成人高考高等数学模拟试题及答案解析

一、选择题 1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数2(0)y x x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A ．2B ．3C ．5D ．74．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．35．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2B ．3C ．2D ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．42C ．8D ．8212．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试．．卷上作答无效．．．．．．） 13．（1-x ）10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．14．已知a ∈（3,2ππ），tan 2,cos αα=则=15．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为。

16．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．） 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知sin csin 2sin sin ,a A C a C b B +-=（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75,2,A b a c ==求与19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作．．．．．．答无效．．．） 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作．．．．．．答无效．．．） 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈（I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）； （II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。

22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上；（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题13．0 14．55-15．23 16．6三、解答题17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩…………3分解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或…………6分当113,2,32,3(21);n nn n a q a S -===⨯=⨯-时 当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时 …………10分18．解：（I ）由正弦定理得2222.a c ac b +-=…………3分由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- 故2cos ,45.2B B ==︒因此…………6分（II ）sin sin(3045)A =︒+︒sin 30cos 45cos 30sin 4526.4=︒︒+︒︒+=…………8分故sin 2613,sin 2A a b B +=⨯==+sin sin 602 6.sin sin 45C c b B ︒=⨯=⨯=︒…………12分19．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

（I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分 （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-= …………9分123()0.20.80.384.P E C =⨯⨯=…………12分（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。

…………3分由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=，得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，3.2SD SE SF DE ⨯==作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SGFG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。

…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

37SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为21.7由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21.7设AB 与平面SBC 所成的角为α，则2121sin ,arcsin .77d EB αα===…………12分以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，由||||AS BS =得222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+故x=1。

由22||11,DS y z =+=得 又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得 即2213410,,.22y z y y z +-+===故 …………3分于是133333(1,,),(1,,),(1,,)222222S AS BS =--=-， 13(0,,),0,0.22DS DS AS DS BS =⋅=⋅=故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=又33(1,,),(0,2,0),22BS CB =-=故330,2220.m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩…………9分取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB =-=-又。

21cos ,.7||||AB a AB a AB a ⋅==⋅故AB 与平面SBC 所成的角为21arcsin.721．解：（I ）2'()3636.f x x ax a =++-…………2分由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为 由此知曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）…………6分（II ）由2'()02120.f x x ax a =++-=得 （i ）当2121,()a f x --≤≤-时没有极小值；（ii ）当2121,'()0a a f x >-<--=或时由得221221,21,x a a a x a a a =--+-=-++-故02.x x =由题设知2121 3.a a a <-++-< 当21a >-时，不等式21213a a a <-++-<无解。