非参数统计 第六章 相关和回归分析
统计学中的非参数统计分析
统计学中的非参数统计分析统计学作为一门研究数据分析和推断的学科，涉及到各种统计方法和技术。
其中，非参数统计分析是一种常见且重要的方法，它不依赖于数据的特定分布假设，而是利用数据本身的特征进行分析和推断。
本文将介绍非参数统计分析的基本概念、应用场景和常用方法。
非参数统计分析是相对于参数统计分析而言的。
参数统计分析通常需要对数据的分布做出假设，如正态分布、指数分布等，并利用参数估计方法来推断总体参数。
然而，在实际应用中，我们往往无法确定数据的真实分布，或者分布假设不成立。
这时，非参数统计分析就成为一种有力的工具。
非参数统计分析的一个重要应用是在样本比较中。
假设我们想比较两组样本的均值是否有显著差异，但无法确定数据是否符合正态分布。
这时，可以使用非参数的Wilcoxon秩和检验来进行推断。
该方法将两组样本的观测值按大小排序，并计算秩次和。
通过比较秩次和的大小，可以判断两组样本的均值是否有显著差异。
除了样本比较，非参数统计分析还可以用于回归分析。
在传统的线性回归中，我们通常假设自变量和因变量之间的关系是线性的，并利用最小二乘法来估计回归系数。
然而，在实际应用中，变量之间的关系可能是非线性的，或者无法确定具体的函数形式。
这时，非参数的局部回归方法就可以派上用场。
该方法通过在每个数据点附近拟合局部线性模型，来估计变量之间的关系。
这种方法不依赖于具体的函数形式，能够更好地适应数据的特点。
在实际应用中，非参数统计分析还有许多其他的方法，如Kolmogorov-Smirnov 检验、Mann-Whitney U检验等。
这些方法都不依赖于数据的分布假设，能够更加灵活地适应不同的数据类型和场景。
尽管非参数统计分析在某些方面具有优势，但也存在一些限制。
首先，由于不依赖于分布假设，非参数方法通常需要更多的样本来获得可靠的推断结果。
其次，非参数方法往往比参数方法计算量更大，需要更多的计算资源和时间。
此外，非参数方法对异常值和缺失值的鲁棒性较差，需要进行适当的数据处理。
非参数回归分析
非参数回归分析非参数回归分析是一种无需对数据分布做出假设的统计方法，它通过学习数据的内在结构来建立模型。
与传统的参数回归分析相比，非参数回归分析更加灵活，适用于各种复杂的数据分布。
本文将介绍非参数回归分析的基本原理和应用场景，并通过实例来说明其实际应用。
一、非参数回归分析的原理非参数回归分析是通过将目标变量与自变量之间的关系建模为一个未知的、非线性的函数形式，并通过样本数据来估计这个函数。
与参数回归分析不同的是，非参数回归模型不需要表示目标变量与自变量之间的具体函数形式，而是通过样本数据来学习函数的结构和特征。
在非参数回归分析中，最常用的方法是核密度估计和局部加权回归。
核密度估计使用核函数对数据进行平滑处理，从而得到目标变量在不同自变量取值处的概率密度估计。
局部加权回归则是通过在拟合过程中给予靠近目标变量较近的样本点更大的权重，从而对目标变量与自变量之间的关系进行拟合。
二、非参数回归分析的应用场景1. 数据分布未知或复杂的情况下，非参数回归分析可以灵活地适应不同的数据分布，从而得到较为准确的模型。
2. 非线性关系的建模，非参数回归分析可以对目标变量与自变量之间的非线性关系进行拟合，从而获得更准确的预测结果。
3. 数据量较小或样本信息有限的情况下，非参数回归分析不需要对数据分布做出假设，并且可以通过样本数据来学习模型的结构，因此对数据量较小的情况下也具有一定的优势。
三、非参数回归分析的实际应用为了更好地理解非参数回归分析的实际应用，以下通过一个实例来说明。
假设我们有一组汽车销售数据，包括了汽车的价格和其对应的里程数。
我们希望通过这些数据预测汽车的价格与里程数之间的关系。
首先，我们可以使用核密度估计方法来估计汽车价格与里程数之间的概率密度关系。
通过对价格和里程数进行核密度估计，我们可以得到一个二维概率密度图，显示了不同价格和里程数组合的概率密度。
接下来，我们可以使用局部加权回归方法来拟合汽车价格与里程数之间的关系。
《非参数统计》教学大纲
《非参数统计》课程教学大纲课程代码：090531007课程英文名称：Non-parametric Statistics课程总学时：40 讲课：32 实验：8 上机：0适用专业：应用统计学大纲编写（修订）时间：2017.6一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《非参数统计》是应用统计学专业的一门专业基础课，是统计学的一个重要分支。
课程主要研究非参数统计的基本概念、基本方法和基本理论。
本课程在教学内容方面除基本知识、基本理论和基本方法的教学外，着重培养学生的统计思想、统计推断和决策能力。
通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1．掌握非参数统计方法原理、方法，具有统计分析问题的能力；2．具有根据具体情况正确选用非参数统计方法，正确运用非参数统计方法处理实际数据资料的能力；3．具有运用统计软件分析问题，对计算结果给出合理解释，从而作出科学的定论的能力；4．了解非参数统计的新发展。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.基本知识：掌握符号检验、Wilcoxon符号秩检验、Cox-Stuart趋势检验、游程检验、Brown-Mood中位数检验、Wilcoxon秩和检验、Kruskal-Wallis检验、Jonckheere-Terpstra检验、Friedman检验、Page检验、Siegel-Tukey检验、Mood检验、Ansari-Bradley检验、Fligner-Killeen检验等非参数统计方法。
2.基本理论和方法：掌握单样本模型、两样本位置模型、多样本数据模型中的位置参数非参数统计检验方法，掌握检验尺度参数是否相等的各种非参数方法，掌握各种回归的方法，掌握分布检验的各种方法，要求能在真实案例中应用相应的方法。
3.基本技能：掌握非参数统计方法的计算机实现。
（三）实施说明1. 本大纲主要依据应用统计学专业2017版教学计划、应用统计学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定并根据我校实际情况进行编写。
非参数回归方法
非参数回归方法非参数回归是一种灵活的建模技术，它不依赖于对数据分布的假设，因此适用于各种类型的数据分析问题。
本文将介绍非参数回归的基本原理和常用方法，包括局部线性回归、核回归和样条回归等。
1. 非参数回归的基本原理非参数回归可以看作是对自变量与因变量之间的关系进行拟合的过程，而不需要对关系的具体形式进行假设。
与参数回归不同，非参数回归方法不直接对某个函数形式进行建模，而是通过对数据进行适当的拟合，从中获取自变量与因变量之间的关系。
2. 局部线性回归局部线性回归是一种常用的非参数回归方法，它假设在自变量附近的小区域内，自变量与因变量之间的关系可以近似为线性关系。
具体而言，局部线性回归通过在每个数据点附近拟合一个线性模型来进行预测。
这种方法可以有效地捕捉到数据的非线性关系。
3. 核回归核回归是另一种常见的非参数回归方法，它利用核函数对自变量进行加权来进行拟合。
核函数通常具有类似正态分布的形状，在自变量附近的数据点被赋予更大的权重，而离自变量远的数据点则被赋予较小的权重。
核回归可以灵活地适应不同的数据分布和关系形式。
4. 样条回归样条回归是一种基于样条函数的非参数回归方法，它将自变量的取值范围划分为若干个区间，并在每个区间内拟合一个多项式函数。
样条函数的拟合可以采用不同的方法，例如样条插值和样条平滑等。
样条回归能够更精确地捕捉到数据中的非线性关系。
5. 非参数回归的优势和应用领域与参数回归相比，非参数回归具有更高的灵活性和鲁棒性。
非参数回归方法不依赖于对数据分布和关系形式的假设，适用于各种类型的数据分析问题。
非参数回归广泛应用于经济学、统计学、金融学等领域，用于探索变量之间的关系、预测未知观测值等。
结论非参数回归方法是一种适用于各种类型数据分析问题的灵活建模技术。
本文介绍了非参数回归的基本原理和常用方法，包括局部线性回归、核回归和样条回归等。
非参数回归方法能够更准确地捕捉数据中的非线性关系，具有更高的适应性和鲁棒性。
SPSS数据分析教程-第6章-非参数
Median test
独立样本检验举例
➢ 一个公司把他们的销售代表随机分到三个 不同的组中，进行不同的培训。两个月后 对销售进行考察，我们想通过非参数检验 比较不同组别的销售代表考试得分是否有 显著性差异。这里，不同组别的考试得分 是相互独立的，因此为独立样本数据，我 们采用独立样本非参数检验。
➢
独立样本包括两个独立样本或者两个以上的独 立样本。
➢ SPSS提供的独立样本非参数检验的方法有：
两个独立样本分布的比较
Mann-Whitney U
Kolmogorov-Smimov
Wald-Wolfowitz K个独立样本分布的比较
Kruskal-Wallis
Jonckheere-Terpstra 比较全矩
➢ Wilcoxon符号秩检验用于检验样本所来自的 总体的中位数和所给的值是否有显著区别。 该检验适用于连续型数据（或者尺度数 据），它把观测值和原假设的中心位置之 差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加 作为其检验统计量。
➢ Wilcoxon符号秩检验的假设为：
样本所来自的总体的中位数等于给定的数值。
游程检验
➢ 游程检验用于检验某一变量的两个值的出 现顺序是否随机，对于连续型变量的随机 性检验也可以转化为只有两个取值的分类 变量的随机性的检验。游程检验通过对样 本观测值的分析，用来检验该样本所来自 的总体序列是否为随机序列（又称为白噪 声序列）。它也可以用来检验一个样本的 观测值之间是否相互独立。
二项式检验
➢ SPSS的二项式检验通过样本数据检验样本 来自的总体是否服从指定的二项分布。例 如，现代社会男、女的比例是否为1.01：1； 工厂的次品率是否为1%等都可以通过二项 式检验完成。
非参数统计秩相关分析和秩回归
非参数统计秩相关分析和秩回归非参数统计方法是一类不依赖于总体分布形式的统计方法，它们通常基于样本数据的秩次（rank）或者置换（permutation）来进行统计推断。
秩相关分析和秩回归是非参数统计中常见的两种方法，本文将对它们进行详细介绍。
一、秩相关分析秩相关分析是用于测量两个变量间相关性的方法，它适用于总体分布不满足正态分布假设或无法假设总体分布形式的情况。
秩相关系数可以反映两个变量之间的关系的强度和方向。
常见的秩相关系数包括Spearman相关系数、Kendall相关系数等。
Spearman相关系数是一种非参数的秩相关系数，它将原始数据转换为秩次，然后计算秩次之间的皮尔逊相关系数。
Spearman相关系数的取值范围在-1到1之间，当Spearman相关系数为0时，表示两个变量之间不存在线性关系；当Spearman相关系数为正值时，表示两个变量呈正相关关系；当Spearman相关系数为负值时，表示两个变量呈负相关关系。
Kendall相关系数也是一种非参数的秩相关系数，它与Spearman相关系数类似，但是不考虑秩次之间的距离。
Kendall相关系数的取值范围在-1到1之间，具有与Spearman相关系数类似的解释。
秩相关分析的步骤如下：1.对原始数据进行秩次转换，将每个变量的观测值按照从小到大的顺序进行排列，并用相应的秩次替代原始观测值。
2.计算秩次之间的秩相关系数。
3.使用适当的统计检验方法对秩相关系数进行显著性检验。
秩相关分析的优点是不依赖于总体分布形式，对异常值不敏感，而且可以比较有序变量和无序变量的相关性。
但是它也有一些限制，比如只能检测线性相关性，不能检测非线性相关性。
二、秩回归秩回归是一种非参数的回归分析方法，它用于研究自变量和因变量之间的关系，并不要求总体分布的形式。
秩回归与普通回归的区别在与秩回归是基于秩次转换后的数据进行建模分析的。
秩回归的优点是可以适用于各种类型的数据，不需要对数据进行正态化变换，对异常值不敏感。
第6讲相关分析与回归分析
第6讲 相关分析与回归分析
一、引 言
在很多研究领域中，往往需要研 究事物间的关系。如收入与受教育程 度，子女身高与父母身高，商品销售 额与广告费用支出，农作物产量与施 肥量，上述两者间有关系吗？如果有 关系，又是怎么样的关系呢？如何来 度量这种关系的强弱？
解决上述问题的统计方法是相关
由于相关系数是用样本计算得到 的，带有一定的随机性，所以用样本 相关性估计总体相关性的可信度需要 检验。
SPPS可以自动进行检验，并分
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别用“*”,“**”标注显著性水平0.05, 0.01下的显著相关。 (2) Spearman和Kendall’s相关系数
Pearson相关系数属参数统计分 析中的矩相关系数，有一定的局限性: 当正态分布假设不成立时，检验结果 不可信；只能度量线性相关性，不能 描述非线性相关性。
下列不属于相关关系的是( )。 A. 产品成本与生产数量 B. 球的表面积与体积 C. 家庭的支出与收入 D. 人的年龄与体重 下列关系是线性相关的是( )。
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A. 人的身高与视力 B. 圆心角大小与所对弧长 C. 收入水平与纳税水平 D. 父母平均身高与儿子身高 相关分析主要研究变量间是否相 关及相关的密切程度与方向。 相关分析中最常用的是简单相关 分析，即两个变量间的相关性。
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y 3 3 .7 3 0 .5 1 6 x 即父辈身高每增加或减少一个单位， 其子辈身高仅增加或减少半个单位， 也即子代的身高有回到同龄人平均身 高的趋势。
Galton称这种现象为“回归”。 为了纪念Galton，后人将研究两变量 间统计关系的方法称为回归分析。
非参数统计教学大纲
遵义师范学院课程教学大纲非参数统计教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：64 学分数： 4执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：非参数统计课程编码：学分：4总学时：64课堂教学学时：64实践学时：适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、数理统计一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质本课程属专业方向选修课程。
非参数统计形成于二十世纪四十年代，是与参数统计相比较而存在的统计学一个年轻、活跃而前沿的分支，含有丰富的统计思想并在实践中有着广泛的应用。
非参数统计方法不依赖于总体分布及其参数，适用于多种类型的数据，进行统计推断时仅需要一些非常一般性的假设，因而具有良好的稳健型，在总体分布未知的情况下往往比参数统计方法有效。
（二）该课程的教学目标本课程的教学目的是使学生了解非参数统计在推断统计体系中日益重要的作用，理解非参数统计方法和参数统计方法的区别。
要求学生掌握本课程的基本知识、基本概念、基本原理和基本方法，能应用非参数统计方法解决一些简单的实际问题；注重学生统计思维能力和实践能力的培养，进一步培养学生重视原始资料的完整性与准确性、对数据处理持严肃认真态度的专业素质。
二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。
三、教学内容与要求第一章引言【教学目标】通过本章学习，使学生清楚非参数统计的研究对象，了解非参数统计的历史，明白非参数统计方法和参数统计方法的区别，认识学习非参数统计方法的必要性，了解非参数统计的一些基本概念与基本工具；通过对初等推断统计的简单回顾，要求学生提炼并把握推断统计思想的实质，为后续章节学习非参数统计的分析技巧和主要思想打下基础。
【教学内容和要求】主要教学内容：非参数统计研究内容；非参数统计小史；初等推断统计回顾；非参数统计基本概念。
教学重点与难点：教学重点是通过与参数统计异同的比较，介绍非参数统计的研究内容与研究方法；教学难点是对检验的相对效率、秩检验统计量、U统计量等非参数统计基本概念的理解。
《统计学原理》国开(电大)形成性考核答案集
《统计学原理》国开(电大)形成性考核答案集第一章统计学导论1.1 统计学的定义与应用问题1: 统计学的定义是什么?{统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的科学，旨在通过量化的方法来揭示和理解现象的规律性和内在联系。
}问题2: 统计学在哪些领域中有应用?{统计学在众多领域中都有应用，包括但不限于经济学、生物学、医学、工程学、心理学、社会科学和商业管理等。
}1.2 统计数据的类型问题3: 定量数据和定性数据的区别是什么?{定量数据是数值化的，可以进行数学运算的数据，而定性数据则是非数值化的，通常表现为类别或属性。
}1.3 统计数据的来源问题4: 描述性统计和推理性统计的区别是什么?{描述性统计旨在对数据进行总结和描述，而推理性统计则通过样本数据来对总体进行推断和预测。
}第二章数据的收集与整理2.1 调查问卷设计问题5: 如何设计一个有效的调查问卷?{设计有效的调查问卷需要明确调查目的，选择合适的调查方法，确保问题的清晰性和逻辑性，避免引导性问题，并考虑隐私和伦理问题。
}2.2 数据整理与图表展示问题6: 什么是频数和频率分布表?{频数是指某个数值出现的次数，频率分布表则是将数据按照一定的区间分组，列出每个组的频数和频率。
}第三章描述性统计分析3.1 频数与频率分布问题7: 如何计算累积频率?{累积频率是指将数据从小到大排序后，从最小值开始累加各个数值的频率，直到该累计频率达到或超过某个指定的概率。
}3.2 统计量度问题8: 什么是众数、中位数和平均数?{众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数值，平均数则是所有数值加和后除以数值的个数。
}3.3 离散程度的度量问题9: 方差和标准差的定义是什么?{方差是衡量数据分布离散程度的统计量，它是各个数值与其平均数差值的平方的期望值；标准差是方差的平方根，用于衡量数据分布的离散程度。
}第四章推理性统计分析4.1 概率论基础问题10: 什么是随机变量和概率分布?{随机变量是一个将试验的所有可能结果映射到实数上的函数，概率分布则是描述随机变量取各种可能值的概率。
统计学中的回归分析与相关性
统计学中的回归分析与相关性回归分析与相关性是统计学中重要的概念和方法，用于研究变量之间的关系和预测。
本文将介绍回归分析和相关性分析的基本原理、应用领域以及实际案例。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
它的基本思想是通过对一个或多个自变量与一个因变量之间的关系进行建模，来预测因变量的取值。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元回归多元回归是回归分析的扩展形式，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
1.3 回归诊断回归分析需要对建立的模型进行诊断，以确保模型的有效性和合理性。
常见的回归诊断方法包括检验残差的正态性、检验变量之间的线性关系、检验残差的独立性和方差齐性等。
二、相关性分析相关性分析是统计学中用来研究两个变量之间线性关系强弱的方法。
通过计算两个变量的相关系数，可以判断它们之间的相关性。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的衡量两个连续变量之间线性相关强度的指标，取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用于衡量两个变量之间的等级相关性。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系。
三、回归分析与相关性的应用回归分析和相关性分析在各个领域都有广泛的应用。
下面以两个实际案例来说明其应用：3.1 股票市场分析在股票市场分析中，可以使用回归分析来研究某只股票的收益率与市场整体指数之间的关系。
非参数统计 秩相关分析和秩回归共65页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
非参数统计 秩相关分析和秩 回归
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
非参数统计6第六章 相关和回归分析
X
在
ij
(X1j ,
, Xnj )中的
秩。假设检验问题：
H0 : k个变量不相关 H1 : k个变量相关
协同系数的原理如下，在零假设成立的情况下，那么每一
行的秩应该相差不大；而备选假设成立的时候，各行的秩
和应该有很大差别。可以构造检验统计量：
n
i 1
Ri.
1 n
n i 1
2 Ri.
从而Kendall协同相关系数W可以表示为：
其中为来自某未知分布函数fx的iid样本这就是我们熟知的一元回归直线只要能估计出的值就得到了拟合回归方程就可以利用它进行估计预测了
第六章 相关和回归分析
我们知道，在参数统计中，两个随机变量之间的相关性是
通过相关系数来度量的，即设
，则用
来度量X与Y之间的相关性。 由于总体数据未知，故用如下的样本相关系数表示：
存在重复数据的时候，可以采用平均秩，节不多的时候， T仍然可以采用。
在大样本情况下，可以采用正态近似进行检验：
n 1rs N(0,1) 当 n
在出现打结的时候，需要使用修正公式计算。
例
解答
Ex
Kendall 相关检验
Kendall(1938)提出一种类似于Spearman秩相关的检验方法， 从两变量 (x是j, y否j)协同(concordant)来检验变量之间的相关性。 首先引入协同的概念：
们熟知的一元回归直线，只要能估计出α、β的值，就得 到了拟合 回归方程，就可以利用它进行估计预测了。
Brown-Mood方法
这个方法是由Brown-Mood于1951年在一次会议中提出的。 为了估计α和β，我们把数据分成两组，第一组包含那些 相应的自变量大于X样本中位数的Y值，第一组包含那些 相应的自变量小于X样本中位数的Y值。
SPSS数据统计与分析考试习题集附答案淮师
1 第三章统计假设检验二、计算题1.桃树枝条的常规含氮量为2.40%，现对一桃树新品种枝条的含氮量进行了10次测定，其结果为2.38%、2.38%、2.41%、2.50%、2.47%、2.41%、2.38%、2.26%、2.32%、2.41%，试问该测定结果与常规枝条含氮量有无差别。
单个样本显著值0.349>0.052.随机抽测了10只兔的直肠温度，其数据为：38.7、39.0、38.9、39.6、39.1、39.8、38.5、39.7、39.2、38.4（℃），已知该品种兔直肠温度的总体平均数为39.5（℃），试检验该样本平均温度与该品种兔直肠温度的总体平均数是否存在显著差异？单个样本显著值0.027<0.053.假说：“北方动物比南方动物具有较短的附肢。
”为验证这一假说，调查了如下鸟类翅长(mm)资料。
试检验这一假说。
双个样本成组这个说法不正确，差异不明显。
显著值0.581>0.054.11只60日龄的雄鼠在x射线照射前后之体重数据见下表（单位：g）：检验雄鼠在照射x射线前后体重差异是否显著？双个样本成对5.用中草药青木香治疗高血压，记录了13个病例，所测定的舒张压数据如下：试检验该药是否具有降低血压的作用。
双个样本成对6.为测定A、B两种病毒对烟草的致病力，取8株烟草，每一株皆半叶接种A病毒，另半叶接种B病毒（每一株的哪半边接种哪一种病毒由抽签随机决定），以叶面出现枯斑病的多少作为致病力强弱的指标，得结果如下表。
试检验两种病毒的致病能力是否有显著差异。
0.034<0.052双个样本成对7.下表为随机抽取的国光苹果和红富士苹果果实各11个的果肉硬度（磅/cm2，1磅＝0.453 6kg），问两品种的果肉硬度有无显著差异?双个样本成组苹果果实的果肉硬度（磅/cm2）8.为研究电渗处理对草莓果实中钙离子含量的影响，选用10个草莓品种来进行电渗处理与对照的对比试验，结果见下表。