内容提要】1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若0→∆x 时，极限xyx ∆∆→∆0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，记为)(0x f '或)(0x y '或|x x y ='或0|d d x x xy=或0|d d x x xf=+→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆+→∆0lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。
-→∆0x 时，改变量比值的极限xy x ∆∆-→∆0lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。
2．导数的意义导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。
导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。
以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。
3．可导与连续的关系定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。
此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。
4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u '±'='±)(定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u uv '+'=')(定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导，且)(u f y =在其相应点u 处可导，则复合函数)]([x g f y =在x 处可导，且xu x u y y '⋅'=' 或d d d d d d y y u x u x=⋅5．基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：)(='C1)(-='μμμx xaa a x x ln )(=' xx e )e (='ax x a ln 1)(log =' xx 1)(ln ='xx cos )(sin =' xx sin )(cos -=' xx 2sec )(tan =' xx 2csc )(cot -=' xx x tan sec )(sec =' xx x cot csc )(csc -= 211)(arcsin x x -='211)(arccos x x --='211)(arctan xx +=' 211)cot arc (x+-='这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。
高等数学题库第02章(导数与微分)
第二章 导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（ ） （1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（ ） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量 二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。
高等数学-——导数与微分练习题.pdf
C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ， 则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan
(完整版)第二章导数与微分部分考研真题及解答
第二章 导数与微分 2.1导数的概念01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ）（A ）01lim(1cosh)h f h →-存在 （B ）01lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01lim [(2)()]h f h f h h→-存在03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0.(C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x =1处连续，则0)1(=ϕ是f (x )在x =1处可导的 [ A ](A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ](A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )=x1，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22lim1n f h h→=,则 （ C ）(A )()()'000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在(C)()()'000f f +=且存在 (D)()()'010f f +=且存在07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =）(A ) 若0()limx f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则f (0)=0.(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在04.2) 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x ---→→-++'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.2.2导数的运算法则06.2)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21--（D ）ln21-03.3) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .03.3) 设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x =0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 04.1) 曲线y=ln x 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .04.4) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .05.2) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=dx π- .09农）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则()8f π'=41π+ 10.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当12cm l =，5cm w =时，它的对角线增加速率为3cm/s2.3高阶导数06.34) 设函数()2f x x =在的某领域内可导,且()()(),21f x f x e f '==,则()2f '''=32e（复合求高阶导） 07.234)设函数1,23y x =+则()(0)n y =12(1)!().33n n n - 10.2)函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =2(1)!n n --2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数()y f x =由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定，则曲线()yf x =在点(0,1)处的法线方程为220x y -+=03.2) 设函数y =f (x )由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程是x-y =0 .08.1)曲线()sin ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是1y x =+02.1)已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则(0)y ''= -209.2) 设()y y x =是方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202|x dy dx== -306.2) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则x dy dx==e-02.2)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=-，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.07.2) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=03.2) 设函数y =y (x )由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx4=，得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x =9时，由221t x +=及t >1得t =2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x 07.2) 已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程11y y xe --=所确定，设(ln sin )z f y x =-，求2002,.x x dzd z dxdx ==【详解】(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y''=-⋅-，22222(cos )(sin )d z y y y y f x f x dx y y ''''-'''=⋅-+⋅+ 在11y y xe--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由11y y xe --=两边对x 求导得110y y y e xe y --''--=再对x 求导得 111210y y y y y ey e y xe y xe y ----'''''''----=将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0) 2.y y '''== 故(0)(00)0,x dz f dx='=-=202(0)(21) 1.x d z f dx ='=⋅-=10.2)设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩，(1)t >-所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1),2ψ=(1)6,ψ'=已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ.2.5微分及其应用02.2)设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '= （ D ） （A ）-1. （B ）0.1. （C ）1. （D ）0.5.06.1234) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 [ A ] (A )0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆< (C) 0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<弹性07.34)设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 （ D ） (A ) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40.01.34)设生产函数为,Q AL K αβ=其中Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而,,A αβ均为大于零的参数，则当1Q =时K 关于L 的弹性为αβ-09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P 的弹性ζ=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000 元10.3)设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =313p pe-02.4)设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数：(),Q Q p =其需求弹性2220.192p pη=>-（1）设R 为总收益函数，证明(1)dRQ dpη=-.（2）求6p =时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=P P E d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.。
专升本高等数学第二章 导数与微分习题练习题
第二章 导数与微分1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．1arctany x =，则='y ( )A ．211x +-B ．211x+ C ．221x x +- D ． 221x x + 11．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 12．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在13．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分第一节 导数概念习题2.11、设26)(x x f =，试按定义求)1(-'f2、证明x x sin )(cos -='3、下列各题中均假定)(0x f '存在，按导数的定义观察下列极限，并指出a 表示什么：（1）a xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000（2）a xx f x =→)(lim，其中0)0(=f ，且)0(f '存在。
（3）a hh x f h x f h =-+--→)()(lim0004、求下列函数的导数：（1）52x y = （2）53x y =（3）4.2x y = （4）xy 2=（5）31xy = （6）35x x y ⋅=（7）3533xxx y ⋅=5、已知物体的运动规律为3t s =(m)，求这物体在2=t 秒(s)时的速度。
6、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '0=。
7、求曲线x y sin =在具在下列横坐标的各点处切线的斜率： π32=x ，π=x8、求曲线x y cos =上点)21,3(π处的切线方程和法线方程。
9、求曲线2x e y =在点)1,0(处的切线方程和法线方程。
10、在抛物线2x y =上取横坐标为11=x 及2x 3=的两点，作过这两点的割线。
问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？11、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性： （1）x y sin =；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 3x x xx y ； （3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x xx y 。
12、设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(3x b ax x x x f为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？13、已知)(x f =⎩⎨⎧<-≥0,0,3x x x x ，求)0(+'f 及)0(-'f ，又)0(f '是否存在？14、已知⎩⎨⎧≥<0,0,sin 2x x x x ，)(x f '15、证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。
第2章 导数与微分(题库)(1)
第2章 导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ；右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理： .3. 导数几何意义：函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为： ；法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件；可微是可导的_____________条件；连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为：将y 视为函数()y x ，⑴在(),0F x y =_________________________；⑵利用“解方程”的思想，_________________________.7. 对数求导法适用形式： ；求导方法： .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则（和、差、积、商）：()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ； ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ；()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在，则()()0003limh f x h f x h→+-=（ ）.A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '=（ ）.A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（ ）.A. 左、右导数都存在B. 左导数存在，但右导数不存在C. 左导数不存在，但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=，则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02，π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导，b a 、应取什么值？2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2，则='y （ ）.A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =，则='y . 3. 设x y 2sin =，则='y .4. 设22x a y -=，则='y .5. 设2)(arcsin x y =，则='y .6. 设xy 1cos ln =，则='y .7. 设xxy -+=11arctan ，则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =，则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数，求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数，求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数，求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数，求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数，求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ，其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章 导数与微分（题库） 第 页 共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =，则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =，则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =，则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=，则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =，则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算：sin 29.。
《高等数学》第二章.导数和微分的习试题库完整
第二章 导数与微分一、判断题1. []00''()()f x f x = ,其中0x 是函数()f x 定义域内的一个点。
（ ）2. 若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处连续。
（ ）3. 因为()f x x =在0x =处连续，所以()f x 在0x =处可导。
（ ）4. 因为()f x x =在0x =处的左、右导数都存在，所以()f x 在0x =处可导。
（ ）5. ()f x 在0x 处可导的充要条件左、右导数存在且相等。
（ ）6. 若曲线()y f x =在0x 处存在切线，则'0()f x 必存在。
（ ）7. 若()f x 在点0x 处可导，则曲线()f x 在点0x 处切线的斜率为()0f x '。
（ ）8. ()()()sin sin cos tan cot cos sin cos x x x x x x xx ''⎛⎫'====- ⎪-'⎝⎭。
（ ）9. ()()()22sin cos cos sin sin tan sec cos cos x x x x x x x x x '''-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭。
（ ）10. 若()f x ，g()x 在x 处均可导，则[]()g()()g()f x x f x x '''=。
（ ）11. 设()sin cos f x x x =，'''()(sin ).(cos)(sin )cos f x x x x x ==-。
（ ）12. 设2()x e f x x =，则'()2x e f x x=。
（ ）13. 由参数方程0y e xy +=的两边求导得'0y e x xy ++=，于是'1()y y e y x=-+。
（ ）14. ()()n x x e e =。
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第二章 导数与微分 单元测试题
考试时间：120分钟 满分：100分 试卷代码：M1-2b
一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x =
=+，在点1(22
，处相切，则（ ） A．13164a b =-=， B．11164
a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ） A．201lim
(1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h
→-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ）
A．间断点 B．连续而不可导的点
C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠
4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y
→-= （ ） A．-1 B．1 C．0 D．∞
5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2
()()f x f x '=，则()()n f x =（ ） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
+cos 在0x =处可导，则（ ） A．22a b =-=， B．22a b ==-，
C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x
=的（ ）
A．无穷型间断点 B．可去间断点
C．连续点 D．振荡间断点
9．设周期函数()f x 在()-∞+∞，内可导，周期为4，又0(1)(1)lim 12x f f x x
→--=-，则曲线()y f x =在点(5(5))f ，处的切线的斜率为（ ） A．12
B．0 C．1- D．2- 11．若()sin f x x x =，则（ ）
A．(0)f ''不存在 B．(0)0f ''= C．(0)f ''=∞ D．(0)f ''=
12．若2()max{2},(04)f x x x x =∈，，，且知()f a '不存在，(04)a ∈，，则必有（ ）
A．1a = B．2a = C．3a = D．12
a = 13．若函数sin 2 0() 1
0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，， 则使()f x '在点0x =处（ ）
A．存在但不连续 B．不存在
C．不仅存在而且连续 D．无穷大 14．设n 1cos 0() 0 0
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则使()f x '在点0x =点处连续的最小自然数为（ ）
A．1n = B．2n = C．3n = D．4n = 17．函数23
()(2)f x x x x x =-- -不可导的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D． 0 18．设220()()0x x f x x x g x x ⎧ >= ≤⎩
其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ ） A．极限不存在 B．极限存在但不连续
C．连续但不可导 D．可导
19．设()f x 在0x =的一个领域内有定义，且(0)0f =，若201cos 1lim ()2
(1)x x x f x x e →-=-，则()f x 在0x =处（ ）
A．不连续 B．连续但不可导
C．可导且(0)0f '= D．可导且(0)1f '=
20．设()()()f x f x x =--∈-∞+∞，，，且在(0)+∞，内()0()0f x f x '''><，，则在(0)-∞，内（ ）
A．()0()0f x f x '''>>， B．()0()0f x f x '''><，
C．()0()0f x f x '''<>， D．()0()0f x f x '''<<，
二、填空题（每小题3分，共60分）
1．设 1() 1
ax b x f x x x 2+≤⎧=⎨ >⎩ 在1x =处可导，则a ＝____________，b ＝____________。
2．已知()()f x f x -=-且0()0f x m '-=≠，则0()f x '=____________。
3．设()(ln )f x y f x e =，其中f 可微，则dy ＝____________
4．函数()f x 在()-∞+∞，内连续，0()()x
F x x f t dt =⎰，则(0)F ''=____________。
5．设2221
cos cos (cos /2(0)t x t y t t u u du t ⎧=⎪⎨=->⎪⎩⎰， 则dy dx =____________。
7．已知函数()y y x =由方程2
6+10y e xy x +-=所确定，则(0)y ''=____________。
8．设曲线()n f x x =在点(11)，处的切线与x 轴的交点为(0)n ξ，，则lim ()n n f ξ→∞=_______。
9．设函数()y y x =由方程ln 01
xy y e x +=+所确定，则(0)y '=____________。
10．设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则(0)f '=____________。
11．设3()(1)
t x f t y f e π=-⎧⎨=-⎩，其中f 可导，且(0)0f '≠，则0t dy dx ==____________。
12．已知232(()arcsin 32x y f f x x x -'==+，，则0x dy dx ==____________。
13．设函数()y y x =由参数方程3
2ln(1)x t t y t t =-+=+，所确定，则22d y dx =______。
14．已知0()1f x '=-，则000lim (2)()
x x f x x f x x →=---____________。
15若21()lim (1)tx x f t t x
→∞=+，则()f t '=____________。
16．设()f x 有一阶连续导数，且(0)0(0)1f f '=，＝，则[]1/ln(1)0lim 1()x x f x +→+=_______。
17．设()f x 在0x =处连续，且0()1lim 2sin x f x x x
→+=+，则(0)f '=____________。
18．设()f x 为连续函数，且有()1()()f x x a x a g x =---+，其中2()lim 1()x a g x x a →=-，则 ()f a '=____________。
19．已知()g x 是微分方程()()sin cos g x g x x x '+=的满足条件(0)0g =的解，则0()
lim x g x x →=_____。